中考数学类比探究(一)——直角、平行(习题及答案).
中考数学几何结构之直角、平行(讲义及答案).
中考数学几何结构之直角、平行（讲义）➢知识点睛1.几何综合问题的处理思路（1）标注条件，合理转化（2）组合特征，分析结构（3）由因导果，执果索因一般遇到求线段比值的问题时，往往考虑利用相似来解决问题；借助“直角”“平行线”特征可以构造相似三角形．2.（1）直角结构之“斜直角放正”构造一线三等角构造类“弦图”相似得到△ADB∽△BEC 得到△AEB∽△BDC构造旋转放缩，得到△EMD∽△FND（2）直角结构之“十字模型”特征：①正方形；②BF⊥CE 特征：①矩形；②BF⊥CE结论：BF=CE 结论：BF=AB CE BC特征：①矩形；②EF⊥GH结论：EF=AB GH BC3.平行结构之“作平行，得相似”（构造X 型、A 型）➢精讲精练1.如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，点E 在BC 边上，AB=3，CD=2，BC=7．若∠AED=90°，则CE= ．2.如图，已知矩形ABCD 的顶点A，D 分别落在x 轴、y 轴上，OD=2OA=6，AD:AB=3:1，则点C 的坐标是（）A．(2，7) B．(3，7) C．(3，8) D．(4，8)3.如图，将三角板放在矩形ABCD 上，使三角板的一边恰好经过点B，三角板的直角顶点E 落在矩形对角线AC 上，另一边交CD 于点F．若AB=3，BC=4，则EF．EB第3 题图第4 题图4.如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC 绕点D 逆时针方向旋转90°并缩短，恰好使连接AE，则△ADE 的面积是．DE=23CD，5.如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，将Rt△MPN 的直角顶点P 放置在AC 上，PM 交AB 于点E，PN 交BC 于点F，当PE=2PF 时，AP= ．6.在矩形ABCD 中，AE⊥BD 于点E，点P 是边AD 上一点，PE⊥EC．若AB=1，BC=2，则AP 的长为．7.如图，在Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD 于H，点O 是AB 的中点，连接OH，则OH= ．8.如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点M，N 分别在边AD，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD，使点A，B 分别落在E，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC 于点H，连接BF，则△MHN∽；折痕MN的长度的取值范围为．9.如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm，AM=5 cm，点P 为BC 上一动点，把矩形ABCD 对折，折痕分别交AD，BC 于E，F，连接DF．若点A 关于PM 的对称点A′落到DF 上，则线段MP 的长度为．10.如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=15，点E 在边CB上，CE=2EB，点D 在边AB 上，CD⊥AE，垂足为F，过点B 作BG∥AC，交CD 的延长线于点G，则AD 的长为．11.如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB．设AF1．FC 2①若BC=12，则线段BE 的长为；②若△EFC 的面积是20，则△ABC 的面积为．12.如图，E，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，1AE=CF=4AC．连接DE，DF 并延长，分别交AB，BC 于点G，H，连接GH，则CH=AD，CH=，BHAG=GB ，S△A DG =．S△BGH13.如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD:DC=1:2，O 是BD的中点，连接AO 并延长交BC 于E，则BE:EC=（）A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:35 【参考答案】1. 1 或 62. A3. 434. 25. 36. 127.8. △BCF ；3＜MN ＜ 15 49. 2 10. 9 cm 或3 cm11. ①4；②45．12. 1 ； 1 3 2 13. B； 1 ； 3 2 43 5 510 2。
类比探究(一)——直角、平行(习题)
类比探究（一）——直角、平行（习题）1. 如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF的延长线交射线CD 于点G ．（1）尝试探究：如图1，若3AFEF=，则CD CG 的值是______． （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m ＞0），则CD CG 的值是_______（用含m 的代数式表示），试写出解答过程． （3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BCb BE=（a ＞0，b ＞0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．GF DC BA图1GF E DBA图2ADCEFB图32. 如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ．【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1CEEA =时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为________________．A (D )C (E )BF图1QPDEFB C A图2Q PDE F B CA图33. 在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，过点G 的直线分别交AB ，AC 于点E ，F ．（1）如图1，当点E 与点B 重合时，AGGD=_______． （2）如图2，当EF ∥BC 时，求证：1=+AFCFAE BE ．（3）如图3，当EF 和BC 不平行，且点E ，F 分别在线段AB ，AC 上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 提示：①过点A 作AM ∥BC ，交EF 于点M ，直线FE 交BC 于N ；②NB +NC =2ND ．（4）如图4，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．AB (E )CDFG图1ABCD EF G 图2GFE D CBA图3ABCD EFG图4【参考答案】1. （1）32； （2）2m ；（3）ab ．2. （1）EP =EQ ，证明略；（2）EP =12EQ ，证明略；（3）EP =1mEQ ．3. （1）2；（2）证明略；（3）（2）中的结论仍然成立，证明略； （4）（2）中的结论不成立，理由略．。
类比探究(一)——直角、平行(讲义及答案).
类比探究（一）课前预习如图，在△4BC 中,AF:FB=2:3,延长BC 至点D,使得BC=2CD, 则竺=EC ----------提示：求比例，找相似.利用平行线构造“A 型”或“X 型” 相似是我们常用的一种做法.如图，AB=4.射线和AB 相互垂直，点D 是AS 上的一个 动点，点E 在射线BM 上,2BE 二DB ，作EF 丄DE 并截取EF=DE, 连接AF 并延长交射线BM 于点C.设BE 二X, BC=y,则y 关 于X 的函数解析式是（ ）12.V.V-I8-V提示：斜放置的直角特征， 整合信息.知识点睛类比探究问题的处理思路（1）根题干条件，结合 _________________ 先解决第一问. <2）尝试类比解决下一问，探索过程中确定 ___________.直角.平行（讲义）A)' =- B. )' = - C. )' = -D.可考虑构造一线三等角，利用相似 X- 3x X-4 2x①如果能类比，根条件变化，则确定________________ .②如果不能类比，分析两问间关系，__________________ ，并尝试、验证.注：类比过程中，往往要在不变结构的框架下去思考分析，有时也会进行适当的探索来解决图形变化过程中产生的一些新问题.比如在第3问，会需要根据前2问发现的不变结构去补全图形.＞精讲精练I现有矩形ABCD和一个以0为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边所在直线分别与直线BC, CD交于点M, N.（1）如图1,当AB二AD且点0与点A重合时，则0M与ON 的数量关系是___________ ;⑵ 如图2,当An=AD且点0在矩形的内部（含边界）时，若OM=ON,请探究点0在移动过程中可形成什么图形？⑶ 如图3,当点O在矩形的对角线BD上时，若BC=7,CD二竺，BO=5,则（1）中的结论是否成立？3⑷ 如图4,在平面直角坐标系中，已知点A（0, 4^疗），点B（l, JJ）,且ZABC=90%若点Q到y轴的距离为4,请直接写出满足题意的点C的坐标.备用图2在△ABC 中，ZABC=90。
类比探究(一)——平行、直角(讲义及答案)
类比探究（一）——平行、直角（讲义）➢知识点睛1.类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2.类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题．3.常见结构：①平行结构②直角结构③旋转结构④中点结构平行夹中点(类)倍长中线中位线➢精讲精练1.如图，△ABC 中，点E，P 在边AB 上，且AE=BP，过点E，P 作BC 的平行线，分别交AC 于点F，Q，记△AEF 的面积为S1，四边形EFQP 的面积为S2，四边形PQCB 的面积为S3．（1）①若EP=2AE，则EF:PQ:BC= ；②求证：EF+PQ=BC．（2）若S1+S3=S2，求PE的值．AE（3）若S3-S1=S2，直接写出PE的值．AE2.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 上一动点，设DE=nEA，连接CE 并延长交AB 于点F．FB （1）如图1，当∠BAC=90°，∠B=30°，DE=EA 时，求FA 的值；FB （2）如图2，当△ABC 为锐角三角形，DE=EA 时，求FA 的值；FB （3）如图3，当△ABC 为锐角三角形，DE=nEA 时，求FA 的值．3.在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P 与点O 重合且PM⊥AD，PN⊥AB，分别交AD，AB 于点E，F，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（2）将图1 中的Rt△PMN 绕点O 顺时针旋转角度α（0°<α<45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．②如图3，旋转后，若Rt△PMN 的顶点P 在线段OB 上移动（不与点O，B 重合），当BD=3BP 时，猜想此时PE 与PF 的数量关系，并给出证明．③当BD=m·BP 时，请直接写出PE 与PF 的数量关系．（3）在（2）②的条件下，当∠DPM=15°时，连接EF，若正方形的边长为9 ，请直接写出线段EF 的长．34.在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A 且MN∥BC．以点 B 为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P，易证：BD=DP．（1）在图2 中，DE 与CA 的延长线交于点P，则BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3 中，DE 与AC 的延长线交于点P，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．【参考答案】1. （1）①1:3:4 ②证明略（2）2（3） （3）2. （1）2（2）2 （3）2n 3. （1）PE =PF（2）①成立，证明略；②PE =2PF ，证明略；③PE =(m -1)PF （3） 6 4. （1）成立，证明略（2）相等2 5。
【中考数学必备专题】类比探究之图形运动(含答案)[1]
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类比探究之图形运动一、探究题(共2道，每道50分)1.已知：在中，，动点绕的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，证明（提示取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质即可证明）．（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并证明．答案：图2：∠AMF=∠ENB图3：∠AMF+∠ENB=180°证明：如图2，取AC的中点H，连接HE、HF∵F是DC的中点，H是AC的中点∴HF∥AD，HF=AD∴∠AMF=∠HFE同理，HE∥CB，HE=CB，∴∠ENB=∠HEF又∵∴HF=HE∴∠HEF=∠HFE∴∠ENB=∠AMF如图3，取AC的中点H，连接HE、HF∵F是DC的中点，H是AC的中点∴HF∥AD，HF=AD∴∠AMF+∠HFE=180°同理，HE∥CB，HE=CB，∴∠ENB=∠HEF又∵∴HF=HE∴∠HEF=∠HFE∴∠AMF+∠BNE=180°解题思路：两题思路基本相同，都需要作出两条辅助线，两次运用中位线定理解答．试题难度：三颗星知识点：平行线的性质2.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．答案：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，∴四边形OECF是正方形，∴OM=OF=OE=AM，∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，∴△AMO≌△FOE，∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，∴△AMP≌△FPE，∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，故AP=EF，且AP⊥EF．（3）题（1）（2）的结论仍然成立；如图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．解题思路：（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立．（3）解题思路和方法同（2）．试题难度：四颗星知识点：全等三角形的判定与性质。
中招考试几何类比探究题集锦一参考答案
中招考试几何类比探究题集锦（附参考答案）参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，求证：△ABD≌△ACF；（2）如图2，在（1）的条件下，若α=45°，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若α=45°，点E在BC的延长线上，请直接写出DE2，BD2，CE2三者之间的等量关系．【解答】解：（1）∵点D关于直线AE的对称点为F，∴EF=DE，AF=AD，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAE+∠CAF=α∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠BAD+∠CAE=∠BAC﹣∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，第1页（共33页）第2页（共33页）∴△ABD ≌△ACF （SAS ），（2）由（1）知，△ABD ≌△ACF （SAS ），∴CF=BD ，∠ACF=∠B ，∵AB=AC ，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB +∠ACF=45°+45°=90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得，EF 2=CF 2+CE 2，∴DE 2=BD 2+CE 2，（3）DE 2=BD 2+CE 2；理由：如图，∵∠BAC=2∠DAE=2α．∴∠DAE=α，∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF=DE ，AF=AD ，∠DAE=∠EAF=α∴∠CAF=∠EAF +∠CAE=α+∠CAE∴∠BAD=∠BAC ﹣∠DAC=2α﹣∠DAC=2α﹣（∠DAE ﹣∠CAE ）=2α﹣（α﹣∠CAE）=α+∠CAE∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，∴DE2=BD2+CE2，2．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．猜测DE、BD、CE三条线段之间的数量关系（直接写出结果即可）．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问第（1）题中DE、BD、CE之间的关系是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF 均为等第3页（共33页）边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断线段DF、EF的数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）DE=BD+CE．理由如下：如图1，∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）如图2，∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，第4页（共33页）∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）DF=EF．理由如下：由（2）知，△ADB≌△CAE，BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，第5页（共33页）∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．3．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为AC=CD+CE．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC 上，连接CE．请判断∠ACE的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC的长度．第6页（共33页）【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE=∠B=60°，故答案为：60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；理由是：由①得：△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∵AC=BC=BD+CD，∴AC=CD+CE；故答案为：AC=CD+CE；（2）∠ACE=45°，AC=CD+CE，理由是：如图2，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，第7页（共33页）∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∵BC=CD+BD，∴BC=CD+CE，∵在等腰直角三角形ABC中，BC=AC，∴AC=CD+CE；（3）如图3，过A作AC的垂线，交CB的延长线于点F，∵∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，∴BD=2，BC=，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°，∴△ACF是等腰直角三角形，由（2）得：AC=BC+CD，∴AC===．第8页（共33页）4．【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E是线段BC延长线上的任意一点”；“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ：S△AEF的值．【解答】证明：第一种情况：点E是线段BC上的任意一点，可作三种辅助线：方法一：如图1，在AB上截取AG，使AG=EC，连接EG，第9页（共33页）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．∵AG=EC，∴BG=BE，∴△BEG是等边三角形，∠BGE=60°，∴∠AGE=120°．∵FC是外角的平分线，∠ECF=120°=∠AGE．∵∠AEC是△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，∴∠GAE=∠FEC．在△AGE和△ECF中，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴AE=EF；方法二：在CA上截取CG=CE，连结GE，证明类似方法一；方法三：延长FC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG是等边三角形，第10页（共33页）∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，即∠GEF=∠AEC，∴△GEF≌△CEA，∴AE=EF．第二种情况：点E是线段BC延长线上的任意一点如图2，可作三种辅助线：①在CF上截取CG=CE，连接GE②延长AC到G，使CG=CE，连结EG；③或延长BA到G，使BG=BE，连结EG．第②种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AC到G，使CG=CE，连结EG，易证△CEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，第11页（共33页）∴∠AEG=∠CEF，∴△AEG≌△FEC，∴AE=EF．第三种情况：点E是线段BC反向延长线上的任意一点如图3，可作三种辅助线：①延长AB到G，使BG=BE，连结EG；②延长CF到G，使CG=CE，连结EG；③在CE上截取CG=CF，连结GF现就第①种添加辅助线的方法证明如下：证明：延长AB到G，使BG=BE，连结EG，易证△BEG为等边三角形，∴∠G=∠ECF=60°，第12页（共33页）∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，∴∠BAE=∠CEF，∵AB=BC，BG=BE，∴AB+BG=BC+BE，即AG=CE，∴△AEG≌△EFC，∴AE=EF．拓展应用：如图4：作CH⊥AE于H点，∴∠AHC=90°．由数学思考得AE=EF，又∵∠AEF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴△ABC∽△AEF．第13页（共33页）∵CE=BC=AC，△ABC是等边三角形，∴∠CAH=30°，AH=EH．∴CH=AC，AH=AC，AE=AC，∴．∴==．5．问题情境：在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）操作发现：当点O为AC中点时：①如图1，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系：AE2+CF2=EF2（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；第14页（共33页）（2）类比延伸：当点O不是AC中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若=，请直接写出=．【解答】解：（1）①猜想：AE2+CF2=EF2，连接OB，如图1，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB+∠BOF=∠FOC+∠BOF．∴∠EOB=∠FOC，在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；故答案为：AE2+CF2=EF2；第15页（共33页）②成立．证明：连结OB．如图2，∵AB=BC，∠ABC=90°，O点为AC的中点，∴OB=AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．∵∠EOF=90°，∴∠EOB=∠FOC．在△OEB和△OFC中，，∴△OEB≌△OFC（ASA）．∴BE=CF，又∵BA=BC，∴AE=BF．在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，∴BF2+BE2=EF2，∴AE2+CF2=EF2；（2）=，如图3，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．∵∠B=90°，第16页（共33页）∴∠MON=90°，∵∠EOF=90°，∴∠EOM=∠FON．∵∠EMO=∠FNO=90°，∴△OME∽△ONF，∴=，∵△AOM和△OCN为等腰直角三角形，∴△AOM∽△OCN，∴=，∵=，∴=，故答案为．第17页（共33页）第18页（共33页）6．阅读发现：（1）如图①，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC=3，BD=BE=1，连结CD ，AE ．易证：△BCD ≌△BAE ．（不需要证明） 提出问题：（2）在（1）的条件下，当BD ∥AE 时，延长CD 交AE 于点F ，如图②，求AF 的长．解决问题：（3）如图③，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，连结CD ，AE ．当∠BAE=45°时，点E 到AB 的距离EF 的长为2，求线段CD的长为 ．【解答】（2）解：如图②中，AB与CF交于点O．由（1）可知：△BCD≌△BAE，∴∠OAF=∠OCB，CD=AE，∵∠AOF=∠COB，∴∠AFO=∠CBO=90°，∴CF⊥AE，∵BD∥AE，∴BD⊥CF，在RT△CDB中，∵∠CDB=90°，BC=3，BD=1，∴CD=AE==2，∵∠BDF=∠DFE=∠DBE=90°，∴四边形EFDB是矩形，∴EF=BD=1，∴AF=AE﹣EF=2﹣1．（3）解：在RT△ABC，RT△EBD中，∵∠ABC=∠DBE=90°，∠BAC=∠DEB=30°，∴AB=BC，BE=BD，∴==，∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠DBC，∴△ABE∽△CBD，∴==，第19页（共33页）第20页（共33页）在RT △AEF 中，∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，EF=2，∴AF=EF=2，AE=2，∴=，∴CD=．故答案为．7．如图1，两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请猜想（1）中S1与S2的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，BD平分∠ABC，BD=CD，BC=9，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请求相应的BF的长．【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，第21页（共33页）∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；故答案为：DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2=×2×2=2；故答案为：S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，第22页（共33页）∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，第23页（共33页）∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×6÷cos30°=3÷=2，∴BF1=2，BF2=BF1+F1F2=2+2=4，故BF的长为2或4．8．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：第24页（共33页）在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n 为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D 重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）【解答】解：（1）方法一：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE，∴BM=EM，BN=EN．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．∵，∴CE=DE=1．第25页（共33页）设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，NE2=CN2+CE2．∴x2=（2﹣x）2+12，解得x=，即BN=．在Rt△ABM和在Rt△DEM中，AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，∴AM2+AB2=DM2+DE2．设AM=y，则DM=2﹣y，∴y2+22=（2﹣y）2+12，解得y=，即AM=（6分）∴．方法二：同方法一，BN=．如图（1﹣2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG=CD=BC．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AG=BN=∵MN⊥BE，∴∠EBC+∠BNM=90度．∵NG⊥BC，∴∠MNG+∠BNM=90°，第26页（共33页）∴∠EBC=∠MNG．在△BCE与△NGM中，∴△BCE≌△NGM，EC=MG．∵AM=AG﹣MG，AM=﹣1=．∴．（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，=，不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，EN2=NC2+CE2，x2=（n﹣x）2+12，x=；作MH⊥BC于H，则MH=BC，又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=﹣1=则：==．故当=，则的值等于；若=，则的值等于；第27页（共33页）（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，=，不妨令CD=n，则CE=1；又==，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故=，=，HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，故==．故答案为：；；；．第28页（共33页）第29页（共33页）9．阅读理解：如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠B=90°，点P 在BC 边上，当∠APD=90°时，易证△ABP ∽△PCD ，从而得到BP•PC=AB•CD ，解答下列问题．（1）模型探究：如图2，在四边形ABCD 中，点P 在BC 边上，当∠B=∠C=∠APD 时，结论BP•PC=AB•CD 仍成立吗？试说明理由；（2）拓展应用：如图3，M 为AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME=∠A=∠B=45°且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．AB=，AF=3，求FG 的长．【解答】解：（1）∵∠APC=∠APD +∠CPD ，∠APC=∠BAP +∠B （三角形外角定理），∠B=∠APD （已知），∴∠BAP=∠CPD，又∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD∴=，∴BP•PC=AB•CD；（2）∵∠AFM=∠DME+∠E（三角形外角定理），∠DME=∠A（已知），∴∠AFM=∠A+∠E（等量代换），又∠BMG=∠A+∠E（三角形外角定理），∴∠AFM=∠BMG．∵∠A=∠B，∴△AMF∽△BGM．当∠A=∠B=45°时，∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，即AC⊥BC且AC=BC．∵M为AB的中点，∴AM=BM=，AC=BC=4．又∵△AMF∽△BGM，∴，∴BG===，又∵，CF=4﹣3=1，∴．第30页（共33页）10．基本模型如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，（1）模型拓展如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？（2）模型应用①如图2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？【解答】解：（1）成立，∵∠A=180°﹣（∠B+∠APB），第31页（共33页）∠CPD=180°﹣（∠1+∠APB），∠B=∠1，∴∠A=∠CPD，∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；（2）①∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠B=∠APQ，∴∠B=∠APQ=∠C，由（1）知，△ABP∽△PCD，∴=，∴=，∴CQ=；②设BP=x，CQ=y．∵∠B=∠APQ=90°，∴△ABP∽△PCQ，∴=，即=，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，第32页（共33页）∴当x=时，y=，最大即当P是BC的中点时，CQ最长，最长为．第33页（共33页）。
九年级数学中考压轴题类比探究问题(附答案)
专题四中考压轴试题——类比探究题多重训练1.类比探究题，一般在中考试卷第22题，分三个问题解答，属几何综合题；2.第（1）问比较简单，但一定要注意解题时所作的“工作”：①添加了什么样的辅助线？（线段的截长补短、旋转某一角度、作平行线或者连接等）②解题所用的知识点有哪些？（如全等三角形、相似三角形、勾股定理列方程等）③解题时先做了什么后做了什么？④解题的整体思路是什么？（如由SAS推出全等，再由全等得到边相等，然后再由线段间的等量代换得出结论，即贯穿解题全过程的思路）3.第（2）问题体现了“类比”的思想，即几乎“照搬”第（1）问题的解题全过程，即添加辅助线、所用知识点、解题全思路，包括添加的字母有时都可以保持一致；4.既然是类比，就必须注意在三个不同的问题中，哪些条件自始至终没有变化，这就是本题的“核心条件”，也是解题的关键。
5.第（3）问题往往让学生直接写出结果，不需证明，有时和前面的结论一致，有时是一个变化的结论，所以要根据前两个问题，大胆猜测。
1.在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，如图1，若∠MBN=45°，求证：MN=AM+CN⑴如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN= ∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？写出猜想并证明．⑵如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？写出猜想并证明．(2)2.（1）如图1，已知正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），B、C、G在同一条直线上，M为线段AE的中点。
探究：线段MD、MF的关系，并证明。
（2）若将正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使得正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，M为AE的中点。
中考数学类比探究实战演练(一)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：类比探究的处理思路是什么？问题2：类比迁移的具体操作是什么？问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：类比探究的处理思路是什么？答：①类比上一问，迁移解决下一问；②依据不变结构，分析特征解决问题．问题2：类比迁移的具体操作是什么？答：类比字母、类比辅助线、类比思路、类比结构．问题3：想一想类比探究问题常见的不变结构有哪些，处理方式是什么？答：类比探究中常见不变结构及处理方式分别为：①旋转结构，找等腰结构，借助全等整合条件；②中点结构，作倍长，通过全等转移边和角；③平行结构，找相似，转比例；④直角结构，作横平竖直的线，找全等或相似．中考数学类比探究实战演练（一）一、单选题(共6道，每道4分)1.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2CD，求AC的长．（1）小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：∠ACE的度数为_____，AC的长为_____．( )A. B.C. D.答案：C解题思路：见第2题中解析试题难度：三颗星知识点：探究应用2.（上接第1题）（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2DE，则BC的长为( )A.6B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：探究应用3.已知正方形ABCD中，O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD 于点F，连接PB．（1）如图1，当点P在线段AO上时（不与点A，O重合），过点P作PE⊥PB，交CD于点E，则DF，EF之间有怎样的数量关系？线段PA，PC，CE之间有怎样的一个等量关系？请给出证明过程．（2）如图2，当点P在线段OC上时（不与点O，C重合），过点P作PE⊥PB，交直线CD 于点E，（1）中的两个结论是否仍成立？若不成立，写出相应的结论．（所写结论均不必证明）（建议学生打印做题，并在做完之后对比解题思路中的过程，推敲里面是如何踩点得分的）（1）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究4.（上接第3题）（1）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究5.（上接第3，4题）（2）中DF，EF之间的数量关系是( )A. B.C.DF=EFD.答案：C解题思路：见第6题中解析试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究6.（上接第3，4，5题）（2）中线段PA，PC，CE之间的一个等量关系为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：中考数学几何中的类比探究。
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中考数学类比探究（一）——直角、平行（习题）
1. 如图 1，在□ABCD 中，点 E 是 BC 边的中点，点 F 是线段
AE 上一点，BF 的延长线交射线 CD 于点 G ． （1） 尝试探究：如图 1，若 AF = 3 ，则 CD 的值是 ．
EF CG
（2） 类比延伸：如图 2，在原题的条件下，若 AF = m （m ＞ EF
0），则 CD 的值是 （用含 m 的代数式表示），试写出
CG
解答过程．
（3） 拓展迁移：如图 3，在梯形 ABCD 中，DC ∥AB ，点 E
是 BC 延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F ．若 AB = a ， CD BC = b （a ＞0，b ＞0），则 AF 的值是 （用含 a ，b
BE EF
的代数式表示）．
2.如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=
∠DEF=90°，∠EDF=30°．
【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P，边EF 与边BC 交于点Q．
【探究】在旋转过程中，
（1）如图2，当CE
=1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA
并给出证明．
（2）如图3，当CE
= 2 时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？EA
并给出证明．
（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当CE
=m时，EA
EP 与EQ 满足的数量关系式为．
3.在△ABC 中，已知D 是BC 边的中点，G 是△ABC 的重心，
过点G 的直线分别交AB，AC 于点E，F．
（1）如图1，当点E 与点B 重合时，
AG
=
GD
（2）如图2，当EF∥BC 时，求证：
BE
+
CF
．
= 1 ．
AE AF
（3）如图3，当EF 和BC 不平行，且点E，F 分别在线段
AB，AC 上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出
证明；如果不成立，请说明理由．
提示：①过点 A 作AM∥BC，交EF 于点M，直线FE 交BC 于N；②NB+NC=2ND．
（4）如图4，当点E 在AB 的延长线上或点F 在AC 的延长
线上时，（2）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；
如果不成立，请说明理由．
【参考答案】 1. 1 3 （ ） ； 2
（2） m ；
2
（3） a b ．
2. （1）EP =EQ ，证明略；
（2） EP = 1 2
EQ ，证明略； （3） EP = 1 EQ ． m
3. （1）2；
（2）证明略；
（3）（2）中的结论仍然成立，证明略；
（4）（2）中的结论不成立，理由略．。