6.3偏导数及其在经济学中的应用
偏导数公式大全24个
偏导数公式大全24个偏导数是多元函数微分学中的重要概念，用于描述函数在特定方向上的变化率。
在实际问题中，偏导数常常被用于求解最优化、梯度下降等问题。
下面是24个常用的偏导数公式，每个公式都有它们的特定应用场景。
1. 常数偏导数公式：对于常数函数f(x)=c，其偏导数为0，即f/x = 0。
2. 幂函数偏导数公式：对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其偏导数为f/x = n*x^(n-1)。
3. 指数函数偏导数公式：对于指数函数f(x)=a^x，其中a为常数，其偏导数为f/x = a^x * ln(a)。
4. 对数函数偏导数公式：对于对数函数f(x)=log_a(x)，其中a为常数且a>0，其偏导数为f/x = 1/(x * ln(a))。
5. 三角函数偏导数公式：对于三角函数f(x)=sin(x)，其偏导数为f/x = cos(x)。
类似地，对于cos(x)和tan(x)函数，其偏导数分别为-sin(x)和sec^2(x)。
6. 反三角函数偏导数公式：对于反三角函数f(x)=asin(x)，其中a为常数，其偏导数为f/x = a/sqrt(1-x^2)。
类似地，对于acos(x)和atan(x)函数，其偏导数分别为-a/sqrt(1-x^2)，-1/sqrt(1+x^2)。
7. 求和公式：对于多个函数的和f(x) = g(x) + h(x)，其偏导数为f/x = g/x + h/x。
8. 积函数公式：对于两个函数的积f(x) = g(x) * h(x)，其偏导数为f/x = g(x) * h/x + h(x) * g/x。
9. 商函数公式：对于两个函数的商f(x) = g(x) / h(x)，其偏导数为f/x = (h(x) * g/x - g(x) * h/x) / h(x)^2。
10. 复合函数公式：对于复合函数f(g(x))，其中f和g是两个函数，其偏导数为f/x = f/g * g/x。
6.3偏导数及其在经济学中的应用
设甲和乙是两个有关联的商品, P1和P2分别为它们的单位价格,
Q1和Q2分别为它们的需求量.若甲和乙的需求函数分别为
Q1 Q1(P1, P2 ),
Q2 Q2 (P1, P2 ).
则商品甲和商品乙的需求量Q1和Q2对自身价格P1和P2的价格偏弹性
分别为
E11
EQ1 EP1
P1 Q1
Q1 , P1
有关外,还与其配置系统价格P2 (单位 : 万元)有关,具体关系为
Q
100
250 P1
100P2
P2 2
,
当P1 25, P2 2时,求
(1)销售量Q对自身价格P1的直接价格偏弹性;
(2)销售量Q对相关价格P2的交叉价格偏弹性.
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x (x0 , y0 )
f
( x0
)
lim
x 0
f
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
x
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
同样可定义对 y 的偏导数
f2(x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
2. 二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
第6.3节
偏导数及其在经济学中的应用
2-6偏导数在经济分析中的应用
w1 w 2
)
由问题的实际意义知，当两种投入要素分别为
x 1 6( w 2 w1 )
, x 2 6(
w1 w 2
)
时，生产12个单位产量的成本取得最小值．
1 1 3 2 L , 某商品的生产函数为 Q 6 K 其中Q 为产品产量, L为劳动投入,K为资本投入;又知资本投 入价格为4,劳动力投入价格为3,产品销售价格为p=2. 求: (1). 该产品利润最大时的投入和产出水平以及最大 利润; (2).若投入总额限定在60个单位范围内,求此时取最 大利润时的投入及最大利润.
表示每增加一个单位商品qx 的消费所得到的总 效用的增加量. 表示每增加一个单位商品qy 的消费所得到的总 效用的增加量.
¶u ¶ qy
边际效用是递减的, 随着一个人所消费的某种商品 的数量增加, 其总效用虽然递增, 但该物品的标边 际效用却是递减的趋势.
2. 弹性
考虑函数的相对偏增量与自变量的相对增量之比:
D xz z Dx x = D xz x Dx z
当D x
0 时,
D xz x lim ? Dx 0 D x z fx ( x, y )
'
x f ( x, y )
称为z = f ( x, y) 在点 ( x , y ) 处对 x 的弹性函数. 记为 e x .
即
ex = f x ( x, y )
'
解 利润函数为
pf ( L , K ) w L rK
1 1 2
1 2 L3 K
4L 3K
其定义域为开区域
D {( L , K ) L 0 , K 0 }
由利润最大化的一阶必要条件，有
微积分第二版课件第三节偏导数与经济应用
每种产品的边际利润．
解(1)对产品 q的1 边际成本为
C q1
6q1
7
1.5q2
对产品q2的边际成本为
C q2
1.5q1
6
4q2
(2)
C q1
q15 (6q1 7 1.5q2 ) q15 41.5
q2 3
q2 3
(3) 利润函数
L(q1, q2 ) 30q1 20q2 C(q1, q2 ) 23q1 14q2 3q12 1.5q1q2 2q22
解 对x求偏导数就是视y, z为常数，对x求导数
同理
u 2xez cos( x2 y3) x u 3y2ez cos( x2 y3) y
u ez sin( x2 y3) z
3.二元函数偏导数的几何意义
二元函数 z =f (x, y) 的图形表示空间一张曲面. 当
y = y0时, 曲面z = f (x, y)与平面 y = y0 的交线方程为
由偏导数定义可知,求偏导数 fx，(x就, y是) 在函数 中视f (yx为, y常) 数，只对x求导数，因此有
类似地
fx (x,
y)
d dx
f
(x,
y)
y不变
fy (x,
y)
d dy
f
(x,
y)
x不变
这样求偏导数实际上是一元函数求导问题.
对于固定点 (x0, 处y0 )的导数有
fx (x0 , y0 ) fx (x, y) (x0 ,y0 ) fx (x, y0 ) xx0
4.偏导数与连续的关系 一元函数可导与连续的关系：连续 可导 对于二元函数偏导数与连续的关系如何？
例
讨论函数
f
偏导数及其在经济分析中的应用和计算方法
y
zy
二、
求下列函数的偏导数:
1. z (1 xy) y ；
2．u arctan(x y)z.
三、
x2 y2
曲线
z
4
在点(2,4,5)处的切线
y 4
与 x 轴正向所成的倾角是多少?
四、
设 z y x ,求 2 z , 2 z 和 2 z . x 2 y 2 xy
五、设 z x ln( xy),求 3 z 和 3 z . x 2y xy 2
偏导数的计算、偏导数的几何意义
高阶偏导数
纯偏导 混合偏导（相等的条件）
偏导数在经济分析中的应用
思考题
若函数 f ( x, y)在点 P0( x0 , y0 )处连 续，能否断定 f ( x, y)在点 P0( x0 , y0 )的
偏导数必定存在？
思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 ,
2u x 2
2u y2
(
y2 x2
x2 y2 )2
(
x2 x2
y2 y2 )2
0.
四、偏导数在经济分析中的应用 ——交叉弹性(cross elastic)
在一元函数微分学中,我们引出了边际 和弹性的概念,来分别表示经济函数在 一点的变化率和相对变化率,这些概念 也可以推广到多元函数微分学中去,并 被赋予了丰富的经济含义.
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
偏导数的几何意义
偏导数的几何意义导数是微积分的重要概念，描述了函数的变化率和切线的斜率。
而函数可以是多变量的，也就是包含多个自变量的函数。
在多变量函数中，我们常常使用偏导数来描述函数在某个指定变量处的变化率。
本文将会探讨偏导数的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、偏导数的定义和计算方法首先，我们来了解一下偏导数的定义。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们可以将其中一个自变量视为固定值，而对其他自变量求导。
这就得到了偏导数。
偏导数可以记作∂f/∂xi，其中∂表示对单个变量求导。
计算偏导数的方法与对单变量函数求导的方法类似。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，我们将其中的其他自变量视为常数，然后对指定的自变量进行求导。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，在x处求偏导数时，我们将y视为常数，对x进行求导，得到2x；而在y处求偏导数时，我们将x视为常数，对y进行求导，得到2y。
二、1. 偏导数与斜率的关系偏导数可以看作是多变量函数图像上某点处的切线斜率。
在二维平面中，对于函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y分别表示了函数在x和y 方向上的变化率。
因此，它们可以用来确定函数图像上某点处的切线斜率。
当在点(x0,y0)处求对x的偏导数时，结果表示了函数曲面在(x0,y0)点处关于x轴的切线斜率。
同理，对y的偏导数可表示函数曲面在(x0,y0)点处关于y轴的切线斜率。
2. 偏导数与方向导数的关系方向导数是一种描述函数在给定方向上变化率的概念。
对于多变量函数f(x1,x2,...,xn)，它的方向导数在点(x0,y0,...,zn)处的方向u处定义为：Duf(x0,y0,...,zn) = ∇f(x0,y0,...,zn)·u其中∇f(x0,y0,...,zn)表示函数在点(x0,y0,...,zn)处的梯度向量，u表示方向向量。
梯度向量可以看作是偏导数组成的向量，即：∇f(x0,y0,...,zn) = ( ∂f/∂x0, ∂f/∂y0,..., ∂f/∂zn )因此，可以将方向导数与偏导数联系起来。
偏导数与方向导数
偏导数与方向导数偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率和方向性。
在本文中，我们将介绍偏导数和方向导数的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义和计算方法偏导数是多元函数在某一点上对某个变量的偏导数。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以表示为∂f/∂xi，其中∂表示偏导数的符号，f表示函数，xi表示自变量。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数，对某个变量求导即可。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以分别计算∂f/∂x和∂f/∂y。
计算∂f/∂x时，将y视为常数，对x求导，得到2x + 2y。
同理，计算∂f/∂y时，将x视为常数，对y求导，得到2x + 2y。
因此，函数f(x, y)的偏导数为∂f/∂x = 2x + 2y，∂f/∂y = 2x + 2y。
二、方向导数的定义和计算方法方向导数是多元函数在某一点上沿着某个方向的变化率。
对于一个函数f(x1, x2, ..., xn)，它的方向导数可以表示为∇f·u，其中∇f表示函数f的梯度，u表示方向向量。
方向导数的计算方法可以通过梯度向量和方向向量的点积来实现。
梯度向量∇f表示函数在某一点上的变化率最大的方向，它的计算方法为∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，在点(1, 2)处的方向导数可以表示为∇f(1, 2)·u，其中∇f(1, 2) = (4, 6)。
如果方向向量u为(1, 1)，则方向导数为(4, 6)·(1, 1) = 10。
这表示在点(1, 2)处沿着方向(1, 1)的变化率为10。
三、偏导数和方向导数的应用偏导数和方向导数在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 最优化问题：偏导数可以用于求解多元函数的最大值和最小值。
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，确实是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)确实是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 假如产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地运算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c 7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x xx c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
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例,
z
f
(x, y)
xy
x2
y2
,
x2 y2 0
0 , x2 y2 0
显然
0
0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
例 f (x, y) x2 y2在(0,0)点连续，但偏导数 fx (0,0)和f y (0,0)不存在.
例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
x
z x
2z x2
f xx (x, y);
y
z x
2z x y
fx y (x, y)
x
z y
2z yx
f yx (x, y);
y
z y
2z y2
fy
y (x,
y)
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
解法1:
z x
2x
3
y
,
z x (1, 2)
z y
3x
2
y
z
y (1, 2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
例3. 求f (x, y) x cos y y cos x 在(0,0)点处的偏导数. 1 sin x sin y
例4. 求z arctan y 的偏导数 z 和 z .
x
x y
例5. 求u
1
的偏导数 u , u , u .
x2 y2 z2
x y z
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x
fx (x, y) ,
z y
f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
3 z yx2
x
2z y x
2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. xy yx
例如, f (x, y)
xy
x2 x2
y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 Fra bibliotek0f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)
lim
y 0
y y
1
二 者
f yx (0,0)
lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)
lim
f2(x, y)
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?
(请自己写出)
2. 二元函数偏导数的几何意义
z
f x
x x0 yy0
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
三、偏导数在经济学中的应用 一元函数的导数在经济学中称为边际,二元函数z f (x, y)
的偏导数fx (x, y)和f y (x, y)分别称为函数f (x, y)关于x与y的边际, 边际在该点的值称为边际值. 边际的概念也可推广到多元函数上. 1.1边际产量
x0
x x
1
不 等
定理. 若 f xy (x,y)和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 )连续, 则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
第6.3节
偏导数及其在经济学中的应用
一、 偏导数 二 、高阶偏导数 三、偏导数在经济学中的应用
一、 偏导数
定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 对 x
的偏导数，记为
f x
(x0 ,
y0 )
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x (x0 , y0 )
f
( x0
)
lim
x 0
f
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
x
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
同样可定义对 y 的偏导数
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为
nz x n 1
y
例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2
4ex2y
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
注意：即使fx (x0, y0 ), f y (x0, y0 )存在，也未必能推出 f (x, y)在(x0, y0 )连续。
f y (x0 , y0 ) lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , y
f , y
zy ,
f y (x, y) ,
在西方经济学中, 柯布 道格拉斯生产函数为 Q AK L ,
其中
A,, 为正常数,
L : 投入的劳动力数量 K : 投入的资本数量 Q : 产量
当劳动力投入保持不变, 而资本投入发生变化时, 产量的
变化率 Q 称为关于资本的边际产量. K
当资本投入保持不变, 而劳动力投入发生变化时, 产量的