偏导数的几何意义教学内容
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
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边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
偏导数与全微分课件
dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x
. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x
《偏导数的应用》课件
目录
• 偏导数的定义与性质 • 偏导数在几何中的应用 • 偏导数在优化问题中的应用 • 偏导数在经济学中的应用 • 偏导数在物理学中的应用 • 偏导数的实际应用案例分析
01
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
电场与磁场
总结词
在电磁学中，偏导数可以用于描述电场和磁场的变化。
详细描述
电场和磁场的变化可以用偏导数来描述，通过求解偏导数方程，可以深入理解电磁场的 特性和规律。这对于电磁波的传播、电磁力的计算以及电磁感应的研究等都具有重要意
义。
06
偏导数的实际应用案例分 析
最优价格策略案例
总结词
通过分析需求函数和成本函数，利用偏 导数确定最优价格策略。
在经济学中，边际分析使用偏导数来计算边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出最优决策。边际成本是生产 成本对产量变化的敏感度，边际收益是销售收入对销量变化 的敏感度，而边际利润则是两者之差。
弹性分析
总结词
弹性分析是偏导数的另一个重要应用，它通过计算因变量对自变量的反应程度，来描述函数在不同自变量值下的 变化规律。
偏导数的求法
通过求极限的方式计算偏导数，具体 方法包括求导法则、链式法则和隐函 数求导法则等。
偏导数的几何意义
01
切线斜率
对于二维平面上的曲线，偏导数 在几何上表示曲线在某点处切线 的斜率。
02
03
梯度
方向导数
对于向量场，偏导数可以组成梯 度，表示函数值增长最快的方向 。
对于高维空间中的曲面或超曲面 ，偏导数可以计算方向导数，表 示函数在给定方向上的变化率。
偏导数几何意义(课资参考)
2z x2
6xy2
,
3z x3
6
y2
2z xy
6x2
y
9y2
1
,
2z yx
6x2
y
9
y2
1.
定理 如果二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续, yx xy
那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
例例7 验证函数 z ln
x2
y2
满足方程
2z x2
2z y2
0
.
证证 因为 z ln x2 y2 1 ln( x2 y2) , 所以 2
y y0
f
x
(x0,
y0)
[
d dx
f
(x, y0)] xx0
f
y ( x0,
y0)
[
d dy
f
(x0, y)] y y0
.
fx(x0, y0) fx(x, y) xx0 ,
y y0
fy(x0, y0) fy(x, y) xx0 ,
y y0
f
x
(x0,
y0)
[
d dx
f
(x, y0)] xx0
例例33 设 z xy(x 0, x 1) , 求证
x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1, x
z x y ln x . y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x x y x y 2z .
y x ln x y y
ln x
例例44 求 r x2 y2 z2 的偏导数.
z , x
f , x
zx , 或 fx(x, y) .
偏导数的几何意义
偏导数得几何意义ﻫ实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件ﻫ背景知识:一偏导数得定义在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量- ，如果（1)存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做, ，,或例如，极限(1)可以表为=类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为记做，，或如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做, ，,或类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做，，，或由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为=其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题例求得偏导数解= ，=二偏导数得几何意义二元函数= 在点得偏导数得几何意义设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率三偏导数得几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数= =｛在点（０，0）对得偏导数为同样有但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数=, =那么在D内，都就是得函数、如果这里两个函数得偏导数也存在,则它们就是函数= 得二阶偏导数,按照对变量求导次序得不同有下列四个二阶偏导数:，，其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数例2 设,求, ，，，从例子中，我们瞧到两个二阶混合偏导数相等,即,=我们再瞧用ｍaple作求得图形第一个图形为第二个图形为从图中我们瞧到两个连续得偏导函数，它们就是相等得这不就是偶然得,事实上我们有下述定理定理如果函数=得两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说，二阶混合偏导数在连续得条件下与求导得次序无关。
高等数学 下册-偏导数 ppt课件
p V T RT 1 V T p pV
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
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结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
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f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
斜率.
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注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
《二节偏导数》课件
偏导数表示函数曲面在某一点的切线 斜率，即函数值随该变量变化的速率 。
偏导数在几何上的应用
切线方程
通过偏导数可以求出函数曲面在某一点的切线方程。
函数值变化趋势
通过偏导数可以判断函数值随某变量的变化趋势，如增减性、极值点等。
偏导数的计算方法
定义法
根据偏导数的定义，对函数进行求导，得 到偏导数的值。
《二节偏导数》ppt课件
CONTENTS
• 偏导数的定义 • 二阶偏导数的概念 • 二阶偏导数的连续性 • 二阶偏导数的可微性 • 二阶偏导数的极值问题
01
偏导数的定义
偏导数的定义及几何意义
偏导数的定义
对于一个多变量函数，如果一个变量 变化，而其他变量保持不变，则该函 数对变化变量的导数称为偏导数。
解释
性质1和性质2说明，二阶偏导数 的连续性对一阶偏导数和二阶偏 导数本身的连续性和极限行为都 有一定的约束。
二阶偏导数连续性的应用
应用1
在微分学中，二阶偏导数的连续性是证明一些微分中值定理（如拉 格朗日中值定理和柯西中值定理）的重要前提条件。
应用2
在实变函数中，二阶偏导数的连续性是研究函数的光滑性、可微性 和可积性的重要依据。
解释
在实际应用中，二阶偏导数的连续性对于分析函数的局部行为和性 质具有重要意义，特别是在处理一些复杂的数学模型时。
04
二阶偏导数的可微性
二阶偏导数的可微性定义
要点一
定义
如果函数在某点的二阶偏导数都存在，并且在该点的邻域 内连续，则称该函数在该点具有二阶偏导数的可微性。
要点二
数学表达式
设函数$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的二阶偏导数分别为 $f_{xx}(x_0, y_0)$、$f_{xy}(x_0, y_0)$和$f_{yy}(x_0, y_0)$，若这三个二阶偏导数都存在，并且$f_{xx}(x, y)$、 $f_{xy}(x, y)$和$f_{yy}(x, y)$在点$(x_0, y_0)$的邻域内连 续，则称$f(x, y)$在点$(x_0, y_0)$具有二阶偏导数的可微 性。
高等数学高数课件 9.2偏导数
0.
可以看出关于y的偏导可通过互换变量x,y而得到。
若将函数的自变量互换后，函数的表达式不变，
则称该二元函数具有对称性，即 z(x, y) z( y, x)
若将函数的自变量互换后，函数的表达式相反，
则称该二元函数具有反对称性，即 z(x, y) -z( y, x)
1）若 z(x, y)具有对称性，计算二阶偏导数时，先
自变量x 的偏导数，
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量 y 的偏
导数，记作 z y
，f y
，
z
y
或
f
y
(
x,
y).
偏导数的定义
对自变量 y 的偏导数为 f y x, y , … . 偏导数的概念
可推广到二元以上的函数.
例如, 三元函数 u f x, y, z 在 x, y, z处的偏导数
xy
x2 x2
y2 y2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0,
x2 y2 z2.
x换y，y换z， z换x，表达 式不变
证
u x
1 r2
r x
1 r2
x r
x r3
,
2u x 2
1 r3
3x r4
r x
1 r3
3x2 r5
.
由函数关于自变量的对称性, 得
2u y 2
1 r3
3 y2 r5
,
2u z 2
1 r3
3z2 r5
例11 设 f ( x, y)
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偏导数的几何意义
偏导数的几何意义
实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件
背景知识：
一偏导数的定义
在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义
定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量
- ,
如果 (1)
存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做
, , ,或
例如,极限(1)可以表为
=
类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为
记做, , 或
如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做
, , ,或
类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做
, , ,或
由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.
至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在
变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求
时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数.
偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为
=
其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题
例求的偏导数
解= ,
=
二偏导数的几何意义
二元函数= 在点的偏导数的几何意义
设为曲面= 上的一点,过点作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为= ,则导数
,即偏导数,就是这曲线在点处的切线对
轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲
线在点处的切线对的斜率
三偏导数的几何意义
我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P 时,函数值趋于,但不能保证点P按任何方式趋于 P 时,函数值都趋于.例如,函数
= ={
在点(0,0)对的偏导数为
同样有
但是我们在前面的学习中知道这函数在点(0,0)并不连续
四二阶混合偏导数
设函数= 在区域D内具有偏导数
= , =
那么在D内, 都是的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在,则它们是函数= 的二阶偏导数,按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:
,
,
其中第二 ,第三个偏导数称为混合偏导数
例2 设,求, , ,
,
从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等,即, =
我们再看用maple作求的图形
第一个图形为
第二个图形为
从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的
这不是偶然的,事实上我们有下述定理
定理如果函数= 的两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等
换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。