16 全书习题讲解
A
n n [( ) 2 2 ] [( ) 2 2 ]
e
j
A
12:33
11
第二章习题例解-习题8
例：计算f1(t)*f2(t)
f1 (t )
举例：多种方法求卷积
f 2 (t )
2
1
1
e t (t )
(3) 幅值谱密度 与幅值谱区别在于，各谐频率点均为脉冲函数
(4) 相位谱密度
12:33
6
第二章习题例解-习题4
已知周期矩形脉冲信号在一个周期内表达式为 试求其幅值谱与相位谱，并研究在时移τ0情 况下的相位谱
A x(t ) 0 (t ) 2 (t ) 2
当时移τ0，FS
T0 / 2
T0 / 2
e
j ( 0 n 0 ) t
12:33
10
第二章习题例解-习题7
在对机械系统进行冲击激振试验时，常用冲击锤获得冲击力， 这种冲击力近似于半正弦波，延续时间为τ，试求其频谱。
A sin t ,0 t x(t ) 0, t
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2[ ( ) ( 1)]e ( t ) (t )d
0 t
2e
0
t
( t )
( ) (t )d 2e ( t ) ( 1) (t )d
2E x( t ) t T0 T0 T0 t 2 2
2 a0 T0 2 an T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
x( t )dt 0
2E T0 / 2 T0 t cosn0 tdt 0
2 T0 / 2 2 E 2E n1 bn t sin n t dt ( 1 ) 0 T0 T0 / 2 T0 n 2E E 2E x( t ) sin 0 t sin2 0 t sin3 0 t 3
( n 0 ) ( 1)
n1
(
12:33
9
第二章习题例解-习题6
求出复指数信号e j0t 的离散频谱并画出相应的谱图
1 X ( n 0 ) T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2
e j0 t e jn 0 t dt 1 n 1 dt 0 n 1
0 t
2e (t )d 2 e (t 1)d 由t 1 0 得 t 1 0 0
t
t
2 e d 2 e d
0 0
t
t 1
由t 0 得 t
2(1 e t ) (t ) 2[e ( t 1) 1] (t 1)
1 Cn T
0 / 2
0
/2
Ae jn 0 t dt
0 / 2
A e T jn 0
12:33
jn 0 t
0 / 2
n 0 jn 0 0 A si nc e T 2
7
第二章习题例解-习题5
求锯齿波的三角形式的表示式，进行频域分析并画出相应的 谱图
0
t
2e
0
t
( t )
d 2e ( t )d
1
t
2(1 e t ) (t ) 2[e ( t 1) 1] (t 1)
12:33
14
第二章习题例解-习题8
由卷积的性质-交换律 方法三：由卷积的性质-交换律求卷积
f (t ) f 2 (t ) f1 (t ) e ( ) 2[ (t ) (t 1 )]d
交换律
12:33
f1 t f 2 t f t f 2 t
15
第二章习题例解-习题8
由卷积的微积分性质 方法四：应用卷积的微分与积分性质求解
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2 ( )d
' 1 0
t
2[ (t ) (t 1)]'* e d
16
第二章习题例解-习题9
例：求矩形脉冲f1(t)=(t-t1)-(t-t2), t2>t1 和指数函数f2(t)=e-t(t)
的卷积
解：
方法1：图解法
t t1 , g (t ) 0
t t1
t1 t t2 , g (t ) e ( t )d 1 e ( t t1 ) t2 t , g(t) 所以 1 g (t ) e ( t ) d e ( t t2 ) e ( t t1 )
12:33
4
第二章习题例解-习题3
j j0t j j0t x(t ) 1 e e e j 30t e j 30t 2 2
分析
(1) 幅值谱 当=0时，C0=1; 当=0时，Cn[Im]=j/2; 沿虚轴Cn=1/2； 当=30时，Cn[Re]=1; 沿实轴Cn=1。 (2) 相位谱 当=0时, Cn[Im]=j/2, Cn[Re]=0, n=,
方法一：图解法
由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转 180°后与原波形重叠，图中用虚线表示。 注意，t=0时，门函数左边沿位于 x=-/2位置， 右边沿位于x=/2位置，如图(b)所示。
在任一t时刻，移动门函数左边沿 位于x=t-/2位置， 右边沿则位于 x=t+/2位置，如图(c)所示
0
t
2[ (t ) (t 1)]* (1 e ) (t )
t
2(1 e t ) (t ) 2[e ( t 1) 1] (t 1)
性质：在f1(–∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下，
12:33
f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t)
△面积为0.5 (1-t)2
f(t)=0.5(1-t2)[(t+1)- (t)]+0.5(1-t)2[(t)- (t-1)]
第二章习题例解-习题11
求矩形脉冲卷积
例：下图为矩形脉冲，用符号gτ(t)表示，其幅度为1，宽度为，
求卷积积分gτ(t)*gτ(t)。
12:33
20
第二章习题例解-习题11
0
f1 ( )
t
f 2 ( )
1
2
f 2 (t )
1
f1 ( )
2
1
f 2 (t )
1
0
t
0
t
1
0
1
t
t 0:
f (t ) 0
0 t 1: t 1:
12:33
f (t ) 2 e( t )d 2(1 et ) (t ) f (t ) 2 e( t ) d 2(e ( t 1) e t ) (t 1)
3、已知信号x(t)=1+sin0t+2cos30t ,试用FS展开式求其复数 形式的幅值谱与相位谱，再用FT求其幅值谱密度与相位谱密 度，并绘图比较。 e jt e jt 解：根据欧拉公式 e
cos t j sin t jt cos t j sin t e
t1 t2
g (t ) [1 e ( t t1 ) ][ ( t t1 ) ( t t2 )] [ e ( t t2 ) e ( t t1 ) ] ( t t2 ) [1 e ( t t1 ) ] (t t1 ) [1 e ( t t2 ) ] (t t2 )
f1(-)
1 -1 t -1
当-1<t<0时
当0≤t<1时
f 1 ( )
1
f 1 ( )
1 -1
1
f2 ()
1 t
1
1
f2(t-)
-1 -1+t
f2(t-)
t
-1
t
1 -1
f2(t-)
-1 t
f1()f2(t-)
1
f1()f2(t-)
1 -1
19
t=0
12:33
梯形面积为0.5(-t+1)(1+t)
n=/2(负频率)或-/2 (正频率) 当=30时, Cn[Im]=0, Cn[Re]=1, n=0
12:33
5
第二章习题例解-习题3
j j F [ x(t )] (1 e j0t e j0t e j 30t e j 30t )e jt dt 2 2 j j 2 ( ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 30 ) 2 ( 30 ) 2 2
0
t
0
t
f1 (t ) 2[ (t ) (t 1)]
f 2 (t ) et (t )
12:33
12
第二章习题例解-习题8
图解法求卷积 f ( ) 2
1
方法一：f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 2[ ( ) ( 1]e (t ) (t )d
12:33
8
第二章习题例解-习题5
求锯齿波的三角形式的表示式，进行频域分析并画出相应的 谱图
jbn E ( 1)n1 e j / 2 2 n
X ( n 0 )
【解析】2016全国I卷文数
2016年全国高考新课标1卷文科数学解析一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( )BA ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}解：取A ，B 中共有的元素是{3,5}，故选B2．设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( ) AA ．-3B ．-2C ．2D ． 3解：(1+2i )(a+i )= a -2+(1+2a )i ，依题a -2=1+2a ，解得a=-3，故选A3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) CA ．13B ．12C ．23D ．56解：设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概率为P=4263=，故选C4．ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 。
已知22,cos 3a c A ===， 则b=( )DA ．B ．C ．2D ．3解：由余弦定理得：5=4+b 2-4b ×23， 则3b 2-8b -3=0，解得b =3，故选D 5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )B A ．13 B ．12 C ．23 D ．34解：由直角三角形的面积关系得bc=124⨯12c e a ==，故选B 6．若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 ( ) DA ．y =2sin(2x +4π)B ．y =2sin(2x +3π)C ．y =2sin(2x –4π)D ．y =2sin(2x –3π) 解：对应的函数为y =2sin[ 2(x -14π⨯)+6π]，即y =2sin(2x –3π)，故选D7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径。
2016年全国高考全国丙卷（理科数学）解析版
2016年全国高考全国丙卷（理科数学）解析版试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合S ={}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S I T =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞）(C) [3,+∞）(D)（0，2]U [3,+∞）【答案】D考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算．（2）若12z i =+，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i 【答案】C 【解析】试题分析：44(12)(12)11i ii i i zz ==+---，故选C ．考点：1、复数的运算；2、共轭复数．）已知向量1(,22BA=uu v,1(),22BC=uu u v则∠ABC=(A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得112222cos11||||BA BCBA BC∠===，所以30ABC∠=?，故选A．考点：向量夹角公式．（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于200C的月份有5个【答案】D考点：1、平均数；2、统计图（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+?=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．（6）已知432a =，254b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 【答案】A 【解析】试题分析：因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ．考点：幂函数的图象与性质．（7）执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B考点：程序框图．（8）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（A （B （C ）- （D ）-【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC = =，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===?，故选C ．考点：余弦定理．(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18+（B ）54+（C ）90 （D ）81 【答案】B(10) 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B 【解析】试题分析：要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．考点：1、三棱柱的内切球；2、球的体积．（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A考点：椭圆方程与几何性质．（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个【答案】C【解析】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：第II 卷二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥?? -≤??+-≤?则z x y =+的最大值为___________.【答案】32考点：简单的线性规划问题．（14）函数sin cos y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π 【解析】试题分析：因为sin 2sin()3y x x x π=+=+，sin 2sin()3y x x x π==-＝2sin[()]33x π2π+-，所以函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移32π个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．（15）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________。
2021年于新华中考数学16讲第5讲 基本几何模型
第5讲 基本几何模型一、对角互补模型（构造全等） 1．双90°型（1）条件①∠AOB =∠DCE =90°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．DBCO E【答案】①CD =CE ；②OD +OE；③S 四边形DOEC =S △ODC +S △OEC =12OC 2． （2）当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时， 条件：①∠AOB =∠DCE =90°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．O EDBC【答案】①CD =CE ；②OE －OD；③S △OEC －S △ODC =12OC 2． 【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都成为一个新的真命题； （2）既可以过点C 作“双垂”，即CM ⊥OA 于点M ， CN ⊥OE 于点N （利用角平分线构造双垂筝型），又可过点C 作CG ⊥OC 交OE 的延长线于点G （围绕点C 构造旋转全等形）． 例题讲解 如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕点O 旋转．证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值． O P MN B CDA【答案】连接OB ，OC ，可构造两个三角形全等，进一步得到S 重合=14S 正方形ABCD =25．2．60°，120°型（1）条件：①∠AOB ＝2∠DCE ＝120°；②OC 平分∠AOB ．结论：① ；② ；③ ．OE DCBA答案：①CD ＝C E ；②OD ＋OE ＝OC ；③ S 四边形DOEC ＝S △ODC ＋ S △OEC ＝2 （2）当∠DCE 的一边与AO 的延长线相交时． 条件：①∠AOB ＝2∠DCE ＝120°；②OC 平分∠AOB ． 结论：① ；② ；③ ．OE DCBA答案：①CD ＝C E ；②OE － OD ＋＝OC ；③ S 四边形DOEC ＝ S △OEC －S △ODC ＋＝2． 【注意】（1）条件①②和结论中的①，任意替换其一都能成为一个新命题；（2）既可以过点C 作“双垂”，即CM ⊥OA 于点M ，CN ⊥OE 于点N (利用角平分线构造双垂筝型)，又可以OC 为边，构造等边△OCG ，或将线段CO 绕点C 逆时针旋转60°（围绕点C 构造旋转全等形）． 例题讲解把两个边长都等于4的等边三角形拼成菱形ABCD （如下图）．有一个含60°角的三角尺，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合．（1）将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转，当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时（如图1），通过观察或测量AE ，AF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）在旋转过程中四边形AECF 的周长是否发生变化？如果没有变化，请说明理由；如果有变化，请求出周长的最小值；（3）若将（1）中三角尺的60°角的顶点P 在AC 上移动且与点A 、C 都不重合，三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图2），那么PE 、PF 之间又有什么数量关系？并证明你的结论．答案：（1）AE ＝AF ，可证△ABE ≌△ACF （ASA ）（2）四边形AECF 的周长＝2AE ＋CE ＋CF ＝2AE ＋BC ＝2AE ＋4．当AE ⊥BC 时，AE 有最小值，故四边形AECF 的周长的最小值为4；（在旋转过程中四边形AECF 的面积不发生变化） （3）PE ＝PF （过点P 利用角平分线构造双垂筝型全等）．二、角含半角模型（必旋转）1、条件：①正方形ABCD ；②∠EAF ＝45°．结论：① ；② ．图①E D CF答案：结论：DF ＋BE ＝EF 或DF －DE ＝EF ． 如题图①，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°到△ABG 的位置，此时C ，B ，G 共线； 如题图②，将△ABE 绕点A 顺时针旋转90°到△ADG 的位置，此时D ，G ，C 共线； 【注意】（1）但凡旋转，必然有边对应相等，只需用圆规将共旋转点、边旋转过去即可: (2) 旋转后．往往涉及三点共线问题(须简单证明之)；(3) 旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全 等 (SAS )．例题讲解如图，在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，O 为坐标原点．现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y ＝x 上时停止旋转，旋转过程中，AB 边交直线y ＝x 于点M ，BC 边交x 轴于点N ． （1）当A 点第一次落在直线y ＝x 上时，求点A ，B 两点坐标（直接写出结果）；（2）设△MBN 的周长为p ，在旋转正方形OABC 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论．答案：（1）（2）p值不会发生变化，将△OAM绕点O顺时针旋转90°到△OCG的位置，此时B，C，G三点共线，得MN＝＝BM＋CN，∴△MBN的周长p＝MN＋BM＋BN＝AM＋CN＋BM＋NB＝2AB＝4．变式1：如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长C答案：将△BDM绕点D顺时针旋转120°到△CDE的位置，此时A，C，E三点共线，得MN＝BM＋CN，∴△AMN 的周长为：AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋CN＋AN＝2AB＝6．变式2ACF答案：EF＝DE＋BF．将△ADE绕点A旋转到△CDE的位置，此时C，B，G共线(或延长CB至点G，使BG＝DE)，再证△AFG≌△AFE （SAS），可得EF＝FG＝BG＋BF＝DE＋BF．2．条件：①等腰Rt△ABC中；②∠DAE＝45°．结论：．图①BC图②答案：222BD CE DF +=．图①FBC图②如图①②，将△ACE 绕点A 按顺时针旋转90°到△AB F 的位置，此时FB ⊥BC ，连接DF ，可证△ADF ≌△ADE （SAS ），于是DF ＝DE ．在Rt △FBD 中，由勾股定理可知222FB BD DF +=，进一步得到222BD CE DF +=变式1：已知在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，若BD ＝6，CD ＝4，求△ABC 的面积．DC答案：法1：过点B 作BF ⊥AC 于点F ，如图①所示，∴△AFE ≌△BFC （ASA ），∴AE ＝BC ＝10． 又由△BDE ∽△BFC (ASA)，∴BD AD DE CD =，∴6104DEDE +=，∴DE ＝2，则AD ＝12，∴S △ABC ＝60． 变式1图①C变式1图②ED CB法2：以D 为圆心，DA 长为半径画弧，交直线BC 于E ，F 两点（以AD 为高，构造等腰△AEF ），如图②所示，利用“角含半角模型”知道222BE CF BC +=，有222(BE 2)10BE ++=，∴BE ＝6，AD ＝DE ＝12，∴S △ABC ＝60．变式2：如图，等边△ABC 中，点P ，Q 在BC 边上，且∠P AQ ＝30°．若BP ＝2，QC ＝3，求AB 的长．答案：将△ABP 绕点A 按顺时针旋转60°至△ACD 的位置，过点D 作DE ⊥BC 于点E ．在Rt △DEC 中，DC在Rt △又可证△AQP ≌△AQD （SAS ）， 得PQ＝DQ ∴BC ＝AB ＝5三、一线三等角模型如图①，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝90°； 如图②，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝60°； 如图③，∠ABC ＝∠ACE ＝∠CDE ＝45°．图①C E图②BEC图③ABDC例题讲解1.△ABC 和△DEF 均为正三角形，E 是BC 边的中点．（1）如图①，DE 交AB 于点M ，EF 交AC 于点N ，求证：△BEM ∽△CNE ；（2）如图②，将△DEF 绕点E 旋转，使得DE 交BA 的延长线于点M ，EF 交AC 于点N ，则第（1）题的结论是否依旧成立？图1E BF图2E FB【答案】答案略（可再追问证明△CEN ∽△EMN ）．2.如图，将等边△ABC 折叠，使得点C 落在AB 边上的点D 处，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 边上．若AC =8，AD =2，则CF ：CE 的值为________．第2题图C A BD【答案】7：5简答：由翻折知CE DECF DF=，再由“一线三等角模型”可知△ADE ∽△BFD ，根据“相似三角形的周长之比等于相似比”得ADE DEBFD DF=△△，而△ADE 的周长=AC ＋AD =10，△BFD 的周长=BC ＋BD =14，∴57CE DE CF DF ==.变式1：如图，在等边△ABC 中，D 是BC 边上一点，且BD ：DC =1：3，把△ABC 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 处，那么AM ：AN 的值为________．变式1图A CB D【答案】5：7变式2：如图，在平面直角坐标系中，O （0，0），A （6，，B （12，0）．将△OAB 沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处．若OE =245，则CE ：DE 的值是________．变式2图【答案】提示：先证△OAB 为等边三角形，后面方法同例2. 四、K 字模型探究在学习几何知识时，我们可以通过分离和构造基本图形，将几何“模块”化．例如在相似三角形中，K 字型是非常重要的基本图形，可以建立如下的“模块”（如图①）：图1A DCB（1）已知∠A =∠D =∠BCE =90°，则△ABC ∽△DCE ；请就图①证明上述“模块”的合理性； 【答案】略（2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： （i ）如图②，已知点A （－2，1），点B 在直线y =－2x ＋3上运动，若∠AOB =90°，求此时点B 的坐标；图2A【答案】（i ）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，可证△ODA ∽△BEO ， ∴AD OEOD BE=． 点B 在直线y =－2x ＋3上，可设B （m ，－2m ＋3）， ∴1=223m m -+，∴34m =．故3342B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．（ii ）如图③，过点A （－2，1）分别作与x 轴，y 轴平行的线，交直线y =－2x ＋3于点C ，D ，求点A 关于直线CD 的对称点E 的坐标.图3【答案】（ii ）过点E 作EG ∥y 轴，过点D 作DF ⊥FG 于点F ，延长AC 交FE 于点G （构造“K 字模型”），有△EGC ∽△DFE ，易得D （－2，7），C （1，1）．又由对称可知DE =DA =6，EC =CA =3，△EGC 与△DFE 的相似比为1∶2，设CG =x ，则EF =2x ，EG =6－2x ，∴DF =12－4x ，故12－4x =3＋x ，有x =95.故E （145，175）.归纳若知道直角三角形的两直角边的长度（比值），可通过两个锐角顶点作过直角顶点直线的垂线段构造K 字型全等或相似． 结论应用1.如图，在Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，OA ：OB =1：2，如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动，那么点B 在函数________（填函数解析式）的图象上运动．【答案】4y x=-提示：分别过点A ，B 作y 轴的垂线于点C ，D ，由“K 字模型”知△OCA ∽△BDO ，且知相似比为1：2.设A （m ，1m ），AC =m ，OC =1m ，则OD =2m ，BD =2m ，∴B （2m，－2m ），故点B 在4y x =-上．B变式1：如图，在Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB =90°，∠B =30°，如果点A 在反比例函数()10y x x=>的图象上运动，那么点B 在函数________（填函数解析式）的图象上运动．变式1图【答案】3y x =-提示：构造“K 字型”，其中OA OB =.变式2：已知A 是反比例函数3y x=的图象在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．已知点C 的位置始终在一函数图象上运动，则这个函数解析式为________．变式2图【答案】9y x=-提示：由反比例函数图象的中心对称性可知，OA =OB ，故连接OC ，后续步骤同变式1. 变式3：已知△ABC 为等边三角形，点A 与点D 的坐标分别是A （4，0），D （10，0）． （1）如图①，当点C 与点O 重合时，求直线BD 的解析式；图①【答案】（1）42y x =-（2）如图②，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当以点B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与y 轴相切（切点为C ）时，求点B 的坐标；图②【答案】B （8，-）（3）如图③，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当点C 的坐标为C （0，-）时，求∠ODB 的正切值．图③【答案】法1：在x 轴上找点E ，F 使∠OEC =∠AFB=60°（构造“一线三等角），如图①所示，显然有△AEC ≌△BF A （AAS ）．在Rt △OEC 中，OC =OEC =60°，则OE =2，∴AE =6.于是由全等得BF =AE =6.过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，在Rt △FGB 中，∠GFB =60°，BF =6，∴FG =3，BG=DG =5，故tan ∠ODB图③【答案】法2：过点B 作BE ⊥AC 于点E ，过点E作直线FG ⊥x 轴于点F ，过点B 作BG ⊥FG 于点G ，如图②所示（构造“K 字模型”），有△AFE ∽△EGB，且AE BE =．由“三线合一”知E 为AC 的中点，则EF 为△AOC 的中位线，∴AF =2，EF EG=BG =3，则B （5，-，易求tan ∠ODB图③归纳只要知道等边三角形两个点的坐标，经过定边的中点构造．“K 字型”．变式4：如图，在等腰Rt △OAB 中，∠OAB =90°，顶点O 为坐标原点，顶点A ，B 在某反比例函数的图象上，点A 的横坐标为2，则OAB S =△________．变式4图【答案】5A 作MN ∥y 轴交x 轴于点N ，过点B 作BM ⊥MN 于点M （构造“K 字模型”），有△BMA ≌△ANO （AAS ）．设A （2，m ）（m >0），则可得B （2－m ，2＋m ）.根据“双曲线上的点横、纵坐标的积相等”，得（2－m ）（2＋m ）=2m ，解得m 1，∴()22114522ABC S OA m ==+=-△变式4图2.如图，直线123l l l ∥∥，且1l 与2l 的距离为1，2l 与3l 的距离为3．把一块含有45°的直角三角板按图所示放置，顶点A ，B，C 恰好分别落在三条直线上，AC 与直线2l 交于点D ，则线段BD =________．【答案】2543．如图，点P 是正方形ABCD 的BC 边上的动点，以AP 为斜边在正方形内部作一等腰 Rt △APQ ，∠AQP=90°；AQ=PQ. （1）求∠ADQ 的度数；（2）若正方形边长为4，BP=1，求DQ 的长．P答案：法1：（1）过点Q 作EF//AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ，如图所示（构造“K 字模型”），显然△AEQ ≌△QFP （AAS ），∴AE=QF.又AD=EF ，则AD-AE=EF-QF ，即ED=EQ ，∴∠ADQ=45°. （2）设DE=EQ=FP=m,又BP=1， 则CF=3-m=DE=m ，∴32m =，则2. 法2：（1）连接AC ，如图②所示，AQ AD AP AC ==， 则△AQD△APC ，∠ADQ=∠ACB=45°.（2）由△AQD△APC 可得DQ PC =PC=3，则DQ=2. 图①FEBP 图②AP变式：如图，以ABCD 的CD 边为斜边向内作等腰Rt △CDE ，使AD=DE=CE ，∠DEC=90°，且点E 在平行四边形内部．连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数是____________．B答案：135°提示：过点E作FG⊥AD交AD，BC于点G，F，利用“等腰三角形腰上的高与底的夹角等于顶角的一半”，得∠1=12∠3，∠2=12∠4.而∠3+∠4=180°-2×45°=90°，∴∠1+∠2=45°，故∠AEB=135°.4.如图，在平面直角坐标系中，直线34y x b=-+分别与x轴，y轴交于点A，B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形．备用图（1）填空：b=_________；（2）求点D的坐标；（3）M是线段AB上的一个动点（点A，B除外），试探索在x轴上方是否存在另一个点N，使得以0，B，M，N 为顶点的四边形是菱形．若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．答案：（1）6. （2）D（14，8）. （3）存在，点N的坐标为144192(,)2525或（-4，3）.变式：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，B在双曲线kyx=（x>0）上，BC与x转交于点D.若点A的坐标为(2，4)，求点D的坐标．答案：过点A作EF//x轴交y轴于点E，过点B作BF//y轴交EF于点F（构造“K字模型”），显然有△AEO △BFA ，设B （m ，8m ），则AF=m-2，BF=4-8m， ∴AE BF OE AF =，即m-2=8-16m， ∴m=8，则点B （8，1）， 又BC//OA ，则BC OA k k ==2， ∴BC l ：y=2x-15，与x 轴的交点D （152，0）. 五、双子型 1．全等双子型（1）如图，△ABC 和△CED 均为等边三角形，C 为公共点，那么，在下图中，我们能得到哪些结论呢？BB常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. （2）稍微变一下形，如下图，△ABC 和△CED 均为等腰直角三角形，C 为公共点.B B常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. （3）再稍微变一下形，我们把两个等腰直角三角形换成两个正方形，你还能找出结论吗？EFEF常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________.（4）我们拓展到一般情况，如下图，△ABC 和△ADE 均为等腰三角形，C 为公共点，且满足∠BAC=∠DAE.BD常见结论：三角形全等：___________；线段相等：______________；角的结论：__________________. 答案：（1）结论：△BCE ≌△ACD （SAS ）；BE=AD ；∠AFB=60°（可补充FC 平分∠BFD ）； （2）结论：△BCE ≌△ACD （SAS ）；BE=AD ；∠AFB=90°（可补充FC 平分∠BFD ）； （3）结论：△BCG ≌△DCE （SAS ）；BE=DG ；∠BHE=90°（可补充HC 平分∠BHE ）； （4）结论：△BAD ≌△CAE （SAS ）；BD=CE ；∠BFC=∠BAC （可补充FA 平分∠BFE ）. 2．相似双子型上面的结论都是全等，既然全等是特殊的相似，那相似肯定也是有的！如图，△ABC 和△CED 均为直角三角形，C 为公共点，且满足∠BAC=∠CDE.BB仿照上面的结论，有：三角形相似：______；相似比为_______；线段关系：_______；角的结论：____________. （若命题人将上面的图形补成矩形，可要慧眼识珠哦！） 答案：结论：△BCE△ACD ；BC AC （或tanA ）；BE BCAD AC；∠AFB=90°归纳 在双子型的公共点除必存在旋转类的全等或相似外，同时极易出现“八字形”.练一练1．已知：如图①，在△AOB 和△COD 中，OA = OB ，OC =OD ，∠AOB=∠COD = 50°． （1）求证：①AC = BD ；②∠APB=50°；（2）如图②，在△AOB 和△COD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=a ，则AC 与BD 间的数量关系为_________，∠APB 的大小为___________．图①DAQ图②AB答案：（1）略. （2）AC=BD ，∠APB=a.2.(1)只需证△BAM ≌△CAN .(2)仍然成立(还可发现∠MAC =∠CNM ) 【构造双子型】1.6提示:以C 为顶点,CD 为边向右下方作等边△CDE ﹙构造“双子型”﹚,连接AE,有△BCD ≌△ACE﹙SAS ﹚,AE =BD=7.5,在Rt △ADE 中,AD =4.5,AE =7.5,由勾股定理得DE =6,即CD =6.2.13提示:以A 为顶点,AB 为腰向左上方作等腰Rt △ABE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE ,有△ABD ≌△AEC ﹙SAS ﹚在Rt △EBC 中,EB =5,BC =12, 由勾股定理得CE =13,即BD =CE =13.变式1:10提示:以A 为顶点,AB 为腰作等腰△AEB ,且使∠EAB =120°﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△EAC﹙SAS ﹚,在Rt △EBC 中,EB =6,BC =8,由勾股定理得CE =10,即BD =10.ED C B AE D AB CEDBCA变式2:2提示:以P 为顶点,PB 为边长向右下方作等边△PBE ,连接CE ,有△BP A ≌△BEC ﹙SAS ﹚,∠BEC =∠A PB=150°,又∠BEP =∠BPE =60°,在Rt △PEC 中,PE =1,∠EPC=60°,得CP =2.提示:以A 为顶点,AD 为腰作等腰Rt △ADE ﹙构造“双子型”﹚,连接CE,有△BAD ≌△CAE ﹙SAS ﹚在Rt △EDC 中,EDCD =2,由勾股定理得CE故BD4.4≤AC ≤6 提示:以B 为顶点,OB 为边向上方作等腰Rt △OBP ﹙构造“双子型”﹚,连接CP ,OM,有△BOM ≌△BPC ﹙SAS ﹚,PC =OM =1,则点C 在以P 为圆心,1为半径的圆上,这样就转1C ,2C 两化为“圆外一点到圆上的最值问题”,作射线AP ,交⊙P 于点,A 1C =4,A 2C =6.故4≤AC ≤6.﹙本题亦可以理解为“捆绑旋转”﹚变式1OD ≤3:以O 为顶点,OC 为边向上方作等腰Rt △OEC ︰,则﹙构造“双子型”﹚,连接DE ,OP ,有△OPC ∽△EDC ,且相似比为1DE =则点D 在以E 为圆心,作射线⊙E 于点1D ,2D ,O 1DO 2D=3故OD ≤3﹢变式2:2≤OD ≤4 提示:以OC 为边向上方作等边△OCE ,连接DE,OP.EBAD25.3 提示以O 为顶点,OC 为边向下方作等边△OCE ﹙构造“双子型”﹚,连接EP ,显然有△PCE ≌△DCO ﹙SAS ﹚,故OD =EP ,这样OD 的最值转化到EP 的最值,E 为定点,点P 在⊙O 上,根据“圆内一点到圆上各点最值问题”可以得解,作直线OE 交⊙O 于1P ,2P 两点,则E 1P 为最大值,E 1P =3,E 2P 为最小值, E 2P =1,故OD 的最大值为3,﹙本题还可以问最小值,甚至问OD 的取值范围﹚6.2 提示:以OA 为边向上方等边△OAD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD,显然有△ADB ≌△AOC ﹙SAS ﹚,则OC =BD ,D 为定点,动点B 在y 轴上,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DE ⊥y 轴时﹙即E,B 重合时﹚,DB 最短,此时DB =2,故OC 的最小值为2.7.提示:以OA 为腰向上作等腰Rt △AOD ﹙构造“双子型”﹚,连接BD ,显然有△AOC ∽△ADB ,∴OC BD =OA AD,则OCD 为定点,动点B 在直线y =2上运动,根据“点到直线的距离,垂线段最短”,可知当DB ⊥直线y =2时,DB 有最小值2.故OC 的最小值为8.﹙2-以AB 为腰向上作等腰Rt △DAB ,如图①所示﹙构造“双子型”﹚,连接DM ,有△MDB ∽△P AB ,∴2DM DB APAB,则DM则M 在以D为圆心, ,∴maxAM =3minAM 但求点P 的坐标,会比较烦琐,我们看下面的处理方法.以AB 为底向下作等腰Rt △ABN ,连接NP ,如图②所示,有△MAB ∽△PNB ,∴AM .N 为定点,P 在以A 为圆心,2为半径的圆上,当N,A,P 三点共线时,NP 最大,在Rt △ADP 中,AP =2,∠P AD =45°,∴AD=DP 故点P 坐标为﹙2-DM'O AMPB DNBPMAO六、十字架型【正方形内十字架型】1.△BAF≌△ADE﹙SAS﹚;AE=BF2.在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、AD、BC边上的点. 若EF⊥GH，上述结论是否仍然成立？解：仍然成立提示：过点G作GN⊥BC于点N，过点F作FM⊥AB于点M，再证△GNH≌△FME即可.思路正方形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用全等推导出十字架“相等”.3.如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边上，求折痕FG的长.解：连结AE. FG为折痕，AE为对称点的连线，则AE⊥FG. 又四边形ABCD为正方形，根据“正方形内十字架型”可得FG=AE=52.【矩形内十字架型】1.如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD边上有一点E. 若CE⊥BD，则CE和BD之间有什么数量关系？解：可证△CDE ∽△BCD ，∴nmBC CD BD CE ==，即CE ，BD 之比等于矩形邻边之比.2. 如图所示为一般情况，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为AD ，BC ，AB ，CD 边上的点，当EF ⊥GH ，上诉结论是否仍然成立？解：仍然成立，BCCDGH EF =.思路 矩形中“十字架的顶点分别在四条边上”→“垂直”可以利用相似推导出十字架之比和邻边“成比例”. 3. （秒算）如图，把边长为AB=6，BC=8的矩形ABCD 对折，使点A 和点C 重合，求折痕EF 的长.解：连结AC ，BC CD AC EF =，∴8610=EF ，故EF=215.探究证明某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两相邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明.如图，在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别角AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H. 求证：ABADGH EF =.结论应用如图，在满足上题的条件下，又AM ⊥BN ，点M 、N 分别在BC ，CD 边上，若1511=GH EF ，则=AMBN.答案：1511联系拓展如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在BC ，AB 边上，求AMDN 的值.解：可证△ADC≌△ABC ，∴∠ADC=∠ABC=90°. 过点D 作EF ∥AB ，过点A 作AF ⊥EF 于点F ，延长BC 交EF 于点E ，如图（构造“K 字模型”），又有△DEC ∽△AFD ，且相似比为1：2.设CE=x ，则DF=x 2，∴DE=x 210-，∴AF=x 420-=BE=x +5，∴3=x ，则BE=8. 根据“矩形内十字架型”可得54==AB BE AM DN .【直角三角形内十字架型】直角三角形可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，所以矩形内的结论可沿用至直角三角形内. 1.如图，在Rt 三角形ABC 中，∠ABC =90°，BA =BC ，D 是BC 边上的中点。
新人教版六年级数学下册课本练习十六详细答案课件PPT
六边形的个数
图形
小棒的根数
1
1 ＋6 5
2
1＋65＋5
3
1＋65＋5 ＋5
……
……
……
(1)按这个规律摆n个六边形，需要 6＋5(n－1)或1＋5n 根
小棒。
1＋5×150
(2)按这个规律摆150个六边形，需要 751 根小棒。
5.解方程。
x - 0.25＝13 解：x＝13＋0.25
x＝172
2.（1）工地上有a t水泥，如果每天用去2.5 t，用了b 天，剩余_（__a_－__2_.5_b_）___ t水泥。 每天用的吨数×天数＝用去的吨数
总吨数－用去的吨数＝剩下的吨数
（2）已知a＝100，b＝10，剩余__7_5_ t水泥。 100－2.5×10
用字母表达式表示出某个量，当字母的值发 生变化时，这个量的值也跟着变化，字母的 值和这个量的值之间存在着一一对应关系。
4＋0.7x＝102
解：0.7x＝102-4 0.7x＝98 x＝140
解方程时要注意书写格式：写“解”字， “=”对齐。
5.解方程。
x
4
＝30%
解：x＝30%×4
x＝1.2
23x＋12x＝42 解：76x＝42
x＝36
解方程时要注意书写格式：写“解”字， “=”对齐。
6.三个连续的自然数，中间的数是a，则a前边和
“鸡兔同笼”问题除了可用假设法解答， 还可列方程解答。先设其中兔（或鸡） 的只数为x，鸡（或兔）的只数用含有x 的式子表示，再根据等量关系“兔的只 数×每只兔的腿数＋鸡的只数×每只鸡 的腿数＝总腿数”列方程解答。
14.8条腿的蜘蛛和6条腿的螳螂共有25只。如果它们一 共有170条腿，那么蜘蛛和螳螂各有多少只？
重庆中考第16题完美解题思路
重庆中考16题专题训练重庆中考16题考查的是由多变量相互作用，而导致的数量关系变化。
所以列方程的时候，一定要注意，多设未知数，不要担心未知数多不好解，最后都能约掉的！16题的解答分为三步：分析各种量的变化关系，找出等量关系列方程，解答。
方程的解答此处略，着重讲分析过程。
此处只给出两个例题的完成解答过程，其他题型分析一样。
题型一方程问题1、甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了7、11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙元。
解析：在解此题时，在草稿上专门找一个空白的地方分析数量，不要在此打草稿！一、分析二、找等量关系好了，根据上面的分析，找出等量关系甲-丙=7 乙-丙=11列出方程b+x-(b-x-y)=7b+y-(b-x-y)=11三、解方程上面的两个方程很容易解出，x=1,y=5，相当于甲找丙拿了一件，给了14元，乙找丙拿了5件，共给14＊5 =70元。
2.山脚下有一个池塘，山泉以固定的流量向池塘里流淌，现在池塘中有一定的水，若一台A 型抽水机1小时刚好抽完，若两台A 型抽水机20分钟刚好抽完，若三台A 型抽水机同时抽 分钟可以抽完。
略3.甲、乙两厂生产同一种产品，都计划把全年的产品销往重庆，这样两厂的产品就能占有重庆市场同类产品的43。
然而实际情况并不理想，甲厂仅有21的产品、乙厂仅有31的产品销到了重庆，两厂的产品仅占了重庆市场同类产品的31。
则甲厂该产品的年产量与乙厂该产品的年产量的比为 。
略题型二 增长率及税率问题1、某房地产公司销售电梯公寓、花园洋房、别墅三种类型的房屋，在去年的销售中，花园洋房的销售金额占总销售金额的35%．由于两会召开国家对房价实施调控，今年电梯公寓和别墅的销售金额都将比去年减少15%，因而房地产商决定加大花园洋房的销售力度．若要使今年的总销售金额比去年增长5%，那么今年花园洋房销售金额应比去年增加 _ _%．(结果保留3个有效数字)一、分析二、等量关系 电梯公寓+花园洋房+别墅=总 方程：65%a(1-15%)+35%a(1+x)=a （1+5%）三、解答，消掉a ，就是x 的一元一次方程，此处解答略。
教材全解2016年北师大版八年级数学上册期中测试题含答案解析
期中检测题〔本检测题总分值：120分，时间：120分钟〕一、选择题〔每题3分，共30分〕1.〔2021·福州中考〕以下实数中的无理数是〔 〕 A ．0.7 B ． C ．π D ．﹣82.以下各式中计算正确的选项是〔 〕A .9)9(2-=- B .525±= C .3311()-=- D .2)2(2-=-3.〔2021 ·杭州中考〕假设901k k <<+ 〔k 是整数〕，那么k =〔 〕 A . 6 B . 7 C .8 D . 94.〔2021 ·广州中考〕以下计算正确的选项是〔 〕A.ab ·ab =2ab C.3-=3〔a ≥0〕 D.·=〔a ≥0,b ≥0〕 5.满足以下条件的三角形中，不是直角三角形的是〔 〕A.三内角之比为1∶2∶3B.三边长的平方之比为1∶2∶3C.三边长之比为3∶4∶5D.三内角之比为3∶4∶56.直角三角形两边的长分别为3和4，那么此三角形的周长为〔 〕 A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对7.将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，那么h 的取值范围是〔 〕 A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16 D ．7≤h ≤168.〔2021 ·湖北随州中考〕在直角坐标系中,将点〔－2,3〕关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是〔 〕A .〔4, －3〕B .〔－4, 3〕C .〔0, －3〕D .〔0, 3〕9.〔2021•河北中考〕假设k ≠0，b ＜0，那么y =kx +b 的图象可能是〔 〕ABCD10.〔2021 ·浙江丽水中考〕平面直角坐标系中，过点〔-2，3〕的直线l 经过第一、二、三象限，假设点〔0，a 〕，〔-1，b 〕，〔c ，-1〕都在直线l 上，那么以下判断正确的选项是〔 〕 A .b a < B .3<a C .3<b D .2-<c二、填空题〔每题3分，共24分〕11.〔2021·山东潍坊中考〕计算：3〔3+27〕=_________.12.〔宁夏中考〕点 P〔a ，a －3〕在第四象限，那么a 的取值范围是 . 13.点P 〔3，－1〕关于y 轴的对称点Q 的坐标是〔a +b ，1－b 〕，那么a b 的值为__________. 14.〔2021 ·广州中考〕某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，那么水库的水位高度y 米与时间x 小时〔0≤x ≤5〕的函数关系式为__________. 15.在△ABC 中，a ，b ，c 为其三边长，，，，那么△ABC 是_________. 16.〔甘肃白银中考〕在等腰△ABC 中，AB =AC =10 cm ，BC =12 cm ，那么BC 边上的高是_________cm ．17.假设),(b a A 在第二、四象限的角平分线上,a 与b 的关系是_________.18．〔2021·哈尔滨中考〕在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC =3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，那么AP 的长为 ．三、解答题〔共66分〕19.〔8分〕如图，等腰△ABC 的周长是16，底边BC 上的高AD 的长是4，求这个三角形各边的长. 20.〔8分〕计算：〔1〕44.1-21.1；〔2〕2328-+；〔3〕12793+⨯； 〔4〕0)31(33122-++；〔5〕2)75)(75(++-；〔6〕2224145-. 21.〔8分〕在平面直角坐标系中,顺次连接A 〔-2,1〕,B 〔-2,-1〕,C 〔2,-2〕,D 〔2,3〕各点,你会得到一个什么图形?试求出该图形的面积. 22．〔8分〕a 31-和︱8b －3︱互为相反数，求()2-ab －27的值.23.〔8分〕〔湖南怀化中考〕设一次函数y =kx +b 〔k ≠0〕的图象经过A 〔1，3〕， B 〔0，－2〕两点，试求k ，b 的值．24.〔8分〕一架云梯长25 m ，如下图斜靠在一面墙上，梯子底端C 离墙7 m. 〔1〕这个梯子的顶端A 距地面有多高？〔2〕如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m 吗？第24题图 第25题图25.〔8分〕〔2021 ·浙江丽水中考〕甲、乙两人匀速从同一地点到1 500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲、乙两人相距s 〔米〕，甲行走的时间为t 〔分〕，s 关于t 的函数图象的一局部如下图.A B C第19题图〔1〕求甲行走的速度；〔2〕在坐标系中，补画s 关于t 的函数图象的其余局部； 〔3〕问甲、乙两人何时相距360米？ 26.〔10分〕〔2021 ·湖北孝感中考〕某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3 000元，每天工作8小时，一个月工作25天，月工资底薪800元，另加计件工资.加工1件A 型服装计酬16元，加工1件B 型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时，加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时.〔工人月工资＝底薪+计件工资〕〔1〕一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时？ 〔2〕一段时间后,公司规定：“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装，且加工A 型 服装数量不少于B 型服装的一半〞.设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件，工资总额为 W 元，请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？期中检测题参考答案一、选择题1.C 解析：因为整数与分数都是有理数,所以0.7，，﹣8都是有理数，无理数就是无限不循环小数，π是无理数.2.C 解析：选项A 中299()-=，选项B 中255=，选项D 中222()-=,所以只有选项C 中3311()-=-正确.3.D 解析：∵ 81＜90＜100，∴ ，即910，∴ k =9.4.D 解析：因为22ab ab a b ⋅=，所以A 项错误；因为33(2)8a a =，所以B 项错误；因为32(0)a a a a =≥，所以C (0,0)a b ab a b =≥≥，所以D 项正确.5.D 解析：判断一个三角形是不是直角三角形有以下方法： ①有一个角是直角或两锐角互余； ②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.由A 得有一个角是直角.B 、C 满足勾股定理的逆定理，应选D.6.C 解析：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7，应选C .7.D 解析：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17〔cm 〕，最短长度为8 cm ，那么筷子露在杯子外面的长度h 的取值范围是24－17≤h ≤24－8，即7≤h ≤16，应选D . 8.C 解析:关于原点对称的点的坐标的特点是横、纵坐标均互为相反数，所以点〔－2，3〕关于原点的对称点为〔2，－3〕.根据平移的性质，结合直角坐标系，〔2，－3〕点向左平移2个单位长度，即横坐标减2，纵坐标不变.应选C .9.B 解析:当b ＜0时，点〔0，b 〕在y 轴的负半轴上，直线y kx b =+与y 轴交于负半轴．又0k ≠，所以直线y kx b =+与x 轴不平行.应选B. 10.D 解析：设直线l 的表达式为()0y kx b k =+≠，直线l 经过第一、二、三象限，∴ 0k >，函数值y 随x 的增大而增大. 01>-，∴ a b >，故A 项错误； 02>-，∴ 3a >，故B 项错误； 12->-，∴ 3b >，故C 项错误； 13-<，∴ 2c <-，故D 项正确.二、填空题11.12 解析：3〔3+27〕=3×3+3×27=〔3〕2+81=3+9=12.12.0＜a ＜3 解析：此题考察了各象限内点的坐标的符号特征以及不等式的解法. ∵ 点P 〔a ，a －3〕在第四象限，∴ a >0，a －3<0，解得0＜a ＜3．13.25 解析：此题考察了关于y 轴对称的点的坐标特点，关于y 轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标一样，可得a ＋b ＝－3，1－b ＝－1，解得b ＝2，a ＝－5，∴ a b ＝25. 14.y =0.3x +6 解析：因为水库的初始水位高度是6米，每小时上升0.3米，所以y 与x 的函数关系式为y =0.3x +6〔0≤x ≤5〕. 15.直角三角形 解析：因为所以△是直角三角形.16.8 解析：如图，AD 是BC 边上的高线． ∵ AB =AC =10 cm ，BC =12 cm ， ∴ BD =CD =6 cm ，∴ 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得ADB C第16题答图AD=22AB BD-=22106-=8〔cm〕．17.互为相反数解析:第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标的绝对值相等,•符号相反.18.或解析：(1)如图(1)，∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴PC=2，∴AP==.(2)如图(2)，∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==.综上所述，AP的长为或．三、解答题19. 解：设，由等腰三角形的性质，知.由勾股定理，得，即，解得，所以，．20.解：〔1〕.〔2〕.〔3〕1332827933393 3.3333+⨯=+⨯=+=〔4〕.61513334)31(331220=+=++=-++〔5〕〔6〕.21.解:梯形.因为AB∥CD，AB的长为2,CD的长为5,AB与CD之间的距离为4,所以S梯形ABCD＝(25)42+⨯＝14.22.解:因为a31-≥0，︱8b－3︱≥0，且a31-和︱8b－3︱互为相反数，第18题答图〔1〕第18题答图〔2〕所以a 31-，0=︱8b －3︱，0= 所以,83,31==b a 所以()2-ab －27＝64－27＝37.23.分析：直接把A 点和B 点的坐标分别代入y =kx +b ，得到关于k 和b 的方程组，然后解方程组即可.解：把〔1，3〕、〔0，－2〕分别代入y =kx +b ， 得+32k b b =⎧⎨=-⎩，，解得52k b =⎧⎨=-⎩，，即k ，b 的值分别为5，－2．24.分析：〔1〕可设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度是直角三角形的三边长，所以x 2+72=252，解出x 即可.〔2〕如果梯子的顶端下滑了4 m ，那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4 m ，应计算才能确定.解：〔1〕设这个梯子的顶端A 距地面有x m 高， 根据题意，得AB 2+BC 2=AC 2， 即x 2+72=252，解得x =24，即这个梯子的顶端A 距地面有24 m 高. 〔2〕不是.理由如下： 如果梯子的顶端下滑了4 m ， 即AD =4 m,BD =20 m.设梯子底端E 离墙距离为y m ， 根据题意，得BD 2+BE 2=DE 2， 即202+y 2=252，解得y =15. 此时CE =15－7=8〔m 〕.所以梯子的底部在水平方向滑动了8 m. 25.解：〔1〕甲行走的速度：150530÷=〔米/分〕. 〔2〕补画的图象如下图〔横轴上对应的时间为50〕. 〔3〕由函数图象可知，当t =12.5时，s =0； 当12.5≤t ≤35时，s =20t -250；当35<t ≤50时，s =-30t +1 500.当甲、乙两人相距360米时，即s =360， 360=20t -250，解得30.5=t , 360 =-30t +1 500. 解得 38=t∴ 当甲行走30.5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米.26.解：〔1〕设一名熟练工加工１件A 型服装需要x 小时，加工1件B 型服装需要y 小时，由题意,得解得答：一名熟练工加工1件A 型服装需要2小时，加工1件B 型服装需要1小时.〔2〕当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时，那么还可以加工B 型服装〔25×8-2a 〕件. ∴ W ＝16a +12〔25×8-2a 〕+800,∴ W ＝-8a +3 200. 又a ≥ 〔200-2a 〕,解得a ≥50. ∵ -8<0,∴ W 随着a 的增大而减小. ∴ 当a =50时，W 有最大值2 800.∵ 2 800<3 000,∴ 该服装公司执行规定后违背了广告承诺.第25题答图。
2016年数学高考题解析
|������:3| √1:������2
= 1，解得������ = − ，选 (������)
3
4
(5) 如图，小明从街道的������处出发，先到������ 处与小红会合，再一起到位于������处的老年公寓参加 志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (������)24 (������)18 (������ )12 (������)9 考查知识点：排列组合、计数原理；直接法 2 = 6条，从������ 至������的最短路 解析：从������至������ 的最短路径可有 ������4 1 2 ������1 = 18条， 径可有������3 = 3条， 所以从������至������的最短路径共有������4 3 选(������) (6) 右图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积 是 (������)20������ (������)24������ 考查知识点：三视图；直接法 (������ )28������ (������)32������
=
|������������1| |������1������2|
=
������2 2������������
⟺ ������ = √2， 选 (������)
(12)已知函数������(������)(������ ∈ ������)满足������(−������) = 2 − ������(������)， 若函数������ = (������ 1,������1 ), ⋯ , (������ ������ , ������������ )，则∑������ ������<1(������ ������ + ������������ ) = (������)0 (������)������ (������ )2������
2016年考研数学一真题及详细解析
2016年考研数学一真题及详细解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且【答案】（C ） 【解析】1(1)a bdx x x +∞+⎰1111(1)(1)a ba b dx dx x x x x +∞=+++⎰⎰ 11p dx x⎰在（1p <时收敛），可知1a <，而此时(1)bx +不影响 同理，1111(1)11ba ba b dx dx x x x x +∞+∞+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰11p dx x +∞⎰（1p >时收敛），而此时11bx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不影响 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩【答案】（D ）【解析】由已知可得，()()(ln )x C x F x x x C x ⎧-+<=⎨-++≥⎩21111111，取C =10，故选D（3）若()()222211y xy x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++【答案】（A ）【解析】y y -=-12是一阶齐次微分方程()y p x y '+=0的解，代入得()(p x -+-=0，所以()xp x x =-+21，根据解的性质得，y y +122是()()y p x y f x '+=的解。
16年全国1卷理数解析版
16年全国1卷理数第I 卷、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）设集合 A ｛x|x 2 4x 30｝，B ｛x|2x 3 0｝，则 AI B33 3 3（A ）（ 3, ^） （ B ）（ 3,2） （C ）（1,-） （D ）（护【答案】Dl 解析】试题分析：因为/二洌J 缶+ 3 <3｝出=倒盂土斗｝,所以3｝rs ｛冲c >故选 D22（2） 设（1 i ）x 1 yi ，其中x ，y 是实数，则x yi =（A ）1 （ B ）、、2（C ）、、3（ D ）2【答案】B 【解析】试题分析：因为（1 i ）x=1 + yi,所以 x xi=1+yi,所以 x=1,y x 1 故|x yi | =|1 + i | •、. 2,故选 B.（3）已知等差数列｛a n｝前9项的和为27， a 〔o =8，则a 100 = （D ） 97（A ） 100 （B ） 99（C ） 98【答案】C【解析】试题分析：由已知，9厲 36d 279d ,所以a 1 1,d 1,a 100699d 1 99 98,故选 C.a 8（4）某公司的班车在 7:30， 8:00，8:30发车，小明在 7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10分钟的概率是（A ） - （ B ）（ C ）3（ D ）4【答案】B【解析】试题分析；由题割这是几何擬型问题》班车毎咒分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40；等 车不超过1。
分钟的时间长度为20,放所求概率为卷"，选E.40 2考点：几何概型x 22(5)已知方程mx+n -m 咛=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为考点：三视图及球的表面积与体积(-)函数y=2x 2-e x 在［-2,2］的图像大致为4,贝y n 的取值范围是(A ) (-1,3) 【答案】A(B) ( -1^3) (C ) (0,3)( D ) (0,<3)【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以m 2n 3m 2 n 4，解得：m 21，因为方程 1表示双曲线，所以 1 n°，解得3 n 0n 1，所以n 的取值范围是n 31,3，故选A .考点：双曲线的性质(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径是28n ,则它的表面积是•若该几何体的体积(A) 17n(B ) 18n(D ) 28n【答案】A 【解析】试题分析：由三视图知：该几何体是-个球，设球的半径为 R ，则V8R 3 匹，解得R 2 ,3所以它的表面积是 -83 - 42217 ，故选A .(C ) 20 n【答案】D【解析】试题分析：/(2)=2x21-/>0,排除阳当xe[0=2]时，/(x) = 2x1-Z J Z(x) = 4x-^,fl) Af(0) = —lc(b /(1) = 4-^>O I f - \ = 1~^ >0,排除爲C,故选D.L上丿考点：函数图像与性质(8)若a b 1, c 1，则(B)ab c ba c(A) a c b c(C)alog b c blog a c(D)log a c log b c【答案】C【解析】I 1 1 1 I试趣分朴用特殊值注，令“时b = 2f€ = y得車>2—选项代错说3x2^>2x3\.进项时澤.£3^1^-<2]og i2f也页©正确，站知£选项D错误』磁C.2 - - 考点：指数函数与对数函数的性质(9)执行右面的程序框图，如果输入的x 0, y 1, n 1，则输出x, y的值满足(A) y 2x (B) y 3x(C) y 4x (D) y 5x【答案】C【解析】试题分析：当x 0, y1,n 1时，1 1x 0 ,y 1 1 122 2，不满足x y36 ；c c 2 1 1— 2 2 c 1 3 1 3 c c cn 2,x 0 -,y 2 12，不满足x y 36 ；n 3,x,y 2 3 6，满足2 2 2 22x2 y236 ；输出x3 厂,y 6, 则输出的x, y的值满足y4x，故选C.2考点：程序框图与算法案例（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A ,B两点，交C的准线于D ,E两点•已知|AB|= 4.2 ,|DE|=2「5 , 则C 的焦点到准线的距离为（A ）2 （B）4 （C）6 （D）8【答案】B【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为寸 2 px，圆的半径为r, AB, DE交x轴于C, F点，则AC 2. 2，即— 4 4 2 2 2 2 A点纵坐标为2 - 2，则A点横坐标为一，即0C ，由勾股定理知DF OF DO r ，P P故选B.考点：抛物线的性质【答案】A2 2 2AC OC AO r2，即(5)2(-P)2(2 2)2(；)2，解得p 4，即C的焦点到准线的距离为(11)平面a过正方体ABCD - A I B I C I D I的顶点A, all平面CB1D1, al平面ABCD = m, al 平面ABB1 A1= n,则m, n所成角的正弦值为(B )鼻(D)【蹄】试穎分析;如團汽殳平面CB^Cl平面,4BCD = m'”平面CB^f］平面血禹虫严几因対创平面①山，所I；也卩叭屛咄冷恼严所咸的角等于泅H所咸的角.过耳柞询％0,交应)的延长线于点盘连接® 则观为屛一逹按冲?，过251作吶⑷,交的起於戋丁点耳，崩甘耳为川一连棋血耳贝U昭D'! CE:B^Afi,则沖“所成比角耳助\B._BD所成的角，为60J放叫用所成甬的正弦值为f ,■''■•考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角(12)已知函数f(x) sin( x+ )( 0,n n—为f (x)的零点，x 为y f (x)图像的对4 4称轴，且f(x)在e n,5n)单调，则的最大值为18 36【答案】B【解折】远翻析；因为"一汕/W的容民*手为尸/W图濒的对状轴：所以彳一(—金吕+町即= ■—,所^=4fc+ue^),又因力JQ0 在］-3—1 单调，所臥2+ 4 ca^18 J67芙—密二笃兰;二J,即曲兰吃，则曲的量天僧为勺故徒B 一JO lc 12 2 3考点：三角函数的性质第II卷本卷包括必考题和选考题两部分•第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)~(24)题为选B(A) 11(B) 9 (C) 7(D) 5考题，考生根据要求作答•二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.(13) 设向量 a=(m,1), b=(1,2)，且 |a+b|2=|a|2+|b|2，贝U m= _________ . 【答案】 2 【解析】22 2试题分析：由|a b| |a||b| ,得a b ，所以m 1 1 2 0，解得m 2.考点：向量的数量积及坐标运算(14) __________________________________________ (2x . x)5的展开式中，x 3的系数是 •(用数字填写答案)【答案】10 【解析】r试题分析：(2x -, x)5 的展开式的通项为 C 5(2x)5 r ( x)r 25 r C 5x 2( r 0 , 1, 2，…，5)，令 5 - 3234得r 4，所以x 3的系数是2C 5 10.考点：二项式定理(15)设等比数列｛$｝满足a 1 + a 3=10, a 2+a 4=5,贝U a 1a 2鬃?a n 的最大值为 【答案】64 【蹄】及其应用材料1 kg ,用5个工时；生产一件产品 B 需要甲材料0.5 kg ,乙材料0.3 kg ,用3个工时, 产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元•该企业现有甲材料150 kg ,乙材料90 kg , 则在不超过600个工时的条件下，生产产品 A 、产品B 的利润之和的最大值为 _________________ 元【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元，那么由题意得约束条件试題分析：设等比執夙仏｝的公比tugan 曲my 哥aq(l+tf ) = 5如)亠£1=2^ 了，于是比幷=3或？I-冲吋，罚勺--臥取得最大但2*=6+.考点: 等比数列(16) 某高科技企业生产产品 A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料•生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ,乙生产一件1.5x 0.5y, 150,x 0.3y, 90,5x 3y, 600, 目标函数z 2100x 900y . x・・0,y-0.3x y? 300,10x 3y, 900,约束条件等价于5x 3y, 600, ①x-0,y・・0.7 zx -3 900 经过作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示2100x y点M时，z取得最大值.10x 3y 900解方程组，得M的坐标为(60,100).5x 3y 600所以当x 60，y 100 时，Z max 2100 60 900 100 216000.故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A, B，C 的对边分别为a，b，c,已知2cosC(acosB+b cosA) c.(I)求C；(II )若c 7, △ ABC的面积为土3，求△ ABC的周长.2【答案】(I) C - (II) 5 . 73【解析】试题分析：⑴ 利用正弦定理进行边角代换，化淨卩可求角⑺(ID根据丄ab备心=巫.2 2及C=£可得诡再利用余弦定理可得(a + ^=25,从而可得△ABC的周灼茹+J7.试题解析：(I)由已知及正弦定理得，2cosC sin cos sin cos sinC ,2cosCsin sinC .故2sinCcosC sinC .1可得cosC ，所以C —.2 3⑹由已知冷妇心5T又C=-,所M = 6.由已知及余弦定理得，O2+^-2£*COS C=7.iit?+*2=13,从而(口+ 片『二2芍所^.AABC的周长为・考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式(18)(本小题满分12分)AFD 90°,如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD , 且二面角D-AF- E与二面角C- BE- F都是60°.（I）证明：平面ABEF 平面EFDC ; （II）求二面角E- BC- A的余弦值.【答案】（I）见解析（II）2.19 19试题分析：（1）证明F 平面FDC，结合 F 平面F，可得平面立空间坐标系，利用向量求解.试题解析：（1）由已知可得F DF , F F ，所以F平面FDC 又F 平面F，故平面F平面FDC .（II ）过D作DG F，垂足为G , 由（I）知DG 平面F.【解析】以G为坐标原点, uur ....................G F的方向为x轴正方向，F 平面FDC . (II)建GF为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz .由（I）知DF为二面角D F 的平面角，故DF 60°，则DF 2 , DG 3，可得1,4,0 , 3,4,0 , 3,0,0 , D 0,0, .3 .学科&网由已知，AB//EF ,所以AB ”平面EFDC ・又平面 ABCDfl 平面 EFDC 三 DC $ 故 AB//CD 』CDf/EF .由BE//AF ,可得BE 丄平面EFDC,所次/CEF 为二面ftC-BE-F 的平面角,ZCEF = 6tr.从而可得q_ZQ<5）・所収更=（5冋，EB = {0=4:0）, XE=（_3T J ）,忑 设并=（盂是平面ECE 的法冋量』则ja^BC=o 冃卩卜+岳=o [3EB = 07 l4y=0所U 可取睡=（3,0 J ）・同理磅加=（0点斗）*则cos 俑剧=菇雨2小^故二面角—A 的余弦值为普考点：垂直问题的证明及空间向量的应用 （19）（本小题满分12分）某公司计划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件，在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件，每个 200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:设衣是平面28的法向量，则*m-AC = 0两远=0以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(I)求X的分布列；(II)若要求P(X n) 0.5，确定n的最小值;(III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个? 【答案】(I)见解析(II)19( III)n 19【解析】试题分析：(I)先碣定X的所有可能取値，然后求相应的祗率，可得X的分布列d <n)通过槪率大小进行比较扌(III)分别求出nmo的斟崑比K即可一试额解析：(I )由林狀隔并以频率代替椰率可得，一台机器在二年內需更轶的易损零件数为fi- 5, 10, 11的柢率分耳彷02, Q.A, 0.2, 0.2,从而P{X =16) = 02x0.2 = 0.04;P(^T = 17>^ 2x 0 2xt)P4^0. Id ?P{X =1S)=2X O^X(X2+ 3.4x 0.4 = 0.245P{X-1 労二0J2 又0.2+ 2x 0.4x 0.2 二0一2斗,P{X= 20) = 2x 02 x 04 + 0.2x 0.2 = 02；= 25= 2x02x0.2 = 0.05?= 22}= 02x022 = 0.04.所臥X的分布爭伪(II)由(1〉知尸(兀&10 = 044：故科的最小值为朝.〔III〉记F表示2台机器在购买易损零件上所需的曹用(单位：元)-当« = 1^3寸，丑卩=12&0x0.68+ (19x200+ 50®x02+ (19x20&4-2x 50(^x008 十(15x20 0+3x 500)x0.04= 4040.当ff-2-0时，£7= 20x200x 0.88+(20X200+50®K0.08+(20X200+2x500)x0.04= 4080 .可矩当n = 19时所需费用的期望信小于兀=20时所需费用的期望值,故应选用=般.考点：概率与统计、随机变量的分布列(20)(本小题满分12分)2 2设圆x y 2x 15 0的圆心为A,直线I过点B( 1,0)且与x轴不重合，I交圆A于C, D 两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点E的轨迹为曲线C i,直线|交C i于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两占八、、：求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】(2:I)14211( y0) (II) [12,8.3)【解析】试题分析：k的函数，再求最值。
2016年高考全国I卷理科数学试题逐题解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(I 卷)本试题卷共5页，24题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I（A ）)23,3(--（B ）)23,3(-（C ）)23,1(（D ）)3,23(【解析】：{}{}243013A x x x x x =-+<=<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ． 故选D ．（2）设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x（A ）1（B ）2（C ）3（D ）2【解析】：由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y=⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi +故选B ．（3）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97【解析】：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =，而108a =，因此公差 1051105a a d -==-∴100109098a a d =+=．故选C ． （4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【解析】：如图所示，画出时间轴：8:208:107:507:408:308:007:30小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，所求概率10101402P +==．故选B ． （5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(【解析】：222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ．（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是328π，则它的 表面积是 （A ）π17（B ）π18（C ）π20 （D ）π28【解析】：原立体图如图所示：是一个球被切掉左上角的18后的三视图表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S ⨯⨯⨯⨯πππ，故选A ． （7）函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（A（B（C（D【解析】：()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．（8）若1>>b a ，10<<c ，则（A ）ccb a <（B ）cc ba ab < （C ）c b c a a b log log <（D ）c c b a log log <【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴l n l n l o gl o gl n l n abc cc c a b>⇔>，D 错误； 故选C ．（9）执行右面的程序框图，如果输入的0=x ，1=y ，1=n ，则输出y x ,的值满足（A ）x y 2=（B ）x y 3=（C ）x y 4=（D ）x y 5=【解析】：第一次循环：220,1,136x y x y ==+=<；第二次循环：22117,2,3624x y x y ==+=<； 第三次循环：223,6,362x y x y ==+>； 输出32x =，6y =，满足4y x =；故选C ． （10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8【解析】：以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,A x，2p D ⎛- ⎝，点(0,A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =， 焦点到准线的距离为4p =．故选B ．（11）平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，//α平面11D CB ，αI 平面ABCD m =， α平面n A ABB =11，则n m ,所成角的正弦值为（A ）23（B ）22 （C ）33（D ）31【解析】：如图所示：F111∵11CB D α∥平面，∴若设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1m m ∥ 又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ，结合平面11B D C 平面111111A B C D B D = ∴111B D m ∥，故11B D m ∥，同理可得：1CD n ∥故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111BC BD CD ==（均为面对交线），因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠=． 故选A ．（12）已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（A ）11（B ）9（C ）7（D ）5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤ 接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减。