偏导数的几何意义
偏导数教学课件
02 计算方法：利用偏导数的 定义，对多元函数进行求 导运算
03 应用：多元函数的偏导数 在多元函数优化、多元函 数极值问题、多元函数微 分方程等领域有广泛应用
04 性质：多元函数的偏导数 具有线性性质、可加性、 可乘性等性质，可以用于 求解多元函数的极值问题
多元函数的极值
01
偏导数在多元函 数中的应用：求 多元函数的极值
数
2
求函数 f(x,y)=x^3+y^3 在点(2,3)处的偏导
数
3
求函数 f(x,y)=x^2y+y^ 2x在点(1,1)处的偏
导数
4
求函数 f(x,y)=x^3+xy^ 2在点(2,3)处的偏
导数
求偏导数的技巧
链式法则：将复合 1 函数分解为多个简 单函数，逐层求偏 导数
乘积法则：将乘积 2 函数中的每个变量 看作一个整体，分 别求偏导数
偏导数教学课件
刀客特万
目录
01. 偏导数的概念 02. 偏导数的计算 03. 偏导数在多元函数中的应用
偏导数的概念
偏导数的定义
01
偏导数：多元函数在某一点处沿坐标轴方向的导数
02
定义：设函数f(x,y)在点(x0,y0)处可微分，则称f(x,y)在点(x0,y0)
处沿x轴方向的偏导数为f'x(x0,y0)，沿y轴方向的偏导数为
02
极值条件：偏导 数等于零
03
极值类型：极大 值、极小值和鞍
点
04
极值求解方法： 梯度下降法、牛
顿法等
多元函数的最值
1
2
3
4
偏导数在多元函数 中的应用：求多元
函数的最值
拉格朗日乘数法：求 解多元函数在约束条
高阶复合偏导数的几何意义
高阶复合偏导数的几何意义
首先，一阶偏导数表示了函数在某一点处的切线斜率或者曲面的切平面斜率。
它告诉我们函数在该点的局部变化率和方向。
而高阶复合偏导数则进一步描述了函数的曲率和曲面的弯曲程度。
其次，二阶偏导数可以用来判断函数的驻点和拐点。
在一元函数中，二阶导数的正负性可以告诉我们函数的凸凹性质。
在多元函数中，二阶偏导数的正负性可以用来判断函数的极值和拐点。
具体来说，当二阶偏导数为正时，函数在该点处呈现局部最小值；当二阶偏导数为负时，函数在该点处呈现局部最大值；而当二阶偏导数为零时，需要进一步分析高阶偏导数来确定函数的极值和拐点。
此外，高阶复合偏导数还可以用来描述曲线和曲面的形状。
例如，三阶偏导数可以用来判断曲线的弯曲程度，四阶偏导数可以用来判断曲面的弯曲性质。
通过分析高阶偏导数的值，我们可以了解函数在不同点处的曲率和曲面的形状特征。
最后，高阶复合偏导数还可以应用于物理学中的场论和流体力学等领域。
例如，在电磁场中，四阶偏导数可以描述电场和磁场的相互作用；在流体力学中，高阶偏导数可以描述流体的流动特性和
湍流的产生机制。
综上所述，高阶复合偏导数在几何中具有重要的意义。
它们可以帮助我们理解函数的曲率、形状和变化特征，以及应用于物理学和工程学中的各种问题。
《偏导数的概念》课件
偏导数的几何意义
偏导数在几何上表示函数曲面在某一 点处的切线斜率。
对于二元函数z=f(x,y)，其在点(x0,y0) 处的偏导数即为该点处曲面切线的斜 率。
偏导数的计算方法
通过求导法则进行计算：链式法则、乘积法则、商的法则、复合函数求导 法则等。
对于多元函数的偏导数，需要分别对各个自变量求导，然后根据具体问题 选择合适的方向进行计算。
商的乘积。
乘积法则
对于两个函数的乘积，其偏导数为各 自函数的偏导数的乘积加上各自函数 对另一变量的导数的乘积。
反函数法则
对于反函数的偏导数，等于原函数在 该点的导数的倒数。
03
CATALOGUE
偏导数在几何中的应用
曲线的切线
总结词
偏导数可以用来求曲线的切线。
详细描述
在几何学中，曲线的切线是曲线在某一点的邻近线段的行为。通过偏导数，我 们可以找到曲线在某一点的切线斜率，从而确定切线的方向和位置。
描述热量在物体中的传递和扩散过程。
电场与磁场
总结词
偏导数在电场和磁场的研究中也有着重要的应用，它可 以帮助我们理解和描述电场和磁场的变化规律。
详细描述
电场和磁场是物理学中两个重要的物理量，它们描述了 电荷和电流产生的场。在研究电场和磁场时，我们常常 需要用到偏导数来描述它们的变化规律。通过偏导数， 我们可以计算出电场和磁场在不同位置的值，从而更好 地理解和描述电场和磁场的变化规律。
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边际分析
边际分析
偏导数提供了对经济变量边际变化的度量，即当其他条件保持不变时，某一变量变化一 个单位所引起的另一变量的变化量。
边际成本和边际收益
在决策分析中，偏导数用于计算边际成本和边际收益，帮助企业了解产品定价、产量决 策的合理性。
混合二阶偏导数的几何意义
混合二阶偏导数的几何意义在数学中，混合二阶偏导数是一个重要的概念，它描述了多元函数的曲率和曲面的性质。
混合二阶偏导数的几何意义有助于我们理解函数的变化趋势和空间曲面的特征。
首先，让我们来了解一下混合二阶偏导数的定义。
对于一个多元函数f(x,y)，它的混合二阶偏导数可以通过对两个变量同时求导两次得到。
例如，假设我们有一个函数f(x,y)，我们首先对x求偏导数，然后再对y求偏导数，这样就得到了混合二阶偏导数。
混合二阶偏导数可以帮助我们理解函数在某一点的曲率。
当混合二阶偏导数为正时，函数在该点处呈现凸曲面；当混合二阶偏导数为负时，函数在该点处呈现凹曲面。
这种凸凹性质告诉我们函数在该点处的变化趋势。
另外，混合二阶偏导数还可以帮助我们判断函数的局部极值点。
当混合二阶偏导数的值为正时，函数在该点处呈现局部最小值；当混合二阶偏导数的值为负时，函数在该点处呈现局部最大值。
这种性质可以帮助我们找到函数的极值点，从而对函数的最优解进行求解。
混合二阶偏导数的几何意义还体现在描述曲面的形状和特征上。
通过计算混合二阶偏导数，我们可以确定曲面的拐点和鞍点。
拐点是指曲面上的点，其混合二阶偏导数在某一方向上为正，而在另一方向上为负。
拐点处曲面的形状发生了明显的变化，可以帮助我们确定曲面的转折点。
而鞍点则是指曲面上的点，其混合二阶偏导数在各个方向上都有正负变化。
鞍点处曲面同时呈现凹和凸的性质，这种特殊的形状为我们提供了关于曲面的重要信息。
总结起来，混合二阶偏导数的几何意义体现在曲率、凸凹性、极值点、拐点和鞍点等方面。
它们是我们理解函数的变化趋势和空间曲面的特征的重要工具。
通过混合二阶偏导数的计算和分析，我们可以更好地把握函数的性质，为问题的解决提供有力的数学依据。
偏导数不存在的几何意义
偏导数不存在的几何意义偏导数是多元函数中的一个概念，用于研究函数在其中一点的方向导数。
然而，并不是所有的函数都在所有点都存在偏导数。
这种情况在几何上有着非常重要的意义。
从几何意义上来看，偏导数不存在意味着函数在该点的变化趋势不同。
具体来说，偏导数不存在的情况有以下几种情形：1.针对一个变量来说，函数在其中一点不可导。
这意味着函数在该点无法找到弧度为零的切线。
在几何上，这表示函数在该点出现了一个尖点、角点或奇点。
在这种情况下，函数的变化不连续，无法定义唯一的方向导数。
2.函数在其中一点不满足一阶连续性条件。
一个函数在其中一点不满足一阶连续性条件意味着函数在该点处存在跳跃、间断或者振荡。
在几何上，这种情况下函数的值和斜率会出现突变。
3.函数在其中一点附近存在垂直于坐标轴的间断。
这种情况下，函数的变化方向对坐标轴的变化不敏感。
可以将其理解为函数对坐标轴的变化不连续。
考虑函数f(x,y)=，x，+，y。
这个函数由，x，和，y，两个绝对值函数构成。
在点(0,0)处，函数的定义式为f(0,0)=0。
然而，在点(0,0)处，函数无法取得一阶偏导数。
为了确定偏导数是否存在，我们需要考察函数在x轴和y轴上的变化。
当x<0时，f(x,y)=-x+，y，在y轴上f(x,0)=，x。
在坐标平面上绘制这两个函数，可以看到x轴和y轴上的变化趋势不相同。
在y轴上，函数f(x,0)在点(0,0)处存在一个切线，而在x轴上却不存在。
这意味着f(x,y)=，x，+，y，在点(0,0)处的偏导数不存在。
也可以从几何上理解为，函数在点(0,0)处无法找到一个唯一的切线，因为这个点是函数的折返点。
这个例子说明了偏导数不存在的几何意义：函数在其中一点的变化趋势不统一、这是因为函数可能出现了尖点、角点、奇点，在这些位置上函数的变化是不连续的。
这种情况下，计算函数在该点的方向导数变得困难甚至不可能。
总结来说，偏导数不存在意味着函数在其中一点存在不连续、不光滑、出现尖点、角点或奇点等情况。
函数z=f(x,y)在点(x,y)的偏导数
偏导数是多元函数微分学中的重要概念，在研究函数在特定点的变化率、曲率和梯度等方面具有重要的应用。
在实际问题中，偏导数的概念常常被用来描述多元函数在不同方向上的变化趋势，为优化问题、最小二乘法、曲面拟合等问题提供了重要的理论基础。
一、偏导数的定义偏导数是多元函数微分学中的一个重要概念。
对于二元函数z=f(x,y)来说，它在点(x,y)处关于自变量x的偏导数定义为函数在该点上沿着x轴正方向的变化率，表示为∂f/∂x。
同理，关于y的偏导数表示为∂f/∂y。
偏导数的定义为：∂f/∂x = lim(Δx→0) (f(x+Δx,y)-f(x,y))/Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) (f(x,y+Δy)-f(x,y))/Δy二、偏导数的计算对于给定的二元函数z=f(x,y)，计算偏导数需要分别对x和y进行求导。
首先将其中一个变量看作常数，然后按照一元函数的求导规则进行计算。
偏导数的计算方法与一元函数的求导类似，只是在计算时需要将其他变量看作常数对待。
对于函数z=x^2+y^2，计算偏导数∂z/∂x时，将y视为常数，对x进行求导得到2x；计算∂z/∂y时，将x视为常数，对y进行求导得到2y。
三、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
对于二元函数z=f(x,y)，关于点(x,y)处的偏导数∂f/∂x可以理解为在该点上函数曲面在x方向上的切线斜率，而∂f/∂y则表示在y方向上的切线斜率。
偏导数的正负与函数曲面在该点上的变化趋势有着密切的关系，可以描述函数曲面在指定点上的斜率方向和大小，从而提供了曲面的变化趋势信息。
四、偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质。
对于二元函数的偏导数而言，偏导数的交换次序定理成立，即偏导数的交换律：∂^2f/∂x∂y = ∂^2f/∂y∂x偏导数在求取高阶偏导数时也具有类似于一元函数的求导过程，可以通过多次对单变量求导来计算高阶偏导数。
偏导数在实际问题中具有广泛的应用。
在优化问题中，通过计算函数在特定点处的偏导数，可以确定函数的极值点；在曲面拟合和曲率计算中，偏导数也为曲面的研究提供了重要的理论支持。
3.1-2 偏导数与高阶偏导
f yx ( x 2x, y 1y) f xy ( x 3x, y 4y)
由 于f xy , f yx连 续, 令x 0, y 0得 : f xy ( x , y ) f yx ( x , y )
( x0 , y0 ) 处的函数值。偏导函数简称偏导数。
偏导数的概念还可以推广到二元以上的多元函数。例如三元
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x, y, z ) 处对 x 的偏导数定义为
函数 u f ( x, y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处对 x 的偏导数定义为 f ( x x , y , z) f( x , y , z) f x ( x , y , z ) lim 。 x 0 x 5
第三节
偏导数与全微分
第五章
多元函数微分学及其应用
3.1 偏导数概念与几何意义
1.函数 z f ( x , y ) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 处的偏导数的定义
定义 3.1 设 z f ( x, y) 在点 M0 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 N ( M0 )
上有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时 ，相应地 函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
f xy (0,0) f yx (0,0)
例1 中 2 y 2 y 2 y 2 y , 而例 2 中 , xy yx xy yx
问：混合偏导数相等需要什么条件？
18
第五章
多元函数微分学及其应用
定理 3.1：如果 f xy ( x, y) ， f yx ( x, y) 在点 ( x, y) 的某邻域 内连续，则有 f xy ( x, y) f yx ( x, y) 。
偏导数
偏导数
一、偏导数的概念
二、几何意义
三、高阶偏导数
四、小结 思考题
二元函数z = f (x, y)在点(x0, y0)处的增量：
一、偏增量
z x f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
z y f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 )
f x (0,0) lim
x 0
f (0 x ,0) f (0,0) 00 lim 0 x 0 x x
00 f (0,0 y ) f (0,0) lim f y (0,0) lim 0 y 0 y y 0 y
３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续 多元函数中在某点偏导数存在 连续
定理 如果函数z f ( x , y ) 的两个二阶混合偏导数
2z 2z 及 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
四、小结 思考题
1、偏导数的定义 （偏增量与对应自变量增量之比的极限）
2、偏导数的计算
纯偏导 3、高阶偏导数 混合偏导（相等的条件）
称此极限为z f ( x, y )在P0 பைடு நூலகம் x0 , y0 )处关于y的偏导数 存在，
记作 zy
z ， x x0 ， f y ( x 0 , y0 ) y y y0
f 或 y x x0
y y0
x x0 y y0
如果函数 z f ( x , y )在区域 D 内任一点( x , y )处 对 x 的偏导数都存在，由于这个偏导数仍是 x , y 的函数,故称为函数 z f ( x , y )对 x 的偏导函数.
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偏导数得几何意义
ﻫ实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件ﻫ背景知识:
一偏导数得定义
在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义
定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量
- ，
如果（1)
存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做
, ，,或
例如，极限(1)可以表为
=
类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为
记做，，或
如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做
, ，,或
类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做
，，，或
由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、
至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、
偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为=
其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题
例求得偏导数
解= ，
=
二偏导数得几何意义
二元函数= 在点得偏导数得几何意义
设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率
三偏导数得几何意义
我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数
= =｛
在点（０，0）对得偏导数为
同样有
但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续
四二阶混合偏导数
设函数= 在区域D内具有偏导数
=, =
那么在D内，都就是得函数、如果这里两个函数得偏导数也存在,则它们就是函数= 得二阶偏导数,按照对变量求导次序得不同有下列四个二阶偏导数:
，
，
其中第二,第三个偏导数称为混合偏导数
例2 设,求, ，，
，
从例子中，我们瞧到两个二阶混合偏导数相等,即,=
我们再瞧用ｍaple作求得图形
第一个图形为
第二个图形为
从图中我们瞧到两个连续得偏导函数，它们就是相等得
这不就是偶然得,事实上我们有下述定理
定理如果函数=得两个二阶混合偏导数及在区域D里连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必定相等
换句话说，二阶混合偏导数在连续得条件下与求导得次序无关。