2016【考研数一】真题及解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案

一、选择题：1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸

指定位置上.

(1)若反常积分

1

■

干严收敛，则(

)

(A )a <1 且b A1

(B 冃 A 1 且b >1 (C )a c 1 且a + b >1 (D )a A I 且a + b >1 【解析】

-be I X a (1+x) 1

b dx 1

7a

(1 + x)

1

乂 1 *1时X 严

1 1 b

[—X 在(p<1时收敛)，可知ac1，而此时(1+x)b 不影响 ^0 x p -be 1 -be

同理，f --- ----- x=f - ^1 X a

(1 + x)b 1 -——dx

(1 )

1+-

j -p dx ( p >1时收敛)，而此时

|2 f X —1 \ X 吒1

(2)已知函数f (x )V * “ ，贝y f (X )的一个原函数是(

[In x,x>1

广

2

广

2

|(x -1 2 ,x c 1 |(x -1) ,xv1

(A )F (x )=r 丿 (B )F (x )=r 丿

[x (lnx-1 )x 却 [x (ln x +1 )- 1,x>1

广

2

广

2

|(x -1 ) ,X<1 |(X -1) ,x<1

(C )F (x 尸r 八 (D )F (x )=r 八

1x (1 n x+1 )+1,x >1 1x (1 n x-I ( X —1)2+C X£1

【解析】由已知可得， F (X )斗' 1

，取C , [x (In X T) + 5+1 X 3 1

=0，故选D

(3[若 y = (1 +x2 ) - J 1 +x 2, y = (1 + x 2 ) + J 1 +x 2 是微分方程 y + p x y q X 的两个解,

q (x )=()

2

y ，+p (x )y = f (x )的解。所以有 q (x ) = 3x ( 1 + x 2

).

[x,x <0 (4)已知函数f (X

“ I — I n ' n+1

(A ) A T

与B T

相似

【答案】(C )

(1) (P 'AP )T

=B T =

⑵(P^AP)4 ：

二4

(3)p 4(A +A 4)P

=P ~*AP +P-*A "1

P = B + B ，二 A + A~ ~ B +B "*,故

( D )不选;

此外，在(C )中，对于 P'(A+A T )P =P 'A P + P ，A T

P ，若 P^AP t B ，则 P T

A T

(P T

尸=B T

,

而P 亠A T

P 未必等于B T

，故(C )符合题意。综上可知，(C )为正确选项。

2

+ x 3 +4为屜+4xiX 3+4X 2X 3，贝y f (X i ,x 2,X 3)=2 在空间直角坐

标下表示的二次曲面为(

)

2

(A )3x(1 +

2

X

□"(仆)(兄 (D ) —

X

1 +

【答案】(A ) 【解析】

y i - y 2 = -2J 1 + X 2 是一阶

微分方

程y '+ p (x )y = 0的解，代入得 一2

；^ +

p (x )(-2J 1 + X 2

) = 0，所以

,根据解的性质得，也是

2

1

n

(A ) x=0是f (x )的第一类间断点 (B )x=0是f(x )的第二类间断点

(C ) f (x )在x=0处连续但不可导

f (X )在X = 0处可导

【答案】

(D) 【解析】 X —0

由于 f _!(0)=lim --- =1

T x

(5)设 A ，B 是可逆矩阵，且

--0 lim =1，故选 1

n A 与B 相似，则下列结论错误的是( ，珥 0)= (C ) A + A T

与 B+B T

相似

(D ) A + A 」与B + B 」相似

【解析】此题是找错误的选项。由

A 与

B 相似可知，存在可逆矩阵

P,使得P 」AP = B ,贝y

P T

A T

(p T )-1

=B T

= A T

~ B T

,故(A )不选; = BT= P'A *P =Bd=

A"1 ~ B"1，故(B )不选;

-4

(6)设二次型 f (x 1,x 2,x ^ = x 12

+X 2

(C )椭球面

(D )柱面

(A )单叶双曲面(B)双叶双曲面

【答案】(B)

【解析】对于二次型f (x1,X2,X3 ) = X12+X22+X32+ 4x1 屜+4x1X3+4X2X3，其矩阵为A =

2 12

接下来由k E-A=0，可得其特征值为打=5,兀2 =-1 (一正两负)，因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.

f (X1,X2,X3 ) 的规范形为f = 2

Z1

2 2 乙-Z2

2

Z2

2

z3

2 =1，对应的曲面为双叶双曲面。

(7)设随机变量X~N(y,cr23：>0 )，记p =p{x

(A) p随着卩的增加而增加(C) p随着卩的增加而减少【答案】(B)

(B) P随着CT的增加而增加

(D) P随着CT的增加而减少X _ U

【解析】P{X < 4 +cr2} = P{

c

所以概率随着CT的增大而增大。

(8)随机试验E有三种两两不相容的结果A I,A2,A，且三种结果发生的概率均为1

-，将试验E独立重复3

做2次, X表示2次试验中结果A发生的次数，丫表示2次试验中结果A发生的次数，则X与丫的相

关系数为【解析】: )

X CI B Q1), Y Q BQ1)

3 3

2 4 2

EX =EY = -,DX =DY =- ， EXY =1 1 P(X =1,Y = 1)= —所以

P X^EX^E XEY

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

x

f tin (1 +t sin t dt

(9) lim P x T

1 -COSX2

1

【答案】1

2 【解析】x鸟x ln(1 + X sin x)

1 2x3

(10)向量场A(x,y,z)=(x +y+z )+xyj +zk的旋度rotA =