第二十一讲广义特征值与极小极大原理

在 L 中变动是在一个(s-r+1)维子空间中变化。 一般的，x 在 Cn 的(n-1)维子空间 Vn−1 中变动时，
x ≠0 x∈Vn −1
min R ( x ) ≤ λ 2
max R ( x ) ≥ λ n−1
x ≠0 x∈Vn −1
即，对于不同的 Vn−1 ， R ( x ) 的最小值及最大值有可能不同，其中各个
−1
特征值问题，但一般来说， B A 一般不再是厄米矩阵。 （2） B 厄米，存在 Cholesky 分解， B = GG ，G 满秩
H
−1
Ax = λGG H x
则
令G x = y
H
G −1 A G H
( )
−1
y = λy
也成为标准特征值问题。
3
G −1 A G H
( )
−1
为厄米矩阵，广义特征值是实数，可以按大小顺序排
x H Ax = (x) = 证明： R x H BxHmax R (源自x ) = λ nx ≠0
( kx ) A ( kx ) H ( kx ) B ( kx )
k 为非零常数
可取 k =
∴
1 ， kx = 1 x
x H Ax R (x) = H x Bx
（闭区域）
x =1
ai 0= ( i 2, 3, , n ) 时， R ( x ) = λ1 当 x = x1 或=
x ≠0
a1 =0
= λ2 = λ k +1
max R ( x )
x ≠0
an =0
= λ n−1 = λ n−k −1


a1 = a2 = = ak = 0
min R ( x )
x ≠0
max R ( x )
x ≠0
an = a n −1 = = an − k = 0
9
定理 1.设 L = span {x r , x r +1 , , x s }
( A − λB ) x = 0
或者
0 ( λB − A ) x =
2
→ 特征方程
det ( A − λB ) = 0
求得 λ 后代回原方程 Ax = λBx 可求出 x 本课程进一步考虑 A、B 厄米且为正定矩阵的情况。 2、等价表述
−1 （1） B 正定， B 存在 → B Ax = λx ，广义特征值问题化为了标准
λn
x1 , x 2 , x n 线性无关，所以， ∀x ∈ Cn ，存在 a1 , a 2 , an ∈ C ，
5
使得
H
x = ∑ ai x i
i =1
n
n n n n H x Bx ∑ ai x i = B ∑ a jx j ∑ ai a jx i Bx j ∑ ai = = = = i 1 i1 = j 1= i,j 1
7
λ i ≥ λ1
∴
R ( x ) ≥ λ1
∑a ∑a
i =1 i =1 n
n
2 i 2 i
= λ1
min R ( x ) = λ 1
x ≠0
另一方面， λ i ≤ λ n
R (x ) ≤ λn
∑a ∑a
i =1 i =1 n
n
2 i 2 i
= λn
∴
max R ( x ) = λ n
x ≠0
[证毕]
( λ r ≤ λ r +1 ≤ ≤ λ s )
,则
min R ( x ) = λ r
x ≠0 x∈L
max R ( x ) = λ s
x ≠0 x∈L
这一结果不便于应用，希望对上述结果进行改造，改造成不依赖 于 x i 的一种表达方式。
a1 = 0 和 an = 0 的情况均对应于 x 在（n-1）维的子空间内变动，x
8
当 B＝I 时，标准特征值问题
λ1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ n xH i x j = δ ij
Ax = λx
（A = A）
H
则
x H Ax min H = λ 1 ( x ≠0 ) x x
x H Ax max H = λ n ( x ≠0 ) x x
进一步分析可得
min R ( x )
min max R ( x ) = λ n−1 Vn −1∈Cn x ≠0 x∈Vn−1 min max R x ( ) = λ k x ≠0 Vk ∈Cn x∈Vk
定理 2. 设 Vk 是 Cn 的一个 k 维子空间，则
10
最小值中最大者为 λ 2 ，各个最大值中的最小者为 λ n−1
max min R ( x ) = λ 2 Vn −1∈Cn x ≠0 x∈Vn−1
max min R x ( ) = λ n − k +1 Vk ∈Cn x ≠0 x∈Vk
H
2
n n H H i j i i j i j i j = i,j 1 = i,j 1 = i 1 H
x Ax = ∑ a a x Ax = ∑ a a x λ Bx = ∑ λ i ai
n
2
∴ R (x) =
∑λ
i =1 n i =1
n
i
ai
2 i
2
∑a
以下两点成立
6
R ( x ) = λ1 ● min x ≠0
列 λ 1 ≤ λ 2 ≤ ≤ λ n ，一定存在一组正交归一的特征向量，即存在
y 1 , y 2 , y n 满足
G −1 A G H
( )
−1
y i = λy i
i=j i≠j
1 yH y = δ = i j ij 0
H 还原为 x i = G
( )
−1
y i (i=1,2, ,n)，则
第二十一讲 广义特征值与极小极大原理
1
一、 广义特征值问题 1、定义：设 A、B 为 n 阶方阵，若存在数 λ ，使得方程 Ax = λBx 存在 非零解，则称 λ 为 A 相对于 B 的广义特征值，x 为 A 相对于 B 的属于 广义特征值 λ 的特征向量。 ● 是标准特征值问题的推广，当 B＝I（单位矩阵）时，广义特征值 问题退化为标准特征值问题。 ● 特征向量是非零的 ● 广义特征值的求解
4
1 H H H yH y x G G x x Bx = = = δ = i j i j i j ij 0
(
)(
)
i=j i≠j
（带权正交）
二、 瑞利商
x H Ax = R (x) ( x ≠ 0) 为 A A、B 为 n 阶厄米矩阵，且 B 正定，称 x H Bx
相对于 B 的瑞利商。
x i 为 A 相对于 B 的广义特征值和特征向量， 且 λ1≤λ2≤· · · ≤ 设 λi，