盖尔圆估计特征值所在范围
2盖尔圆
定 理4 设A是 严 格 占 优 或 弱 占 优 可 约 的 ， C， 不 t 0 t 1， 则 a 11 ta12 ta1n ta 21 a 22 ta 2 n C ta ta n 2 a nn n1 也 是 严 格 占 优 或 弱 占 不 可 约 的 ， 且 0. 优 C
为了得到有效的估计，往往希望每个圆盘只包 含A的一个特征值，这就需要将每个圆盘的半径适当
缩小．
两种方法 （1）对 A T应用圆盘定理； （2）对矩阵A施行相似变换后再应用圆盘定理．
一般为简便起见，可选择对角矩阵作相似变换矩阵．
A (aij )nn， 令P diagd 1 , d 2 ,, d n ， 其 中d i 0 ( i 1,2,, n)， 则B PAP
a12 a 22 a n2
a1n a 2n D B C, a nn
其中
D diag(a11 , a22 ,, ann ), aii 0, 0 a21 B a n1 0 0 an 2 0 0 a12 0 0 0 ，C 0 0 0 a1n a2 n , 0
n n ij
C
n n
，若对于任意 有 i恒
a
j i0
a ii ( i 1,2, , n)，
且 存 在 0， 使 a i0 j a i0 i0 ， 则 称 是 弱 对 角 行 占 i A 优矩阵 .
定 义2 设A a ij
ji
C nn， 若 对 于 任 意 有 i恒 n n a jj ( j 1,2, , n)，
第5章 特征值的估计
在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地， 由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连 通部分， 并说它是由 k 个盖尔圆组成． 一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分． 圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没 有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特 征值的分布情况．
第5章 特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的， 但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得 尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以 及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n
西安邮电大学矩阵论期末真题试题2
西安邮电大学研究生课程考试试题
第1页 共3页 西安邮电大学研究生课程考试试题
（ — 学年第一学期）
一、填空题（每小题4分，共20分）
1.设T 是线性空间n V )1(>n 的线性变换，若数λ不是T 的特征值，则n V 的子空间{}
n V x x Tx x V ∈==,λλ的维数是 2.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=5221001i i A ,其中1-=i ，则=1A ,=2A , =F A
3.已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=613
13461A ,矩阵A 是否是收敛矩阵 ，根据是 4.已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300211101A ,则A 的Jordan 标准形是 5.线性空间n V 中，设由基（Ⅰ）：n x x x ,,,21Λ到基（Ⅱ）：n y y y ,,,21Λ的过渡矩阵为C ，给定n 阶矩阵B ，线性变换T 满足B x x x Ty Ty Ty n n ),,,(),,,(2121ΛΛ=，则T 在基（Ⅱ）下的矩阵是
二、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=321043211111A ，求A 的满秩分解．(10分)
三、已知⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=4021588017190A ，应用n Gerschgori 的特征值估计理论分离A 的特征值，并在复平面上画图表示．(10分)
四、设n m R A ⨯∈，证明在列向量空间m R 中，)(T A N 与)(A R 互补． (10分)。
矩阵特征值问题的解法要点
1k [a1v1
a2
(
2 1
)k
v2
(
n 1
)k
vn
]
因为
i 1(i 2,3,, n) 1
故当k→∞时， xk→λ1ka1v1.
因此，xk可看成是关于特征值λ1的近似特征向量
有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不 为零的分量将随K的增大而无限增大，计算机就可 能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）
17
算法: 乘幂法
min R( x) x0
min( Ax,
x 2 1
x)
n
max x0
R( x)
max ( Ax, , x 2 1
x)
由于R(x) R( x) ，对于任意 x ，可以取 ，使
得：||x ||2 1 .
证明: 假设 u1, u2 ,, un 为 A 的规范正交特征向量
组，则对任何向量 x Rn ，有 n x iui i 1
||
Ak z0 Ak z0 ||
14
zk
1k | 1k
|
b1v1 || b1v1
b2
(
2 1
)
k
v2
b2
(
2 1
)
k
v2
bn
(
n 1
)k
vn
bn
( n 1
)k
vn
||
当1>0时
|
1k 1k
|
1
zk
b1v1 || b1v1 ||
当1<0时 1k 1 | 1k |
zk
b1v1 || b1v1 ||
8
于是
矩阵论小结
矩阵论线性空间定义：本质是个集合，满足一定条件下的集合。
首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的元素能否进行乘法运算并没有定义）。
最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的元素唯一对应。
称这样的一个集合为线性空间。
注意：运算结果与集合中的元素对应。
例如0*a=0（此零非彼零，不是数域里的零，而是线性空间当中的零，即集合当中的零元素<很可能不是零>）核空间：矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=0的解空间。
子空间：线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。
其中，零空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空间构成非平凡子空间。
矩阵A的核空间就是他的一个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的元素进行了限定。
矩阵A的列向量的线性组合构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最大无关组的个数）。
注意：子空间交，与子空间的和任然为子空间，但子空间的并集不一定再是子空间。
属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。
子空间中的几个等价定义：（1）直和定义为V1与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间（2）直和空间中的元素表达式唯一。
（3）V1的基于V2的基直接构成直和空间的基。
（4）和空间的维度等于V1与V2维度的和。
线性映射性质：（1）V1的零元素经过线性映射变为V2的零元素（2）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关（3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关同构：两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。
相应的线性变换称为同构映射。
任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构，这个向量就是坐标。
线性变换T的秩，线性映射的坐标表示：T表示线性空间到线性空间的映射，在具体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T，为V到V‘的线性映射。
第八章 特征值问题
n
| x p | ¹ 0 ，因此
a p k xk
k 1, k p
k 1, k p
n
| a p k | | xk |
| xp |
从而
n
| a p k | | x p | Rp
| app | Rp
例 5
矩阵
骣 5 0.8 20 琪 A = 琪 10 1 4 琪 琪 琪 2 10i 1 桫
工程计算中，求解特征值问题 的特征对 ( , x ) 时，由于数据往往带有误差， 因此我们计算出的特征对 ( , x ) ，实际上是 扰动后的特征值问题
Ax x
xx A
的解。这里 A A E, E ( i j )
我们希望知道矩阵元素的变化对特征对的影响。 | 或j | ||的某个上界， i E || 由于我们一般只知道 因此有必要研究如何利用这样的上界，尽可能 x 准确地估计 与 、 与 x之间的差距，从 而可确定特征值问题的稳定性。 由于矩阵的特征多项式的系数是矩阵元素的连 续函数，而多项式的根都是其系数的连续函数， 因此矩阵的特征值作为特征多项式的零点都连 续地依赖于矩阵的元素。因此矩阵元素的连续 变化时，必有对应特征值的连续变化。
骣 5 0.4 20 琪 B = D- 1 AD = 琪 10 0.5 4 琪 琪 琪 4 10i 2 桫
三个行Gerschgorin圆分别收缩为：
G1¢( A) = { z ? C | z 20 | G2¢( A) = { z ? C | z 10 | G3¢( A) = { z ? C | z 10i |
i , j 1 i j
n
三、特征值的界
首先，根据矩阵 A 的Cartesian分解，有
吴莹莹矩阵论作业
本文首先给出Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理，两者都是通过矩阵元素及简单运算给出特征值的包含区域。
最后探讨了Gerschgorin圆盘定理和Ostrowski圆盘定理在矩阵论中的一些简单应用。
本文重在论述Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski圆盘定理的应用方面，探讨了其在谱半径估计、矩阵可逆、二次型、扰动理论等典型问题中的应用。
关键词：特征值估计；Gerschgorin圆盘定理；Ostrowski圆盘定理众所周知在矩阵理论中，特征值概念是矩阵最重要、最本质的性质之一。
特征值不仅仅具有极其丰富的理论意义，在许多实际问题中也有着广泛的应用[1]。
因此，对矩阵特征值的研究是矩阵理论中一个比较重要的领域。
但是，高阶矩阵特征值的计算过于繁杂、极其费力。
一般来说，想要精确计算高阶矩阵特征值是不可能实现的。
况且，在自然科学的许多分支中，并不一定需要精确计算出矩阵的特征值，而只需要给出一个大体的分布范围即可。
所以，对矩阵特征值估计问题的研究-8]-[2显得格外重要与迫切，而且这也是矩阵分析中比较热门的领域，吸引着众多数学家及数学爱好者的目光。
复数域上n 阶矩阵的特征值可以用复平面上的点来表示。
因此，对这些点的位置的估计也就是对特征值的估计。
在矩阵特征值估计问题的研究当中，Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理是最基本、最经典的两个结论。
两个定理均从矩阵的元素出发，通过较为简单的运算便给出矩阵特征值的包含区域。
因此，这两个定理在数学理论部分与实际应用中都有着十分重要的意义。
圆盘定理的优势在于方便、实用、计算简洁以及方法容易掌握，而其弊病在于其精确性。
目前，许多数学家及数学爱好者都在致力于改进、完善圆盘定理，逐步缩小特征值的包含区域，力图提高矩阵特征值估计的准确性。
本文首先论述了Gerschgorin 圆盘定理和Ostrowski 圆盘定理的内容；后半部分详细探讨了这两个圆盘定理在矩阵论中的应用，主要是在诸如矩阵对角化、二次型、谱半径估计、矩阵可逆等典型问题中的一些应用，最后还将其引入到微分方程稳定性理论中，讨论微分方程组满足初值条件的解的稳定性问题。
高等工程数学智慧树知到答案章节测试2023年南京理工大学
第一章测试1.有限维线性空间上范数1,范数2之间的关系是A:等价B:1强于2C:无法比较D:2强于1答案:A2.赋范线性空间成为Banach空间，需要范数足？A:非负性B:不变性C:可加性D:完备性答案:D3.标准正交系是一个完全正交系的充要条件是满足Parseval等式A:对B:错答案:A4.在内积空间中，可以从一组线性无关向量得到一列标准正交系A:对B:错答案:A5.矩阵的F范数不满足酉不变性A:对B:错答案:B6.与任何向量范数相容的矩阵范数是？A:算子范数B:F范数C:极大行范数D:极大列范数答案:A7.正规矩阵的谱半径与矩阵何种范数一致A:矩阵2范数B:算子范数C:极大行范数D:极大列范数答案:A8.矩阵收敛，则该矩阵的谱半径A:小于1B:无从判断C:等于1D:大于1答案:A9.矩阵幂级数收敛，则该矩阵的谱半径A:等于1B:大于1C:无从判断D:小于1答案:D10.正规矩阵的条件数等于其最大特征值的模与最小特征值的模之商A:对B:错答案:A第二章测试1.l矩阵不变因子的个数等于( )A:矩阵的列数B:矩阵的行数C:矩阵的秩D:行数和列数的最小值答案:C2.Jordan标准形中Jordan块的个数等于( )A:矩阵的秩B:初等因子的个数C:不变因子的个数D:行列式因子的个数答案:B3.Jordan块的对角元等于其( )A:初等因子的零点B:行列式因子的个数C:不变因子的个数D:初等因子的次数答案:A4.n阶矩阵A的特征多项式等于( )A:A的n个不变因子的乘积B:A的n阶行列式因子C:A的行列式因子的乘积D:A的次数最高的初等因子答案:AB5.下述条件中，幂迭代法能够成功处理的有( )A:主特征值是实r重的B:主特征值有两个，是一对共轭的复特征值C:主特征值有两个，是一对相反的实数D:主特征值只有一个答案:ABCD6.n阶矩阵A的特征值在( )A:A的n个行盖尔圆构成的并集与n个列盖尔圆构成的并集的交集中B:A的n个列盖尔圆构成的并集中C:A的n个行盖尔圆构成的并集中D:都不对答案:ABC7.不变因子是首项系数为1的多项式A:错B:对答案:B8.任意具有互异特征值的矩阵，其盖尔圆均能分隔开A:错B:对答案:A9.特征值在两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分中分布是平均的A:对B:错答案:B10.规范化幂迭代法中，向量序列uk不收敛A:对B:错答案:B第三章测试1.二阶方阵可作Doolittle分解A:对B:错答案:B2.若矩阵A可作满秩分解A=FG,则F的列数为A的（）A:列数B:都不对C:行数D:秩答案:D3.矩阵的满秩分解不唯一.A:错B:对答案:B4.酉等价矩阵有相同的奇异值.A:错B:对答案:B5.求矩阵A的加号逆的方法有（）A:满秩分解B:Greville递推法C:奇异值分解D:矩阵迭代法答案:ABCD6.若A为可逆方阵，则A:对B:错答案:A7.用A的加号逆可以判断线性方程组Ax=b是否有解？A:错B:对答案:B8.A的加号逆的秩与A的秩相等A:错B:对答案:B9.若方阵A是Hermite正定矩阵，则A的Cholesky分解存在且唯一.A:错B:对答案:B10.是Hermite标准形.A:对B:错答案:B第四章测试1.（）是利用Gauss消去法求解线性方程组的条件.A:系数矩阵的顺序主子式均不为0B:都不对C:系数矩阵满秩D:所有主元均不为0答案:AD2.关于求解线性方程组的迭代解法, 下面说法正确的是（）.A:J法和GS法的敛散性无相关性B:都不对C:若系数矩阵A对称正定, 则GS迭代法收敛D:若迭代矩阵谱半径不大于1, 则迭代收敛答案:AC3.如果不考虑舍入误差, （）最多经n步可迭代得到线性方程组的解.A:共轭梯度法B:都是C:最速下降法D:SOR法答案:A4.关于共轭梯度法, 下面说法正确的是（）A:搜索方向满足A共轭条件B:相邻两步的残量正交C:B和C都对D:相邻两步的搜索方向正交答案:C5.下面哪些是求解线性方程组的迭代解法（）.A:ABC都对B:共轭梯度法C:最速下降法D:三角分解解法答案:BC6.若系数矩阵A对称正定, 则（）A:可用Cholesky法求解线性方程组B:都不对C:SOR法收敛D:J法和GS法均收敛答案:A7.任意线性方程组都可以通过三角分解法求解.A:错B:对答案:A8.最速下降法和共轭梯度法的区别在于选取的搜索方向不同.A:错B:对答案:B9.广义逆矩阵法可用于任意线性方程组的求解.A:错B:对答案:B10.Gauss消去法和列主元素法的数值稳定性相当.A:对B:错答案:B第五章测试1.对于凸规划，如果x为问题的KKT点，则其为原问题的全局极小点A:错B:对答案:B2.对于无约束规划问题，如果海塞阵非正定，我们可采用哪种改进牛顿法求解原问题？A:难以处理B:牛顿法C:构造一对称正定矩阵来取代当前海塞阵，并一该矩阵的逆乘以当前梯度的负值作为方向D:阻尼牛顿法答案:C3.共轭梯度法中，为A:DM公式B:DY公式C:FR公式D:PRP公式答案:C4.内点罚函数法中常用的障碍函数有A:二次函数B:倒数障碍函数C:对数障碍函数D:三种都可以答案:BC5.广义乘子罚函数的优点是在罚因子适当大的情形下，通过修正拉格朗日乘子就可逐步逼近原问题的最优解？A:对B:错答案:A6.分子停留在最低能量状态的概率随温度降低趋于( ).A:2C:0D:3答案:B7.模拟退火算法内循环终止准则可采用的方法.A:固定步数B:温度很低时C:接受概率很低时D:由接受和拒绝的比率控制迭代步答案:AD8.背包问题是组合优化问题吗？A:对B:错答案:A9.单纯形算法是求解线性规划问题的多项式时间算法.A:对B:错答案:B10.对于难以确定初始基本可行解的线性规划问题，我们引入人工变量后，可采用哪些方法求解原问题？A:两阶段法B:无法确定C:单纯形法D:大M法答案:AD第六章测试1.如果不限定插值多项式的次数，满足插值条件的插值多项式也是唯一的（）A:错B:对答案:A2.改变节点的排列顺序，差商的值不变（）A:错B:对答案:B3.Hermite插值只能用插值基函数的方法求解（）A:对B:错答案:B4.在最小二乘问题中，权系数越大表明相应的数据越重要（）A:错答案:B5.加窗傅里叶变换时频窗的长宽比是信号自适应的（）A:错B:对答案:A6.傅里叶变换域的点和时间域上的点是一一对应的（）A:对B:错答案:B7.若f(t)的傅里叶变换为，则 f(2t)的傅里叶变换为 ( )A:B:C:答案:C8.小波函数对应了（）A:低通滤波器B:高通滤波器答案:B第七章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。
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盖尔圆估计特征值所在范围
盖尔圆估计特征值所处的范围也称为对数估计范围（logarithmic estimation range）。
这意味着一个特征值可能位于0到1之间、最
小值到最大值之间或其他范围之内。
通常，许多解释性统计变量是有
限的。
因此，每个特征值应该被限制在一定范围内，而不是任意值。
没有明确的范围，特征值可能会被无意义地推断出过大或过小的值。
盖尔圆估计用于确定一个有意义的特征值范围，以便更好地解释实际
数据集中的变量值。
盖尔圆估计采用由George E. P. Box和Dwight W. Lyman在1962
年研究中提出的有效方法，用于检查实际的数学变量值是否太小或太大，以使它们适合当前范围和阈值。
在此过程中，样本数据被分为两
部分，一部分为最小值，另一部分为最大值。
相关变量的统计值被报告，如均值、中位数、平均值、标准差等，以评估样本的整体特征值。
盖尔圆估计的范围可以通过检查实际的数学变量值来计算，这种
变量值可以在最小值和最大值之间变化。
相关的样本数据被分为两部分，一部分用于检查对数变量的有效值，而另一部分用于检查其他变
量的有效值。
这种有效范围可以从特定shell中推断出来，这就是盖
尔圆估计隐含的特征值范围。
盖尔圆估计特征值所处的范围是一个有限的范围，介于0-1之间，针对每个特征值，有两套统计参数（最小值和最大值）可以指导在该
范围内的精确估计。
盖尔圆估计通过检查实际的数学变量值，以确保
特征值落在一定的范围内，而不是任意值。
这有助于更准确地识别实
际数据集中的变量值，从而更好地解释数据。