2018中考数学专题复习 几何最值问题综合课(pdf,无答案)

知识板块

考点一：几何图形中的最小值问题

方法： 1.找对称点求线段的最小值；

步骤：①找已知点的对称点，动点在哪条线上动，就是对称轴；

②连接对称点与另一个已知点；

③与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；

2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边；

3.转化成其他线段，间接求线段的最小值；例如：用点到直线的距离最短，通过作垂线求最值；

4.用二次函数中开口向上的函数有最小值；

考点二：几何图形中的最大值问题

方法：

1.当两点位于直线的同侧时，与动点所在的直线的交点，这三点在同一直线时，线段差有最大值；

2.当两点位于直线的异侧时，先找对称点，同样三点位于同一直线时，线段差有最大值；

3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；

4.用二次函数中开口向下的函数有最大值；

例题板块

考点一：几何图形中的最小值问题

例1.如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是AC 上一动点，则PB+PE 的最小值是 _________ ．

图1 图2 图3

例2.如图2，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN

的最小值是 ．

例3.如图3，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值为 ；

第一节

几何最值问题专项

例4.如图，在Rt △ABC 中，AB=BC=6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=3，CF=1，P 是斜边AC 上的一个动点，则△PEF 周长的最小值为 .

图4 图5 例5.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 的坐标为（9，0），点C 的坐标为（2，0），tan ∠BOA=

A ．67

B ．231 C. 6 D ．193+

例6．如图6，等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C 的半径为1，点P 在斜边AB 上，PQ 切⊙O 于点Q ，则切线长PQ 长度的最小值为（ ）

图6 图7 图8 例7.如图7，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 上两个动点，且PQ=3，当CQ= _________ 时，四边形APQE 的周长最小．

考点二：几何图形中的最大值问题

例1.已知点A （1，2）、B （4，-4），P 为x 轴上一动点．

（1）若|PA |+|PB |有最小值时，求点P 的坐标；

（2）若|PB |-|PA |有最大值时，求点P 的坐标．

例2.如图8所示，已知A 11

(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x

=图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 .

例3.如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C 为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．

（1）求⊙M的半径；

（2）证明：BD为⊙M的切线；

（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．

练习板块

1.如图1，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角

线AC上有一动点P，则PD+PE的最小值为_____．

图1 图2 图3 图4

2.如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD边的中点，P为BC边上的任一点，那么，

AP+EP的最小值为_____．

3.如图3，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，

则线段EF长的最小值为_______．

4.如图4，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边

OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是.

5.如下图1，反比例函数x

k y =（x ＞0）图象上的两点A 、B 的横坐标分别为1，3，点P 为x 轴正半轴上一点，若PA-PB 的最大值为22，则k= ．

图1 图2 图3

6.如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）

7.如图3，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x ，PB=y ，则（x ﹣y ）的最大值是 ．

8.如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．

（1）求证：△AMB ≌△ENB ；

（2）①当M 点在何处时，AM+CM 的值最小；

②当M 点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由；

（3）当AM+BM+CM 的最小值为13+时，求正方形的边长．

9.已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB 的中点M ，连接MC ，把△MBC 沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到△DAO ．

A ．25+

B ．62

C ．52

D ．222+

（1）试直接写出点D的坐标；

（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．

①若△OQP∽△DAO，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？

作业板块

1.如图1，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分

别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是．

2.如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，

PF⊥AC于点F，连结EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为．

图1 图2

3.如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=3，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x

轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为．

4.如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，

将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．

图3 图4

5..如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；