一元二次方程全章讲义
一元二次方程基础讲义(一)
专题三 ：一元二次方程讲义（一）第一部分：填空题1、一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
2、有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。
3、在关于x 的方程(m －5)x m －7+(m+3)x －3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。
4、已知关于x 的一元二次方程x 2+kx+k=0的一个根是–2，那么k=_ __。
5、若－2是关于x 的一元二次方程（k 2－1）x 2+2kx+4=0的一个根，则k=________．6、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0,有共同的根－1, 则a= , b= .7、若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)有一个根为1,则a+b+c= ;若有一个根为－1,则b 与a 、c 之间的关系为 ;若有一个根为零,则c= 8、方程x x =23的解是 。
方程x 2－2x －3=0的根是________.9、已知y=x 2－2x －3，当x= 时，y 的值是－3。
10、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 11、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 （填上你认为正确的一个方程即可） 12、若方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，则m = ，两个根分别为 。
13、已知关于x 的方程x 2－（a ＋2）x ＋a －2b ＝0的判别式等于0，且x ＝12是方程的根，则a ＋b 的值为 ______________。
14、已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是15、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。
《一元二次方程——用配方法求解一元二次方程》数学教学PPT课件(3篇)
知2－讲
(2) 移项，得
2x2－3x＝－1.
x2
二次项系数化为1，得
3
1
x .
2
2
2
2
3
1 3
3
x x .
2
2 4
4
2
配方，得
2
3
1
x
=
.
4
16
3
1
x ,
4
4
由此可得
x1 1, x2
1
2
知2－讲
(3)移项，得
(1)当p>0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根
x1＝－n－
p ，x
2＝－n＋
p；
(2)当p＝0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根
x1＝x2＝－n；
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2≥0，
所以方程(Ⅱ)无实数根．
知2－练
1 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时 加上4的
是(
)
12.在实数范围内定义一种新运算“※”,其规则为a※b=a2-b2,根据这个规则求方程( 2x1 )※( -4 )=0的解.
解:根据新定义得( 2x-1 )2-( -4 )2=0,
即( 2x-1 )2=( -4 )2,
5
3
∴2x-1=±4,∴x1=2,x2=-2.
-41-
第二章
2.2 用配方法求解一元二次方程
2
3
1
A.x,-4
B.2x,-2
3
3
C.2x,D.x,2
2
C )
10.已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5,则m的值为( B )
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法
人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法探求点1 用因式分解法解一元二次方程情形激疑直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?知识解说(1)因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。
因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。
(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：①移项,使方程的左边为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。
留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。
如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321=-=x x 是错误的。
典例剖析例1 用因式分解法解方程:(1)4x2=11x；(2)(x-2)2=2x-4.解析(1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。
答案 (1)移项,得4x2-11x=0.因式分解,得x(4x-11)=0于是,得x=0,或4x-11=0,(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,(x-2)2-2(x-2)=0因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.整理,得(x-2)(x-4)=0于是,得x-2=0,或x-4=0,规律总结用因式分解法解一元二次方程的普通步骤:一移(方程的左边为0);二分(将方程左边停止因式分解);三化(将一元二次方程转化为两个一元一次方程);四写(写出原方程的解)。
21.1 一元二次方程课件 (新版)新人教版课件
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x ( x 1) 28场. 2
即
x2 x 56
x 2x 4 0 2 75 x 350 0 x
2
x x 56 这三个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？ 特点: ①都是整式方程;
2
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
归纳定义
一元二次方程的定义
等号的两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并 且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二 次方程 ①方程两边都是整式
一元二次方程 要素
②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一#43;c=0的形式,我们把ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽 为 (50-2x)cm . x 根据方盒的底面积为3600cm2, 得 (100 2 x )(50 2 x ) 3600 即
3600
100㎝
50㎝
x 75 x 350 0
2
问题3
要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都 要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安 排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少 个队参加比赛? 分析: 全部比赛共 4×7=28场 设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各
先将方程化为一般形式。
例题讲解
• [例1]判断下列方程是否为一元二次方程？ • （1） 3x 2 5 y 3 • （2）x 4
学生一元二次方程讲义
九年级数学 一元二次方程第1讲 一元二次方程的解法目标 理解一元二次方程及其有关概念，会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点 一元二次方程的判定，求根公式，一元二次方程的解法与应用考点要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ，其中 叫做二次项，a 为二次项系数，叫做一次项，b 为一次项系数， 叫做常数项注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数,二次项系数不为0；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
一元二次方程整章复习课
3y2 2 y 4 0
用配方法解方程2x²+4x +1 =0，
用配方法解一元二次方程的步骤: 配方后得到的方程 1.变形:把二次项系数化为1 2=1/2 。 是 （ x+1) 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
28-t
Q
28-t 28-3t
P
D
t
B A
3t
作业本（１）１１页
用配方法说明：无论t取何实数，多项式
2t 4t 1 的值必小于或等于３
2
课外拓展
某租赁公司拥有汽车100辆。据统计，当每辆车的月租
金为3000元时，可全部租出。每辆车的月租金每增加50 元，未租出的车将增加1辆。租出的车每辆每月的维护费 为150元，未租出的车每辆每月只需维护费50元。 (1)当每辆车的月租金定3600元时,能租出多少辆?
公式法： 适应于任何一个一元二次方程
用公式法解一元二次方程，先将方程化为一般形式， 再求出b2-4ac的值， b2-4ac≥0则方程有实数根， b2-4ac≤0则方程无实数根。
用公式法解下列方程 ：（1）4x2+1=-4x
1 1 2 （2）( x 5) (79 x ) 0 2 3
注意: (1)当方程中各项系数为分数时，在整理方程过程中，
多少个？
解：设涨价ｘ元，则定价为（５０＋ｘ）元， 每个商 品的利润为（５０＋ｘ－４０）元，销售 数量为（５００－１０ｘ）个，由题意得 （５０＋ｘ－４０）（５００－１０ｘ）＝８０００ x1 10, x2 30 解得
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第6讲 判别式和根与系数的关系【学习目标】1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==； （3）当042<-ac b 时，方程无实数解。
2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式a acb b x x 24221-±-==，有ab x x -=+21，a cx x =⋅213、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ， 求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解【经典练习】姓名： 成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、 没有实数根D 、 与k 的取值有关2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ).A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x =_____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=?4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；51为根构造一个一元二次方程 三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
人教版九年级数学上册 第一讲 一元二次方程 讲义
第一讲 一元二次方程知识点1．一元二次方程的判断标准：（1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2-1．一元二次方程的个数是 . 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______． 知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知110a a +=求1a a-的值.3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m= ， 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 。
若942++kx x 是完全平方式，则k = 。
知识点4．整体运算练习D: 1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=___________． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程 。
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一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。
① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 －43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0；④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2= （x －1）（4x + 3）。
例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。
例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、21。
【夯实基础练】： 一）、填空题：1、方程（x －4）2= 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mxm 是一元二次方程，则m 2 = 。
4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2+ bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。
6、关于x 的方程（k 2－1）x 2+ 2（k －1）x + 2k + 2 =0，当k ≠ 时，为一元二次方程；当k = 时，为一元一次方程。
二）、选择题：1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A 、01232=++x x B 、531212-=x C 、011.02=+-x x D 、)2)(1(2-+=+x x x x 2、方程53)3)(3()12(32++-+=-x x x x 化为一般形式后，a 、b 、c 的值分别为（ ） A 、a = 5，b = 3，c = 5 B 、a = 5，b = －3，c = －5 C 、a = 7，b = 3，c = 5 D 、a =8，b = 6，c = 1 三）、解答题：1、已知关于x 的方程（m 2－1）x 2+ （m + 1）x + 1 = 0 （1）当m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）当m 为何值时，此方程为一元一次方程？2、关于x 的方程（m + 2）2x 2 + 3m 2x + m 2－4 = 0有一根为0，求2m 2－4m + 3的值。
3、已知x = －2是方程x 2－mx + 2 =0的一个根，试化简226912m m m m +--+-。
【能力提高练】：1、试证明关于x 的方程（m 2－8m + 17）x 2+2m +1 =0，不论m 为何值，该方程都是一元二次方程。
2、已知x 2 +3x +1的值为5，则代数式2x 2+6x －2的值为多少？3、设b a ,是一个直角三角形两条直角边的长，且12)1)((2222=+++b a b a ，求这个直角三角形的斜边长。
4、若=∙=-+yx 则y x 324,0352的值是多少？一元二次方程的解法【知识点】：1、理解解一元二次方程的“降次”．．．．思想，将一元二次方程“化成”两个一元一次方程． 2、直接开平方法：如果方程能化成2x p =或2()(0)mx n p p +=≥的形式，那么直接开平方可得x p=±或mx n p +=±．3、配方法：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。
4、公式法：公式aac b b x 242-±-=（042≥-ac b ）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法； 5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．6、一元二次方程根的判别式：b 2-4ac 叫根的判别式；（1）当b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）•有两个不相等实数根即x 1=242b b ac a -+-，x 2=242b b ac a---．（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根即x 1=x 2=2ba-． （3）当b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根．【例题精讲】:1、用直接开平方法解下列方程：（1）2(21)5x -=；（2）2692x x ++=2、用配方法解下列方程： （1）2213x x +=； （2）23640x x -+=．3、用公式法解下列方程：（1）5x 2+2x-6=0 （2）4x 2-7x+2=0 （3）2x 2-12x-32=04、用因式分解法解下列方程：（1）(2)20x x x -+-=； （2）221352244x x x x --=-+；（3）3(21)42x x x +=+； （4）22(4)(52)x x -=-．5、已知y =2x 2 +7x －1，当x 为何值时，y 的值与4x + 1的值相等？x 为何值时，y 的值与x 2－19的值互为相反数？6、解方程062=-+x x 。
7、若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则x+y 的值是多少？【夯实基础练】： 一）、填空题1、(2011镇江)已知关于x 的方程260x mx +-=的一个根为2,则m=_____,另一根是_______. 2、如果x 2+ mx + 16是一个完全平方式，则m 的值为 。
3、当x = 时，代数式x 2+ 4x + 6有最 值是 ；【提示：配方法】4、方程3x 2 +2 =x 中，a = ，b = ，c = ，b 2－4ac = ；5、已知一元二次方程ax 2 + 4x + 2 =0 且b 2－4ac = 0，则a = ，x = 。
6、（2011上海）如果关于x 的方程220x x m -+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．8、已知a ≠0，a ≠b ，x = 1是方程ax 2+ bx －10 =0的一个解，则ba b a 2222--的值是 。
二）、选择题：1、解方程（x +5）2－3（x +5） =0，较简便的解法是（ ）A 、直接开平方法B 、因式分解法C 、配方法D 、公式法2、方程x 2+2x －3 = 0的解是（ ）A 、x 1 =1，x 2 =3 ；B 、x 1 =1 ，x 2 =－3；C 、x 1 =－1，x 2 =3 ；D 、x 1 =－1 ，x 2 =－3 。
3、（2011兰州）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．2(1)6x +=B ．2(2)9x +=C ．2(1)6x -=D ．2(2)9x -=4、01442=--+++y x y y ，则xy 的值是（ ）A 、－6B 、－2C 、2D 、65、（2011安徽）一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ）A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和26、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（ ）A 、若x 2 =4 ，则x =2 ；B 、若3x 2=6x ，则x =2 ；C 、若x 2+ x －k =0的一个根是1，则k =2 ； D 、若分式2322+--x x x 的值为零，则x =2 。
7、已知方程x 2－6x + q = 0可以配方成（x －p ）2=7的形式，那么x 2－6x +q =2可以配方成下列的（ ）A 、（x －p ）2 =5 ；B 、（x －p ）2 = 9 ；C 、（x －p +2）2 =9 ；D 、（x －p + 2）2=5。
8、关于x 的方程k 2x 2+2（k －1）x +1 =0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A 、k ＜21 B 、k ≤21 C 、k ＜21且k ≠0 D 、k ≤21且k ≠0 三、解答题：1、用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=； （2）21(31)644x +=； （3）26(2)1x +=；2、用配方法解下列方程：（1）210x x --=； （2）09632=+-x x ． （3）232310y y ++=．3、用公式法解方程(1)x 2+4x+2=0 ; (2)3x 2-6x+1=0; (3)4x 2-16x+17=0 ;4、用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．【能力提高】1、已知一元二次方程x 2－4x +k =O 有两个不相等的实数根。
（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2－4x +k =0与x 2+mx －1 =0有一个相同的根，求此时m 的值。
2、已知 a 、b 、c 为三角形的三边, 求证 ∶方程0)(222222=+-++b x c b a x a 没有实数根 。
3、已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab+--的值．一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系【知识点】1、一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定，我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 的根的判别式，通常用符号“△”来表示。
当△>0时，有两个不相等实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根，当△<0时，没有实数根，反过来也成立。
2、如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，那么ac x x a b x x =-=+2121·, 3、如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =-=+2121·, 4、以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0·)(21212=++-x x x x x x 【例题选讲】例1：不解方程，判别下列方程的根的情况；（1）04322=-+x x ； （2）y y 249162=+； （3）07)1(52=-+x x例2：已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，当k 取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。