偏导数的几何应用.
偏导数的物理几何意义
偏导数的物理几何意义偏导数是多元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在其中一点沿着一些坐标轴的变化率。
在物理学中，偏导数有着重要的几何和物理意义。
以下是偏导数的物理几何意义的详细解释：1.变化率：函数的一阶偏导数描述了函数在其中一点的变化率。
在物理学中，这可以理解为物理量在该点的变化率。
例如，在空间中考虑一个以时间t为参数的三维位置矢量函数r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中x、y和z分别是位置矢量在x、y和z轴的分量。
三个分量的一阶偏导数分别是x的速度、y的速度和z的速度，它们描述了位置矢量在每个轴上的变化率。
2.切线和切平面：二元函数的两个偏导数代表了函数图像上的切线和切平面。
在物理学中，这对于描述曲线和曲面的切线和切平面是非常重要的。
例如，在二维平面上考虑一个函数z=f(x,y)，其中x和y是平面上的坐标变量。
函数的偏导数∂z/∂x和∂z/∂y分别表示函数图像上的沿着x轴和y轴方向的切线斜率。
这意味着我们可以借助偏导数来找到函数图像上的切线和切平面，从而描述函数在其中一点的局部行为。
3. 法向量：在多元函数的高阶偏导数中，Hessian矩阵的特征向量对应的特征值具有重要的物理和几何意义。
特别地，Hessian矩阵是一个对称矩阵，它描述了函数图像局部的二次曲率信息。
Hessian矩阵的特征向量对应的特征值是曲面在该点法向量的方向和曲率。
例如，在二维平面上考虑一个函数z = f(x, y)，其中x和y是平面上的坐标变量。
Hessian矩阵的特征向量对应的特征值描述了曲面在该点的法向量方向和曲率大小，这对于描述曲面的形态和弯曲性质具有重要作用。
4.极值点：在多元函数中，偏导数可以帮助我们找到函数的极值点。
在物理学中，这对于优化和最优化问题的求解是非常重要的。
例如，考虑一个具有多个变量的能量函数E(x,y,z)，其中x、y和z是能量函数的自变量。
函数的偏导数∂E/∂x，∂E/∂y和∂E/∂z可以帮助我们找到能量函数的极小值点，这在工程和科学应用中广泛用于优化问题和最优化算法。
第7-5节(隐函数的求导法则、偏导数的几
切线方程为
x − x 0 y − y0 z − z 0 = = , 1 φ ′ ( x 0 ) ψ ′( x 0 )
法平面方程为
( x − x0 ) + φ ′( x0 )( y − y0 ) + ψ ′( x0 )( z − z0 ) = 0.
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将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu = 2 , 2 ∂y x + y ∂v xu + yv =− 2 . 2 x +y ∂y
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三、偏导数的几何应用之 空间曲线的切线与法平面
⎧ x = φ (t ) ⎪ 设空间曲线的方程 ⎨ y = ψ ( t ) ⎪ z = ω (t ) ⎩ (1)
例6
求曲线 Γ : x = ∫0 e cos udu ， y = 2 sin t
u
3t
t
+ cos t , z = 1 + e 在 t = 0处的切线和法平面方程.
解 当 t = 0时， x = 0, y = 1, z = 2,
′ = e t cos t , y′ = 2 cos t − sin t , z′ = 3e 3t , x
⇒ x′(0) = 1,
y ′ ( 0 ) = 2, z ′ ( 0 ) = 3,
x −0 y −1 z − 2 切线方程 = = , 1 2 3 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3( z − 2) = 0,
即 x + 2 y + 3 z − 8 = 0.
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特殊地：
⎧ y = φ ( x) , 1.空间曲线方程为 ⎨ ⎩z = ψ ( x)
第7-6节(偏导数的几何应用(二)、方向
第 六 节
偏导数的几何应用(二)
方向导数与梯度
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一、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) = 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
r n
M
r T
⎧ x = φ (t ) ⎪ Γ : ⎨ y = ψ ( t ), ⎪ z = ω (t ) ⎩ r 曲线在M处的切向量 T = {φ ′( t 0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )},
F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3, 解 令
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4, Fy′ (1, 2 , 0 ) = 2 x (1, 2 , 0 ) = 2,
Fz′ (1, 2 , 0 ) = 1 − e z (1, 2 , 0 ) = 0,
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 = = , ⇒ 2 x 0 = y0 = z 0 . 1 4 6
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
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通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.
第七节 偏导数的几何应用
Gy
Gz 0
Gz
Gx 0
Gx
Gy 0
法平面方程为
Fy Gy Fz Gz 0 ( x x0 ) Fz Gz Fx Gx 0 ( y y0 ) Fx Gx Fy Gy 0 ( z z0 )
0.
方法2
F ( x, y, z ) 0 Fx dx Fy dy Fz dz 0 对方程 求微分，得 G( x, y, z ) 0 G x dx G y dy Gz dz 0
切平面方程为 4( x 2) 2( y 1) ( z 4) 0,
4 x 2 y z 6 0,
法线方程为
x 2 y 1 z 4 . 4 2 1
通过点 M 0 而垂直于切平面的直线称为曲面在该 点的法线.垂直于曲面 在点 M 0 处切平面的向量 称为曲面在点 M 0 的法向量.
由前面的讨论可知曲面在M处的法向量即
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
( x0 , y0 , z0 )处的切线及法平面方程 .
F ( x, y, z ) 0 3.空间曲线方程为 , G ( x , y , z ) 0
方 法1
可由隐函数求导法，从 方程组中求出 y( x )、z( x )， 再由第 2种情形的结论，即得切 线方程
x x 0 y y0 z z 0 , 1 y( x0 ) z( x0 )
引进向量即有 n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
偏微分方程与偏导数的几何意义及其应用
偏微分方程与偏导数的几何意义及其应用偏微分方程（Partial Differential Equations, 简称PDEs）是数学中重要的一个分支，它描述了多元函数的各个方向的变化率，具有广泛的应用于自然科学和工程领域。
本文将探讨偏微分方程和偏导数的几何意义，以及在物理学、流体力学和电动力学等领域的常见应用。
一、偏微分方程的几何意义1. 偏导数的几何意义偏导数描述了函数在某个指定方向上的变化率。
在二元函数中，对于函数f(x, y)，f对于x的偏导数(∂f/∂x) 表示函数沿x方向的变化率，而f对于y的偏导数(∂f/∂y) 表示函数沿y方向的变化率。
对于高维函数，类似地，偏导数可以描述函数在各个方向上的变化率。
2. 偏微分方程的几何意义偏微分方程描述了函数在空间中的变化和分布规律。
一些重要的偏微分方程，如热传导方程、抛物线方程、椭圆方程和双曲线方程等，通过描述函数在物理空间中的波动、扩散和稳定性等现象，使我们能够从几何角度更好地理解和分析系统的行为。
二、偏微分方程的应用1. 物理学中的应用偏微分方程在解释和解析物理现象中起到了重要的作用。
例如，波动方程可以描述机械波传播、声波和光波的传播；热传导方程可以用来解释热量在材料中的传递过程；薛定谔方程可以描述量子力学中的微观粒子行为。
通过将物理现象建模成偏微分方程，可以预测和模拟复杂系统的行为，促进科学研究的发展。
2. 流体力学中的应用偏微分方程在流体力学中广泛应用于描述流体的运动和行为。
例如，纳维尔-斯托克斯方程描述了流体的运动和粘度，可以用于解释液体和气体的流动行为；欧拉方程描述了不可压缩流体的流动，可以分析水流和风力等现象。
通过求解这些偏微分方程，我们可以优化设计水力系统、气象预测以及模拟天然和人工湍流等问题。
3. 电动力学中的应用偏微分方程也广泛应用于电动力学问题中。
例如，麦克斯韦方程组描述了电磁感应、电场和磁场之间的相互作用，可以解释电磁波的传播行为和光的传播；泊松方程和拉普拉斯方程描述了电势分布，可以用于解决电场的引力和磁场的保持。
函数z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数
偏导数是多元函数微分学中的重要概念，在研究函数在特定点的变化率、曲率和梯度等方面具有重要的应用。
在实际问题中，偏导数的概念常常被用来描述多元函数在不同方向上的变化趋势，为优化问题、最小二乘法、曲面拟合等问题提供了重要的理论基础。
一、偏导数的定义偏导数是多元函数微分学中的一个重要概念。
对于二元函数z=f(x,y)来说，它在点(x,y)处关于自变量x的偏导数定义为函数在该点上沿着x轴正方向的变化率，表示为∂f/∂x。
同理，关于y的偏导数表示为∂f/∂y。
偏导数的定义为：∂f/∂x = lim(Δx→0) (f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) (f(x,y+Δy)-f(x,y))/Δy二、偏导数的计算对于给定的二元函数z=f(x,y)，计算偏导数需要分别对x和y进行求导。
首先将其中一个变量看作常数，然后按照一元函数的求导规则进行计算。
偏导数的计算方法与一元函数的求导类似，只是在计算时需要将其他变量看作常数对待。
对于函数z=x^2+y^2，计算偏导数∂z/∂x时，将y视为常数，对x进行求导得到2x；计算∂z/∂y时，将x视为常数，对y进行求导得到2y。
三、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
对于二元函数z=f(x,y)，关于点(x,y)处的偏导数∂f/∂x可以理解为在该点上函数曲面在x方向上的切线斜率，而∂f/∂y则表示在y方向上的切线斜率。
偏导数的正负与函数曲面在该点上的变化趋势有着密切的关系，可以描述函数曲面在指定点上的斜率方向和大小，从而提供了曲面的变化趋势信息。
四、偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
对于二元函数的偏导数而言，偏导数的交换次序定理成立，即偏导数的交换律：∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x偏导数在求取高阶偏导数时也具有类似于一元函数的求导过程，可以通过多次对单变量求导来计算高阶偏导数。
偏导数在实际问题中具有广泛的应用。
在优化问题中，通过计算函数在特定点处的偏导数，可以确定函数的极值点；在曲面拟合和曲率计算中，偏导数也为曲面的研究提供了重要的理论支持。
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。
而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。
在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。
本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。
这就得到了偏导数。
偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。
计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。
二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。
在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。
因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。
当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。
同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。
2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。
梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。
偏导数计算与应用
偏导数计算与应用偏导数是微积分中的重要概念，它在求解多元函数的极值、描述函数的局部行为以及解决实际问题中扮演着重要角色。
本文将介绍偏导数的计算方法，并探讨其在不同领域的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一变量上的导数。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数衡量了函数在某一变量上的变化率。
偏导数的计算方法与一元函数的导数计算类似，可以通过求取关于变量 xi 的导数来得到。
对于一元函数 f(x)，其导数表示为 df/dx。
对于多元函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，要计算偏导数，需要将其他变量视为常数进行求导。
举例来说，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，我们可以计算关于 x 的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，关于 y 的偏导数为∂f/∂y = 2x + 2y。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义，它们能够描述函数在不同方向上的变化率。
对于函数 f(x, y)，其关于变量 x 的偏导数∂f/∂x 表示函数在x 轴方向上的变化率，而关于变量 y 的偏导数∂f/∂y 表示函数在 y 轴方向上的变化率。
偏导数还可以用于描述函数的切线和法向量。
对于函数 f(x, y)，在点 (a, b) 处，函数的切线的斜率等于∂f/∂x(a, b)。
类似地，函数的法向量可以由∂f/∂x 和∂f/∂y 所确定，即法向量为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
三、偏导数在极值和最优化问题中的应用偏导数在求解多元函数的极值问题中发挥着重要作用。
对于二元函数 f(x, y)，当∂f/∂x = 0 且∂f/∂y = 0 时，可以得到函数的驻点。
通过对二阶偏导数的研究，可以判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
除了在数学上的应用外，偏导数也在最优化问题中发挥着重要作用。
在约束最优化问题中，通过求解拉格朗日函数的偏导数方程组，可以找到函数在给定约束条件下的最优解。
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F[(t), (t), (t)] 0
对此恒等式求全导数得 dF 0
dt
即
Fx( x0 , y0 , z0 )(t0 ) Fy( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) Fz( x0 , y0 , z0 ) (t0 ) 0
此式说明 n {Fx( x0 , y0 , z0 ), Fy( x0 , y0 , z0 ), Fz( x0 , y0 , z0 )} 与切线的方向向量s垂直，即
（2）切平面的方程 设函数 F (x, y, z) 在点P0处有连续的偏导数，且 三个偏导数不全为零，又设Γ是Σ上过点P0的任意
一条曲线，其方程为
x (t )
y
(t )
z (t )
t
t=t0对应的正是点 P0 (x0, y0, z0 ) 。由定义可知，曲线 Γ在点P0的切线的方向向量为
s {(t0 ), (t0 ), (t0 )}
x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
其中向量 {(t), (t), (t)} 为曲线Γ在点P0处切线的
方向向量 。
2 法平面方程
通过切点，且与切线垂直的平面称为曲线在该 点的法平面。法平面的法向量正是切线的方向向量， 因而法平面的方程为
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
法平面方程为 0(x 1) 1( y 0) 1(z 0) 0
即 yz0
例2
求曲线
y
3x
2
在点P（1，3，1）处的
z 2x 1
切线及法平面方程。
x x
解：曲线的参数方程为
y
3x
2
z 2x 1
又
dx
dy
dz
1,
6x 6,
2
dx x1
dt x1
x 1
dx x1
所以所求的切线方程为
x 1 y 3 z 1 1 62
例1 求螺旋线 x cost, y sin t, z t 在t=0时
的切线及法平面方程。
解：t=0时，螺旋线上点的坐标为（1，0，0）,
又
dx
sin t
0
dt t 0
t 0
dy
cost
1
dt t 0
t 0Βιβλιοθήκη dz1dt t 0
所以所求的切线方程为
x 1 y z 0 11
，或
x
y
1 z
Fx(2,1,12) 4x x2 8 Fy(2,1,12) 8 y y1 8 Fz(2,1,12) 1
所以所求的切平面方程为
8(x 2) 8( y 1) (z 12) 0
即 8x 8 y z 12 0
法线方程为
x 2 y 1 z 12
8
8 1
ns 0 由曲线Γ的任意性，即：凡在曲面Σ上过点 P0 (x0, y0, z0 ) 的任一条曲线都在过点P0，并且以n为法向量的切 平面上，故切平面的方程为
Fx( x0, y0, z0 )( x x0 ) Fy( x0, y0, z0 )( y y0 ) Fz( x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
方程为
x x0 y y0 z z0
x y z
当点P沿曲线Γ趋于P0时，割线PP0的极限位置 就是曲线Γ在点P0处的切线。如下图：
z
Γ
P
P0
O
y
x
用Δt除上式各段的分母得
x x0
x
y y0
y
z z0
z
t
t
t
当点P沿Γ趋于P0（即Δt→0）时，上式的极 限即是曲线Γ在点P0处的切线方程
第五节 偏导数的几何应用
一、空间曲线的切线及法平面 二、曲面的切平面与法线
一、空间曲线的切线及法平面
1 切线的方程
设空间曲线 的参数方程为
x (t )
y
(t )
z (t )
t
当 t t0时，上有一点 P0 (x0 , y0 , z0 ) ，在 P0 (x0 , y0 , z0 )的
附近取一点 P (x0 x, y0 y, z0 z) 则割线 P P0 的
2 法线方程 曲面Σ上过点 P0 (x0, y0, z0 ) ，且垂直于切平面的
直线称为曲面在该点的法线，向量n即为法线的方向 向量，所以法线的方程为
x x0 y y0 z z0 Fx( x0 , y0 , z0 ) Fy( x0 , y0 , z0 ) Fz( x0 , y0 , z0 )
2(x 1) 4( y 1) 6(z 1) 0,
即 x 2 y 3z 6 0
法线方程为
x 1 y 1 z 1 2 46
即
x 1 y 1 z 1
1 23
例4 求椭圆抛物面 z 2x2 4 y2 在点P（2，1，12） 处的切平面和法线方程。
解： 设 F (x, y, z) 2x2 4 y2 z, 则
例3 求椭球面 x2 2 y2 3z2 6在点P（1，1，1） 处的切平面及法线方程。
解：设 F ( x, y, z) x2 2 y2 3z2 6, 则
Fx(1,1,1) 2 x x1 2 Fy(1,1,1) 4 y y1 4 Fz(1,1,1) 6z z1 6
所以所求的切平面方程为
法平面方程为 (x 1) 6( y 3) 2(z 1) 0
即
x 6 y 2z 21 0
二、曲面的切平面与法线
1 曲面的切平面方程
（1）曲面的切平面定义 设空间曲面Σ的方程为 F(x, y, z) 0 , 且过点
P0∈Σ， 过点P0可以在曲面上画无数多条光滑的空 间曲线，每条曲线过点P0都有一条切线，这些切线 在一定条件下，可以位于同一个平面上，这个平面 称为曲面Σ在点P0处的切平面。