2019届北师大版高三文科数学一轮复习：变化率与导数(附答案)
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()ln f x x =，()1g x ax =+，若存在01x e≥使得()()00f x g x =-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．212,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,2e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+3．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．324．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象关于(0,2)对称，()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，若图象在点0x =处的切线的倾斜角为α，则cos tan()2παπα⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．10-B ．10C ．4D 5．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim 12x f f x x→-+=，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-6．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++=D ．10x y ++=7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞D ．[4, 8]8．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．129．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点 10．已知函数，若方程()()F x f x ax =-有4个零点，则 a的可能的值为（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1e11．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．92B ．94C ．174D ．178二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.16．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．17．过坐标原点O 作曲线:C x y e =的切线l ，则曲线C 、直线l 与y 轴所围成的封闭图形的面积为______ 18．曲线sin xy x=在点M(π，0)处的切线方程为________．19．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___． 20．曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 三、解答题21．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数1()ln f x x x b x=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；（2）当1[,]x e e∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 23．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.24．求下列函数的导函数（1）y = x 4－3x 2－5x ＋6 （2）21y x x=+ （3）y = x 2cos x （4）y ＝tan x 25．已知函数()()ln f x x a x =+．（1）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 26．已知函数，其中. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证: 当时，.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B【分析】利用()()00f x g x =-，把问题转化为ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，利用数形结合进行分析，即可求解 【详解】()()00f x g x =-，所以，00ln 1x ax =-+，即ln y x =与1y ax =-+在1x e≥有交点，分情况讨论：①直线1y ax =-+过点1(,1)e -，即11a e-=-+，得2a e =；②直线1y ax =-+与ln y x =相切，设切点为(,)m n ，得1ln 1am ma m -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩⇒221m e a e ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，切点为2(,2)e ，故实数a 的取值范围是21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选：B 【点睛】本题考查函数方程的交点问题，主要考查学生的数形结合能力，属于中档题2．D解析：D由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥= 当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.4．B解析：B 【分析】首先根据函数()f x 的图象关于点(0,2)对称得到0a =，2c =，即3()2f x x bx =++.利用导数的切线过点(2,7)得到12b =，再求函数()f x 在0x =处的切线倾斜角的正切值和正弦值，代入式子cos()tan()2παπα+-计算即可.【详解】因为函数()f x 的图象关于点(0,2)对称，所以()()4f x f x +-=. 即：32324x ax bx c x ax bx c +++-+-+=，解得0a =，2c =.所以3()2f x x bx =++，(1)3f b =+，切点为(1,3)b +.2()3f x x b '=+，(1)3k f b '==+.切线为：(3)(3)(1)y b b x -+=+-.因为切线过点(2,7)，所以7(3)(3)(21)b b -+=+-，解得12b =. 所以31()22f x x x =++，21()32f x x '=+. 1(0)tan 2f α'==，所以sin α=.所以51cos()tan()sin tan 25210παπααα+-==⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查导数的切线问题，同时考查三角函数的诱导公式，属于中档题.5．D解析：D 【分析】由导数的几何意义0(1)(1)li )m'(1x f x f xk f →+-==，结合题设0(1)(1)lim12x f f x x →-+=，找到倍数关系，即得解. 【详解】由导数的几何意义，可知：0(1)(1)(1)(1)lim2lim 21212'()x x f x f k f f xf x x →→+--+=-=-⋅==-=故选：D 【点睛】本题考查了导数的几何意义和导数的定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.6．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得()24f '=-，所以()22()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象与性质的应用，属于中档题．8．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
(北京专用)2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算课件理
答案 (e,e) 解析 设切点P(m,n). f(x)=xln x的导数为f '(x)=1+ln x,在点P处的切线的 斜率为1+ln m=2,解得m=e,可得n=mln m=eln e=e,∴点P的坐标为(e,e).
5.已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为 3 .
第一节
变化率与导数、导数的计算
总纲目录
教材研读
1.导数的概念 2.基本初等函数的导数公式
考点突破
考点一 考点二 导数的计算 导数的几何意义
教材研读
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处导数的定义
f ( x0 x) f ( x0 ) x
称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率①
2.曲线y=x3+1在点(-1,0)处的切线方程为 ( B )
A.3x+y+3=0 C.3x-y=0 B.3x-y+3=0 D.3x-y-3=0
答案 B ∵y=x3+1,∴y'=3x2,∴曲线y=x3+1在点(-1,0)处的切线的斜率
为y'|x=-1=3,∴切线方程为3x-y+3=0.
3.曲线y=ax2-ax+1(a≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x+y+1=0垂直,则a=
(g(x)≠0).
4.复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x= y'u· u'x ,即y对x的导数等于 乘积. y对u 的导数与 u对x 的导数的
1.下列求导运算正确的是 ( B )
2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第2章 第10节
第十节变化率与导数、计算导数[考纲传真](教师用书独具)1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1 x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(对应学生用书第32页)[基础知识填充]1．导数与导数的概念(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)，切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式4.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )](g (x )≠0)．5．复合函数的导数复合函数y ＝f (φ(x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )的导数间的关系为y x ′＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )·φ′(x )． [知识拓展]1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． 3．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)× 2．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)等于( )A ．0B ．eC ．2eD ．e 2C [∵f ′(x )＝e x ＋x ·e x ，∴f ′(1)＝2e.]3．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为( )A ．194B ．174C ．154D ．134D [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]4．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________． x －y ＋1＝0 [∵y ′＝2x －1x 2，∴y ′(1)＝1， 即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k ＝1， ∴切线方程为y －2＝x －1， 即x －y ＋1＝0.]5．曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.－12 [∵y ＝ax 2－ax ＋1，∴y ′＝2ax －a ，∴y ′(0)＝－a .又∵曲线y ＝ax 2－ax ＋1(a ≠0)在点(0,1)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴(－a )·(－2)＝－1，即a ＝－12.](对应学生用书第33页)求下列函数的导数：(1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2； (4)y ＝cos x e x .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x . (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.00A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e(2)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．(1)B (2)3 [(1)f ′(x )＝2 018＋ln x ＋x ×1x ＝2 019＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 019，得2 019＋ln x 0＝2 019，则ln x 0＝0，解得x 0＝1. (2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]◎角度1 求切线方程(2016·全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．y ＝－2x －1 [因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.] ◎角度2 求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：79140071】(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2.设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]◎角度3 求参数的值(范围)(1)(2017·西宁复习检测(一))已知曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12(2)(2018·成都二诊)若曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)(1)A (2)D [(1)由y ′＝－2(x －1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝－2，故选A ．(2)由题意得y ′＝1x ＋2ax (x ＞0)．因为曲线不存在斜率为负数的切线，则y ′≥0恒成立，即a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2max .因为x ＞0，所以－12x 2＜0，即a ≥0，故选D ．]且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0(2)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )【导学号：79140072】A ．1B ．2C ．－1D ．－2(3)(2017·天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图像在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________． (1)B (2)B (3)1 [(1)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.(2)设直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)的切点为(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)．又由曲线方程知y′＝1x＋a，所以y′(x0)＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，所以y0＝0，则x0＝－1，所以a＝2.(3)∵f′(x)＝a－1x，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.]。
高考数学北师大版文科一轮复习配套课件2.10变化率与导数、导数的计算
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符 号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个， 这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[试一试]
1．(2013· 江西高考)若曲线 y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切 线经过坐标原点，则 α＝________.
[类题通法]
1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进 行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度， 减少差错． 2． 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式， 但在求导
前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导， 有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
[针对训练]
已知 f(x)＝sin 2x， 记 fn＋1(x)＝fn′(x)(n∈N＋)， 则
[解]
(1)y′＝ (x2)′ sin x＋ x2(sin x)′＝ 2xsin x＋x2cos x.
ex＋ 1′ ex－ 1－ex＋ 1ex－ 1′ 记准商的导数 (2)y′＝ 运算法则哦！ ex－ 12 ex ex－ 1－ ex＋ 1 ex － 2ex ＝ ＝ x . ex－ 12 e － 12
(3)函数 f(x)的导函数： fx＋Δx－fx lim Δx 称函数 f′(x)＝ Δx→0 为 f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
(sin x)′＝ Cos x ， (cos x)′＝－sin x ， (ax)′＝ axln a ， 1 1 (ex)′＝ ex，(logax)＝， xln a (ln x)′＝ x .
第十节
变化率与导数、导数的计算
(北师大)2019届高考数学文科一轮复习重点强化训练附答案(5份)
重点强化训练(一) 函数的图像与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( ) 【导学号：00090050】A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上是增加的，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上是减少的，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.] 二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图像如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________.图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为______________.【导学号：00090051】[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示．由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，原方程有一个解； 当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，原方程有两个解． 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图像过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：00090052】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分(2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4.9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则 f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. 【导学号：00090053】 [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0. 3分 (2)f (x )为偶函数.4分证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16). 9分又f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴0<|x －1|<16， 解得－15<x <17且x ≠1，11分∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}. 12分重点强化训练(二) 平面向量A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是 ( ) A ．a ＋b ＝0 B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λbD [因为a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.则a 与b 共线同向，故D 正确．]2．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A ．2－1 B ．1 C ． 2D ．2B [因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝0，所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝2，故|a ＋b |＝ 2. 展开(a －c )·(b －c )≤0，得a·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0，整理，得(a ＋b )·c ≥1.而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ， 所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1. 所以|a ＋b －c |2≤1，即|a ＋b －c |≤1.]3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件D [若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．]4．在平面直角坐标系中，已知O 是坐标原点，A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →与OC →的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．23π D ．56π A [由题意，得OA →＋OC →＝(3＋cos α，sin α)， 所以|OA →＋OC →|＝＋cos α2＋sin 2α＝10＋6cos α＝13， 即cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3233×1＝32.因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.]5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →的值是 ( ) A ．－12B ．12C ．－34D ．0A [取AB的中点C ，连接OC ，AB ＝3，则AC ＝32，又因为OA ＝1， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12∠AOB ＝sin ∠AOC ＝AC OA ＝32， 所以∠AOB ＝120°，则OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12.]二、填空题6．设O 是坐标原点，已知OA →＝(k,12)，OB →＝(10，k )，OC →＝(4,5)，若A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值为________．11或－2 [由题意得CA →＝OA →－OC →＝(k －4,7)，CB →＝OB →－OC →＝(6，k －5)，所以(k －4)(k －5)＝6×7，k －4＝7或k －4＝－6，即k ＝11或k ＝－2.]7．(2018·黄冈模拟)已知两个平面向量a ，b 满足|a |＝1，|a －2b |＝21，且a 与b 的夹角为120°，则|b |＝________. 【导学号：00090150】 2 [由|a －2b |＝21得a 2－4a·b ＋4b 2＝21.即1＋2|b |＋4|b |2＝21，解得|b |＝2或|b |＝－52(舍)．]8．已知点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝________. －25 [由|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2得∠B ＝90°，cos C ＝45，cos A ＝35，AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－16，CA →·AB →＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－9，所以AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.]三、解答题9．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )． (1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． [解] (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分 ∴|OP →|＝22＋22＝2 2.5分(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 8分两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.10．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【导学号：00090151】[解] (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.3分 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.5分(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，8分当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2018·兰州模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |＝2，|b |＝3，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝m a －2b ，若△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则m ＝( )【导学号：00090152】A ．－4B ．3C ．－11D ．10C [a ·b ＝2×3×cos 60°＝3，AB →＝OB →－OA →＝b －a ，AC →＝OC →－OA ＝(m －1)a －2B ．∵AB ⊥AC ，∴AB →·AC →＝0， 即(b －a )·[(m －1)a －2b ]＝0，∴(1－m )a 2－2b 2＋(m －1)a ·b ＋2a ·b ＝0， 即4(1－m )－18＋3(m －1)＋6＝0，解得m ＝－11.故选C ．]2．如图2，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为________．图29 [由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影 之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB →2＋AD →2＋32AB →·AD →＝9.]3．已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).5分(2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.7分 又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3. 9分 ∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.12分重点强化训练(三) 不等式及其应用A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) C [取x ＝12，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14＝lg x ，故排除A ；取x ＝32π，则sin x ＝－1，故排除B ；取x ＝0，则1x 2＋1＝1，排除D ．]2．(2016·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( ) 【导学号：00090208】 A ．－4 B ．6 C ．10D ．17B [由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为y ＝－25x ＋15z ，在图中画出直线y ＝－25x ，平移该直线，易知经过点A 时z 最小． 又知点A 的坐标为(3,0)， ∴z min ＝2×3＋5×0＝6.故选B ．]3．(2016·浙江高考)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6C [由不等式组画出可行域，如图中的阴影部分所示．因为直线x ＋y －2＝0与直线x ＋y ＝0平行，所以可行域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段的长|AB |即为|CD |.易得C (2，－2)，D (－1,1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C ．] 4．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0)∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)B [①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，解得x ≥4； ②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4， 解得0≤x <2.综上，解集为[0,2)∪[4，＋∞)．]5．(2015·山东高考)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)C [因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，则2x＋12x －1＞3，即2x＋12x －1－3＞0，即2x＋1－x－2x－1>0，故不等式可化为2x－22x －1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x ＜1，故选C ．] 二、填空题6．(2016·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________．－10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.]7．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为________. 【导学号：00090209】22 [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，得ab ＝1， 则1a ＋2b≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．] 8．(2018·苏州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，f m ＋＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.] 三、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1>0(a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式；(2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． [解] (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. 1分①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1；②当a >0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)>0.解得x <－1或x >1a；3分③当a <0时，不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)<0；若1a <－1，即－1<a <0，则1a<x <－1；若1a ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a>－1，即a <－1，则 －1<x <1a.5分综上所述，当a <－1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －1<x <1a ；当a ＝－1时，原不等式无解；当－1<a <0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 1a<x <－1；当a ＝0时，解集为{x |x <－1}；当a >0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >1a . 6分(2)∵x ＝－a 时不等式成立， ∴－a 2－1－a ＋1>0，即－a ＋1<0， 10分∴a >1，即a 的取值范围为(1，＋∞).12分10．某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？ [解] 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y . 由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z2 400最小，即z 取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．已知a ，b 为正实数，且ab ＝1，若不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y >m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m的取值范围是( ) A ．[4，＋∞) B ．(－∞，1] C ．(－∞，4]D ．(－∞，4)D [因为a ，b ，x ，y 为正实数，所以(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bxy，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可．]2． 若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值是__________．－52[法一：由于x >0， 则由已知可得a ≥－x －1x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立， 而当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52， ∴a ≥－52，故a 的最小值为－52.法二：设f (x )＝x 2＋ax ＋1，则其对称轴为x ＝－a2.①若－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减，此时应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，从而－52≤a ≤－1. ②若－a 2<0，即a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，此时应有f (0)＝1>0恒成立，故a >0.③若0≤－a 2<12，即－1<a ≤0时，则应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a ≤0.综上可知a ≥－52，故a 的最小值为－52.]3．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，f m ＋f nm ＋n>0.(1)用定义证明f (x )在[－1,1]上是增函数；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围. [解] (1)证明：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[－1,1]，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f x 1＋f －x 2x 1－x 2·(x 1－x 2).2分∵－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0. 又已知f x 1＋f －x 2x 1－x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x )在[－1,1]上为增函数，4分(2)∵f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1，x ＋12<1x －1，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －32≤x <－1.8分(3)由(1)可知f (x )在[－1,1]上为增函数，且f (1)＝1，故对x ∈[－1,1]，恒有f (x )≤1， ∴要f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，即要t 2－2at ＋1≥1成立， 故t 2－2at ≥0，记g (a )＝－2ta ＋t 2.10分对a ∈[－1,1]，g (a )≥0恒成立，只需g (a )在[－1,1]上的最小值大于等于0， ∴g (－1)≥0，g (1)≥0，解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2. ∴t 的取值范围是{t |t ≤－2或t ＝0或t ≥2}.12分重点强化训练(四) 直线与圆A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2018·西安五校联考)命题p ：“a ＝－2”是命题q ：“直线ax ＋3y －1＝0与直线6x ＋4y －3＝0垂直”成立的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件A [两直线垂直的充要条件是6a ＋3×4＝0，解得a ＝－2，命题p 是命题q 成立的充要条件．] 2．(2018·深圳模拟)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( ) 【导学号：00090287】 A ．2B ．－2C ．1D ．－1D [因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.]3．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 D [因为l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2. 依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5D [在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，令x ＝0，得(y －2)2＝1，解得y 1＝3，y 2＝1，则y 轴被圆C 截得的弦长为2，所以直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长为2，所以圆心C (1,2)到直线y ＝2x ＋b 的距离为1， 即|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.] 二、填空题6．经过两条直线3x ＋4y －5＝0和3x －4y －13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．2x －y －7＝0 [由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －5＝0，3x －4y －13＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k ＝2.则所求直线的方程为y ＋1＝2(x －3)，即2x －y －7＝0.]7．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝__________. 2 [因为点P (2,2)为圆(x －1)2＋y 2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P (2,2)的连线与过点P (2,2)的切线垂直． 因为圆心(1,0)与点P (2,2)的连线的斜率k ＝2，故过点P (2,2)的切线斜率为－12，所以直线ax －y ＋1＝0的斜率为2，因此a ＝2.]8．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为__________．0或6 [由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC 可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322.由点到直线的距离得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6.] 三、解答题9．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程.【导学号：00090289】[解] 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分 (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.5分(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝2，8分解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.12分10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． [解] 曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3，－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.6分所以x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆x 2＋y 2＝4上， 10分所以(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.所以点P 的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆(因为O ，M ，P 三点不共线，所以应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [将直线l 的方程化为一般式得kx －y ＋1＝0， 所以圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心到该直线的距离d ＝1k 2＋1.又弦长为21－1k 2＋1＝2|k |k 2＋1， 所以S △OAB ＝12·1k 2＋1·2|k |k 2＋1＝|k |k 2＋1＝12，解得k ＝±1.因此可知“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件．]2．过点P (1,1)的直线将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________．x ＋y －2＝0 [设过P 点的直线为l ，当OP ⊥l 时，过P 点的弦最短，所对的劣弧最短，此时，得到的两部分的面积之差最大． 由点P (1,1)知k OP ＝1， 所以所求直线的斜率k ＝－1.由点斜式得，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.]3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3,2)，半径r ＝3. 若设直线l 1的斜率为k ，则k ＝－1k PC ＝－112＝－2. 所以直线l 1的方程为y －3＝－2(x －5)，即2x ＋y －13＝0.3分(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交，则有|3＋2＋b |2<3，5分所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是－32－5<b <32－5. 8分(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)，则直线l 2与CM 垂直， 于是有y 0－2x 0－3＝1， 整理可得x 0－y 0－1＝0.又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上，所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b 2，y 0＝－1＋b2. 10分代入直线l 1的方程得1－b －1＋b2－13＝0， 于是b ＝－253∈(－32－5,32－5)，故存在满足条件的常数B ． 12分重点强化训练(五) 统计与统计案例A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·石家庄模拟)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( ) 【导学号：00090343】A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012B [由题意知抽样比为1296，而四个社区一共抽取的驾驶员人数为12＋21＋25＋43＝101，故有1296＝101N ，解得N ＝808.]2．设某大学的女生体重y (单位：kg)写身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg D [∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确； ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，∴B 正确； ∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85， ∴C 正确．]3．亚冠联赛前某参赛队准备在甲、乙两名球员中选一人参加比赛．如图9所示的茎叶图记录了一段时间内甲、乙两人训练过程中的成绩，若甲、乙两名球员的平均成绩分别是x 1，x 2，则下列结论正确的是( )图9A．x1>x2，选甲参加更合适B．x1>x2，选乙参加更合适C．x1＝x2，选甲参加更合适D．x1＝x2，选乙参加更合适A[根据茎叶图可得甲、乙两人的平均成绩分别为x1≈31.67，x2≈24.17，从茎叶图来看，甲的成绩比较集中，而乙的成绩比较分散，因此甲发挥得更稳定，选甲参加比赛更合适．]4．(2018·黄山模拟)某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：若x，y( )【导学号：00090344】A．8.1万盒B．8.2万盒C．8.9万盒D．8.6万盒A[由题意知x＝3，y＝6，则a＝y－0.7x＝3.9，∴x＝6时，y＝8.1.]5．(2018·郑州模拟)利用如图10所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2＋y2＝10内的个数为( )图10A．2 B．3C．4 D．5B[执行题中的程序框图，打印的点的坐标依次为(－3,6)，(－2,5)，(－1,4)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，其中点(0,3)，(1,2)，(2,1)位于圆x2＋y2＝10内，因此打印的点位于圆x2＋y2＝10内的共有3个．] 二、填空题6．在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图11)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数为________．图11160 [设年龄在[25,30)内的志愿者的频率是P，则有5×0.01＋P＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02＝1，解得P＝0.2.故估计这800名志愿者年龄在[25,30)内的人数是800×0.2＝160.]7．某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：参考附表：99% [假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得χ2＝－2 60×50×60×50≈7.822>6.635，所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”．]8．(2017·太原模拟)数列{a n}满足a n＝n，阅读如图12所示的算法框图，运行相应的程序，若输入n＝5，a n ＝n ，x ＝2的值，则输出的结果v ＝________.图12129 [该算法框图循环4次，各次v 的值分别是14,31,64,129，故输出结果v ＝129.] 三、解答题9．(2018·合肥模拟)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)图13(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数；(3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率． [解] (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100，∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.2分由此完成频率分布直方图，如图：4分(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95， 6分∵[0,50)的频率为0.004×50＝0.2，[50,100)的频率为0.008×50＝0.4， ∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.8分(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天， 在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，10分其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个. 11分 所以P (A )＝610＝35.12分10．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .[解] (1)列表计算如下：这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.2分又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t －y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2， a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ＝1.2t ＋3.6.7分(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元).B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1． 如图14所示的算法框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( ) 【导学号：00090345】图14A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45C [第一次执行循环：s ＝1×910＝910，k ＝8，s ＝910应满足条件；第二次执行循环：s ＝910×89＝810，k ＝7，s ＝810应满足条件，排除选项D ；第三次执行循环：s ＝810×78＝710，k ＝6，不再满足条件，结束循环．因此判断框中的条件为s >710.]2．(2017·西安调研)已知某产品连续4个月的广告费用x 1(千元)与销售额y 1(万元)，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8(用最小二乘法求得)．那么，广告费用为6千元时，可预测销售额约为________万元．4．7 [因为∑i ＝14x i ＝18，∑i ＝14y i ＝14，所以x ＝4.5，y ＝3.5，因为回归直线方程y ＝bx ＋a 中的b ＝0.8， 所以3.5＝0.8×4.5＋a ，所以a ＝－0.1，所以y ＝0.8x －0.1.x ＝6时，可预测销售额约为4.7万元．]3．某工厂36名工人的年龄数据如下表．(1)44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)? [解] (1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2， 所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. 5分(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.8分 (3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.。
2019高三数学文科一轮复习全品课件 第13讲 变化率与导数、导数的运算
������ = 2������-1, 得 2 ������ = ������������ + (������ + 2)������ + 1 2 ax +ax+2=0,此方程应有唯一解,所以 Δ=a -8a=0,得 a=8 或 a=0(舍).
2
教学参考
6.[2016· 全国卷Ⅱ改编] 已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程.
北师大版
变化率与导数、 导数的运算
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第13讲 PART 1考点 导数的定义 导数的运算
考查方向 利用导数的 定义求导数 利用导数公式和 运算法则求导数 导数几何 意义的应用
考例
考查热度 ★☆☆ ★☆☆
导数的几何意义
2017· 全国Ⅲ7,2017· 全国卷 Ⅰ14,2016· 全国卷Ⅲ16,2016· 全国卷 Ⅱ20,2015· 全国卷Ⅰ14,2015· 全国卷 Ⅱ16,2014· 全国卷Ⅱ21,2013· 全国卷 Ⅰ20
1.[2016· 山东卷] 若函数 y=f(x)的图像上存 在两点,使得函数的图像在这两点处的切线 互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数 中具有 T 性质的是 ( A.y=sin x C.y=e
x
[答案] A
[解析] 由函数图像上两点处的切 线互相垂直,可知函数在这两点 处的导数之积为-1,经检验,选项 A 符合题意.
又 l1 与 l2 垂直,且
)
B.y=ln x D.y=x
3
教学参考
-ln������,0 < ������ < 1, 2.[2016· 四川卷] 设直线 l1,l2 分别是函数 f(x)= 图像上点 P1,P2 处的切线,l1 ln������,������ > 1 与 l2 垂直相交于点 P,且 l1,l2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
2019年高考文科数学一轮复习：变化率与导数、导数的计算(检测题解析版附后)
2019年高考文科数学：变化率与导数、导数的计算（检测题解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－42．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A．4 B．5C．254D．1323．(2018·武汉模拟)已知函数f(x＋1)＝2x＋1x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．1 B．－1C．2D．－24．(2018·成都模拟)已知函数f(x)的图象如图2-10-1，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()图2-10-1A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)5．(2018·福州模拟)已知f(x)＝14x2＋sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________.7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________. 8．如图2-10-2，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.图2-10-2三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝x n lg x；(2)y＝1x＋2x2＋1x3；(3)y＝sin x x n.B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是() A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x32．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．3．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．2019年高考文科数学：变化率与导数、导数的计算（检测题解析版附后）A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4D[f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.]2．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()A．4 B．5C．254D．132C[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－5 4，∴所求面积S＝12×54×10＝254.]3．(2018·武汉模拟)已知函数f(x＋1)＝2x＋1x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．1 B．－1 C．2D．－2A [f (x ＋1)＝2(x ＋1)－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x ，对f (x )求导得f ′(x )＝1x 2，则f ′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A ．]4．(2018·成都模拟)已知函数f (x )的图象如图2-10-1，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )图2-10-1A ．0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)B ．0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)C ．0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)D ．0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)C [如图：f ′(3)、f (3)－f (2)⎝⎛⎭⎪⎫f (3)－f (2)3－2、f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，故0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)，故选C ．]5．(2018·福州模拟)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )A [∵f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 、D ．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π12－12＜0，故排除C ，选A ．]二、填空题6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P (1,3)处的切线方程是________.2x －y ＋1＝0 [由题意得f ′(x )＝3x 2－1，则f ′(1)＝3×12－1＝2，即函数f (x )的图象在点P (1,3)处的切线的斜率为2，则切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.]7．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________. 12 [因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12.]8．如图2-10-2，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.图2-10-20 [由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13. 又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]三、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3； (3)y ＝sin x x n .[解] (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝xn －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n lg x ＋1ln 10. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3′＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′ ＝－x －2－4x －3－3x －4 ＝－1x 2－4x 3－3x 4. (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x n ′＝x n (sin x )′－(x n )′sin xx 2n＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin xx n ＋1.10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围. [解] (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1， 2分所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53， 所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，4分 斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. 6分 (2)由(1)得k ≥－1，9分 所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·山东高考)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数中具有T性质的是() A．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3A[若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A：y′＝cos x，若有cos x1·cos x2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈)时，结论成立；对于B：y′＝1x，若有1x1·1x2＝－1，即x1x2＝－1，∵x>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于C：y′＝e x，若有e x1·e x2＝－1，即e x1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.综上所述，选A．]2．(2016·全国卷Ⅲ)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．2x－y＝0[设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝e x－1＋x.∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝e x－1＋x.∵当x＞0时，f′(x)＝e x－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.]3．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a＞0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．[解]根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax. 2分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3. 6分曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0. 9分曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线. 12分。
2019版高考数学(文)一轮复习教师用书：第二章 第十节 变化率与导数、导数的运算 Word版含答案
第十节变化率与导数、导数的运算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′| x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( )(2)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)因为(ln x )′＝1x ，所以⎝⎛⎭⎫1x ′＝ln x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×2．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.3．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .4．曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A 因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，所以y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， 所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.5．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y ′|x ＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.。
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2019届北师大版高三文科数学一轮复习：变化率与导数（附答案）[考试时间：90分钟 试卷总分：120分]第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2 C ．(5x )′＝5x log 5eD ．(x 2cos x )′＝2x sin x2．设函数y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]上的平均变化率为a ，在区间[2,4]上的平均变化率为b ，则下列结论中正确的是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．不确定3．运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( ) A ．281 B ．58 C ．85D ．104．若曲线f (x )＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－15．曲线f (x )＝x ＋13x 3在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为( ) A ．3 B ．2 C.13D.196．曲线f (x )＝2x 3－3x 在点P 处的切线斜率为3，则P 点坐标为( ) A ．(1，－1) B ．(－1，－5) C ．(－1,1)D ．(1，－1)或(－1,1)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( ) A ．－2B ．2C ．1D ．－48．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－3,3]表示的曲线过原点，且在点(1，f (1))和点(－1，f (－1))处的切线斜率均为－2，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数9．(江西高考)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)10．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫2π3，πD.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，2π3 答 题 栏二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．设f (x )＝1sin x ＋1cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 12．点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．13．设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为____________________．14．已知f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c 的图像存在与直线y ＝1平行的切线，则b 的取值范围是________________________________________________________________________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义．16．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；(2)f(x)是二次函数，且x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.17．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x3＋ax和g(x)＝x2＋bx＋c都经过点P(1,2)，且在点P处有公切线，试求a，b，c的值．18．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线f (x )＝x 2＋x －2在点P (1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S .答 案1．选B ∵⎝⎛⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(5x )′＝5x ln 5；(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x ·cos x －x 2sin x ，∴B 选项正确．2．选C 一次函数y ＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率都为常数k .∵y ＝－3x ＋2在区间[－4，－2]，[2,4]上的平均变化率都为常数－3，∴a ＝b ＝－3.3．选B t ＝10时的瞬时速度即为t ＝10时的导数值，s ′＝6t －2. ∴t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58.4．选A 由f ′(x )＝2x ＋a ，得f ′(0)＝a ＝1，将(0，b )代入切线方程得b ＝1. 5．选D 由题意，f ′(x )＝1＋x 2，故切线的斜率为k ＝f ′(1)＝2，又切线过点⎝⎛⎭⎫1，43，∴切线方程为y －43＝2(x －1)，即y ＝2x －23，切线和x 轴、y 轴交点为(13，0)，(0，－23)．故所求三角形的面积＝12×13×23＝19.6．选D 设切点为(x 0，y 0)，则6x 20－3＝3.∴x 20＝1，则x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝－1；x 0＝－1时，y 0＝1，故选D. 7．选D ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴令x ＝1得，f ′(1)＝2＋2f ′(1)． ∴f ′(1)＝－2，即f (x )＝x 2－4x . ∴f ′(x )＝2x －4， ∴f ′(0)＝－4.8．选A ∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝－2，f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝－2，解得a ＝0，b ＝－5， ∴f (x )＝x 3－5x ，x ∈[－3,3]，f (x )为奇函数． 9．选C 令f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x ＞0，利用穿针引线法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0， 所以x ＞2.10．选B y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－3，即tan α≥－3， 所以α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 11．解析：f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1sin x ＋1cos x ′＝－cos x sin 2x ＋sin xcos 2x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－12⎝⎛⎭⎫322＋32⎝⎛⎭⎫122＝－23＋2 3. 答案：－23＋2 312．解析：∵y ′＝3x 2－10，设切点P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0>0)，则曲线C 在点P 处切线的斜率k ＝3x 20－10＝2，∴x 0＝－2.∴点P 的坐标为(－2,15)． 答案：(－2,15)13．解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3为偶函数，∴a ＝0， ∴f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，∴所求切线方程为y ＝－3x . 答案：y ＝－3x14．解析：由题意知，存在x 使f ′(x )＝3x 2－x ＋b ＝0，故Δ＝1－12b ≥0，得b ≤112.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，112 15．解：∵s (t )＝t －1t 2＋2t 2＝t t 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2，∴s ′(t )＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ，∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.16．解：(1)由题意设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .所以x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1， 化简得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1， 此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f (x )＝2x 2＋2x ＋1. 17．解：∵点P (1,2)在曲线f (x )＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f (x )＝x 3＋ax 和g (x )＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x )＝3x 2＋a 和g ′(x )＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P (1,2)在曲线g (x )＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.18．解：(1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q (x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13， 解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209，故直线l 2的方程为y ＋209＝－13(x ＋23)，化简得到3x ＋9y ＋22＝0.(2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52， 故所求三角形的面积S ＝12×|－223－1|×|－52|＝12512.。