偏导数概念与几何意义
偏导数的物理几何意义
偏导数的物理几何意义偏导数是多元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在其中一点沿着一些坐标轴的变化率。
在物理学中，偏导数有着重要的几何和物理意义。
以下是偏导数的物理几何意义的详细解释：1.变化率：函数的一阶偏导数描述了函数在其中一点的变化率。
在物理学中，这可以理解为物理量在该点的变化率。
例如，在空间中考虑一个以时间t为参数的三维位置矢量函数r(t)=(x(t),y(t),z(t))，其中x、y和z分别是位置矢量在x、y和z轴的分量。
三个分量的一阶偏导数分别是x的速度、y的速度和z的速度，它们描述了位置矢量在每个轴上的变化率。
2.切线和切平面：二元函数的两个偏导数代表了函数图像上的切线和切平面。
在物理学中，这对于描述曲线和曲面的切线和切平面是非常重要的。
例如，在二维平面上考虑一个函数z=f(x,y)，其中x和y是平面上的坐标变量。
函数的偏导数∂z/∂x和∂z/∂y分别表示函数图像上的沿着x轴和y轴方向的切线斜率。
这意味着我们可以借助偏导数来找到函数图像上的切线和切平面，从而描述函数在其中一点的局部行为。
3. 法向量：在多元函数的高阶偏导数中，Hessian矩阵的特征向量对应的特征值具有重要的物理和几何意义。
特别地，Hessian矩阵是一个对称矩阵，它描述了函数图像局部的二次曲率信息。
Hessian矩阵的特征向量对应的特征值是曲面在该点法向量的方向和曲率。
例如，在二维平面上考虑一个函数z = f(x, y)，其中x和y是平面上的坐标变量。
Hessian矩阵的特征向量对应的特征值描述了曲面在该点的法向量方向和曲率大小，这对于描述曲面的形态和弯曲性质具有重要作用。
4.极值点：在多元函数中，偏导数可以帮助我们找到函数的极值点。
在物理学中，这对于优化和最优化问题的求解是非常重要的。
例如，考虑一个具有多个变量的能量函数E(x,y,z)，其中x、y和z是能量函数的自变量。
函数的偏导数∂E/∂x，∂E/∂y和∂E/∂z可以帮助我们找到能量函数的极小值点，这在工程和科学应用中广泛用于优化问题和最优化算法。
11-2 偏导数
【解】令 x r cos ，y r sin ( r 0) 则有
xy lim 2 x 0 x y 2 y 0
lim cos sin
r 0
cos sin
极限值与 有关，说明此极限不存在．
Hale Waihona Puke 连续可微uz y e yz
1 y du dx ( cos z e yz ) dy ye yz dz 2 2 d u( 2, ,1) dx e dy e dz
【例3】若 d y z d x xzy z 1 d y xy z ln y d z , 求 ( x, y, z ).
z 0
( x , y ) (0,0)
f ( x x, y y) f ( x, y)
故 z = f (x, y)在 (x, y) 处连续. (2) 令 y 0， 则 z x z Ax o(| x |)
f ( x x , y ) f ( x , y ) Ax o(| x |) A 从而 lim lim x 0 x 0 x x
取 y x，则 2 | x | ，f | x | ，有
x 0 y x 0
0
lim
| x y |
lim
x 0
1 | x | 0 2 2 | x |
故在点 (0,0) 不可微．
z z 若 z = f (x, y)的偏导数 , 在点 (x, y) 处连续， x y 则函数在点 (x, y) 可微.
4 3
3
4
fx
3
1 3 x 3 , 4 x y 1
第二节 偏导数
V k , T V, T P P k
从而
P V
V T
T P
kT V2
k P
V k
kT PV
1
.
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徐州工程学院数理学院
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警告各位！
偏导数 z 是一个整体记号, 不能拆分. x
不能像一元函数那样将 z , z 看成是
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1997年研究生考题, 选择, 3分
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
( x, y) (0,0)在点(0,0)处( C
).
0 ( x, y) (0,0)
A. 连续,偏导数存在;
B. 连续,偏导数不存在; C. 不连续,偏导数存在; D. 不连续,偏导数不存在.
x y
z 与 x , y 的商.
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例7 求 u e x xy2z3 的偏导数 .
解:
u e xxy2z3 (1 y2 ) ;
x
u e xxy2z3 2x y ; y
u e xxy2z3 (3z2 ) . z
函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量), 即
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
new 第二节偏导数
∂2 f ∂2 f = 。 ∂x∂y ∂y∂x
∂u ∂u ∂u , . 例8 u = x + ln 1 + z ，求 2 ， ∂x ∂y∂x ∂z∂y
2 2 2 2y 2
∂u 2 y −1 ∂ u [解] , = 2 x 2 y ln x , = 2 yx ∂x ∂y 1 z z ∂u ∂ 2u 2 y−2 ; = ⋅ = 2 2 = 2 y ( 2 y − 1) x 2 2 1 + z ∂x ∂z 1+ z 1+ z
类似于一元函数的求导 法则, 成立下述求导公式 ur ur uur ur ur r dC d ( A + B) d A d B = 0 (C为常向量 ), = + dt dt dt dt
ur ur r ur d ( A ⋅ B ) d A ur ur d B = ⋅ B + A⋅ dt dt dt ur ur ur ur d ( A × B ) d A ur ur d B = × B + A× dt dt dt
2
∂z xy 2 2 xy 2 [解 ] = e ( xy ) x = e ⋅ y 2 ∂x
2
∂z ∂ 2z ,求 和 . ∂x ∂x∂y
∂ z ∂ ∂z xy 2 xy 2 2 = ( ) = (e ) y ⋅ y + (e )( y 2 ) y ∂ x∂ y ∂ y ∂ x =e
xy 2
⋅ 2 xy ⋅ y + e
r ∂A( x , y , z , t ) ∂Ax ∂Ay ∂Az , , 类似地, 有 = ∂y ∂y ∂y ∂y ur ur ∂ A ∂Ax ∂Ay ∂Az ∂ A ∂Ax ∂Ay ∂Az , , , , = = , ∂z ∂ z ∂ z ∂z ∂ t ∂t ∂ t ∂t r ur 特别地，若向量函数A = A( t )仅依赖于一个自变量t , ur r r u r A( t ) = Ax ( t )i + Ay ( t ) j + Az ( t )k , 则 ur r dAx r dA y r dAz u d A r′ i+ j+ k = A (t ) = dt dt dt dt
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
3.1-2 偏导数与高阶偏导
f yx ( x 2x, y 1y) f xy ( x 3x, y 4y)
由 于f xy , f yx连 续, 令x 0, y 0得 : f xy ( x , y ) f yx ( x , y )
( x0 , y0 ) 处的函数值。偏导函数简称偏导数。
偏导数的概念还可以推广到二元以上的多元函数。例如三元
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x, y, z ) 处对 x 的偏导数定义为
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处对 x 的偏导数定义为 f ( x x , y , z) f( x , y , z) f x ( x , y , z ) lim 。 x 0 x 5
第三节
偏导数与全微分
第五章
多元函数微分学及其应用
3.1 偏导数概念与几何意义
1.函数 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的偏导数的定义
定义 3.1 设 z f ( x, y) 在点 M0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 N ( M0 )
上有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 ，相应地 函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
f xy (0,0) f yx (0,0)
例1 中 2 y 2 y 2 y 2 y , 而例 2 中 , xy yx xy yx
问：混合偏导数相等需要什么条件？
18
第五章
多元函数微分学及其应用
定理 3.1：如果 f xy ( x, y) ， f yx ( x, y) 在点 ( x, y) 的某邻域 内连续，则有 f xy ( x, y) f yx ( x, y) 。
偏导数
偏导数
一、偏导数的概念
二、几何意义
三、高阶偏导数
四、小结 思考题
二元函数z = f (x, y)在点(x0, y0)处的增量：
一、偏增量
z x f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
z y f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 )
f x (0,0) lim
x 0
f (0 x ,0) f (0,0) 00 lim 0 x 0 x x
00 f (0,0 y ) f (0,0) lim f y (0,0) lim 0 y 0 y y 0 y
３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续 多元函数中在某点偏导数存在 连续
定理 如果函数z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
四、小结 思考题
1、偏导数的定义 （偏增量与对应自变量增量之比的极限）
2、偏导数的计算
纯偏导 3、高阶偏导数 混合偏导（相等的条件）
称此极限为z f ( x, y )在P0 பைடு நூலகம் x0 , y0 )处关于y的偏导数 存在，
记作 zy
z ， x x0 ， f y ( x 0 , y0 ) y y y0
f 或 y x x0
y y0
x x0 y y0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点( x , y )处 对 x 的偏导数都存在，由于这个偏导数仍是 x , y 的函数,故称为函数 z f ( x , y )对 x 的偏导函数.
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。
而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。
在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。
本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。
这就得到了偏导数。
偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。
计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。
二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。
在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。
因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。
当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。
同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。
2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。
梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。