二次函数与四边形综合压轴题专题汇编(含答案)

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x =

B(0,4) A(6,0)

E F

x

y

O

二次函数与四边形综合压轴题专题汇编

一．二次函数与四边形的形状

例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线2

23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．

（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；

（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线7

2

x =

的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF

是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？

②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E

的坐标；若不存在，请说明理由．

A

练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为

(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．

（1）求抛物线2l 的函数关系式；

（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？

（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，

求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．

练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于

C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；

（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出

此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．

5-

4- 3-

2-

1- 1 2 3 4

5

5 4 3 2 1 A E

B

C '

1- O

2l 1l

x y

二．二次函数与四边形的面积

例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x 轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：

x …-3 -2 1 2 …

y …-5

2

-4 -

5

2

0 …

(1) 求A、B、C三点的坐标；

(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关

系，并指出m的取值范围；

(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，

若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.

练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；

（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

图10

练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，

点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2

cm y ．

（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；

（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；

（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．

练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .

(1) 求l 2的解析式；

(2) 求证：点D 一定在l 2上；

(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值

.

B C

P

O D Q

A B

P

C

O D

Q A

y

3

2

1 O

1 2 x