第2讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用
第7-6节(偏导数的几何应用(二)、方向
第 六 节
偏导数的几何应用(二)
方向导数与梯度
江西理工大学理学院
一、曲面的切平面与法线
设曲面方程为
F ( x, y, z ) = 0
在曲面上任取一条通 过点M的曲线
r n
M
r T
⎧ x = φ (t ) ⎪ Γ : ⎨ y = ψ ( t ), ⎪ z = ω (t ) ⎩ r 曲线在M处的切向量 T = {φ ′( t 0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )},
F ( x , y , z ) = z − e z + 2 xy − 3, 解 令
Fx′ (1, 2 , 0 ) = 2 y (1, 2 , 0 ) = 4, Fy′ (1, 2 , 0 ) = 2 x (1, 2 , 0 ) = 2,
Fz′ (1, 2 , 0 ) = 1 − e z (1, 2 , 0 ) = 0,
解 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
切平面方程为
2 x 0 ( x − x 0 ) + 4 y0 ( y − y0 ) + 6 z 0 ( z − z 0 ) = 0
依题意，切平面方程平行于已知平面，得
2 x 0 4 y0 6 z 0 = = , ⇒ 2 x 0 = y0 = z 0 . 1 4 6
切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + F y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0
江西理工大学理学院
通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线 称为曲面在该点的法线.
高中数学备课教案多元函数的方向导数与梯度的应用
高中数学备课教案多元函数的方向导数与梯度的应用高中数学备课教案多元函数的方向导数与梯度的应用在高中数学中，多元函数是一个重要的概念。
而方向导数和梯度则是研究多元函数的常用方法。
本教案将重点介绍多元函数的方向导数和梯度的应用。
一、方向导数的引入在一元函数中，导数表示函数在某点的变化率。
那么在多元函数中，如何描述函数在某点沿着一定方向的变化率呢？这就需要引入方向导数。
方向导数的定义：设函数z=f(x,y)在点P（x0,y0）的某邻域内有定义，若沿着单位向量$\boldsymbol{i} \cdot \cos \alpha+\boldsymbol{j} \cdot \cos \beta$ 方向，函数在点P的一个变化率$$\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\rho \cos \alpha,y_{0}+\rho \cos \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\rho}$$存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P的方向导数，记作$D_\alphaf(x_0,y_0)$。
二、方向导数的计算公式方向导数的计算公式为：$$D_\alpha f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x} \cdot \cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \cos \beta$$其中，$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$分别表示函数f(x,y)对x和y的偏导数。
三、梯度的引入与性质梯度是用来描述多元函数的斜率的向量。
在二维平面上，梯度是一个二维向量。
在三维空间中，梯度是一个三维向量。
梯度的性质如下：1. 梯度的模表示函数在某点的最大变化率，即梯度的模为函数在某点的方向导数的最大值。
方向导数与梯度在工程和生活中的应用
方向导数与梯度一、方向导数1．概念 设是平面上以为始点的一条射线．是与同方向的单位向量射线的参数方程为设函数在点的某个邻域内有定义，为上另一点，且,到的距离若当沿着趋于即时的极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数．记作 即有定义可知是在点沿方向的变化率． 若在点偏导数存在则又若则但反之 若 存在．则不一定存在．如在点处沿方向的方向导数，而偏导数不存在．类似．对三元函数来说，它在空间一点沿方向的方向导数为2．方向导数的存在性及其计算方法 函数具备什么条件才能保证在点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏导数又有什么l xoy ()000,y x P ()cos ,cos l e αβ=l l αcos 0t x x +=βcos 0t y y +=()0≥t =z ()y x f ,()000,y x P ()0p U ()βαcos ,cos 000t y t x P ++l ()0p U p ∈p0p t pp =0()()t y x f t y t x f 0000,cos ,cos -++βαp l 0p ()+→0t ()y x f ,0p l ()00,|y x l f∂∂()00,|y x l f∂∂()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim -++=+→βα()00,|y x l f∂∂()y x f ,()000,y x P l ()y x f ,()000,y x P i e l=()0,1=()00,|y x l f∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f x =l e j =()1,0=()00,|y x l f∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f y =i e l =()0,0|z l ∂∂()0,0|z x ∂∂22y x z +=()0,0i l =()00,|y x l z ∂∂1=()00,|y x x z ∂∂()z y x f ,,()0000,,z y x P ()γβαcos ,cos ,cos =l e()000,,|z y x l f∂∂()t t z t y t x f t γβαcos ,cos ,cos lim 0000+++=+→()000,y x P关系？有如下定理定理 若在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在且有其中是方向的方向余弦证在点可微分点在以 为始点的射线上时应有， ，所以这就证明了方向导数存在，且其值为同样可以证明在点可微分，则函数在该点沿着方向的方向导数二、梯度1． 二元函数梯度定义 设在区域内具有一阶连续导数，点，则向量称为在点的梯度，记作，即2． 二元函数梯度与方向导数的关系若在点可微分，是与方向同向的单位向量，则()y x f ,()000,y x P l ()00,|y x l f∂∂()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=βαcos ,cos L ()y x f ,()00,y x ∴()y y x x f ∆+∆+00,()00,y x f -()()()()2200000,,y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=()y y x x ∆+∆+00,()00,y x l αcos t x =∆βcos t y =∆()()22y x ∆+∆t =()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim -+++→βα()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()00,|y x l f∂∂()()βαcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()z y x f ,,()000,,z y x ()γβαcos ,cos ,cos =→l e ()()()()γβαcos ,,cos ,,cos ,,000000000,,000z y x f z y x f z y x f lfz y x z y x ++=∂∂()y x f ,D ()D y x P ∈000,()()→→+jy x f i y x f y x 0000,,()y x f ,()000,y x P ()00,y x gradf ()()()→→+=jy x f i y x f y x gradf y x 000000,,,()y x f ,()000,y x P ()βαcos ,cos =→l e l ()()()()()()000000,000000,cos ,cos ,,cos ,cos x y x y ll ff x y f x y l gradf x y e gradf x y e gradf x y αβθθ→→∂=+∂=⋅==其中当时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模．由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值．在几何上表示一个曲面这曲面被平面（是常数）所截得曲线的方程为，在面上的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系中的方程为，对上一切点，已给函数的函数值都是，称为的等值线．若，不同时为零，则等值线上任一点处的一个单位法向量为这表明的方向与等值线上这点的一个法线方向相同．而沿这个方向的方向导数就等于于是，这一关系式表明函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线．梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数．3．三元函数梯度概念与方向导数关系 类似 设在空间区域G 内具有一阶连续偏导数,则对于每一点都可以定出一个向量，为在点的梯度，记做即，与二元函数类似，三元函数的梯度也是一个向量，它的方向与取得最大导数的方向一致，它的模为方向导数的最大值．若曲面=，为的等量面，则在点的梯度方向与过点的等量面=在这点的法线的一个方向相同，它的指向为从数值较()⎪⎭⎫ ⎝⎛=→l e y x gradf ,,00θ0=θ()00,y x lf∂∂()00,y x gradf ()y x f z ,=c z =c L ()⎩⎨⎧==c z y x f z ,L xoy L xoy ()c y x f =,L c L ()y x f z ,=xf yf ()c y x f =,()000,y x P ()()()()()002002,,,,,1y x f y x f y x f y x fn yxyx+=→()00,y x gradf n f∂∂()00,y x gradf ()nn fy x gradf ∂∂=00,()z y x f ,,()G z y x P ∈0000,,()()()κ000000000,,,,,,z y x f j z y x f i z y x f y x Z ++()z y x f ,,()0000,,z y x p ()000,,z y x gradf ()=000,,z y x gradf ()()()κ000000000,,,,,,z y x f j z y x f i z y x f y x Z ++()z y x f ,,c ()z y x f ,,()z y x f ,,()0000,,z y x P ()0000,,z y x P ()z y x f ,,c低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数．。
第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用
第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用第2讲方向导数与梯度偏导数的几何应用一、方向导数与梯度1．向量的方向余弦（复习） (,)a x y =cos α=，cos β=(,,)a x y z =cos α=，cos β=cos γ=2．方向导数的定义00000(,)(,)limx f x x y f x y zx x→+?-?=?? 00000(,)(,)lim x f x y y f x y zy y→+?-?=?? 设l 为xOy 平面上以000(,)P x y 为始点的一条射线,指向终点00(,)P x x y y +?+?，它的方向向量(cos ,cos )l e αβ=是与l 同方向的单位向量.显然cos α=，cos β=.函数沿方向l 的方向导数为:00(,)x y f l00000(,)(,)limf x x y y f x y ρρ→+?+?-=(ρ=如果函数(,)f x y 在点(,)P x y 可微,那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在,且有其中cos ,cos αβ是方向l 的方向余弦.类似地,如果函数(,,)u f x y z =在点000(,,)x y z 可微,那么函数在该点沿方向(cos ,cos ,cos )l e αβγ=的方向导数为cos ,cos ,cos αβγ是方向l 的方向余弦.例 1. 求函数22xz xy ye =+在点(0,1)P 处沿着从点(0,1)P 到点(1,2)Q -的方向的方向导数.练习;求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿(1,0)P 到(2,1)Q -的方向的方向导数. 答案:2-3、梯度函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的梯度,记作000000(,)(,)(,)x y gradf x y f x y i f x y j =+00(,)x y f l0000(,)cos (,)cos x y f x y f x y αβ=+0000((,),(,))(cos ,cos )x y f x y f x y αβ=?00(,)l gradf x y e =?0000|(,)|||cos |(,)|cos l gradf x y e gradf x y θθ=?=这一式子表明函数在某点沿l 的方向的方向导数,等于梯度在l 方向上的投影,特别当0θ=时,方向导数取得最大值00(,)x y f l00|(,)|gradf x y =.梯度是向量,它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向,它的模等于方向导数的最大值.函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 的梯度000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)x y z gradf x y z f x y z i f x y z j f x y z k =++最大方向导数为000(,,)gradf x y z 例1. 求221grad x y +例 2. 求函数2232u x y z =+-在点(1,2,1)P -处,分别沿什么方向时方向导数取得最大值和最小值?并求出其最大值和最小值.二、偏导数的几何应用（一）、空间曲线的切线与法平面空间曲线的割线: 空间曲线的切线:空间曲线的法平面:过切点垂直于切线的平面1.空间曲线方程为参数方程()()()x t y t z t ?ψω=??=??=?其中(),(),()t t t ?ψω可导且导数不全为零.0000(,,)M x y z 对应0t t =000(,,)M x x y y z z +?+?+?对应0t t t =+?则割线0M M 的方向向量为(,,x y zt t t)割线0M M 的方程为:000x x y y z z x y z t---==令0M M →,即得切线方程为:切向量:('(),'(),'())s t t t ?ψω= 法平面方程为:例1 求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解:21,2,3dx dy dzt t dt dt dt=== 在点(1,1,1)处的切向量为(1,2,3)s =切线方程:111123x y z ---==法平面方程:(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即236x y z ++=练习: 求曲线2,,tx t y t z e ===在点(1,1,)e 处的切线及法平面方程. 对应点1t = 切线方程:1112x y z ee---==法平面方程(1)2(1)()0x y e z e -+-+-= 2.空间曲线方程为()()y y x z z x =??=?,可化为()()x xy y x z z x =??=??=?,在对应点000(,,)x y z 处切向量: (1,'(),'())s y x z x = 切线方程:法平面方程:3.空间曲线方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =??=?,()()y y x z z x ==?()()x xy y x z z x =??=??=?方程组对x 求导数得切向量0(1,'(),'())s y x z x =切线方程法平面方程:例 2 求球面22240x y z ++-=与圆柱面2220x y x +-=的交线Γ在点0(1,1P 处的切线方程与法平面方程.解:2222212220401202220dy x dy dz x y z x y z dx ydx dxdy dz x y x x y dx dx z -??=++=++-=??+-=+-==-在点0(1,1P 处,切向量(1,0,s = 切线方程: 11110x y z --==,即1z y ==? 法平面方程:(1)0x z -=0z -= 练习:求曲线2226x y z x y z ?++=?++=?在点(1,2,1)-处的切线及法平面.答案: 切线方程:121101x y z -+-==- 法平面方程:0x z -= （二）、曲面的切平面与法线1.曲面S 方程为(,,)0F x y z =0000(,,)M x y z 为曲面上的一点,并设函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零.过0M 任意引一条曲线Γ,其参数方程为(),(),()x t y t z t ?ψω===,(t αβ≤≤),0t t =对应点0000(,,)M x y z 且000'(),'(),'()t t t ?ψω不同时为零.则Γ在点0M 的切向量为000('(),'(),'())s t t t ?ψω=.因为Γ完全在曲面S 上,所以[(),(),()]0F t t t ?ψω=,两端对t 求导,并令0t t =得000000000000(,)'()(,)'()(,)'()0x y z F x y z t F x y z t F x y z t ?ψω++=记000000000((,),(,),(,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 则0n s ?= 这表明曲面S 上过点0M 的任一条曲线在这一点的切向量s 都与同一个向量n 垂直,所以曲面上过0M 的一切曲线的切线都在同一平面上,称此平面为切平面.2.令(,,)(,)F x y z f x y z =-法向量:切平面的方程法线方程:例1 求椭球面236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程及法线方程.练习:求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.答案:法向量: (2,4,6)n =切平面方程:23140x y z ++-=法线方程:123123x y z ---==即123x y z== 例2 求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解: 22(,)1f x y x y =+-(2,2,1)n x y =-切平面方程:4(2)2(1)(4)0x y z -+---=法线方程: 214x y z ---==- 练习:求3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.例 3 (0)a a =>上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之和为一个常数.例4 已知旋转抛物面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及平面在点P 处的切平面方程和法线方程。
梯度与方向导数的应用
梯度与方向导数的应用梯度和方向导数是微积分中重要的概念，它们在许多领域中有着广泛的应用。
本文将介绍梯度和方向导数的概念，并探讨它们在不同领域中的具体应用。
一、梯度的概念及应用梯度是一个矢量，表示函数在某一点上的变化率最大的方向。
在二维空间中，梯度就是函数的偏导数，可以用矢量表示为(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
在三维空间中，梯度是一个向量，可以用矢量表示为(∂f/∂x, ∂f/∂y,∂f/∂z)。
梯度的大小表示了函数在该点上的变化率的大小。
梯度在很多领域中有着广泛的应用。
例如在物理学中，梯度可以用来描述场量（如温度、压力、电势等）在空间中的分布情况。
在工程中，梯度可以用来优化设计，寻找设计空间中的最优解。
在计算机图形学中，梯度可以用来生成真实感的渐变效果。
在机器学习中，梯度可以用来优化模型的参数，提升模型的性能。
二、方向导数的概念及应用方向导数是函数在一点上沿着某一给定方向的变化率。
以二维空间为例，函数f(x, y)在点(x0, y0)沿着向量v=(a, b)的方向导数定义为∇f·v，其中∇f是梯度，·表示点积运算。
方向导数可以用来表示函数在某一方向上的变化快慢，其大小表示了函数在该方向上的变化率的大小。
方向导数在物理学、工程学、经济学等领域都有着广泛的应用。
例如在流体力学中，方向导数可以用来描述流体在某一方向上的速度变化。
在热传导中，方向导数可以用来描述热量在不同方向上的传导情况。
在经济学中，方向导数可以用来描述产品价格在某一方向上的变化率。
三、梯度和方向导数的应用案例1. 地质勘探：在地质勘探中，梯度和方向导数可以用来分析地下资源的分布情况。
通过计算地下资源（如石油、煤炭等）的梯度和方向导数，可以帮助勘探人员确定最佳的勘探方向和位置，提高勘探效率。
2. 机器人导航：在机器人导航中，梯度和方向导数可以用来规划机器人的移动路径。
通过计算机器人所在位置的梯度和方向导数，可以确定机器人应该沿着哪个方向移动，并调整移动的速度，从而实现快速而安全的导航。
多元微分学的几何应用方向导数和梯度
f x ( x0 , y0 ) tan a
第十章 多元函数微分法及其应用
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
M
T
7.6.1 空间曲线的切线与法平面
1 曲线方程为参数式
( x 1) 2( y 1) 3( z 1) 0, x 2 y 3z 6.
即
2 当曲面方程为一般式 空间曲线方程为
y ( x) , z ( x)
在M ( x0 , y0 , z0 )处, 切向量 T (1, ( x0 ), ( x0 ))
x
o
M
y
割线 MM 的方程为
z
M
x x 0 y y0 z z 0 x y z
M
x
o
y
考察割线趋近于极限位置——切线的过程
上式分母同除以 t ,
x x0 y y0 z z0 , x y z t t t
当M M ,即t 0时 ,
同一平面上， 这个平面就是 曲面在点 M 的切平面. 这些与 n垂直
的切线构成了曲面
n
切平面
M
在点 M 0处的切平面。
法线
曲面 F ( x , y , z ) 0 在M(x0, y0, z0)处 切平面的法向量： n ( Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )) 切平面方程：
z=f (x,y)在(x0, y0)的全微分，表示
《数学分析》 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用
§3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用一、 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示）本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。
1、 参数方程的情形设空间曲线l 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩()a t b ≤≤ 其中t 的参数。
又设,,x y z '''都在[,]a b 连续，并且对每一[,],(),(),()t a b x t y t z t '''∈不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。
向量表示：()()()(),[,]r r t x t i y t j z t k t a b ==++∈。
()r t 的导数定义为000()()()limlim()()()()()()lim()()()()t t t r r t t r t r t t t x t t x t y t t y t z t t z t i j k t t t x t i y t j z t k∆→∆→∆→∆+∆-'==∆∆+∆-+∆-+∆-=++∆∆∆'''=++(,,)x y z '''存在几何意义：()()r r t t r t ∆=+∆-表示通过曲线l 上两点P 、Q 的割线的方向向量，令0t ∆→，即点Q 得l 通过点P 时，rt∆∆的极限位置就是曲线l 在点P 的切向量τ，即()((),(),())r t x t y t z t τ''''== 有了切向量τ，就可写出曲线l 在任一点0000(,,)p x y z 的切线方程：000000()()()x x y y z z x t y t z t ---==''' 法平面：过点0p 可以作无穷多条切线与切线x 垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L 在点0p 处的法平面，其方程为：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=例1 求螺旋线l ：cos ,sin ,x a t y a t z ct ===，（其中,,a b c 为常数）在点（a ，0，0）的切线方程和法平面方程。
方向导数与梯度的关系与计算公式
方向导数与梯度的关系与计算公式方向导数（Directional Derivative）是多元函数在某个给定点上沿指定方向的变化率。
它在物理学、工程学和优化问题中具有重要的应用。
在求解方向导数时，我们常常会遇到梯度（Gradient）的概念。
本文将介绍方向导数与梯度之间的关系，并探讨它们的计算公式。
一、方向导数的定义在多元函数中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个单位向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数Duf(x₀, y₀, z₀)表示函数f(x, y, z)在P点上沿u方向的变化率。
方向导数用符号∇f(x₀, y₀, z₀)·u表示。
二、梯度的定义梯度是一个向量，它在多元函数的每个点上都有定义。
对于二元函数f(x, y)，梯度∇f(x, y)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y) = (fx, fy)，其中fx和fy分别表示f对x和y的偏导数。
对于三元函数f(x, y, z)，梯度∇f(x, y, z)表示函数f在每个点上的变化率最大的方向。
梯度可以用向量形式表示为∇f(x, y, z) = (fx, fy, fz)，其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
三、方向导数与梯度的关系在函数f(x, y, z)的某一点P(x₀, y₀, z₀)处，方向导数和梯度的关系可以表示为：Duf(x₀, y₀, z₀) = ∇f(x₀, y₀, z₀)·u即，方向导数等于梯度与单位向量u的内积。
四、方向导数的计算公式在笛卡尔坐标系中，给定一个点P(x₀, y₀, z₀)及一个非零向量u = (a, b, c)，其中a² + b² + c² = 1，方向导数可以通过以下公式计算：Duf(x₀, y₀, z₀) = fx(x₀, y₀, z₀)a + fy(x₀, y₀, z₀)b + fz(x₀, y₀, z₀)c其中fx、fy和fz分别表示f对x、y和z的偏导数。
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第2讲 方向导数与梯度 偏导数的几何应用一、 方向导数与梯度1．向量的方向余弦（复习） (,)a x y =cos α=，cos β=(,,)a x y z =cos α=，cos β=cos γ=2．方向导数的定义00000(,)(,)limx f x x y f x y zx x∆→+∆-∂=∂∆ 00000(,)(,)lim x f x y y f x y zy y∆→+∆-∂=∂∆ 设l 为xOy 平面上以000(,)P x y 为始点的一条射线,指向终点00(,)P x x y y +∆+∆，它的方向向量(cos ,cos )l e αβ=是与l同方向的单位向量.显然，cos α=，cos β=.函数沿方向l 的方向导数为:00(,)x y f l∂∂00000(,)(,)limf x x y y f x y ρρ→+∆+∆-=(ρ=如果函数(,)f x y 在点(,)P x y 可微,那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数存在,且有其中cos ,cos αβ是方向l 的方向余弦.类似地,如果函数(,,)u f x y z =在点000(,,)x y z 可微,那么函数在该点沿方向(cos ,cos ,cos )l e αβγ=的方向导数为cos ,cos ,cos αβγ是方向l 的方向余弦.例 1. 求函数22xz xy ye =+在点(0,1)P 处沿着从点(0,1)P 到点(1,2)Q -的方向的方向导数.x练习;求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿(1,0)P 到(2,1)Q -的方向的方向导数. 答案:2-3、梯度函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的梯度,记作000000(,)(,)(,)x y gradf x y f x y i f x y j =+00(,)x y f l∂∂0000(,)cos (,)cos x y f x y f x y αβ=+0000((,),(,))(cos ,cos )x y f x y f x y αβ=⋅00(,)l gradf x y e =⋅0000|(,)|||cos |(,)|cos l gradf x y e gradf x y θθ=⋅=这一式子表明函数在某点沿l 的方向的方向导数,等于梯度在l 方向上的投影,特别当0θ=时,方向导数取得最大值00(,)x y f l∂∂00|(,)|gradf x y =.梯度是向量,它的方向是函数在这点的方向导数取最大值的方向,它的模等于方向导数的最大值.函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 的梯度000000000000(,,)(,,)(,,)(,,)x y z gradf x y z f x y z i f x y z j f x y z k =++最大方向导数为000(,,)gradf x y z 例1. 求221grad x y +例 2. 求函数22232u x y z =+-在点(1,2,1)P -处,分别沿什么方向时方向导数取得最大值和最小值?并求出其最大值和最小值.二、 偏导数的几何应用（一）、空间曲线的切线与法平面 空间曲线的割线: 空间曲线的切线:空间曲线的法平面:过切点垂直于切线的平面1.空间曲线方程为参数方程()()()x t y t z t ϕψω=⎧⎪=⎨⎪=⎩其中(),(),()t t t ϕψω可导且导数不全为零.0000(,,)M x y z 对应0t t =000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆对应0t t t =+∆则割线0M M 的方向向量为(,,x y zt t t∆∆∆∆∆∆)割线0M M 的方程为:000x x y y z z x y z t---==∆∆∆∆ 令0M M →,即得切线方程为:切向量:('(),'(),'())s t t t ϕψω= 法平面方程为:例1 求曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解:21,2,3dx dy dzt t dt dt dt=== 在点(1,1,1)处的切向量为(1,2,3)s =切线方程:111123x y z ---==法平面方程:(1)2(1)3(1)0x y z -+-+-=,即236x y z ++=练习: 求曲线2,,tx t y t z e ===在点(1,1,)e 处的切线及法平面方程. 对应点1t =切线方程:1112x y z ee---==法平面方程(1)2(1)()0x y e z e -+-+-= 2.空间曲线方程为()()y y x z z x =⎧⎨=⎩,可化为()()x xy y x z z x =⎧⎪=⎨⎪=⎩,在对应点000(,,)x y z 处切向量: (1,'(),'())s y x z x = 切线方程:法平面方程:3.空间曲线方程为(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩,()()y y x z z x =⎧⇒⇒⎨=⎩()()x xy y x z z x =⎧⎪=⎨⎪=⎩方程组对x 求导数得切向量0(1,'(),'())s y x z x =切线方程法平面方程:例 2 求球面22240x y z ++-=与圆柱面2220x y x +-=的交线Γ在点0(1,1P 处的切线方程与法平面方程.解:2222212220401202220dy x dy dz x y z x y z dx ydx dxdy dz x y x x y dx dx z -⎧⎧=++=⎪⎪⎧++-=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨+-=⎪⎩⎪⎪+-==-⎪⎪⎩⎩在点0(1,1P 处,切向量(1,0,s = 切线方程: 11110x y z --==,即1z y ==⎩ 法平面方程:(1)0x z -=0z -= 练习:求曲线2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,2,1)-处的切线及法平面.答案: 切线方程:121101x y z -+-==- 法平面方程:0x z -= （二）、曲面的切平面与法线1.曲面S 方程为(,,)0F x y z =0000(,,)M x y z 为曲面上的一点,并设函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零.过0M 任意引一条曲线Γ,其参数方程为(),(),()x t y t z t ϕψω===,(t αβ≤≤),0t t =对应点0000(,,)M x y z 且000'(),'(),'()t t t ϕψω不同时为零.则Γ在点0M 的切向量为000('(),'(),'())s t t t ϕψω=.因为Γ完全在曲面S 上,所以[(),(),()]0F t t t ϕψω=,两端对t 求导,并令0t t =得000000000000(,)'()(,)'()(,)'()0x y z F x y z t F x y z t F x y z t ϕψω++=记000000000((,),(,),(,))x y z n F x y z F x y z F x y z = 则0n s ⋅=这表明曲面S 上过点0M 的任一条曲线在这一点的切向量s 都与同一个向量n 垂直,所以曲面上过0M 的一切曲线的切线都在同一平面上,称此平面为切平面.2.令(,,)(,)F x y z f x y z =-法向量:切平面的方程法线方程:例1 求椭球面236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程及法线方程.练习:求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.答案:法向量: (2,4,6)n =切平面方程:23140x y z ++-=法线方程:123123x y z ---==即123x y z== 例2 求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解: 22(,)1f x y x y =+-(2,2,1)n x y =-切平面方程:4(2)2(1)(4)0x y z -+---=法线方程: 214421x y z ---==- 练习:求3ze z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.例 3 (0)a a =>上任一点处的切平面在三个坐标轴上截距之和为一个常数.例4 已知旋转抛物面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，求点P 的坐标及平面在点P 处的切平面方程和法线方程。
（书P93）例 5 设曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处指向外侧的法向量为n ,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.历届试题1、[2009首届，5分]求曲面2222x z y =+-平行于平面220x y z +-=的切平面方程。
2、[2013第四届决赛，5分]过直线102227:0x y z L x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平面的方程，3、[2014第五届决赛，7分]设(,,)F x y z 和(,,)G x y z 有连续偏导数，(,)0(,)F G x z ∂≠∂，曲线(,,)0:(,,)0F x y z G x y z =⎧Γ⎨=⎩过点0000(,,)P x y z 。
记Γ在xoy 平面上的投影曲线为S ，求S 上过点00(,)x y 的切线方程。