二次函数压轴题分类精选---等边三角形

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）求证：CE=EF；
（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2=（+1）2]．【分析】（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；
（2）根据△PCQ为等边三角形，则△CGQ中，∠CQD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CQ，即等边△CQP的边长，则P的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；
（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；
（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，可以证得EM=EF，即M与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点M与点F不重合相矛盾，故M不存在．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2，
解这个方程，得a=，
∴抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2；
（2）将x=2代入y=x，得y=2
∴点C的坐标为（2，2）即CG=2，
∵△PCQ为等边三角形
∴∠CQP=60°，CQ=PQ，
∵PQ⊥x轴，
∴∠CQG=30°，
∴CQ=4，GQ=2．
∴OQ=2+2，PQ=4，
将y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1
解这个方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2＜0（不合题意，舍去）．
∴点P的坐标为（2+2，4）；
（3）把y=x代入y=x2﹣x+2，得x=x2﹣x+2
解这个方程，得x1=4+2，x2=4﹣2＜2（不合题意，舍去）
∴y=4+2=EF
∴点E的坐标为（4+2，4+2）
∴OE==4+4，
又∵OC==2，
∴CE=OE﹣OC=4+2，
∴CE=EF；
（4）不存在．
如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM=CE，∠QCM=∠PCE
∵∠QCP=60°，
∴∠MCE=60°
又∵CE=EF，
∴EM=EF，
又∵点E为直线y=x上的点，
∴∠CEF=45°，
∴点M与点F不重合．
∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，
∴原假设错误，满足条件的点M不存在．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．
2．二次函数图象的顶点在原点O，且经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：点M到∠OFP两边距离相等；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．
【分析】（1）由于二次函数图象的顶点在原点O，可设二次函数的解析式为y=ax2．将点A（1，）代入，求出a的值，得到二次函数的解析式；
（2）设点P的坐标为（x，x2），过点P作PB⊥y轴于点B，在Rt△BPF中利用勾股定理求出PF==x2+1．根据PF=PM，得出∠PFM=∠PMF，又根据平行线的性质得出∠MFH=∠PMF，等量代换得出∠PFM=∠MFH，那么FM平分∠OFP，点M到∠OFP两边距离相等；
（3）当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，那么∠FMH=30°，解Rt△MFH，得出MF=2FH=2×2=4，由PF=FM列出方程x2+1=4，解方程求出x的值，进而求出点P 的坐标．
【解答】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax2．
将点A（1，）代入，得a=，
所以二次函数的解析式为y=x2；
（2）证明：设点P的坐标为（x，x2），
过点P作PB⊥y轴于点B，则BF=|x2﹣1|，PB=x，
∴Rt△BPF中，PF==x2+1．
∵PM⊥直线y=﹣1，
∴PM=x2+1，
∴PF=PM，
∴∠PFM=∠PMF，
又∵PM∥y轴，
∴∠MFH=∠PMF，
∴∠PFM=∠MFH，
∴FM平分∠OFP，
∴点M到∠OFP两边距离相等；
（3）解：当△FPM是等边三角形时，∠PMF=60°，
∴∠FMH=30°，
在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，
∵PF=PM=FM，
∴x2+1=4，解得：x=±2，
∴x2=×12=3，
∴满足条件的点P的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
3．已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y
轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax2+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即得解析式．
（2）BQ=AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值．
（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，
∴，
解得，
∴y=﹣x2﹣x+2．
（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，
∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，
∵AO=BO=2，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP=t．
①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．
∵BQ=AP，
∴2﹣t=（2+t），
∴t=．
②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．
∵BQ=AP，
∴t﹣2=（2+t），
∴t=6．
综上所述，t=或6时，BQ=AP．
（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．
分析如下：
∵AQ⊥BP，
∴∠QAO+∠BPO=90°，
∵∠QAO+∠AQO=90°，
∴∠AQO=∠BPO．
在△AOQ和△BOP中，
，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OP=OQ，
∴△OPQ为等腰直角三角形，
∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，
∵直线y=x垂直平分PQ，
∴M在y=x上，设M（x，y），
∴，
解得或，
∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．
①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，
则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2+2t﹣2=0，
∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．
②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，
则有PE=3+t，ME=3，
∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，
∵△MPQ为等边三角形，
∴MP=PQ，
∴t2﹣6t﹣18=0，
∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．
综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．
【点评】本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握．。