偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法
∴
RT R V p V T RT = = = 1 2 p R V T p pV V
例6
求下列各函数在指定点的偏导数：
xy x2 + y2 0
2
( x 2 + y 2 ≠ 0)
(1)f(x,y)=
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
= 2 x( x 2 + 2 y ) x 1
例4 求 r = x + y + z 的偏导数. 解：把y和z都看作常量，对x求导, 得
r 1 = 2x = x 2 x 2 + y 2 + z 2 x x2 + y2 + z 2
x = r
2
2
2
由于所给函数关于自变量是对称的，所以
r = y
r = z
= [ f ( x0 , y )]'| y = y
L
M
0
固定 x = x0 得交线 :
L： z = f ( x, y) x = x0 z = f ( x0 , y ) 即 x = x0
由一元函数导数的几何意义：
z y
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x 0 , y )]' = tan β
z = x y ln x. y
∴
x y 1 1 y = yx + x ln x y ln x
= xy + xy = 2x y
= 2z
例3 解
z = ( x 2 + 2 y ) x , ( y > 0) z = ( x + 2 y)
(完整版)偏导数的定义及其计算法(精)
存在，则称
此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， zx
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
y y0
导数
z x
、
z y
必存在，且函数
z
f (x, y)
在点(x, y)的全微分为
dz
z x
x
z y
y.
dz
( x, y) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分，记为dz ，即
dz Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则函数在该 点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 求 z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
解
z x
2x 3 y;
z y
3x2y.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
z x
x1 21 32 8,
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y的函数，
它就称为函数z f (x, y)对自变量 x的偏导数，记作
偏导数的定义及其计算法
偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上的变化率的一种度量，它描述了函数在其中一方向上的变化速率。
偏导数的定义非常简单，它是将函数的其他自变量视为常数，而对其中一自变量求导得到的导数。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，它的偏导数可以用∂f/∂xi 或者 fxi 来表示，其中∂表示偏导数的符号，xi 表示自变量 xi 的偏导数。
偏导数的计算方法基本与一元函数的导数计算类似，但在计算过程中需要将其他的自变量视为常数。
举个例子来说明偏导数的计算：假设有一个二元函数f(x1,x2)=x1^2+x2^2，我们要计算该函数关于自变量x1的偏导数∂f/∂x1在计算过程中，我们将x2视为常数，即f(x1,x2)=x1^2+C^2，其中C 表示x2的常数值。
然后我们对f(x1,x2)关于x1求导数，得到f'(x1,x2)=2x1、最后得到∂f/∂x1=f'x1=2x1，即关于x1的偏导数。
在实际应用中，偏导数常常用于优化算法、极值问题的求解等方面。
在多元函数中，偏导数的大小和符号可以用于判断函数的变化趋势和极值点的位置。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数。
高阶偏导数描述的是函数对自变量一次、二次、三次...的变化率。
例如，二元函数的二阶偏导数就是对一阶偏导数再次求导，即∂^2f/∂x1^2，表示f(x1,x2)对x1的变化率的变化率。
对于多元函数而言，偏导数的计算可以推广到n阶偏导数，并且可以使用偏导数的混合形式。
例如，对于三元函数f(x1,x2,x3)，我们可以计算∂^2f/∂x1∂x2，表示对x1求偏导后再对x2求偏导。
总结来说，偏导数是多元函数关于其中一自变量的变化率的度量。
计算偏导数的方法与一元函数的导数计算类似，但需要将其他自变量视为常数。
偏导数在实际应用中具有广泛的用途，如优化算法、极值问题的求解等。
除了一阶偏导数，我们还可以计算高阶偏导数和混合偏导数。
一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
偏导数概念及其计算
偏导数概念及其计算
偏导数是求解多元函数的过程，它将多元函数的变化量分解出来，表
示与其中一个变量有关的导数，而忽略其他变量的影响。
比如，给定函数
f（x，y），对于其中一个变量x，我们可以定义偏导数f'x（x，y）表示
对于x变量而言，f的变化量，而忽略另一个变量y。
偏导数在求解函数的最值时很常用，是求解多元函数的最值、极值、
微分的重要方法，可以根据偏导数的值来判断该点是极值点还是普通点，
而无需关心其他变量的取值。
偏导数的计算：
（1）多元函数的偏导数
多元函数的偏导数定义为在所有的其他变量保持不变的情况，仅针对
一个变量的导数。
一般表示为：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
（2）多元函数的偏导数的计算方法
1）首先，根据函数求出所有变量的偏导数：
f'_x(x,y)=∂f/∂x
f'_y(x,y)=∂f/∂y
2）若函数f(x,y)为非限制类型的多元函数，只需要求出变量x，y
的偏导数即可，求取其中其中一项变量的偏导数时，把其他变量看做常数，然后用一般微分法计算即可。
3）若函数f(x,y)为限制类型的多元函数，即该函数中存在不可加以变动的约束条件，此时，可以先求出该函数的全部变量的偏导数，然后根据拉格朗日乘数法求出未知偏导数。
偏导数的定义与计算方法
偏导数的定义与计算方法偏导数是数学中的一个重要概念。
它可以在多变量函数中反映出每个变量对函数的影响程度。
偏导数的计算方法和一元函数的导数有所不同，下面将详细介绍偏导数的定义、性质以及计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中，每个自变量的取值都会影响函数值的大小。
因此，在计算偏导数时，需要将其他自变量看作常数，只考虑某一个自变量对函数的影响。
对于一个函数f(x1,x2,...xn)，对于自变量xi的偏导数定义为：∂f/∂xi=lim (Δxi→0) (f(x1,x2,...,xi+Δxi,...xn)-f(x1,x2,...,xi,...xn))/Δxi其中，Δxi表示自变量xi的增量，是一个很小的数。
当Δxi趋近于0时，称之为f对xi的偏导数。
二、偏导数的性质1. 偏导数存在性对于连续的多元函数，偏导数一定存在。
但对于非连续的函数，偏导数可能不存在。
2. 二阶偏导数如果一个函数的一阶偏导数存在，则可以进行二次偏导数的计算。
二次偏导数的计算方法和一次偏导数类似，只需要在一次偏导数的式子中再次取偏导数即可。
3. 高阶偏导数类似于二次偏导数，多元函数的任意阶偏导数也可以进行计算。
高阶偏导数的符号和计算方法与一阶偏导数相同。
4. 取偏导数的顺序不同的偏导数的计算顺序有可能会影响计算结果。
例如，f(x,y)=x^2y^2，如果先对x求偏导数，再对y求偏导数，得到的结果为：∂f/∂x=2xy^2，∂f/∂y=2x^2y如果先对y求偏导数，再对x求偏导数，得到的结果为：∂f/∂y=2xy^2，∂f/∂x=2x^2y由于偏导数的计算顺序不同，导致结果也不同。
因此，在取偏导数时，需要注意顺序。
三、偏导数的计算方法1. 公式法偏导数的计算可以使用公式法。
首先需要将待求的函数f(x1,x2,...xn)展开为多项式形式，然后按照偏导数的定义进行计算。
例如，对于函数f(x,y)=x^2+y^2，需要求∂f/∂x和∂f/∂y。
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。
对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。
在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。
1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。
以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。
高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。
1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。
二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。
偏导数的定义和计算方法
偏导数的定义和计算方法偏导数是数学中的一个概念，用于描述标量函数关于一些变量的变化率。
当需要研究多元函数时，偏导数可以帮助我们更好地理解和运用函数。
下面将介绍偏导数的定义和计算方法。
一、偏导数的定义在多元函数中， x 和 y （或更多的变量）的取值可能会相互影响，这样导致的函数变化会比较复杂。
为了深入研究这种情况下的函数特性，我们需要使用偏导数。
偏导数可以理解为，将其它变量视为常数，只从一个变量的角度来观察函数的变化率。
比如，对于一个函数 f(x,y)，f 对 x 的偏导数，记作∂f/∂x，表示当 y 固定， x 发生小量变化时， f 的变化率。
偏导数的定义如下：偏导数的计算方法就是对变量求偏导数，即把其它变量视为常数，只对一个变量进行求导。
下面我们将介绍一些具体的计算方法。
二、偏导数的计算方法1. 常数的偏导数为 0如果一个变量是常数，那么它的偏导数就为 0。
因为在求偏导数时，我们只考虑其它变量的变化对函数的影响，而常数固定不变，因此偏导数为 0。
示例：对于函数 f(x,y) = 3x + 5，∂f/∂y = 0，因为常数 5 对函数没有影响。
2. 求导法则对于多元函数，我们可以运用求导法则来求偏导数。
下面是一些求导法则：（1）加减法则：偏导数的加减顺序可以交换。
（2）乘法法则：f(x,y) = u(x,y) * v(x,y)，则有∂f/∂x = ∂u/∂x * v+ u * ∂v/∂x。
（3）除法法则：f(x,y) = u(x,y) / v(x,y)，则有（4）复合函数法则：如果 z = f(x,y)，x = g(t) 且 y = h(t)，则3. 链式法则链式法则是求导法则的一个重要应用，用于求解复合函数的偏导数。
下面是链式法则的公式：偏导数计算方法较为简单，但是需要注意的是，当变量较多时，求解偏导数可能需要耗费较多的时间和劳动。
因此，在实际问题中可以运用各种数学工具，如微积分软件等，来简化计算。
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但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
连续.
12
4、偏导数的几何意义
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点,
如图
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
13
几何意义:
( y ≠ 0)
x 1 =− 2 sgn 2 x +y y
∂z 不存在． ≠0 ∂y x = 0 y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
9
例 4
已知理想气体的状态方程 pV = RT
∂ p ∂V ∂ T ⋅ ⋅ = −1. （ R 为常数） ，求证： ∂V ∂T ∂ p
RT ∂p RT ⇒ =− 2; 证 p= V ∂V V RT ∂V R ∂T V pV V= ⇒ = ; = ; T= ⇒ p ∂T p ∂p R R ∂p ∂V ∂T RT R V RT = − 1. ⋅ ⋅ =− 2 ⋅ ⋅ =− ∂V ∂T ∂p V p R pV
f ( x + ∆x , y , z ) − f ( x , y , z ) , f x ( x , y , z ) = lim ∆x → 0 ∆x f ( x , y + ∆y , z ) − f ( x , y , z ) , f y ( x , y , z ) = lim ∆y → 0 ∆y
f ( x , y , z + ∆z ) − f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . ∆z → 0 ∆z
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 5
例 1 求 z = x 2 + 3 xy + y 2 在点(1, 2) 处的偏导数．
解
∂z = 2x + 3 y ; ∂x
x =1 y=2
∂z = 3x + 2 y . ∂y
∂z ∴ ∂x ∂z ∂y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y = y0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的 斜率.
偏导数 f y ( x 0 , y0 ) 就是曲面被平面 x = x 0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的 斜率.
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 14
x =1 y=2
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
6
例2
设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ，
y
x ∂z 1 ∂z = 2z . + 求证 y ∂x ln x ∂y
证
∂z yx y −1 , = ∂x
∂z x y ln x , = ∂y
x ∂z 1 ∂ z x y −1 1 y + = yx + x ln x ln x y ∂x ln x ∂y y
导数，记为
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
2
∂z ∂f ， ，zx = = ∂ x x = x0 ∂ x x = x0 y y y y
0 0
x = x0 或 y = y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数， 为
偏导数(27) 18
2010年4月19日10时44 分
1 ∵ ln x + y = ln( x 2 + y 2 ), 解 2 x ∂u y ∂u ∴ = 2 , , = 2 2 2 ∂x x + y ∂y x + y
2 2
∂ 2u ( x 2 + y 2 ) − x ⋅ 2 x y2 − x2 ∴ 2= = 2 , 2 2 2 2 2 ∂x (x + y ) (x + y ) ∂ 2u ( x 2 + y 2 ) − y ⋅ 2 y x2 − y2 = = 2 . 2 2 2 2 2 2 ∂y (x + y ) (x + y ) ∂ u ∂ u y −x x −y ∴ 2+ 2 = 2 + 2 2 2 2 2 = 0. ∂y (x + y ) (x + y ) ∂x
偏导数(27)
23
观察例5中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函 数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
导 函 数 图 形
二 阶 混 合 偏
24
∂ z ∂ z ∂ z 2 2 = 6 xy , = 2 x 3 − 18 xy; = 6y , 2 3 ∂y 2 ∂x ∂x 2 ∂ z ∂ 2z = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1, = 6 x 2 y − 9 y 2 − 1. ∂ x∂ y ∂y∂x
2ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 16
例6
设 u = e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
∂u = ae ax cosby , ∂x ∂ 2u = a 2e ax cos by , ∂x 2 ∂ u = − abe ax sin by , ∂x∂y
2
∂u = − be ax sin by; ∂y ∂ 2u = − b 2e ax cos by , ∂y 2 ∂ 2u = − abe ax sin by . ∂y∂x
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
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思考题解答
不能. 例如,
f ( x, y) = x2 + y2 ,
在( 0,0)处连续,
但
f x (0,0) = f y (0,0) 不存在.
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27)
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作业 P69 T5, T8
2010年4月19日10时44 分
= x + x = 2z .
y y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27)
原结论成立．
7
x ∂z ∂z 例 3 设 z = arcsin ，求 ， . 2 2 ∂x ∂y x +y
解
∂z = ∂x
1 x2 1− 2 2 x +y
⎛ ⎞ ′ x ⋅⎜ ⎜ x2 + y2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠x
=
同理可以定义函数 z = f ( x , y )对自变量 y 的偏导
∂z ∂f 数，记作 ， ， z y 或 f y ( x , y ) . ∂y ∂y
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 4
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
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例5
设 z = x 3 y 2 − 3 xy 3 − xy + 1，
∂ 2z ∂ 2z ∂3z ∂ 2z ∂ 2z 求 2、 、 、 2及 3. ∂x ∂x ∂y∂x ∂x∂y ∂y
∂z ∂z 2 2 3 解: = 2 x 3 y − 9 xy 2 − x; = 3 x y − 3 y − y, ∂x ∂y
f ( x 0 , y0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆y → 0 ∆y ∂z ∂f ， ， z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . 记为 = = y = y0 ∂y x = x0 ∂ y x = x 0 y y y y
0 0
2010年4月19日10时44 分
偏导数(27) 11
2010年4月19日10时44 分
３、偏导数存在与连续的关系 一元函数中在某点可导 连续， 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
⎧ xy ⎪ x2 + y2 , 例如,函数 f ( x , y ) = ⎨ ⎪ 0, ⎩
x2 + y2 ≠ 0
,
x2 + y2 = 0
依定义知在( 0,0)处， f x ( 0,0) = f y ( 0,0) = 0 .
偏导数(27)
3
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z = f ( x , y )对 自变量 x 的偏导数，
∂z ∂ f 记作 ， ， z x 或 f x ( x , y ). ∂x ∂x
二、高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ⎜ ⎟ = 2 = f xx ( x , y ), ⎜ ⎟ = 2 = f yy ( x , y ) ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x ∂y ⎝ ∂ y ⎠ ∂y
纯偏导 混合偏导
∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z = f xy ( x , y ), ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟= = f yx ( x , y ) ∂ y ⎝ ∂ x ⎠ ∂ x∂ y ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y∂x
2 2 2 2 2 2
2010年4月19日10时44 分 偏导数(27) 19
三、小结
偏导数的定义 （偏增量比的极限） 偏导数的计算、偏导数的几何意义
⎧ 纯偏导 高阶偏导数 ⎨ ⎩ 混合偏导（相等的条件）