线性变换初步线性变换的定义表示与性质
(1)线性变换
m
i
=0
则
∴
T( ∑ k i x i ) = ∑ k i (Tx i ) = T(0) = 0
i =1 i =1
{Txi } 线性相关。
线性变换的矩阵表示 将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设 T 是线性空间 V n 的一个线性变换，且 {x1 , x 2 , , x n } 是 V 的一个基， ∀x ∈ V n，存在唯一的坐标表示
H ⎡ u1 ⎤ ⎢ H⎥ u H U 0 U 0 = ⎢ 2 ⎥ [ u1 ⎢ ⎥ ⎢ H⎥ ⎣ un ⎦
u2
H un u2
对 A 进行酉相似变换：
H ⎡ u1 ⎤ ⎢ H⎥ u H U0 AU0 = ⎢ 2 ⎥ A [ u1 ⎢ ⎥ ⎢ H⎥ ⎣ un ⎦
u2
un ] = uiH Au j
(
)
n×n
3 实对称矩阵与厄米矩阵 实对称 矩阵： 厄 米 矩阵： 实反对称矩阵： 反 厄米 矩阵： 实矩阵 A 复矩阵 A 实矩阵 A 复矩阵 A
AT = A
AH = A
AT = −A
AH = −A
4. 正交矩阵和酉矩阵 正交矩阵：实矩阵 A 酉矩阵：复矩阵 A
A T A = AA T = I
A H A = AA H = I
（ A −1 = A T ） （ A −1 = A H ）
正交相似变换和酉相似变换
P 为正交矩阵， A 为实矩阵， P −1 AP 为对 A 的正交相似变换；
P 为酉矩阵， A 为复矩阵， P −1 AP 为对 A 的酉相似变换。
5. 正规矩阵 实矩阵 A ，若满足 A T A = AA T ，则 A 为实正规矩阵； 复矩阵 A ，若满足 A H A = AA H ，则 A 为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均 为实正规矩阵； 厄米矩阵、 反厄米矩阵、 酉矩阵均为复正规矩阵。
线性变换与矩阵表示
线性变换与矩阵表示线性代数是数学中的一个重要分支，其中线性变换是其中的核心概念之一。
线性变换是指在向量空间中进行的保持向量加法和数量乘法性质的变换。
研究线性变换的一个重要方法是使用矩阵来表示线性变换，这为我们的计算和分析提供了方便和效率。
1. 线性变换的定义与性质线性变换是指保持向量加法和数量乘法性质的变换。
在数学上，我们可以将线性变换表示为一个函数T，它将向量x映射到向量T(x)。
线性变换需要满足以下两个性质：- 加法性质：对于任意的向量x和y，有T(x + y) = T(x) + T(y)，即线性变换保持向量的加法关系。
- 乘法性质：对于任意的标量c和向量x，有T(cx) = cT(x)，即线性变换保持向量的数量乘法关系。
2. 线性变换的矩阵表示线性变换可以使用矩阵来表示，这种表示方式被广泛应用于计算机图形学、机器学习等领域。
我们将线性变换T表示为一个矩阵A，然后通过矩阵乘法的方式来实现线性变换。
设向量x的坐标表示为[x1, x2, ..., xn]，线性变换T对应的矩阵A的维度为n×n。
那么，线性变换T(x)可以表示为矩阵乘法的形式T(x) =A·x。
其中，A·x表示矩阵A与向量x的乘积，它的计算方式为将矩阵A的每一行乘以向量x的每一列，再将结果相加。
3. 线性变换的几何意义线性变换的几何意义是研究线性变换如何影响向量的几何特性。
对于平面上的线性变换来说，它可以改变向量的长度、方向和位置。
具体来说，线性变换可以实现以下几种几何操作：- 缩放：线性变换可以将向量的长度进行缩放，比如将向量拉长或压缩。
- 旋转：线性变换可以改变向量的方向，实现向量的旋转。
- 平移：线性变换可以将向量整体移动到平面上的另一个位置。
4. 矩阵表示的优势与应用使用矩阵表示线性变换具有以下优势和应用：- 简化计算：使用矩阵表示线性变换可以将复杂的计算转化为简单的矩阵乘法，提高计算效率。
- 线性组合：矩阵乘法具有线性组合的性质，可以方便地进行多个线性变换的组合。
第八章 线性变换(第一讲)
(k )( ) k ( ), V .
kσ亦可记为σk，易证. kσ= k* σ.
对于线性空间V的变换σ ，定义它的负变换-σ为
- σ=（-1）σ 对于任意的α∈V ，便有
( )( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ).
定义1.3 对于线性空间V的变换σ ，若有V的变换τ ，使
(0) (0 ) 0 ( ) 0.
( ) (1) (1) ( ) ( ).
性质2 线性变换σ保持线性组合关系，即对V中任意向 量α1，α2 ，· αs及数域F中任意数k 1， k2 ，·， k s， · · · · 总有
(k11 k2 2 ks s ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) ks (s ).
又，对于V中任意向量α及F中任意数k ，有
k k ( 1 )( ) k 1 ( ) k 1 ( ) .
以σ -1作用两端，得
1 (k ) k 1 ( ).
综上，知σ -1为线性变换，从而是可逆线性变换. 可逆线性变换性质良好，应用广泛，在线性变换中居 于重要地位.
则τ是一个线性变换.
证明 首先τ显然是一个变换.又对R[x]n中任意的多项 式f(x),g(x)及任意k∈R的，有
1)
d f ( x) g ( x) f ( x) g ( x x) f ( x) g ( x) ; dx dx d d 2) kf ( x) kf ( x) k f ( x) k f ( x). dx dx
上述定义中1）、2）两条所表明的σ的性质，通常称 为保持加法、保持数乘，合起来称为保持线性运算.线性 变换就是保持线性运算的变换. 容易验证，恒等变换，零变换及数乘变换都是线性变
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
工程数学第六章 线性变换
工
程
数
学
例5. 下列变换：
σ1:(a1, a2, …, an) →(a1, 0, 0, …, 0); σ2:(a1, a2, …, an) →(a1, a2, a3, …, an−1, 0); σ3:(a1, a2, …, an) → k(a1, a2, a3, …, an); σ4:(a1, a2, …, an) → ( ∑ b1 j a j , ∑ b2 j a j ,L, ∑ bnj a j )
= k1σ (α1 ) + k 2σ (α 2 ) + L + k sσ (α s );
(3) 若α1, α2, …, αs 线性相关，则 σ (α1 ), σ ( α2), …, σ ( αs)也线性相关.
第六章
工
程
数
学
§2 线性变换和矩阵
R2 中变换σ (x, y)=(2x+y, x−3y) 是一个线性变换.
x' cosθ = y ' sin θ
象的坐标
− sin θ x cos θ y
原象的坐标 第六章
工
程
数
学
二、象与原象的坐标变换公式
设 ξ∈V, ξ 在基α1, α2, …, αn下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 σ (ξ )在基 α1, α2, …, αn下的坐标 为 (y1, y2, …, yn ), 则
y1 y2 M =A y n
σ(α)
的 坐 标
x1 x2 M x n
α
的 坐 标 第六章
σ
的 矩 阵
工
程 定理1 定理
第七章 线性变换
第七章 线性变换一. 内容概述1. 线性变换的概念设n V 是n 维线性空间，T 是n 维线性空间n V 中的变换，且满足1） 对任意向量n V ∈βα,,有 )()()(βαβαT T T +=+ 2） 对任意向量F k V n ∈∈,α,有)()(ααkT k T =则称为中的线性变换。
2. 线性变换的性质及运算1)0)0(=T )()(ααT T -=-2) )()()()(22112211n n n n T k T k T k k k k T αααααα+++=+++ΛΛ3）设向量组n ααα,,,21Λ线性相关，则向量组)(),(),(21n T T T αααΛ也线性相关。
线性变换的和：)()())((2121αααT T T T +=+ 线性变换的积：))(())((2121ααT T T T = 数乘变换：)())((αλαλT T = 线性变换T 可逆时，逆变换1-T都是线性变换。
线性变换的多项式：0111)(a a a a f m m m m ++++=--σσσσΛ 3. 线性变换的矩阵设σ是V 的一个线性变换，n εεε,,,21Λ是V 的一个基，且n n a a a εεεεσ12211111)(+++=Λn n a a a εεεεα22221122)(+++=ΛΛΛΛΛn nn n n n a a a εεεεσΛ++=2211)(记))(),(),((),,,(2121n n εσεσεσεεεσΛΛ=A n n n ),,,())(,),(),((),,,(212121εεεεσεσεσεεεσΛΛΛ== 则称A 为线性变换σ在基n εεε,,,21Λ下的矩阵。
4. 设n εεε,,,21Λ是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式)(*对应一个n n ⨯矩阵，这个对应具有以下性质：1） 线性变换的和对应与矩阵的和； 2） 线性变换的积对应与矩阵的积；3） 线性变换的数量乘积对应与矩阵的数量乘积；4） 可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对于与逆矩阵。
7线性变换
因为
(A + B ) ( + ) = A ( + ) + B ( + ) = (A ( ) + A ( ) ) + (B () + B ( )) = (A ( ) + B ( ) ) + (A () + B ( )) = (A + B ) ( ) + ( A + B ) ( ) , (A + B ) ( k ) = A ( k ) + B ( k ) = k A ( ) + k B ( )
可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量
组. 例如零变换就是这样.
17
§2 线性变换的运算
线性变换的乘积
线性变换的加法
线性变换的数量乘法 线性变换的逆变换
线性变换的多项式
举例
18
一、线性变换的乘积
1. 定义 线性空间的线性变换作为映射的特殊情形当然 可以定义乘法.
定义2
设 A , B 是线性空间 V 的两个线性变
15
= -A ( ).
性质 2
线性变换保持线性组合与线性关系式不变.
换句话说，如果 是 1 , 2 , … , r 的线性组合：
= k11 + k22 + … + krr ,
那么经过线性变换 A 之后， A ( ) 是 A ( 1 ), A ( 2 ) , …, A ( r ) 同样的线性组合： A ( ) = k1A ( 1 ) + k2A ( 2 ) + …+ krA ( r ) . 又如果 1 , 2 , … , r 之间有关系式
T( + ) = - ( + )+ 2( + , ) = [- + 2 ( , ) ] + [- + 2 ( , ) ] = T( ) + T ( )
3线性变换及其矩阵表示
此公式在工程和物理中被称为 叠加原理。如果 u1 , u2 ,u p 分别是某个 系统或过程的输入信号向量，则 T (u1 ), T (u2 ),T (up ) 可 分别 视为 该系 统 或过程的输出信号向量。
判断一个系统是否为线性系统的判据 如果系统的输入为线性表达式
y k1u1 k 2 u2 k p u p ，则当系统的输
T (k1α k2 β) k1T (α) k2T ( β)
n u , u , u V 更一般地，若 1 2 ，反 p
复使用上面公式可得
T (k1u1 k2 u2 k p u p ) k1T (u1 ) k2T (u2 ) k pT (u p )
使 T1 1 , T 2 2 ,
则有 1 , 2 Vn ,
从而 1 2 T1 T 2 T 1 2 T Vn ,
因1 2 Vn ; k1 kT1 T k1 T Vn , 因k1 Vn ,
§3
线性变换及其矩阵表示
一、线性变换的引入
在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不
同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此， 为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够
从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。 事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种 转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通 常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够 将图像的坐பைடு நூலகம்和坐标改变尺度。根据和大于1还是小 于1，图像就能够被放大或者缩小。
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 ,, n ，如果这个基 在变换T下的象为
定义 设T是线性空间 Vn 中的线性变换，
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线性变换初步线性变换的定义表示与性质
线性变换初步
线性变换是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理学、计算
机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性变换的定义、表示
以及一些性质。
1. 定义
线性变换是指保持向量加法和数乘运算的变换。
具体来说，对于两
个向量u和v以及一个数k，如果对于线性变换T有以下两个性质成立：
a) T(u + v) = T(u) + T(v)
b) T(ku) = kT(u)
则称T为一个线性变换。
线性变换可以将一个向量空间中的向量映
射到另一个向量空间中的向量。
2. 表示
线性变换可以用矩阵表示。
设V和W分别是两个向量空间，假设
它们的维度分别为n和m。
如果存在一个n×m的矩阵A，使得对于任
意的向量u∈V，都有T(u) = Av，则称矩阵A表示线性变换T。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换，可以通过一个2×2的矩阵
来表示。
对于一个三维向量的缩放变换，可以通过一个3×3的矩阵来
表示。
3. 性质
线性变换具有一些重要的性质：
a) 线性变换保持向量加法。
即，对于线性变换T和任意的向量u、v，有T(u + v) = T(u) + T(v)。
b) 线性变换保持数乘运算。
即，对于线性变换T和任意的向量u以
及数k，有T(ku) = kT(u)。
c) 线性变换保持零向量。
即，对于线性变换T，有T(0) = 0。
d) 线性变换保持线性组合。
即，对于线性变换T和任意的向量组
u₁, u₂, ..., uₙ以及对应的系数k₁, k₂, ..., kₙ，有T(k₁u₁ + k₂u₂ + ... + kₙuₙ) = k₁T(u₁) + k₂T(u₂) + ... + kₙT(uₙ)。
e) 线性变换的复合仍然是线性变换。
即，如果T₁表示线性变换S₁，T₂表示线性变换S₂，则T₁∘T₂表示线性变换S₁∘S₂。
这些性质使得线性变换在代数运算和几何变换中具有重要的应用。
总结
线性变换是保持向量加法和数乘运算的变换。
它可以用矩阵来表示，具有保持向量加法、数乘运算、零向量、线性组合以及复合的性质。
线性变换在数学和其它领域中有广泛的应用，在代数运算和几何变换
中起着重要的作用。
对于进一步的学习和应用，线性变换的初步理解
是非常重要的。