中考数学----类比探究题练习(1)

中考数学----类比探究题练习（1）
1.如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA，
CD的延长线分别交于点M，N，则∠BME=∠CNE（简要证明）．
（1）如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交CD，AB于点M，N，判断△OMN的形状，并说明理由．
（2）如图3，在△ABC中，，点D在AC边上，且AB=CD．E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接DG，若∠EFC=60°，判断△AGD形状，并说明理由
2、小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
（1）问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，连接AE并延长，交BC的延
长线于点F，求证：（S表示面积）．
（2）问题迁移：如图2，在已知锐角∠AOB内有一个定点P，过点P任意作一条直线，分别交射线OA，OB于点M，N．小明在直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小？并说明理由．
（3）实际应用：如图3，若在道路OA，OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA，OB 和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得
∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．
（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，）
3、问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；
(2)拓展探究：在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)问题解决：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，直接写出线段AF的长．
4、(1)问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE. 填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为；
(2)拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．
5、我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB′，把AC 绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′.当α＋β＝180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：(1)在图2，图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝ BC；
②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为；
猜想论证：(2)在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明；
拓展应用：(3)如图4，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝23，DA＝6.在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．
图4
中考数学----类比探究题练习（1）答案 1、解题思路
2、解题思路
3、解：（1）BE＝2AF；(2)无变化．理由如下：在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴sin∠ABC＝AC
BC
＝
2
2
. 在正方形CDEF中，∠FEC＝
1
2
∠FED＝45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC＝CF
CE
＝
2
2
，∴
CF
CE
＝
AC
BC
. ∵∠FCE＝∠ACB＝45°，
∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE. ∴∠FCA＝∠ECB.∴△ACF∽△BCE.
∴BE
AF
＝
BC
AC
＝ 2.∴BE＝2AF. ∴线段BE与AF的数量关系无变化．
(3)3－1或3＋1. 提示：分两种情况讨论：①当点E在线段BF上时，如图2
由(1)知，CF＝EF＝CD＝ 2.在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝22，根据勾股定理得BF＝6，∴BE＝BF－EF＝6－ 2. 由(2)知，BE＝2AF，∴AF＝3－1.
②当点E在线段BF的延长线上时，如图3，∵△ABC，△CFE为等腰直角三角形．
易证：△ACF∽△BCE.∴BE
AF
＝
BC
AC
＝ 2.∴BE＝2AF.由(1)知，CF＝EF＝CD＝ 2.
在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝22，根据勾股定理得，BF＝6，
∴BE＝BF＋EF＝6＋ 2.由(2)知，BE＝2AF，∴AF＝3＋1.
即当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为3－1或3＋1. 4、解：（1） 60°；AD＝BE；(2)∠AEB＝90°，AE＝2CM＋BE.理由：
∵△ACB和△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.
在等腰直角三形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM＝DM＝ME，∴DE＝2CM.
∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BE；（3）3－1
2
或
3＋1
2
.
提示：∵PD ＝1，∠BPD ＝90°.∴BP 是以点D 为圆心，以1为半径的⊙D 的切线，点P 为切点． 第一种情况：如图4，过点A 作AP 的垂线，交BP 于点P ′，可证△APD ≌△AP ′B ，PD ＝P ′B ＝1.
∵CD ＝2，∴BD ＝2，BP ＝3，∴AM ＝12PP ′＝12(PB －BP ′)＝3－12
. 第二种情况，如图5，可得AM ＝12PP ′＝12(PB ＋BP ′)＝3＋12
.
5、解：（1）12；4； (2)①猜想：AD ＝12
BC.证明：如上图3，延长AD 至点E ，使DE ＝AD. ∵AD 是△ABC 的“旋补中线”，∴B ′D ＝C ′D.∴四边形AB ′EC ′是平行四边形．
∴EC ′∥B ′A ，EC ′＝B ′A.∴∠AC ′E ＋∠B ′AC ′＝180°.
由定义可知∠B ′AC ′＋∠BAC ＝180°，B ′A ＝BA ，AC ＝AC ′，
∴∠AC ′E ＝∠BAC ，EC ′＝BA.∴△AC ′E ≌△CAB(SAS )．∴AE ＝BC.∵AD ＝12AE ，∴AD ＝12
BC. (3)存在．以AD 为边向四边形ABCD 的内部作等边△PAD ，连接PB ，PC ，延长BP 交AD 于点F ， 则有∠ADP ＝∠APD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝6.∵∠CDA ＝150°，∴∠CDP ＝90°.
过点P 作PE ⊥BC 于点E ，易知四边形PDCE 为矩形．∴CE ＝PD ＝6.
∴tan ∠DPC ＝CD PD ＝236＝33
.∴∠DPC ＝30°，∠EPC ＝60°.∴BE ＝12－6＝6＝CE. 又PE ⊥BC ，∴PC ＝PB ，∠BPE ＝∠CPE ＝60°.∴∠APD ＋∠BPC ＝60°＋120°＝180°.
又PA ＝PD ，PB ＝PC ，∴△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”．∵∠BPE ＝60°，∠DPE ＝90°，
∴∠DPF ＝30°.∴BF ⊥AD ，AF ＝12
AD ＝3，PF ＝3 3. 在Rt △PBE 中，PB ＝PE 2＋BE 2＝CD 2＋BE 2＝（23）2＋62＝43，
∴BF ＝PB ＋PF ＝7 3.在Rt △ABF 中，AB ＝（73）2＋32＝239.
∵△PDC 是△PAB 的“旋补三角形”，∴△PAB 的“旋补中线”长为12AB ＝39.。