全等三角形压轴题及分类解析

8年级三角形综合题归类

双等边三角形模型

1. (1)如图7,点0是线段AD 的中点，分别以 AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三

角形OAB 和等边三角形 OCD,连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC.求/ AEB 的大小; (2)如图8,A OAB 固定不动，保持△ OCD 的形状和大小不变，将△

(A OAB 和A OCD 不能重叠)，求/ AEB 的大小.

2. 已知：点C 为线段AB 上一点，△ ACM,A CBN 都是等边三角形，且 AN 、BM 相交于O.

① 求证：AN=BM

② 求/ AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P,

BM 、NC 交于点Q ,求证：PQ// AB 。

同类变式：如图a ,A ABC 和厶CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C,

连接AF 和BE.

⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；

(2) 将图a 中的△ CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b , (1)中的结论还成立吗？作出判 断并说明理由；

(3) 若将图a 中的△ ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即

可)，(1)中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由•

CD BE , △ AMN 是等边三角形.

OCD 绕着点O 旋转

(湘潭•中考题)

图7

D

A

3.如图9,

(1) 当把△ ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE 是否仍然成立？若成立，请证明;

若不成立，请说明理由；

(2) 当厶ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△ AMN 是否还是等边三角形？若是，请 给出证

明，若不是，请说明理由.

BAC DAE ,且点B , A , D 在一条直线上，连接BE , CD , M , N 分别为BE , CD 的中点.

(1) 求证：① BE CD :② AM AN ；

(2) 在图①的基础上，将 △ ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到 图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立 •

4.如图，四边形 ABCD^四边形 AEFG 匀为正方形，连接 BG 与 DE 相交于点H

(1) 证明：△ ABG 也△ ADE ; (2) 试猜想 BHD 的度数，并说明理由；

同类变式：已知，如图①所示，

在△ ABC 和△ ADE 中,

AB AC , AD AE ,

图9 图10 图11

图① A

A

图②

(3)将图中正方形 ABC 哦点A 逆时针旋转(0°< BAE v 180° ),设厶ABE 勺面积

为$ , △ ADG 勺面积为S 2，判断^与S 2的大小关系，并给予证明.

5•已知：如图， △ ABC 是等边三角形，过 AB 边上的点D 作DG // BC ,交AC 于点G , 在

GD 的延长线上取点 E ,使DE DB ，连接AE , CD .

(1)求证：△ AGE =△ DAC ；

(2)过点E 作EF // DC ，交BC 于点F ，请你连接 AF ，并判断△ AEF 是怎样的三角

形，试证明你的结论.

二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容)

考点1:利用垂直证明角相等

1. 如图，△ ABC 中，/ ACB = 90°, AC = BC , AE 是BC 边上的中线，过 C 作CF 丄AE ，垂 足

为F ，过B 作BD 丄BC 交CF 的延长线于 D

. 求证：(1) AE = CD ;

(2)若 AC = 12 cm ，求 BD 的长

.

C

2.

（西安中考）如图 ⑴， 已知△ ABC 中,/ BAC=90, AB=AC, AE 是过A

的一条直线,且B 、C 在A E 的异侧,BD 丄AE 于D, CE 丄AE 于E 。

图⑵

（1）试说明：BD=DE+CE.

⑵若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD

如何？写出结论，可不说明理由。

考点2:利用角相等证明垂直

图⑶

若直线AE 绕A 点旋转到图

⑶位置时（BD>CE ）, 其余条件不变

问BD 与DE 、CE 的关系

3.直线CD 经过

BCA 的顶点 C , CA=CB.

E 、

F 分别是直线CD 上两点，且

BEC CFA

（1）若直线CD 经过 BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题:

①如图1，若 BCA 90o ,

90o ，则 EF BE AF （填“

”，“ ”或“ ”号）；

②如图2，若0° BCA 180°，若使①中的结论仍然成立， 则

与BCA 应满足的关系

是;

（2）如图3,若直线CD 经过 BCA 的外部, 线段的数量关系，并给予证明.

BCA ，请探究EF 、与BE 、AF 三条

图2 图3

D

B

图1

1. 已知BE, CF是厶ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

2. 如图，在等腰Rt △ ABC中，/ ACE=90°, D为BC的中点，DEL AB垂足为E,过点B作BF// AC交DE的延长线于点F,连接CF.

(1) 求证：CD=BF

⑵求证：AD L CF;

⑶连接AF,试判断△ ACF的形状.

B

拓展巩固：如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形, ACB= 90°, AD是BC边上的中线, 过C作AD的垂线，交AB于点E,交AD于点F,求证：/ ADC=Z BDE.

E 图9

(提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？)

3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE , GC .