类比探究问题(讲义)

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2019河南中考类比探究讲义.

（2）探究证明把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 MN，
BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请
直接写出△PMN 面积的最大值．
A
A
E
D
ME
M
P
D
P
B
N
图1
【有关尺规作图】
CB
N
C
图2
1.尺规作图：过一点作已知直线 l 的垂线(保留痕迹，不写作法)
长．
4
A E
A
E
A
D
B
D
CB
CB
C
图1
图2
备用图
5. （2017·河南）如图1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在
边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中
点．
（1）观察猜想
图1中，线段 PM 与 PN 的数量关系是___________，位置关系是_________；
边 BD 上，且∠EAF=45°．猜想 EF，BE，DF 之间满足的数量关系，并写出
推理过程．
2. （2016·河南）（1）发现如图1，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC= a ， AB= b ．填空：当点 A 位于_______________时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为__________．（2）应用点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=3，AB=1．如图2所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE． ①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 BE 长的最大值．（3）拓展如图3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为 (5 ， 0) ，点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA=2 ， PM=PB ， ∠BPM=90°．请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标．

八年级数学同步拔高第九讲《相似之类比探究》讲义

类比探究之作图、应用(讲义及答案)

C
B
备用图
2
2. 在△ABC 中，CA=CB，∠ACB=α．点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 α 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP．（1）观察猜想如图 1，当 α=60°时， BD 的值是__________，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小 CP 角的度数是__________．（2）类比探究如图 2，当 α=90°时，请写出 BD 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度 CP 数，并就图 2 的情形说明理由．（3）解决问题当 α=90°时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时 AD 的值． CP C
AFΒιβλιοθήκη G ENBD
C
图1
F A
M
E N
1
精讲精练
1. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，
AD=DE= 1 AB，连接 DE．将△ADE 绕点 A 沿逆时针方向旋转，记旋转角为 θ． 2
（1）问题发现 ①当 θ=0°时， BE _______；②当 θ=180°， BE _______．
（3）已知 BC=10，CE= 2 5 ，正方形 CEFG 绕点 C 旋转的过程中，当 A，F，E 共线时，直接写出△DMG 的面积．
A
D
M
F
G
B
CE
图1
A
D
MF E
G
B
C
图2
A
D
B
C
备用图
4
4. 已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形（ 2 OA＜OM=ON），∠AOB=∠MON= 2

类比探究 (讲义及答案)

类比探究（讲义）➢ 知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比上一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．类比探究问题中常见几何结构举例旋转结构（手拉手模型）：等线段共端点，考虑旋转，借助全等整合条件．EDC B AEDC B A如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构．连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，△ACE 可看作是由△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到的．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC ，△CDE 中，∠ACB =∠ECD =90°，CA =CB ，CD =CE ，点D在AB 边上．若AD =5，BD =12，则AE =______，DE =_______．EDCA2.如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE．以下五个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=ED2+EC2；⑤BE2=2(AD2+AB2)，其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5A BD E3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE=AD，连接CE，AF平分∠DAE交BC 于F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若BD=3，CF=4，则DF=_________．EFDBA4.（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，求证：BE=CD．（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，猜想BE与CD有什么数量关系？请说明理由．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，则BE的长为___________．图1DBACE图2CBEADGF图35. 已知△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点D 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 所在直线上一点（不与点B 重合）．（1）如图1，当点D 在线段AB 上时，直接写出DA 2，DB 2，DE 2三者之间的数量关系：_______________．（2）如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，（1）中的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若点D 满足14AD AB ，直接写出DEDB的值：___________．图1EDCB A图2ECAABC备用图6. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，在BC 的同侧作任意Rt △DBC ，∠BDC =90°．（1）若CD =2BD ，M 是CD 中点（如图1），求证：△ADB ≌△AMC ．（2）若CD <BD （如图2），在BD 边上是否存在一点N ，使得△ADN 是以DN 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．小明在解决此题时，是在BD 上截取BN =CD ，连接AN ．你知道小明是怎么解决的吗？请写出过程．（3）当CD =1，BD =4时，则AD 的长为__________．MOD C BA图1ODBA图27.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF=90°，求证：BE=AF．（2）如图2，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN=90°，求证：AB AN+=．小聪在解决此题时，过点M作AM的垂线，交AB的延长线于点P．你知道小聪是怎么解决的吗？请写出过程．AEB D FC图1ANDB CM图2【参考答案】➢精讲精练1.12，132. C3.（1）略；（2）5，证明略；（3）4.（1）略；（2）BE CD5.（1）222DA DB DE；（2）成立，证明略；（3+=6.（1）略；（2）略；（3）27.（1）略；（2）略。

第11讲相似三角形之类比探究培优班讲义

相似之类比探究（讲义）一、知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．● 类比探究中的常见结构平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型；直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．二、精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值．（1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数量关系是_____________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0），则CD CG的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD=，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________；②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________，并证明你的结论．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是______________．（写出关系式，不必证明）三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；32（2）2m；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.（1）①1；②2x（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以212AM AG DM DE ===（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2AM AG xDM DE ==．3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ；（2）成立．理由如下：证明：如图，I HEAB CD FG过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ，证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ；（3）解：如图，MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明△GME ∽△FNE ，所以EF bEG a． 4. （1）EF =EG ．（2）EF =1nEG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点NN MEC FAG（3）EF =1mnEG ． I H C EF DA BG相似之类比探究（每日一题）姓名_________1．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211==+AE AC 时，有22321==+AO AD ；（2）当11312==+AE AC 时，有22422==+AO AD ；（3）当11413==+AE AC 时，有22523==+AO AD ；（4）当11=+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．OE D CBA2．在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°．（1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系．（2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ．求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求BDAC的值． ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33．已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当D 为OA 中点时，求APPC 的值；（2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求APPC的值；（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当AD :DO =1:m 时，直接写出APPC的值． ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34．（1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25．在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明；（3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明．图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1．解：当11=+AE AC n 时，2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==，AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n，即：2=2AOAD n+2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD∴AO=BD，AO⊥BD（2）如图2，EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE，AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE∴AC=BD，AC⊥BD（3）如图3，EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE∴BD=BE，BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3．解：（1）如图1，E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2（2）如图2，E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+，1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m（3）1n m+ 4．证明：（1）如图1，Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH（2）GH=mEF证明如下：如图2，MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．∵∠GNH=∠FME=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH ADEF AB=m，即：GH=mEF（3）A E M DHNCQORFGB如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°．∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．∵∠ORG=∠QRF，∴∠HGN=∠EFM．∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=，即：GH=mEF5．解：（1）AE=EM，理由如下：如图1，G图1ME FDCBA取AB的中点G，连接GE．∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：如图2，G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：如图3，ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究（随堂测试）1．已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN（不需证明）．当PCP A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．图3B NAPMC【参考答案】如图2，如图3中都有结论：PNPM ．理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究（作业）2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EAEB的值是_____________．（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EAEB的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EAEB的值是__________（用含a ，b的代数式表示）．图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：△ABF ∽△COE ；（2）如图2，当O 为边AC 中点，2AC AB =时，求OFOE的值；（3）如图3，当O 为边AC 中点，ACn AB=时，请直接写出OFOE的值．DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；（3）BC =2ED ．DCAEB【参考答案】1. 原题：12；（1）1m ；（2）1ab；2. 解：（1）略（2）2OF OE=．提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA（3）OFn OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。

八年级数学类比探究(讲义及答案).

类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．学习过程的本质类比与探究．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.在△ABC 中，AB=AC，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BD=CE；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，求证：BD=CE；（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上时，上述结论还成立吗？请证明你的猜想．2.（1）操作发现：如图1，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图2，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．（3）深入探究：①如图3，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．②如图4，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．33.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，点D 是直线AB 上的一点，连接CD，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点 D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为；线段BD，AB，EB 的数量关系为．（2）猜想论证当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD，AB，EB 的数量关系，并对图2 的结论进行证明．（3）拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE 的面积．4.（1）如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AE=AD，连接BD，CE，则线段BD 和CE 的数量关系是；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD 和CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB，AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠PBC+∠PCB 的度数．【参考答案】1. （1）证明略；（2）证明略；（3）成立，BD=CE，证明略．2.（1）AF=BD，证明略；（2）成立，AF=BD，证明略；（3）①AB=AF+BF′，证明略；②不成立，AB=AF-BF′，证明略．3.（1）AB⊥BE，AB=BE+BD；（2）AB=BE-BD，证明略；（3）△ADE 的面积为72 或2．4. （1）BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，证明略；（3）BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．类比探究（习题）➢已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．•如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF+CD=BC；•如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；•如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD 三条线段之间的关系．➢如图1，点C 在线段AB 上（点C 不与A，B 重合），分别以AC，BC 为边在AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接AE，BD 交于点P．4.观察猜想：①AE 与BD 的数量关系为；②∠APD 的度数为．5.数学思考：如图2，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．6.拓展应用：如图3，点E 为四边形ABCD 内一点，且满足∠AED=∠BEC=90°，AE=DE，BE=CE，对角线AC，BD 交于点P，AC=10，则四边形ABCD 的面积为．【参考答案】1. （1）证明略；5.CF-CD=BC；6.CD-CF=BC，证明略．2. （1）①AE=BD；②60°；（2）成立，AE=BD，∠APD=60°，证明略；（3）50．。

类比探究讲义

E GM F D CBA A BCDFME几何中的类比探究（讲义）一、知识点睛1. 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法．类比探究中第一问方法可能不止一种，但总有一种方法是可以照搬到后面几问，其中所涉及的三角形全等、相似，要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似．2. 挖掘题干不变的几何特征，根据特征寻方法．常见几何特征及做法：遇中点，____________________________________________；遇直角，____________________________________________．二、精讲精练1. 如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明．（2）将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，如图2，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转任意角度，如图3，原问题中的其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．图 1 图 2图32. 在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ．作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图1，易证EG =CG 且EG ⊥CG ．（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图3，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出猜想，并加以证明．GMFE DCBA（3）将△BEF 绕点B 逆时针旋转任意角度，如图4，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请写出猜想，并加以证明．ABC DE F G图1图2ABCDE FG图3G FEDCB A图4GF EDCBA3. 如图1，在△ACB 和△AED 中，AC =BC ，AE =DE ，∠ACB =∠AED =90°，点E 在AB 上，点F 是线段BD 的中点，连接CE 、FE ．（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系．（2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边AC 在同一条直线上（如图2），连接BD ，取BD 的中点F ，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD ，取BD 的中点F ，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．图3FE D CBAA BCDE F图2图1FED CBA4. 如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1=EA CE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2=EACE 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当mEACE =时，EP 与EQ 满足的数量关系式为________________________．图1FC (E )BA (D )Q Q PPEDF AB C图3DF EAB C图25. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求E F E G的值．图3图2图1G (B )FD CAE EABCDFG GFD C BE (A )6. 如图1，在R t A B C △中，90B A C ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是A C 边上一点，连接B O 交A D 于点F ，O E O B ⊥交B C 边于点E ．（1）求证：A B F C O E △∽△；（2）当O 为A C 边中点，2A C A B =时，如图2，求O F O E 的值；（3）当O 为A C 边中点，A C nA B=时，请直接写出O F O E的值．图2图1BF D OE CABDFEO A三、课后作业1. 在正方形ABCD 中，点E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于点F ，连接DF ，点G 为DF 中点，连接EG ，CG ．（1）求证：EG =CG ，EG ⊥CG ．（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．图图图1FE BAACBE FGD D GF E BCA图图2D GFE BCAACBE FGD D C图3DGFE BCAD2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝90°．一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，将三角板绕点O 旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC 或其延长线于点E 、F ，图1、图2是旋转三角板所得图形的两种情况．（1）三角板绕点O 旋转，△COF 能否成为等腰直角三角形？若能，指出所有情况（即给出△COF 是等腰直角三角形时BF 的长）；若不能，请说明理由．（2）三角板绕点O 旋转，线段OE 和OF 之间有什么数量关系？用图1或图2加以证明．（3）若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P 处（如图3），当AP ∶AC ＝1∶4时，PE 和PF 有怎样的数量关系？证明你发现的结论．图3A BCEFPABC OEF图2图1FE OCB A【参考答案】一、知识点睛1.几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法．类比探究中第一问方法可能不止一种，但总有一种方法是可以照搬到后面几问，其中所涉及的三角形全等、相似，要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似．2.挖掘题干不变的几何特征，根据特征寻方法．常见几何特征及做法：遇中点，作倍长、用全等；遇直角，作双垂线（横平竖直），用全等或相似．二、精讲精练1. （1）MD ⊥MF 且MD =MF ．（提示：延长DM 交EF 于点H ，则M 为DH 中点，证△DFH 是等腰直角三角形，即可得MD ⊥MF 且MD =MF ）（2）（1）中的两个结论仍然成立．（提示：延长DM ，交CE 于点P ，连接DF 、PF ，则M 为DP 中点，证△CDF ≌△EPF ，得∠DFC =∠EFP ，DF =PF ，从而∠DFP =∠DFC +∠CFP =∠EFP +∠CFP =90°，△DFP 是等腰直角三角形）（3）（1）中的两个结论仍然成立．（提示：过点E 作AD 的平行线，交DM 的延长线于点Q ，连接DF 、QF ，则M 为DQ 中点，证△CDF ≌△EQF ，得∠DFC =∠EFQ ，DF =QF ，从而∠DFQ =∠DFC +∠CFQ =∠EFQ +∠CFQ =90°，△DFQ 是等腰直角三角形）2. （1）EG =CG ，且EG ⊥CG ．（2）EG =CG ，且EG ⊥CG ．（提示：延长EG 交AD 于点H ，连接CH 、CE ，证△CBE ≌△CDH ，从而得△ECH 是等腰直角三角形）（3）EG =CG ，且EG ⊥CG ．（提示：过点D 作EF 的平行线，交EG 的延长线于点P ，连接CP 、CE ，证△CBE ≌△CDP ，从而得△ECP 是等腰直角三角形）3. （1）CE =．（2）（1）中的结论仍然成立．（提示：延长EF 交BC 于点H ，证△ECH 是等腰直角三角形，从而可得CE ）（3）（1）中的结论仍然成立．（提示：过点B 作DE 的平行线，交EF 的延长线于点P ，连接CP ，证△ACE ≌△BCP ，从而得△ECP 是等腰直角三角形，进而可得CE ）4. （1）EP =EQ ．（提示：过点E 作EM ⊥AB ，EN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，证△EMP≌△ENQ ）（2）EQ =2EP ．（提示：过点E 作EG ⊥AB ，EH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，证△EGP ∽△EHQ ，则12E Q E H C E E PE GE A===，EQ =2EP ）（3）EQ =mEP ．5. （1）提示：证△EDF ≌△EBG ．（2）（1）中的结论仍然成立．（提示：过点E 作EM ⊥BC ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ，证△ENF ≌△EMG ）（3）E E b E Ga=．（提示：过点E 作EP ⊥BC ，EQ ⊥CD ，垂足分别为P 、Q ，证△EQF ∽△EPG ，则=E F E Q B C b E GE PA Ba==）6. 解：（1）证明：∵AD ⊥BC ，∴∠DAC +∠C =90°．∵∠BAC =90°，∴∠BAF =∠C ． ∵OE ⊥OB ，∴∠BOA +∠COE =90°． ∵∠BOA +∠ABF =90°，∴∠ABF =∠COE ． ∴△ABF ∽△COE ．（2）过点O 作AC 的垂线，交BC 于点H ． ∵OE ⊥OB ，∴∠EOH +∠BOH =∠FOA +∠BOH =90°， ∴∠EOH =∠FOA ．又∵∠BAC =90°，AD ⊥BC ，∴∠OAF +∠C =∠ABC +∠C =90°，∴∠OAF =∠ABC ，又∵∠ABC =∠OHE ，∴∠OAF =∠OHE ． ∴△OAF ∽△OHE ． ∴O F O AO EO H =．又∵1=2O H A B ，1=2O A A C ，∴=2O F O A A C O EO HA B==．（3）O F n O E=．三、课后作业1. （1）提示：过D 作EF 的平行线，交EG 的延长线于点H ，连接CE ，CH ．证△BEC ≌△DHC ，从而得△ECH 为等腰直角三角形，进而可得EG =CG ，且EG ⊥CG ．（2）（1）中的结论仍然成立．（提示：延长EG 交AD 的延长线于点M ，连接CE ，CM ．证△CBE ≌△CDM ，从而得△ECM 为等腰直角三角形，进而可得（1）中结论．（3）（1）中的结论仍然成立．（提示：过D 作EF 的平行线，交EG 的延长线于点N ，连接CE ，CN ．证△CBE ≌△CDN ，从而得△ECN 为等腰直角三角形，进而可得（1）中结论．2. 解：（1）△COF 能成为等腰直角三角形．①当F 为BC 的中点时，∵点O 为AC 的中点，∴OF ∥AB ，OF =15=22A B ，∠OFC =90°．。

2018中考复习类比探究问题讲义(部分答案)

类比探究（一）——平行、直角（讲义）知识点1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3. 常见结构：①平行结构②直角结构③旋转结构G F EDC BA④中点结构DA BMCABC E MNMA平行夹中点 (类)倍长中线中位线精讲精练1. 如图，△ABC 中，点E ，P 在边AB 上，且AE =BP ，过点E ，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F ，Q ，记△AEF 的面积为S 1，四边形EFQP 的面积为S 2，四边形PQCB 的面积为S 3．（1）①若EP =2AE ，则EF :PQ :BC =__________； ②求证：EF +PQ =BC ．（2）若S 1+S 3=S 2，求PEAE的值．（3）若S 3-S 1=S 2，直接写出PEAE的值．QPFE CB AFEDCG (B )AAB=ACDBCD'A2. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE =nEA ，连接CE 并延长交AB 于点F ．（1）如图1，当∠BAC =90°，∠B =30°，DE =EA 时，求FBFA的值；（2）如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE =EA 时，求FBFA 的值；（3）如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE =nEA 时，求FBFA的值．3. 在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ；在Rt △PMN 中，∠MPN =90°．（1）如图1，若点P 与点O 重合且PM ⊥AD ，PN ⊥AB ，分别交AD ，AB 于点E ，F ，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（2）将图1中的Rt △PMN 绕点O 顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，旋转后，若Rt △PMN 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O ，B 重合），当BD =3BP 时，猜想此时PE 与PF 的数量关系，并给出证明． ③当BD =m ·BP 时，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（3）在（2）②的条件下，当∠DPM =15°时，连接EF，若正方形的边长为，请直接写出线段EF 的长．图1MN F E O (P )DCBA 图2A BDO (P )E FNM4. 在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，图3PA BDO E FNM图3A D NPECBM ∠BDE =90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD =DP ．（1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD =DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．类比探究（二）——旋转、中点（讲义）知识点1. 若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决．若不属于常见结构类型，则需要我们尝试着去寻找不变结构解决问题． ① 根据题干条件，结合支干条件先解决第一问． ② 类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征、不变结构．③ 结合所求目标，依据不变特征尝试找不变结构，大胆猜测、尝试、验证． 2. 不变结构既是类比迁移的前提，也是类比迁移过程中发现的结果．① 对比连续两问特征，考虑类比的前提条件是否存在；② 对比特征应用方式，考虑在“相同”的条件下，能否进行“相同”的组合；③ 对比结论，往往先从图上验证上一问结论；或者结合图形以及上一问结论的组合方式猜测新结论．在类比的过程中，也会进行适当的探索来解决图形变化过程中的一些新问题，此时要在不变结构的框架下去思考分析．精讲精练1. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF ．（1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明．（2）如图2，当点P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =m °，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边上一动点，分别以CP ，PQ 为腰作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得PC =PF ，PQ =PE ，连接EF ．要使（1）中的结论依然成立，则需要添加怎样的条件？为什么？图1AD NPECBM 图2M BCE PNDA图2QP FCBEA图3QP F CBEA2. 如图1，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线的交点处，∠QPN =α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F （点F 与点C ，D 不重合）．（1）如图1，当α=90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是____________；（2）如图2，将图1中的正方形ABCD 改为∠ADC =120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE +DF =12AD ，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．3. 已知直线m ∥n ，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m ，n 不垂直，点P 为线段CD 的中点．图1Q P FCBE A图2NQFE P D CB A图1N QPF E DCBA 图3ABCD（1）操作发现：直线l ⊥m ，l ⊥n ，垂足分别为A ，B ，当点A 与点C 重合时（如图1所示），连接PB ，请直接写出线段PA 与PB 的数量关系：____________．（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l 向上平移到如图2的位置，试问（1）中的PA 与PB 的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得∠APB =90°（如图3所示），已知两平行线m ，n 之间的距离为2k ．求证：PA PB k AB ⋅=⋅．图1lmn A (C )BD P 图2PDBCA n m l l m n ACB DP图34. 在Rt △ACB 和Rt △AEF 中，∠ACB =∠AEF =90°，若点P 是BF 的中点，连接PC ，PE ．特殊发现：如图1，若点E ，F 分别落在边AB ，AC 上，则结论：PC =PE 成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转．（1）如图2，若点E 落在边CA 的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）记ACk BC=，当k 为何值时，△CPE 总是等边三角形（请直接写出k 的值，不必说明理由）？图1PFEC BAP A BCEF图2图3PCBAF类比探究（三）——探究应用（讲义）知识点A CB1. 类比探究问题往往会在发现不变结构后，应用不变结构去解决新的问题．此时需要先探索分析新问题，在探索过程中，将新问题与不变结构的特征进行对比，寻求“相同”特征．在“相同”特征基础上，构造不变结构来解决问题．备注：图形不完整时，往往会有多种情形．精讲精练1. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1、图2、图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC =a ，AC =b ，AB =c ．特例探索（1）如图1，当∠ABE =45°，c=a =_____，b =_____；如图2，当∠ABE =30°，c =4时，a =________，b =________．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2，b 2，c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的结论．拓展应用（3）如图4，在□ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，BE ⊥AC 于点H ，若AD=AB =3，求AF 的长．CFPECFP ECF BPE图1图2图32. BC D A3. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于EFBCD A HF E DCB A图4点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，ABC S =△BE =_________，CD =________．图1N MF EDCB A DCABFEN图24. 已知：△ABC 是等腰直角三角形，动点P 在斜边AB 所在的直线上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，其中∠PCQ =90°．探究并解决下列问题：（1）如图1，若点P 在线段AB 上，且AC=1PA则：①PB =___________，PC =____________； ②猜想：PA 2，PB 2，PQ 2三者之间的数量关系为____________．（2）如图2，若点P 在AB 的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图2给出证明过程．（3）若动点P 满足13PA PB =，求PCAC的值．图1AB PCQ图2QACP B【参考答案】图3ACBD CABFEN图32.（1）证明略（2）2（3）n2+n；n2-n；-n2+n3.（1）证明略（2）BE=CD+CF；CF=BE+CD（3）8；4或84.（1，2；②222PA PB PQ+=（2）证明略（3）42【参考答案】1.（1）EF⊥AB（2）成立（3）∠QPE=∠CPF=∠B2.（1）DE+DF=AD（2）证明略（3）当点E落在AD上时，DE+DF12AD =；当点E落在AD的延长线上时，DF-DE=12 AD3.（1）PA=PB（2）成立，证明略（3）证明略4.（1）成立，证明略（2）成立，证明略（3）k=【参考答案】1.（1）①1:3:4 ②证明略（2）2（32.（1）2（2）2（3）2n3.（1）PE=PF（2）①成立，证明略；②PE=2PF，证明略；③PE=(m-1)PF（3）4.（1）成立，证明略（2）相等。

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类比探究问题（讲义）
➢ 课前预习
1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由
简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．
2. 解决类比探究问题的一般方法：
（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括_________________，________________， _________________．
3. 用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再
做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听．
➢ 知识点睛
1. 类比探究属于几何综合题，类比（__________，___________，
___________）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的____________．
2. 类比探究问题中常见结构举例
①旋转结构
AB=AC D
C
D'
A
②中点结构
A
B
C
E M
D
A B
M
C
N
M A
（类）倍长中线平行夹中点中位线
➢ 精讲精练
22. 原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，
连接EF ，易证EF =BE +DF ．
图1
B C D
E
F A
（1）类比引申：
如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°，
∠B +∠D =180°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则原题中的结论是否仍然成立？请说明理由．
A
F E D
C
B 图2
（2）联想拓展：
如图3，在△ABD 中，∠BAD =90°，AB =AD ，点E ，F 均在边BD 上，且∠EAF =45°．猜想EF ，BE ，DF 之间满足的数量关系，并写出推理过程．
图3
B D
E
F A
23. 在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A < 45°，O 为AB 的中点，一个足够大的三角
板的直角顶点与点O 重合，一边OE 经过点C ，另一边OD 与AC 交于点M ．
（1）如图1，当∠A =30°时，求证：222MC AM BC =+．（2）如图2，当∠A ≠30°时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由．
（3）如图3，将三角板ODE 绕点O 旋转，若直线OD 与线段AC 的延长线相交于点M ，直线OE 与线段CB 的延长线相交于点N ，连接MN ，则MN 2
=AM 2
+BN 2
成立吗？请说明理由．
N
图3
E B
C O M
D A
图1
E
B
C
O
M
D A
A
D
M O
C
B
E
图2
24.已知P是Rt△ABC的斜边AB上一动点（不与点A，B重合），分别过点A，
B向直线C P作垂线，垂足分别为点E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是
___________，QE与QF的数量关系是______________．
图1
B C
Q(P)
E
F
A
（2）如图2，当点P不与点Q重合时，试判断QE与QF的
数量关系，并给予证明．
A F
E
P
Q
C
B 图2
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）
中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．
25.某校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程．
（1）操作发现：
在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD 和ME，则下列结论正确的是___________．（填写序号）
①
1
2
A
F B
A AG=
=；②MD=ME；③MD⊥ME．
（2）数学思考：
在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧
作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？
请给出证明．
（3）类比探究：
在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则△MED是_____________三角形．
【参考答案】
➢课前预习
2.（1）分支条件
图1
C
D E
F G
M
B
A
图2
C D
E
M
A
图3
A
B C
M
E
（2）第一问；照搬字母，照搬辅助线，照搬思路
➢知识点睛
1.类比字母，类比辅助线，类比思路，不变特征
➢精讲精练
1.（1）原题中的结论仍成立，理由略
提示：延长CD到点G，使DG=BE，证明△ABE≌△ADG（SAS）；再证明△AEF ≌△AGF（SAS），得EF=FG=BE+DG。

（2）EF2=BE2+DF2，证明略
2.（1）证明略
（2）仍成立，理由略
提示：延长MO到点F，使OF=OM，证明△AMO≌△BFO（SAS）；利用CO 是MF的垂直平分线得到CF=MC；
在Rt△BCF中，由勾股定理得，CF2=BF2+BC2，
进而可得222
=+．
MC AM BC
（3）成立，理由略
提示：延长MO到点F，使OF=OM，证明△AMO≌△BFO（SAS）；利用NO 是MF的垂直平分线得到FN=MN；
在Rt△BNF中，由勾股定理得，FN2=BF2+BN2，
进而可得222
=+．
MN AM BN
3.（1）AE∥BF，QE=QF
（2）QE=QF，证明略
提示：延长FQ，交AE于点G，证明△BFQ≌△AGQ（AAS），得到QF=QG；
则在Rt△FGE中，QE=QF．
（3）仍成立，图形及证明略
4.（1）①②③
（2）MD⊥ME，MD=ME，证明略
提示：过点D，E分别作AB，AC的垂线，垂足为F，G，连接MF，MG；由点F，M，G分别为AB，BC，AC的中点，可以证明△DFM≌△MGE（SAS）；
由AB∥MG，得∠DMG=∠DHA，进而∠DME=90°。

（3）等腰直角
类比探究问题（随堂测试）
1.如图1，△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BDE=90°，点C在
DB延长线上，连接AE，取AE中点为F，连接CF，DF．
（1）猜测线段CF和DF有怎样的数量关系和位置关系，并加以证明；
（2）如图2，将△ABC绕点B旋转使∠DBC=90°，其余条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由．
B D
A C
E
F
F
E
D
C
B
A B D
A
C
E
F
图1 图2
【参考答案】
1．（1）CF =DF ，CF ⊥DF ．证明略（2）仍成立，证明略。