(完整版)数列极限的四则运算
极限的四则运算(数列极限、函数极限)
a
k
，lim（C n
an）
Ca
。
例1、已知 lnim(6an bn ) 11 lnim(3an 2bn ) 7
求 lnim(2an bn ) 的值。
解：2an+bn=
1 15
(6an-bn)+
8 15
(3an+bn),
∴ lnim(2an bn )
3)
lim (
x
x3 2x2 1
x2 2x
) 1
KEY：1) 0（分子分母同除以x4)； 2）0(分子有理化） 3）1/4（通分）
例3、（1）求
lim
x1
2x2 x3
x 1 2x2 1
的值。
x2 1
（2）求
lim
x1
2x2
x 1
的值
（见课本P87，注意其中的说明。）
3 5
( 2)n1 5
[1 ( 2)n ] 5
2
3 [(2)n1 55
( 2)2n1] 5
∴
lim
n
Tn
3 5
[ 1
1
2
5 1
4
]
3 (5 10) 5 . 5 3 21 7
5 25
例5、有一个边长为1的正方形，以其四边中点为顶点画 第二个正方形，再以第二个正方形的四边中点为顶点画
=
lim[ 1 n 15
(6an
bn
)
185（3an
2bn
)]
=
1 15
×11+
185×(-7)
极限四则运算
函数极限的四则运算： 如果
lim
x x0
f ( x) a
lim g ( x ) b 那么
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim [ f ( x ) g ( x )] a b
x x0
lim
x x0
x x0
f ( x) a ( b 0) g ( x) b
0 lk l l 1 a0n a1n al a0 l k lim k 1 b0 b n b n b n 0 k 1 k 不存在 l k
练习：P88 1，2
例3:求下列极限
P90
1， 2
1 2 3 n 1/2 lim n 4 7 3n 1 ] lim [ n ( n 1) n ( n 1) n ( n 1)
n 2
n
3/2
1/3
1 1 1 ] lim [ 1 4 4 7 ( 3n 2)( 3n 1)
n
x ax 3 例4： 已知 lim b， 求常数a , b的值 x 1
2 x 1
a=－2;b=－4
例5： 在半径为R的圆内接正n边形中，r 是边心距，
2 2 3 3 4
下去， 试求点P的极限位置。
作业：练习：P91
P4 P5
O
4a 2a , 5 5
P1 x
；/ 清货公司 ；
去?怎么才能去雨帝部落?" 夜妖娆虽然依旧静静の坐着,但是内心却是早已飞到数万里外の雨帝部落.这地方她是一刻也不想待下去了. "吱呀！" 石门打开了,走进来一些妖yaw女子,蛇一样の娇躯随着行走不断の扭
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明work Information Technology Company.2020YEAR数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明: 引理1: limC=C. (即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A, ∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得: |C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A. (若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn) (法则1)=limAn+(-1)limBn (引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0, ∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn| =|An-0|·|Bn-0| ＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A) (法则1)=A-A (引理2) =0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB (法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB (引理3、引理2)=B×0+A×0+AB (引理1) =AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5: 若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),正整数N1和正实数ε0,使得对正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对ε>0,正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方) (法则3) ....(往复k-1次) =(limAn)的k次方=A的k次方.。
极限四则运算法则
DOCS SMART CREATE
极限四则运算法则
DOCS
01
极限四则运算的基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
• 数列极限：当自变量趋向某一值时，数列的项趋向另一值
• 函数极限：当自变量趋向某一值时，函数的值趋向另一值
极限的性质
• 极限存在唯一性：如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的
DOCS
间接法求解极限的步骤
• 通过已知条件和极限的性质，间接求出极限的值
• 分析已知条件，找出与极限相关的表达式
• 根据极限的性质，将表达式变形
• 求出极限的值
无穷小量与无穷大量在极限运算中的应用
无穷小量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于0，但永远无法等于0
无穷大量的概念
• 当自变量趋向某一值时，函数值趋向于无穷大，但永远无法等于无穷
• 将复杂的极限问题转化为导数问题
过求导数的方法求解极限
• 通过洛必达法则求解极限，简化运算过程
对数函数与指数函数在极限运算中的技巧
对数函数与指数函数在极限运算中的性质
• 对数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，对数函数的极限等于无穷小量
• 指数函数的极限：当自变量趋向于无穷大时，指数函数的极限等于无穷大量
对数函数与指数函数在极限运算中的应用
• 利用对数函数和指数函数的性质，简化极限运算
• 通过变换函数形式，将复杂的极限问题转化为简单的极限问题
04
极限四则运算的案例分析
连续函数与间断函数的极限分析
连续函数的极限分析
断续函数的极限分析
• 连续函数在一点的极限等于函数在该点的值
极限四则运算法则条件(一)
极限四则运算法则条件(一)极限四则运算法则条件引言在数学中，四则运算是最基本也是最常见的运算形式之一。
它包括加法、减法、乘法和除法，是数学基础的重要组成部分。
然而，在进行四则运算时，我们需要遵守一些条件和法则，以确保运算结果的准确性和合法性。
本文将介绍一些关于极限四则运算的法则和条件。
加法法则和条件1.加法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限和等于各自极限的和。
2.加法条件：在进行加法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
减法法则和条件1.减法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限差等于各自极限的差。
2.减法条件：在进行减法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
乘法法则和条件1.乘法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在，则它们的极限积等于各自极限的乘积。
2.乘法条件：在进行乘法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的。
除法法则和条件1.除法法则：如果a、b分别是两个有限实数或者无穷小数列，并且它们的极限存在且除数不为0，则它们的极限商等于各自极限的商。
2.除法条件：在进行除法运算时，要确保所涉及的实数或数列都是有限的或者都是收敛的，并且除数不为0。
结论四则运算是数学中最基本的运算形式之一，在进行极限四则运算时，我们需要遵守一些法则和条件，以确保运算结果的准确性和合法性。
这些法则和条件适用于加法、减法、乘法和除法运算，并且适用于有限实数和无穷小数列的极限运算。
在进行运算时，要仔细考虑所涉及的实数或数列的性质，并遵守相应的法则和条件，以确保运算结果的正确性。
第六节极限四则运算法则
极限的四则运算法则
复合函数的极限运算法则
由于根据极限的定义, 只能验证某个常数 A 是否为某个函 数ƒ(x)的极限, 而不能求出函数ƒ(x)的极限. 为了解决极限的 计算问题, 下面介绍极限的运算法则.
一、 极限的四则运算法则
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
(1)=
lim
n
1
(1
1 (1)2n 1) …
(1
1)
2.
x
1时,f
(x)
(1
1 x2n
x ) lim n
1
x 2 n1
1
x
x
1时,f ( x) (1
x ) lim n
1
x2n 1
x2n
1 x
x1 x
所以
1 x
f
(
mn
m n, mn
分子, 分母同时除以自变量的最高次幂, 然后再求极限.
例5
已知
lim
x
x
x1997 ( x 1)
,
求常数 , .
解
lim
x
x
x1997 ( x 1)
lim
x
x 1
x1997
( 1)
x 2
... 1
解 lim( x 2 3 x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
极限的四则运算
极限四则运算：
定义：所谓的极限四则运算法则：需要具有两个极限同时存在，如果有一个极限自身不存在的时候，四则运算法则无法成立。
性质：唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
有界性：如果一个数列’收敛‘（有极限），那么这个数列一定有界。
保不等式性：设数列{xₙ} 与{yₙ}均收敛。
若存在正数N ，使得当n>N时有xₙ≥yₙ，则（若条件换为xₙ>yₙ，结论不变）。
和实数运算的相容性：如果两个数列{xₙ} ，{yₙ} 都收敛，那么数列{x ₙ+yₙ}也收敛，而且它的极限等于{xₙ} 的极限和{yₙ} 的极限的和。
其中我们可以设：limf（x）和limg（x）存在
令：limf（x）=A，limg（x）=B，其中，B≠0；c是一个常数
备注：四则运算可以相互带入数值进行互算，第四带入数值B不能为0不然等式不能成立。
数列极限的四则运算
问题2：如果不能看出函数值的变化趋势， 那么怎样才能把问题转化为已知能求的函数 极限？转化的数学方法与依据是什么？
为了解决这些问题，我们有必要给出 函数极限的运算法则：（证明从略）
函数极限的四则运算： 如果
那么
注意：使用极限
运算法则的前提
是各部分极限存
次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之
比; ②若分母的次数高于分子的次数，这个分式在
的极限是0
（2） 求
的函数极限问题转化为求
的数列极限问题
（3） 当项数无限时，要先求和（或积）再求极限
Thank you!
数列极限的四则运算： 如果
那么
特别地，如果C是常数，那么
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
几个基本数列的极限：
观察
归纳
（k是常数， 是正整数）
(c为常数)
c=c (c为常数)
例1 、 求下列极限
一般地，当分子分母是关于n的的多项式时，
①若分子分母的次数相同，这个分式在
的极限是分子与分母中最高次项的系数之比;
②若分母的次数高于分子的次数，这个分式
在
的极限是0
变式练习：
（1）已知
=2 , 求a的值 ( 6 )
（2）求
的极限（
）
(3) 若 a=__-_4__b=___2____
,则
注： 求
的函数极限问题转化为求
列极限问题
的数
例题2、求下列极限
（1）
（2）
方法：分子，分母同除以 绝对值 最大的 底数的n次方
Hale Waihona Puke 例3 、思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因
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lim qn 0 ( q 1)
n
2．运算法则：
lim a a(a为常数)
n
如果 lim an A lim bn B
n
n
则： lim (an bn ) A B n
lim (an bn ) A B
n
lim a n A , (B 0) b n n B
3．语言表达（见教材，略）
此法则可以推广到有限多个数列的情形
n
1 q
n
1 q
1 q
当
q
1
时，
lim
n
T
n
n
lim
1
n n 1
当
q
1
时，
lim
n
Tn
不存在
四、小结：运算法则、常用极限及手段
五、作业：练习 1、2 习题 1
补充：（附纸）
2
3． lim 5n3 n2 4 n 6n5 n 1
5 1 4
解：原式= lim n n3
5
n
6
1 n2
1 n3
6
514
解：原式= lim
n2
n3
n5
0 0
n 6 1 1
6
n4 n5
a0
小．结．：．lim n
a0 x p b0 x q
a1 x p1 b1 x q1
a2 x p2 b2 x q2
例三（机动，作巩固用）求下列数列的极限：
1． lim 2n 1 n 3n 2
解：原式= lim
2
1 n
lim (2
n
1) n
lim 2 lim 1
n
n n
20
2
n 3 2 lim (3 2) lim 3 lim 2 3 0 3
n n
n
n
n n
1
Xupeisen110
高中数学
2． lim 5n3 n2 4 n 6n3 n 1
ap bq
b0 0
不存在
( p q) ( p q) ( p q)
例四、首项为
1，公比为 q 的等比数列的前 n 项的和为 S n
，又设 Tn
Sn S n1
，求
lim
n
Tn
解：
Tn
Sn S n1)
当
q
1
时，
lim
n
Tn
1
n
当
q
1
时，
lim
n
Tn
lim
1 q
Xupeisen110
高中数学
数列极限的四则运算
教材：数列极限的四则运算
目的：要求学生掌握数列极限的四则运算法则，并能运用法则求数列的极限。
过程：
一、复习：数列极限的 N 定义 二、提出课题：数列极限的四则运算法则
1．几个需要记忆的常用数列的极限
lim 1 0 n n
lim n 1 1 n n
解释：如数列 1 , 2 , 3 ,, n , 它的极限为 1 2 3 4 n1
2,2,2,,2,
它的极限为 2
则 2 1 ,2 2 ,2 3 ,,2 n ,它的极限为 3
234
n 1
即： lim (2 n ) lim 2 lim n 2 1 3
n
n 1 n n n 1
三、处理课本 例一、例二 略