导数在经济学中的应用doc资料
导数在经济中的应用
导数在经济中的应用1. 引言导数是微积分中的一个重要概念，它在经济学中有许多重要的应用。
导数可以用于解决一系列经济问题，如利润最大化、边际分析和最优化问题等。
本文将介绍导数在经济学中的应用，包括边际效益、弹性、生产函数和消费函数等。
2. 边际效益在经济学中，边际效益指的是增加或减少一单位生产或消费所带来的额外效益。
导数可以用来计算边际效益。
例如，在生产中，我们可以通过计算产出的边际效益来确定最有效的生产水平。
导数可以帮助我们计算出增加一单位产出所带来的额外收益。
同样，在消费中，导数可以帮助我们计算出消费品的边际效益，从而确定最佳消费水平。
3. 弹性在经济学中，弹性指的是经济变量相对于另一个变量的变化率。
导数可以用来计算弹性。
例如，价格弹性是指商品需求量对价格变化的敏感程度。
导数可以帮助我们计算出商品需求量对商品价格变化的弹性。
这对于企业定价、市场分析和政府政策制定等都非常重要。
4. 生产函数在经济学中，生产函数描述了生产要素（如劳动力和资本）与产出之间的关系。
导数在生产函数中有重要的应用。
导数可以帮助我们理解生产要素的边际效用和生产效率。
通过计算生产函数的导数，我们可以确定最优的生产要素组合，从而实现生产效率的最大化。
5. 消费函数在经济学中，消费函数描述了消费者通过消费来获得效用的方式。
导数在消费函数中也有重要的应用。
导数可以帮助我们计算消费者对不同消费品的边际效用，从而确定最佳的消费组合。
通过计算消费函数的导数，我们可以了解到在不同价格水平下，消费者对不同商品的需求变化情况。
6. 最优化问题在经济学中，最优化问题是经常遇到的问题之一。
最优化问题指的是在一定的约束条件下，寻找使某一目标函数取得最大值或最小值的变量值。
导数在解决最优化问题中发挥了重要的作用。
通过计算目标函数的导数，我们可以找到目标函数取得最大值或最小值的变量值，从而解决最优化问题。
7. 结论导数在经济学中有许多重要的应用。
它可以帮助我们解决一系列经济问题，如边际效益、弹性、最优化问题等。
新版导数在经济学中的应用
L(300) 90000 1 90000 20000 25000 2
即当生产量为300个单位时, 总利润最大,其最大利 润为25000元.
例7 设某产品旳成本函数为 C(Q) 54 18Q 6Q2
试求使平均成本最小旳产量水平。
解 平均成本 C(Q) C(Q) 54 18 6Q QQ
x x0,当 x 产生1%旳变化时, f ( x) 近似旳
变化
E Ex
f ( x0 )%
例9 求函数 y 3在 2x 处x旳弹3性.
解 y 2
Ey y x 2x , Ex y 3 2x
Ey
23 2
Ex x3 3 2 3 3
例10 求幂函数 y x ( 为常数）旳弹性函数。
解
y x 1
第五节 导数在经济中旳应用
一、 函数旳变化率——边际函数
定义1 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导，
称导函数 f ( x) 为 f ( x) 旳边际函数。 f ( x) 在点 x0 处旳导数 f ( x0 ) 称为 f ( x) 在点 x0 处旳
边际函数值。其含义为:当 x 时x0,x变化一种单位，相
均收益，R为 边际收益，则有
需求函数
P P(Q)
总收益函数 R R(Q)
平均收益函数 R R(Q) 边际收益函数 R R(Q)
需求与收益有如下关系:
总收益 R R(Q) QP(Q)
平均收益 边际收益
R R(Q) R(Q) QP(Q) P(Q)
Q
Q
R R(Q) QP(Q) P(Q)
例5 已知某产品旳需求函数为 P 10 Q 成本函数为 5
C 50 2Q 问产量为多少时总利润 L 最大?
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用1. 引言经济学是一门研究人类如何管理资源以满足各种需求的学科。
在经济学中，数学工具起着非常重要的作用，其中导数是一种常用的数学工具。
导数可以帮助经济学家研究和分析各种经济现象，并做出相应的政策建议。
本文将介绍导数在经济学中的应用，并通过具体的例子来说明其作用。
2. 供需分析在经济学中，供需分析是一种基本的方法，用于研究产品或服务的市场行为。
通过对供给曲线和需求曲线的分析，经济学家可以确定平衡价格和数量。
而导数在供需分析中起着重要的作用。
导数可以帮助我们理解市场的反应速度。
例如，假设某种商品的需求量与价格之间存在负相关关系。
通过计算需求曲线的导数，我们可以得到价格变化对需求量变化的敏感度。
当我们知道了市场对价格变化的敏感度后，可以通过调整价格来影响需求量，实现市场的稳定。
3. 生产函数分析在经济学中，生产函数是一种描述生产过程的数学模型。
生产函数可以帮助我们分析输入要素对输出的影响。
而导数在生产函数分析中可以帮助经济学家计算边际产出。
边际产出指的是增加一个单位的输入要素所能获得的额外产出。
通过计算生产函数的导数，我们可以得到边际产出的变化情况。
这对于生产效率的改进和资源的优化分配非常重要。
4. 最优化问题经济学中经常会遇到最优化问题，即在给定的约束条件下，寻找能够使某个目标函数取得最大或最小值的变量取值。
导数在最优化问题中起着重要的作用。
通过计算目标函数的导数，我们可以找到函数的极值点。
这对于决策者来说非常有用，因为他们可以通过调整相关变量来实现经济目标的最大化或最小化。
5. 边际效用分析边际效用是指每增加一个单位的消费量所产生的额外满足感。
在经济学中，通过边际效用的概念，经济学家可以研究消费者的行为和做出相关政策建议。
导数在边际效用分析中起着重要的作用。
通过计算效用函数的导数，我们可以得到边际效用的变化情况。
这可以帮助我们判断消费者对于不同商品之间的偏好，并且可以进行合理的消费决策。
导数在经济学中的应用
改变
例9
求函数 y 3 2 x 在 x 3 处的弹性.
解 y 2
Ey x 2x y , Ex y 3 2x
Ey Ex 2 3 2 3 2 3 3
x3
y x 例10 求幂函数 ( 为常数）的弹性函数。 1 Ey 1 x 解 y x , x a Ex x 可以看到，幂函数的弹性函数为常数，即在任意点
y x0 y y0 x0 ( x0 ) lim f x 0 x x x 0 x y f ( x0 ) 0 0
x x0
对一般的
x
,若 f ( x )可导
y x Ey y y lim lim 则有 Ex x 0 x x x 0 x y
x y 是 x 的函数 y
最大利润原则:
L(Q ) 取得最大值的必要条件为L(Q ) 0
即 R(Q) C (Q) 所以取得最大利润的必要条件是:边际收益等于边际成本
Q 例5 已知某产品的需求函数为 P 10 成本函数为 5 C 50 2Q 问产量为多少时总利润 L 最大?
Q 解 已知 P 10 , C 50 2Q 5
令L(Q) 0 得 Q 300
由于 L( 300) 1 0 ,故Q 300 时利润最大 此时
1 L( 300) 90000 90000 20000 25000 2
即当生产量为300个单位时, 总利润最大,其最大 利润为25000元.
2 C ( Q ) 54 18 Q 6 Q 例7 设某产品的成本函数为
二、 函数的相对变化率—函数的弹性
1、弹性 定义2 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导,函数的相对改变量 y f ( x0 x ) f ( x0 ) y0 f ( x0 )
导数在经济学中的应用.doc
则2000 4a b；2500
4.5a
b
得a 1000；b 2000
所以供给函数为为：Q
1000 P
2000
2.3成本函数
产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用
度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成
精选
L q。[7]
例8:某工厂将要生产一种商品， 该商品的产量Q与总利润L Q之间的函数
2
关系为：L Q250Q5Q,求产量为20时的边际利润。
解：边际利润函数为L' Q25010Q
L' 20250102050（元）
它的经济意义是：在每天生产20个单位的基础上，再多生产1个单位，总
利润将增加50元。
3.2弹性分析
引言
近年来，随着市场经济的不断发展、 经济的不断繁荣， 经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。 因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中， 对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。 而导数作为高等数学中的重要概念， 同样也是解决经济问题的一个有力工具。 在高等数学中， 导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，
考察。在经济学中，把函数f x的导数f ' x称为f x的边际函数，在点x0的值f 'x0称为f x在x0处的边际值。
3.1.1边际成本
边际成本的定义是指每增加一单位的产量随即产生的总成本增加量即称为
边际成本，假设生产某种产品q单位时所需要的总成本函数C (q)可导，则其边际
导数在经济学中的应用
应用
在经济学中，约束最优化问题 可以用于求解各种实际问题， 例如在预算约束下求解效用最
大化问题。
06
经济中其他相关的导数概念及运 用
偏导数在经济中的应用
边际概念
偏导数可以用来描述一个变量对另一个变量的变化率，即边际概念。在经济学中，边际成本、边际收益和边际效用等概念是偏导数在经济学中的重要应用。
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导数的运算性质
导数具有加法、减法、乘法和除法的运算性质，即$(f+g)'=f'+g'$，$(f-g)'=f'-g'$，$(cf)'=cf'$，$(f/g)'=(f'gfg')/g^2$。
导数的计算方法
基本导数公式
常见的基本导数公式有$(x^n)'=nx^{n-1}$， $(ax^n)'=ax^{n-1}n$，$(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=\sin x$等。
高阶导数在经济中的应用
稳定性分析
高阶导数可以用于分析经济模型的稳定 性。例如，在宏观经济模型中，如果一 个系统的特征根的实部小于零，那么该 系统就是稳定的；否则，该系统就是不 稳定的。
VS
政策效应分析
高阶导数可以用于政策效应的分析。例如 ，财政政策和货币政策的效应往往需要考 虑到高阶导数的影响。高阶导数可以反映 出一个变量对另一个变量的变化率的变化 情况。
求法
通过求偏导数判断函数的单调性，进而求得极值点。
应用
在经济学中，二元函数的极值可以用于求解最优化问 题，例如在生产函数中找到最大化产量点。
约束条件下的最优化问题
1导数在经济学中的应用
x
则称
dy Ey x 边际函数 f ( x) dx y 平均函数 Ex f ( x) x
为函数 y f (x)在区间( a, b)内的点弹性函数，简称弹性函数。 弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。
常用的弹性公式
Ey （1） y c, Ex 0;
Ey x f ( x) Ex f ( x)
设成本函数为 C (x) ， 当产量由 x 变为 x x 时， 成本函数的增量为 C C( x x) C( x) ，这时成本 函数的平均变化率 C C ( x x) C ( x) 为平均意义下，
x x
当产量由 x 增加一个单位时所增加的成本，当 x 0
例3 设每天从甲地到乙地的飞机票的需求量为
Q( p) 500 900 p ,0 p 900.
其中 p 为机票价格，问价格在什么范围内，需求为高弹 性和低弹性的？ 解 由于
Q( p)
p
250 900 p
,
EQ p Q ( p) Ep Q( p)
故 故当
p ( p) , 500 900 p 900 p 2(900 p)
若逆需求函数为P=f (Q) ，则总收益函数为： R＝QP ＝Q f (Q )。 （5）利润函数 设Q表示产品的产量，L表示利润，则称L = L(Q) 为利润函数。 若总成本函数为C(Q)，总收益函数R(Q)， 则利润函数L(Q) ＝ R(Q)－C(Q)。
例2：某商品需求量Q与价格P之间的函数的关系为 Q＝1000－100P，总成本函数为C(Q)＝2Q＋500。 求：（1）固定成本和平均成本函数。 （2）总 收益函数。（3）利润函数。 解： （1）固定成本C(0)＝500，
3.6导数在经济学中的简单应用
需求价格弹性函数及当p 10时的需求价格弹性
解：
1 p 1400(ln 4) p( ) p 4 p ln 4 E p q( p) 1 p q 1400( ) 4
p 10
Ep
10 ln 4 20 ln 2
【3-6-11】
例2 设某商品的需求价格函数为q=42-5p，求（1）边际需求函数 和需求价格弹性，（2）当p=6时，若价格上涨1%，总收益是增加还是 减少？ 解：
若提价，则有： 若降价，则有：
1 Ep
0
p 0, q 0, 此时R 0, 收益上升
p 0, q 0, 此时R 0, 收益下降
从而企业可以根据具体情况采用降价或提价来增加收益。
【3-6-10】
5 弹性举例
1 p 例1 已知某商品的需求价格函数为q 1400( ) , 求该商品的 4
C (q 1) C (q) C (q)
【3-6-1】
（4）举例
x2 设生产某商品x个单位的成本函数为C ( x ) 100 6 x , 4
求当x 10时的总成本, 平均成本和边际成本
解： 总成本为C (10) 185,
C (10) 平均成本为C (10) 18.5, 10
试求当p 4时的边际需求及需求价格弹性
结束
【3-6-13】
含义为 : 当收入增加一个百分点时,需求量将上升EM 个百分点
【3-6-8】
4 边际与弹性的关系 （1）关系：
R pq( p), dR pdq qdp,
p dq pdq 而E p ,q Ep
dR 1 1 边际收益MR (1 ) p (1 )P dq Ep Ep
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引言近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。
因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。
而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。
在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。
在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。
本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。
1、导数的概念早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建2、经济分析中常用的函数由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。
经济分析中常用的函数主要有以下四类：2.1需求函数需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。
（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Qd =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。
这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。
例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。
解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q +=则b a +=100120；b a +=80200解得4-=a ；520=b所以需求函数为5204+-=P Q 。
2.2供给函数一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。
[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。
所以，供给函数可以用()P f Q s=表示，其中，P 为商品的价格，Q S 为商品的供给量。
可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。
例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高0.5元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。
解：设大蒜的线性供给函数为：b aP Q +=则b a +=42000；b a +=5.42500得1000=a ；2000-=b所以供给函数为为：20001000-=P Q 2.3成本函数产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。
成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。
产品成本可以分为固定成本和变动成本两部分，固定成本和可变成本是相对于某一个特定的过程而言的，并不是唯一确定的。
固定成本F 是指在一定的时间内不会随着产量的变动而多支出费用，例如设备、厂房设施等的固定费用和其他管理费用等。
可变成本V 是指当产品产量变动时随之变动的支出费用，如电力燃烧材料、原材料支出、税收等。
一般来说，以货币形式计值得（总）成本C 是产量Q 的函数，用()Q C C =，()0≥Q 表示，称该公式为（总）成本函数。
当产量0=Q 时，对应的成本函数值()0C 就是成品的固定成本。
在短期生产活动过程当中，固定成本是不变的，所以可变成本被看成是关于产量Q 的函数，即（总）成本函数表示为()()Q V F Q C +=；在长期生产过程中支出都是可变的，此时0=F 。
例3：假设某厂商的短期成本函数为()4416423++-=Q Q Q Q C ,分别指出该短期成本函数中的可变成本部分与固定成本部分。
解：当0=Q 时，()440=C所以固定成本为44，可变成本部分为()Q Q Q Q C 16423+-=2.4收入函数在贸易活动过程当中，一定时期内销售该商品后所获得的收入总额即为该时期内的总收入，记为R 。
而售出某商品所能获得的收入的多少则取决于该商品的销售数量和价格。
所以，收入函数可以表示为PQ R =，其中P 表示商品得销售价格，Q 表示商品销售总量。
例4：由于橙子的批发价格过低，农户决定将橙子全部运往市场自行销售，一个星期内，以6元一斤的价格售出了全部的橙子，共计3000斤，求该农户这星期的收入为多少？解：1800030006=⨯（元）所以该农户这星期收入18000元。
2.5利润函数利润函数是指生产问题中的价格函数，也就是是生产中所获得的纯收入的数额，为收入总额与成本总额之间的差值，常用L 来表示，()()()Q C Q R Q L -=。
例5：某企业生产销售Q 个单位的产品，总收入函数为2224x x R -=，总成本函数52+=x C ，求利润函数、最大产出水平与最大利润。
解：利润函数52435224222-+-=---=-=x x x x x C R L当4=x 时有最大值43=L （解题过程要详细，须进一步完善）所以利润函数为52432-+-=x x L ，最大产出水平为4，最大利润为43。
3、导数在经济学中的应用随着市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题已成为经济学的一个重要部分,用数学知识来解答经济活动中的一些现象对很多经营决策起到了非常重要的作用。
导数是微积分中的一个重要概念，它是函数关于自变量的变化率。
[4]在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题、弹性问题和优化问题。
3.1边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率,它的提出不仅为人们作出决策提供了一个有用的工具，而且使得数学工具能应用于经济学,利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法。
[5] 早在19世纪70年代就出现边际分析的身影，边际分析主要用于研究自变量的单位增加量对因变量产生的影响，偏重于自变量的最后一个单位增加量与因变量之间的数量关系的考察。
在经济学中，把函数()x f 的导数()x f '称为()x f 的边际函数，在点x 0的值()x f 0'称为()x f 在x 0处的边际值。
3.1.1边际成本边际成本的定义是指每增加一单位的产量随即产生的总成本增加量即称为边际成本，假设生产某种产品q 单位时所需要的总成本函数)(q C 可导，则其边际成本定义为()()qq C q q C q C MC q ∆-∆+=∆∆=→∆0lim ；边际成本是总成本函数()q C 关于产量q 的导数，其经济含义是：当产量为q 时，再生产一个单位（即1=∆q ）所增加的总成本()q C ∆,因此可以近似的记为()()()()q C q C q C q C '1≈∆=-+。
[6]例6：若厂商要生产某种商品，生产件数为Q 件时的总成本函数为Q Q C 204.0500)(+=（百元），求产量为20件时的边际成本。
解：边际成本函数为()Q Q C 08.0'=()6.12008.020'=⨯=C （百元/件）=160（元/件）它的经济意义是：在产量Q 为20时的基础上再生产一个单位商品，总成本增加160元。
3.1.2边际收入边际收入与边际成本类似，边际收入定义为()q R '，即边际收入是总收入函数()q R 关于销售量k 的导数，其经济含义是：当销售量为q 时，再销售一个单位（即1=∆q ）所增加的总收入()q R ∆。
[6]例7：某商店新进了一种商品，当该商品的销售量为Q 件时收益函数为()48002Q Q Q R -=（元），求销售400件时的边际收益为多少？解：边际收入函数为()2800'Q Q R -=（元/件） ()6002400800400'=-=R (元/件) 它的经济意义是：当该商品的销售量Q 为400时，销售量若再增加一个单位，则收益可增加600元。
3.1.3边际利润 边际利润指的是销售该产品所获得的收入总额与相应的可变成本之间相差的数额，能够反映出当该产品的销售量增加或降低时企业增加或减少的收益额。
与边际成本类似，边际利润MR 定义为总利润函数()q L 关于销售量q 的导数，其经济含义是:当销售量为q 时，再销售一个单位（即1=∆q ）所增加的总利润()q L ∆。
[7]例8: 某工厂将要生产一种商品，该商品的产量Q 与总利润()Q L 之间的函数关系为：()Q Q Q L 25250-=,求产量为20时的边际利润。
解：边际利润函数为()Q Q L 10250'-= ()50201025020'=⨯-=L （元）它的经济意义是：在每天生产20个单位的基础上，再多生产1个单位，总利润将增加50元。
3.2弹性分析弹性问题是供求原理的深化。
弹性概念描述一个经济变量对另一个经济变量变化时, 所作出反映的强弱程度。
对于任何存在函数关系的经济变量之间都可以建立二者之间的弹性关系或是进行弹性分析。
假设y 与x 存在函数关系()x f y =, 函数()x f y =在点x 处可导，函数的相对该变量y y ∆与xx ∆自变量的相对改变量之比，当0→∆x 时的极限被称为函数()x f y =在点x 处的相对变化率，也称为弹性函数。
记为()()x f x f x E x =。
[8] 3.2.1需求价格弹性需求的价格弹性通常简称为需求弹性，需求弹性是用来表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度。
表示为：需求的价格弹性系数=-（需求量变动率/价格变动率），为方便起见，一般取绝对值。
需求价格的弧弹性表示某种商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格变动的反应程度。
简单来说，它表示需求曲线上两点之间的弹性。
假定需求函数为()P f Q =，Q ∆表示需求量的变动量、P ∆表示价格的变动量，以e d 表示需求的价格弹性系数，则需求的价格弧弹性的公式为:QP P Q PP Q Qe d •∆∆-=∆∆-=。
[9] 例9：厂商生产某种产品，假设定价为5元/件时市场需求量为400件，定价为4元/件时市场需求量为500件，求该产品的价格弧弹性。
① 5400554400800112121=⋅---=⋅---=⋅∆∆-=Q P P P Q Q Q P P Q e d ② 2800445800400221212=⋅---=⋅---=⋅∆∆-=Q P P P Q Q Q P P Q e d 由计算可知，两种计算方式所得的结果不同。