三维线性变换及其应用
第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
第 4 页 共 19 页
第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
第 6 页 共 19 页
第六章 线性空间与线性变换
点乘旋转矩阵公式
点乘旋转矩阵公式旋转矩阵是三维空间中的一种线性变换，它可以将一个向量绕着某个轴旋转一定的角度。
在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中，旋转矩阵是一个非常重要的概念。
本文将介绍旋转矩阵的点乘公式，以及它在计算中的应用。
一、点乘公式旋转矩阵是一个3x3的矩阵，它可以表示绕x轴、y轴、z轴旋转的变换。
以绕z轴旋转为例，旋转矩阵可以表示为：Rz(θ) = [cosθ -sinθ 0; sinθ cosθ 0; 0 0 1]其中，θ表示旋转的角度，cosθ和sinθ分别表示θ的余弦和正弦。
这个矩阵的第一行表示旋转后x轴的坐标，第二行表示旋转后y轴的坐标，第三行表示旋转后z轴的坐标。
在计算中，我们通常需要将多个旋转矩阵相乘，得到一个综合的旋转矩阵。
这时，就需要用到点乘公式。
点乘公式可以表示为：Rz(θ1)Ry(θ2)Rx(θ3) = [cosθ2cosθ3 cosθ2sinθ3 -sinθ2; sinθ1sinθ2cosθ3-cosθ1sinθ3 sinθ1sinθ2sinθ3+cosθ1cosθ3 sinθ1cosθ2;cosθ1sinθ2cosθ3+sinθ1sinθ3 cosθ1sinθ2sinθ3-sinθ1cosθ3 cosθ1cosθ2]其中，Rx、Ry、Rz分别表示绕x轴、y轴、z轴旋转的矩阵，θ1、θ2、θ3分别表示旋转的角度。
这个公式的推导比较复杂，可以参考相关的数学教材。
二、应用点乘旋转矩阵公式在计算机图形学、机器人学、物理学等领域中有着广泛的应用。
下面以计算机图形学为例，介绍它的应用。
在计算机图形学中，我们通常需要将一个三维模型绕着某个轴旋转一定的角度，以达到变换的效果。
这时，就需要用到旋转矩阵。
假设我们要将一个三维模型绕着z轴旋转30度，然后绕着y轴旋转20度，最后绕着x轴旋转10度，我们可以按照以下步骤计算：1. 计算绕z轴旋转30度的旋转矩阵Rz(30°)；2. 计算绕y轴旋转20度的旋转矩阵Ry(20°)；3. 计算绕x轴旋转10度的旋转矩阵Rx(10°)；4. 将这三个旋转矩阵按照点乘公式相乘，得到综合的旋转矩阵R =Rz(30°)Ry(20°)Rx(10°)；5. 将三维模型的每个顶点坐标乘以综合的旋转矩阵R，即可得到旋转后的顶点坐标。
三维几何变换在生活中的应用
三维几何变换在生活中的应用
三维几何变换在生活中的应用十分广泛，可以说，你无时无刻都在应用着三维几何变换的知识。
通常容易被关注到的是在建筑领域中。
不论是建造房子、大厦、堤坝还是修桥造路，都要运用到三维几何变换。
我国变称为基建狂魔，正因为我们在基础建设中，能够很好地运用三维几何变换的知识，克服了一种又一种的地势困难和气候困难等，才成就了这一美称。
在海洋之上、高山之间架设桥梁，在沙漠之中修路、在河流上建设水力发电工程，比如著名的三峡大坝工程，都需要运用三维几何变换，来克服一个个的难关。
大坝的横截面，一般都造成梯形的形状，整个大坝像一个棱台，这样的构造，既节约建筑成本，又使坝体重心下移，更加稳固。
中国古代建筑的屋桥上一般都做成三角架的形式，是利用三角形的稳固性。
在桥梁建造成，也经常可以看到这样的结构。
多个三角结构的综合运用，就形成了稳固的整体。
井盖通常做成圆形，因为圆形受力均匀，减少边角磨损、破碎从而造成塌陷的瘾患。
另外，圆形相对更省材料，也是出于经济的考虑。
以上这些，都是三维几何变换的运用。
事实上，当我们面对这个世界，落入我们的眼中的，就是
由一个个三维几何图形构成的世界。
只是太过普通，我们没有刻意去关注而已。
当你上楼时，你的脑海里就会构造出楼层的空间结构，以及楼梯的三维模形，因此你才能够顺利的上楼。
就连你本身也是一个三维几何体。
在上楼的过程中，你所表示的这个三维几何体，也要进行平移、旋转等三维图形变化。
所以说，生活中无处不是由三维几何变换构成的。
线性变换在二维空间和三维空间中的应用
线性变换在二维空间和三维空间中的应用1、二维图形的几何变换二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡edba可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；⎥⎦⎤⎢⎣⎡fc是对图形进行平移变换；[g h]是对图形作投影变换；[i]则是对图形整体进行缩放变换。
1.1 平移变换1.2缩放变换1.3旋转变换在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转θ角的变换形式如下：θ取正值，顺时针旋转θ取负值。
逆时针旋转1.4对称变换对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特殊效果。
例如：当b=d=0，a=-1，e=1时有x´=-x，y´=y，产生与y轴对称的图形。
A. 当b=d=0，a=-1，e=-1时有x´=x，y´=-y，产生与x轴对称的图形。
B. 当b=d=0，a=e=-1时有x´=-x，y´=-y，产生与原点对称的图形。
C. 当b=d=1，a=e=0时有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。
D. 当b=d=-1，a=e=0时有x´=-y，y´=-x，产生与直线y=-x对称的图形。
1.5错切变换A. 当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。
B. 当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。
1.6复合变换如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。
复合变换有如下的性质：A. 复合平移对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来：B. 复合缩放两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘：C. 复合旋转两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加：缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。
线性变换的定义和性质
汇报人：XX
• 线性变换的基本概念 • 线性变换的基本性质 • 线性变换的矩阵表示 • 线性变换的应用举例 • 线性变换与空间结构的关系
01
线性变换的基本概念
定义与性质
线性变换定义
保持原点不动
保持向量共线性
保持向量比例不变
线性变换是一种特殊的映射， 它保持向量空间中的加法和数 乘运算的封闭性。即对于向量 空间V中的任意两个向量u和v 以及任意标量k，都有 T(u+v)=T(u)+T(v)和 T(kv)=kT(v)。
矩阵性质
线性变换的矩阵表示具有一些特殊的性质。例如，两个线性变换的复合对应于它们矩阵的乘积；线性变换的可逆 性对应于矩阵的可逆性；线性变换的特征值和特征向量对应于矩阵的特征值和特征向量等。
02
线性变换的基本性质
线性变换的保线性组合性
线性组合保持性
对于任意标量$a$和$b$，以及向量 $mathbf{u}$和$mathbf{v}$，线性 变换$T$满足$T(amathbf{u} + bmathbf{v}) = aT(mathbf{u}) + bT(mathbf{v})$。
通过引入复数和极坐标等 概念，可以将某些函数图 像进行旋转。
微分方程中的线性变换
变量代换
通过适当的变量代换，可以将某些非线性微分方 程转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
拉普拉斯变换
将时间域内的微分方程通过拉普拉斯变换转换到 频域内，从而方便求解和分析。
傅里叶变换
将时间域内的函数通过傅里叶变换转换到频域内 ，可以分析函数的频率特性和进行滤波等操作。
数乘保持性
对于任意标量$k$和向量$mathbf{v}$，线性变换$T$满足$T(kmathbf{v}) = kT(mathbf{v})$。
三维向量空间中线性变换的特征向量的几何意义
（ 湖 州 师 范 学 院 理 学 院 ，浙 江 湖 州 ３ １ ３ ０ ０ ０ ）
摘
要： 利 用 代 数 方 法 给 出 了 三 维 向 量 空 间 中线 性 变 换 的特 征 向 量 的 几 何 意 义 ， 即研 究 了三 阶 实 矩 阵 或 三 阶 实 对
称 矩 阵 对 应 的 线 性 变 换 的特 征 向量 的几 何 意 义 ． 结果得 到 ： 非 对 称 矩 阵 的不 同 特 征 根 对 应 的特 征 向 量 是 线 性 无 关 的； 二 重 根 对 应 的线 性 无关 的 特 征 向 量 或 只 有 一 个 或 有 无 穷 多 个 ， 它与单 根对应 的特征 向量线性 无关 ； 三 重 根 对 应 的 线 性 无 关 的特 征 向量 只有 一 个 ． 对 称 矩 阵 的不 同 特 征 根 对 应 的特 征 向量 互 相 垂 直 ； 二 重 根 对 应 的 特 征 向 量 构 成 一个 平 面 ， 这 个 平 面 的 法 矢 量 就 是 单 根 对 应 的特 征 向 量 ； 三重根 对应 的特征 向量有无 穷多个 ， 即从 原 点 出发 的 任 意矢 量 都 是 三 重 根 对 应 的 特 征 向量 ． 关键词 ： 特 征 向量 ；矩 阵 ； 线性变换 ； 三 维 向量 空 间
Ｉ ｉ ］ ＝ ｃ ， ｚ Leabharlann ｓ ［ 三 ］ ． ｃ ９
即 。一
， 而点 Ｍ 的坐标 是 （ 。 ， ， 。 ） ， 属 于特征 根 的所 有 特征 向量 ｎ 。都 在 由点 （ ０ ， ０ ， ０ ） 和点（ ，
第 ｌ Ｏ期
纪永强 ： 三 维 向量 空 间 中 线性 变 换 的 特 征 向量 的 几 何 意 义
。
一
计算机形学三维几何变换
计算机形学三维几何变换计算机形学是计算机科学中的一个重要分支，主要研究计算机图形学中的各类图形的数学描述方法和计算机图形学技术的应用。
其中，三维几何变换是计算机形学中的一项重要内容。
本文将介绍三维几何变换的概念、常见的三维几何变换操作以及其在计算机图形学中的应用。
一、概述三维几何变换是指对三维空间中的图形进行平移、旋转、缩放等操作，从而改变图形的位置和形状的过程。
三维几何变换是计算机图形学中非常常用的操作，可以实现物体的移动、旋转、缩放等效果。
二、三维几何变换的操作1. 平移（Translation）平移是指将图形沿指定的轴方向移动一定距离。
平移操作可以简单地理解为将图形的每一个顶点坐标向指定方向移动相同距离。
平移操作的数学表达式为：\[T(x,y,z) = (x + dx, y + dy, z + dz)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(dx,dy,dz)表示沿(x,y,z)轴平移的距离。
2. 旋转（Rotation）旋转是指将图形绕指定轴进行旋转。
旋转操作可以用欧拉角、四元数、矩阵等多种方式进行计算。
旋转操作的数学表达式为：\[R(x,y,z) = M(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示旋转前的坐标，M表示旋转变换矩阵。
旋转变换矩阵的计算方式有很多，最常见的是使用旋转角度和旋转轴来计算旋转矩阵。
3. 缩放（Scaling）缩放是指将图形沿各个轴向相应的方向按比例进行扩大或缩小。
缩放操作可以用不同的比例因子对每个顶点坐标进行缩放计算。
缩放操作的数学表达式为：\[S(x,y,z) = (sx, sy, sz)(x,y,z)\]其中，(x,y,z)表示原始顶点坐标，(sx,sy,sz)表示在x轴、y轴和z轴方向的缩放比例。
4. 其他变换操作除了平移、旋转和缩放之外，三维几何变换还可以包括倾斜、翻转、剪切等其他操作。
这些操作都是通过对图形的顶点坐标进行适当的数学计算而实现。
三、三维几何变换的应用三维几何变换在计算机图形学中有广泛的应用。
浅谈线性变换在中学数学中的应用
浅谈线性变换在中学数学中的应用线性变换是数学中的一个重要概念，它在数学的许多分支中都有广泛的应用，其中包括中学数学。
在数学的中学教育中，线性变换被广泛地运用在代数和几何中。
本文就浅谈线性变换在中学数学中的应用。
一、线性变换在代数中的应用线性变换在代数中的应用主要体现在线性方程组和矩阵中。
一般来说，我们可以用变量来表示一个未知量，因此一个线性方程组可以用一个矩阵表示。
在解线性方程组的过程中，我们需要通过矩阵变换将方程组转化为简单的形式，然后通过逆变换推导出解。
对于一个线性变换，我们可以用矩阵来表示。
这些矩阵的运算规则遵循线性变换的特点。
在矩阵运算中，我们可以用矩阵乘法将矩阵进行组合，以得到新的矩阵。
二、线性变换在几何中的应用线性变换在几何中的应用主要体现在二维和三维几何问题中。
例如，在平面上有两个点，我们可以通过线性变换将这两个点转化为一个向量，然后通过向量的运算进行计算。
在三维几何中，线性变换也有广泛的应用。
例如，在三维空间中，我们可以通过线性变换将一条直线或者平面进行变换。
这样，我们就可以在三维对空间中对许多重要的几何问题进行求解。
例如，在三维立体几何中，我们需要计算两个平面之间的夹角，这时我们可以通过线性变换将两个平面转化成两个向量，然后通过向量的运算求解出夹角。
线性变换还可以用于计算几何中的切线、曲线和超平面等问题。
例如，在椭圆曲线中，我们需要计算一些特殊的点和曲线之间的关系。
这时，我们可以通过线性变换将这些点和曲线转化成向量，然后通过向量的运算来求解关系。
三、总结线性变换在中学数学中的应用非常广泛，它涵盖了代数和几何的许多重要问题。
通过线性变换的技巧，我们可以将复杂的问题转化成更简单的形式，然后通过逆变换来求解出问题。
因此，在中学数学学习中，要牢固掌握线性变换的相关知识，以便在实际问题中运用自如。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三维线性变换陈祥科1、线性空间 (2)1.1、线性空间的代数定义 (2)1.2 线性空间的基和维度 (2)2、线性变换 (2)2.1、变换的定义 (2)2.2、线性变换的定义 (2)2.3线性变换的性质 (3)2.4、线性变换下的坐标变换 (3)2.5、线性变换的矩阵表示： (3)3、三维图形的几何变换 (4)3.1平移变换 (5)3.2缩放变换 (5)3.3绕坐标轴的旋转变换 (5)3.4绕任意轴的旋转变换 (6)4、三维线性变换的应用实例 (7)4.1 三维图形变换理论 (7)4.1.1 三维图形的几何变换 (7)4.1.2 组合三维几何变换 (8)4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导 (9)4.1.4 三维图形的轴侧投影变换 (9)4.2 叉车稳定性试验的仿真 (10)4.2.1 纵向稳定性试验的仿真 (10)4.2.2 横向稳定性试验的仿真 (11)4.3 结论 (12)1、线性空间1.1、 线性空间的代数定义一个定义了加法与数乘运算，且对这些运算封闭，空间中任意向量都属于数域P ，并满足八条算律的集合为数域P 上的线性空间。
1.2 线性空间的基和维度对于一个数域上的线性空间R ，由n 个属于R 的元素组成的一个线性无关组，如果R 中的任意一个元素都是这n 个元素的线性组合，那么这个线性空间的维度为n ，且这个线性无关组为R 的一组基。
显然，三维空间的基有3个元素组成。
三维线性空间的的两组基分别为(0,0,1)和(1,0,0)、(0,1,0)。
2、线性变换2.1、变换的定义变换是广义概念的函数，它是这样定义的，如果存在2个非空集合A 、B ，α是A 中的任意元素，如果在集合B 中必定有一个元素β与集合A 中的α元素对应，则称这个对应关系是集合A 到集合B 的一个变换，变换也称为映射，记为T ，即有等式β=T(α)称β为α在T 变换下的象，称α为β在T 变换下的源，集合A 称为变换T 的源集，A 在变换T 下的所有象称为象集，显然象集是B 的子集。
2.2、线性变换的定义R 是数域F 上的线性空间，σ是R 的一个变换，并且满足()()()()()a k kab a b a σσσσσ=+=+ 其中a,b ∈R ，k ∈F 则称σ是R 的一个线性变换（这是由R 到R 自身的一个映射）。
线性变换定义的意义是，将R 的任意2个元素的和进行变换等同于将这2个元素分别进行变换后再求和，将R 的任意元素的数乘进行变换等同于将这个元素先进行变换再数乘。
下面是线性变换的另一种表述方式：)()()(βσασβασl k l k +=+ F l k R ∈∈∀,,,βα2.3线性变换的性质如果线性空间R上的一个线性变换σ，σ有如下性质σ(a)=a，称σ为线性恒等变换σ(a)=0，称σ为线性零变换σ的象集是R的一个子集，称为象空间，也就是说是R的一个线性子空间。
线性变换的基本性质σ(0)=0,σ(-a)=-σ(a)线性变换不改变线性组合和线性关系线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组由第一条性质可以看出，线性变换将零向量依然变成零向量，所以平移变换（即向量的位置发生变化）不是线性变换（这也是计算机图形为何要引入仿射变换的目的，仿射变换是线性变换的超集）。
性质2和下面这种描述是等价的：如果σ是线性空间R上的一个线性变换，那么σ满足：如果β是(α1,α2..αn)的线性组合，那么σ(β)依然是(σ(α1),σ(α2)..σ(αn))的线性组合。
性质3指出线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组，但线性变换不一定可以把线性无关的向量组变为线性无关的向量组，例如上面所说的线性零变换，即线性变换可能将一个向量变为零向量，而包含零向量的向量组必定线性相关。
2.4、线性变换下的坐标变换R是数域F上的线性空间，σ是R某一组基X下的线性变换，其矩阵为A，v是R中的任意向量，v在基X 下的坐标为(x1,x2..xn)T，v经过线性变换σ的坐标为(y1,y2..yn)T，那么有（y1,y2..yn)T=A(x1,x2..xn)T或用行向量表示为（y1,y2..yn)=(x1,x2..xn)AT也就是说，线性变换σ对于R中任意向量v的效果等同于σ的矩阵与v的乘积。
上面这个公式称为线性变换下的坐标变换公式，证明方法与基变换下的坐标变换公式类似。
线性变换下的坐标变换公式是向量空间中对向量进行线性变换变换的基本方法，基本的线性变换有旋转、缩放、镜像（也称反射）、切变等，对于旋转，由于线性变换不会发生平移，所以在三维空间中是绕过原点的直线旋转，这些线性变换都是可逆的。
有一种特殊的线性变换-正交投影，投影是降维变换，例如三维到二维的投影，由于变换丢失了一维的信息，所以正交投影是不可逆的，即正交投影的线性变换矩阵的行列式为0。
2.5、线性变换的矩阵表示：线性变换矩阵的定义设{α1，α2，…，αn}是数域F上的n维线性空间V的一个基，σ∈L(V)．基向量的象可由基线性表示：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋯++=⋯⋯⋯⋯+⋯++=+⋯++=n nn n n n n n n n a a a a a a a a a αααασαααασαααασ22112222112212211111)()()(我们把（1）写成矩阵等式的形式(σ(α1), σ(α2), …, σ(αn)) =(α1, α2, …, αn) A其中A 为： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211M M M 矩阵A 称为线性变换σ在基{α1，α2，…，αn}下的矩阵．3、三维图形的几何变换由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 产生缩放、旋转、错切等变换；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡342414a a a 产生平移变换，[]434241a a a 产生投影变换，[]44a 产生整体缩放变换。
3.1平移变换参照二维的平移变换，我们很容易得到三维平移变换矩阵：3.2缩放变换直接考虑相对于参考点（xf，yf，zf）的缩放变换，其步骤为：A. 将平移到坐标原点处；B. 进行缩放变换；C. 将参考点（xf，yf，zf）移回原来位置则变换矩阵为：3.3绕坐标轴的旋转变换三维空间的旋转相对要复杂些，考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转q 角的变换：A.绕x轴旋转B.绕y轴旋转C.绕z 轴旋转三维空间的平移、旋转及缩放示意图3.4绕任意轴的旋转变换设旋转轴AB 由任意一点A （xa ，ya ，za ）及其方向数(a ，b ，c)定义，空间一点),,(p p p z y x P 绕AB 轴旋转角 到)',','('p p p z y x p 则可以通过下列步骤来实现P 点的旋转：A. 将A 点移到坐标原点。
B. 使AB 分别绕X 轴、Y 轴旋转适当角度与Z 轴重合。
C ．将AB 轴绕Z 轴旋转θ角。
D.作上述变换的逆操作，使AB 回到原来位置。
所以),,()()()()()(),,()(111a a a x y z y x a a a ab z y x T R R R R a R z y x T R αβθβθ---=其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移，选择矩阵，而βα,分别是AB 在YOZ 平面与XOZ 平面的投影与Z轴的夹角。
4、三维线性变换的应用实例基于三维可视化技术仿真叉车稳定性试验以平衡重式叉车为例，基于三维图形变换理论和可视化技术，采用Visual C++编程实现了4种工况下叉车稳定性试验的仿真．这种仿真能对稳定性试验进行可视化显示，通过调整设计参数的值，能更好地控制叉车的稳定性，从而在设计阶段就能验证叉车的稳定性、提高叉车的设计质量并节约成本．平衡重式叉车的荷载位于车轮支撑平面之外，在装卸搬运作业中有倾翻的危险．因此，不仅要在产品阶段进行稳定性试验，还应该在设计中进行稳定性计算．叉车稳定性的计算公式是依据稳定性试验的规定和平衡重式叉车轴载的基本假设推导出来的，而稳定性试验中规定的门架全后倾的工况破坏了叉车满载时轴载的基本假设_1]，导致稳定性的计算公式不够准确．一旦叉车通不过稳定性试验，就会造成不必要的经济损失．如果能通过软件对叉车稳定性进行虚拟试验，那么就能在一定程度上弥补稳定性计算公式不准确性带来的影响，并且可以提前验证叉车稳定性，从而减少真实实验造成的经济损失．而目前还没有现成的软件可以仿真叉车稳定性试验．于是，基于Visual C++编程实现叉车稳定性试验的仿真是十分必要的．叉车稳定性试验的原理是利用倾斜平台上重力的分力模拟实际工作中的水平力，试验中均采用倾斜平台的翻倒坡度来衡量叉车的稳定性，在几何意义上就是验证当倾斜平台的翻倒坡度等于倾斜度指标时，叉车的联合重心线是否超出叉车的支撑平面．以纵向动稳定试验为例来说明稳定性试验的过程．该实验规定：工况为门架全后倾，前轴与倾翻平台轴线平行，额定荷载，起升300 mm ，倾斜度指标是18％，模拟满载运行制动口]．其实验过程：①额定荷载q 垂直起升300 mm 高度．② 门架绕前轴中心旋转到全后倾的位置．③整台叉车绕倾斜平台轴线旋转到倾斜度指标，验证叉车是否倾翻．分析该实验过程，不难发现稳定性实验中货物的起升和门架的后倾，以及倾斜平台的倾翻运动，可以看成是一系列的平移、旋转运动的组合．由此可将稳定性试验看作是1个三维空间的几何变换问题．从而建立叉车和倾斜平台的三维简化模型，利用三维图形的几何变换实现稳定性试验中的平移和旋转运动，基于三维图形的投影变换和可视化技术，通过Visual C++编程可将稳定性试验的过程动态地显示在计算机屏幕上．4.1 三维图形变换理论4.1.1 三维图形的几何变换几何变换是指应用于对象几何描述并改变它的位置、方向或大小的操作．三维图形的几何变换也称三维几何变换，是几何变换在三维空间的应用．由于几何变换可以用紧凑的矩阵形式表达，这不仅使得平移、缩放、旋转等变换变得更加容易，还使得一系列的几何变换可以很容易地结合起来构成1个新的变换．三维几何变换均可以用1个4×4的变换矩阵T描述，其变换矩阵为式中：a，b，C，P，d，e，f，q，g，h，i，，￡，m，，8为矩阵T的元素式(1)可从功能上分为以下部分：(1)3×3子阵，，可以产生比例、旋转、错切及对称等变换．(2)1×3行阵[l，m，n]可以产生沿X，Y，Z轴的平移变换．(3)3×1列阵可以产生透视变换(4)元素8产生整体的比例变换4.1.2 组合三维几何变换4.2.1.1初等三维变换式(1)是1个十分有用的变换矩阵，它可以描述三维空问的各种变换，但直接使用却十分困难．不如先分析平移、缩放、旋转等初等三维变换矩阵．对初等三维变换矩阵进行组合，就得到了组合三维变换矩阵，从而实现一般性的三维几何变换．下面是几个重要的初等三维变换矩阵：式中：P为平移矩阵，矩阵中l，m，n分别为沿x ，y，z 轴的平移量；矩阵分别为绕x，y，z 轴的旋转，其旋转角度为，这里规定角度逆时针为正；c=COS a；s=sin a．4.1.2.2 组合三维几何变换三维几何变换可以任意组合，并且表示总变换的矩阵可以是每个初等三维矩阵乘积的形式．任意数目的几何变换都能以这种方式组合在一起并产生1个表示总变换的矩阵T，它由n个独立变换矩阵T ，T1,T2…Tn相乘得到，T=T1*T2…Tn （3）4.1.3 围绕任意轴的旋转矩阵的推导采用组合三维几何变换能实现组合旋转，能执行一系列的绕x,y,z轴的旋转．通过组合这3个初等变换就能得到1个总旋转矩阵，由下式给出：式中分别为绕 x,y,z轴的旋转矩阵；角度3,2,1ααα，。