第7章 直接线性变换解法
第七章 线性变换
(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
第七章线性变换
第七章线性变换一．综述在高中数学和数学分析课中曾学习过函数的概念,那是把函数的定义域定义在某数集（特别是实数域）上.我们同样可以将函数定义在向量空间上来研究.在第五章矩阵代数,第六章向量空间以及第一章映射的基础上,进一步讨论向量空间上的一些特殊的简单的函数——数量函数和向量函数,它们都是线性代数的主要研究对象,并是其他科学中常用的函数.本章只研究一种简单的向量函数——线性变换.教材内容大致可分为四部分：第一部分主要讨论向量空间的线性变换的概念、性质,以及一个变换是否为线性变换的判别；第二部分主要讨论线性变换的运算和运算法则；第三部分主要讨论n维向量空间的线性变换的确定、在某基下的矩阵,由此建立线性变换集合与数域F上所有n阶方阵集合的一一对应且为同构对应；向量与像的坐标变换公式,线性变换在不同基下的矩阵的相似关系；第四部分主要讨论线性变换的本征值、本征向量的概念与求法,进一步推导得出矩阵相似对角形的条件.这四部分是紧密联系的,前部分内容都为后部分内容的理论基础,而后部分内容又是前部分内容的巩固与发展,由此逐部分的发展和推广得到完整的线性变换概念、性质和有关计算技能,为下面讨论（若当型）欧氏空间奠定了基础.二．教材重点线性变换的定义、性质,线性变换的运算和算律,n维向量空间的线性变换在某基下的矩阵,两者之间的内在联系,矩阵相似对角形的判定及有关对象的求法,向量空间分解为线形变换的根子空间直和的定理的证明.其中线性变换的运算,它和矩阵之间的联系,矩阵的特征根与特征向量的求法,是学好本章的基础. 三．难点抽象的线性变换的概念、加法、乘法的定义,线性变换集合与矩阵集合之间的对应关系使得抽象的线性变换的讨论具体为矩阵的讨论,因而在教学中要从熟知的解析几何实例引入,运用具体模型进行分析,由已知引到未知,指导学生正确地抽象出线性变换概念；在讲特征根、特征向量时,要注意演示具体例子,清晰地培养学生认知、计算能力,逐步建立正确概念.四．教学目的和要求分解到各节,但整体上要注意通过实例抽象出概念,进行逻辑推理、判断得出定理,再由抽象的概念、定理去解决有关的实际问题的教学思想,使学生认识到线性变换来源于实践,又从线性变换与矩阵的内在联系逐步培养学生的辨证唯物主义观点.7.1 线性映射一．教学思考1.本章仅讨论向量空间中一种简单的向量函数——线性变换.但映射与变换的关系前知,所以介绍线性变换先介绍更一般的概念——线性映射.2.线性映射是本节的基本概念,它有丰富的内容,首先它是向量空间到向量空间的一个映射,其次它保持向量空间的两种运算,它对研究线性代数非常有用.明显它是向量空间的一个同态映射.要注意此概念学生理解是一个难点,应强调指出不要只注意到映射的关系法则,不涉及向量的运算.3.讲此概念时,引例从已知的几何知识、数学分析知识等阐明线性映射的实质,然后引入定义使学生反复认识.4.内容中线性映射的判定是定义条件的综合,有些性质课本中没有介绍,如保持相关,但要对照与同构映射的差异（如不保无关）.5.本节方法：1）验线性映射；2）线性映射的像与核的求法.二．教学内容、要求内容：线性映射的定义、性质,线性映射的像与核.要求：理解掌握线性映射的定义、性质,像与核的求法.三．教学过程1.线性映射的定义及例子定义1 设V 和W 是数域F 上两个向量空间,σ是V 到W 的一个映射；若对,,V a F ξη∀∈∀∈都有：1）()()()σξησξση+=+,2）()()a a σξσξ=；则称σ是V 到W 的一个线性映射.例子（零映射、单位映射、位似变换等等,略）2.线性映射的判定设σ是V 到W 的一个映射,则σ是V 到W 的一个线性映射⇔对,,,V a b F ξη∀∈∀∈都有()()()a b a b σξησξση+=+.3.线性映射的性质设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）(),()()o o σσασα=-=-.2）对11,,,,,n n a a F V ξξ∀∈∀∈ 有1111()()()n n n n a a a a σξξσξσξ++=++ .3）线性映射把线性相关组变为线性相关组.4.线性映射的其它性质定义2设σ是V 到W 的一个线性映射,1V V ⊆,则{}1()|V σξξ∈（即1V 中所有元素在σ下的像的集合）是W 的一个子集,叫做1V 在σ下的像,记作1()V σ；另一方面,设1W W ⊆,则{}1|,()V W ξξσξ∈∈（即1W 中所有元素在σ下的原像的集合）是V 的一个子集,叫1W 做在σ下的原像.定理7.1.1设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）V 的任一子空间在σ下的像是W 的一个子空间；2）W 的任一子空间在σ下的原像是V 的一个子空间.定义：向量空间V 在σ下的像叫做σ的像,记作Im()σ（即Im()σ=()V σ={}()|V σξξ∈；W 的零子空间{}o 在σ下的原像叫做σ的核,记作()Ker σ（即()Ker σ={}|,()V o ξξσξ∈=）.定理7.1.2设σ是V 到W 的一个线性映射,则1）σ是满射⇔Im()σ=V ；2）σ是单射⇔()Ker σ{}o =.7.2 线性变换的运算一．教学思考1．一个向量空间V 到自身上的线性映射,叫做V 的线性变换,因而上节关于线性映射的性质本节仍然成立.不同的是V 的向量在线性变换下的象仍是V 中的向量,那么注意有关性质中出现运算及特殊向量（如零向量）都是V 中的.2．本章只将线性变换作为新的代数对象进行研究,首要的是有关运算,所以本节有关线性变换运算的定义（三种运算：加法、数乘、乘法）及满足的算律.有关运算的定义是根本.其中实质在于掌握映射确定的方法,即每个元素（向量）象的确定.3．重点线性变换的各种运算的定义,难点是各种运算所满足的算律,特别是乘法对加法的分配律.但它们的思想实质引导学生把握一点,在于证明映射（变换）的相等（即任一元素的象相同）.还有可逆线性变换的逆变换也是线性变换.（上节关于可逆线性映射的逆映射也是线性映射已解决）.4．注意线性变换的有些运算的实质并不新鲜,如乘法事实为合成.同时讲完本节内容可以总结到()L V 对加法、数乘与乘法作成的代数结构.二．教学内容、要求1．内容：线性变换的运算定义、性质.2.要求：1）理解掌握线性变换的三种运算定义,并能推证它们仍是线性变换.熟练地掌握运算所满足的算律.了解()L V 有关运算作成的代数系结构,特别是()L V 关于加法、数乘构成数域F 上的向量空间,（()L V 关于加法、乘法构成一个环）,从而掌握向量空间、环的运算在()L V 内都可施行. 2）理解逆变换的概念及逆变换仍为线性变换,以及线性变换的多项式. 3）运用有关运算的定义推证其结果仍为线性变换,证明有关运算适合的一些算律,培养严密的逻辑思维能力、论证能力.（这是极为重要的基本的知识及技能,注意有和平常的运算相似地方,但必然不同,必须本着线性变换的有关定义进行,以免有误）.三. 教学过程：1. 线性变换的定义定义1令V 是数域F 上一个向量空间,V 到自身上的一个线性映射叫做V 的一个线性变换.注：可见线性变换是特殊的线性映射,因而具有线性映射的性质.2. 线性变换的运算用()L V 表示向量空间V 上的所线性变换的集合.（1） 加法１） 定义2设σ、()L V τ∈,定义它们的和τσ+为：τσ+：ξ ()()σξτξ+. ２） 性质：a ．设σ、()L V τ∈,则σ+()L V τ∈.即线性变换的和也是一个线性变换.（验证由线性变换的定义或充要条件及和的定义易得,注意其中每一步的根据）.b.加法满足如下算律：对)(,,V L ∈∀ρτσ（1）σττσ+=+（交换律） （2）)()(ρτσρτσ++=++（3）零变换)(V L ∈θ,有对σθσσθσ=+=+∈∀),(V L（4）)(V L ∈∀σ,定义)(:ξσξσ-- ,称σ-为σ的负变换；可验证σ-)(V L ∈且：τρσρτστστσθσσ-=⇒=+-+=-=-+),(,)(（２）数乘１）定义３设)(,V L F k ∈∈σ,定义数乘变换σk 为：)(:ξσξσk k .２）性质：A ．σk )(V L ∈；B ．数乘满足如下算律：)(,,,V L F l k ∈∈τσσσστστσl k l k k k k +=++=+)(;)(；σσσσ==1);()(l k kl .TH7.2.1:)(V L 对上述定义的加法和数乘作成数域F 上一个向量空间.（３）乘法1）定义：设σ、()L V τ∈,我们把合成映射τσ 叫做σ与τ的积,记作στ.即))((:ξτσξτσστ =.2）性质：A ．στ)(V L ∈；B ．满足算律：)(,,V L ∈∀ρτστρσρρτσρτρστσρ+=++=+)(;)(；)()(στρτρσ=.（４）线性变换的幂及线性变换的多项式 1）)(V L ∈σ定义σ的n 次幂为N n n n ∈=, σσσ；规定l =0σ.2）设)(],[)(10V L x F x a x a a x f n n ∈∈+++=σ ,定义n n a a l a f σσσ+++= 10)( )(*称之为当σ=x 时)(x f 的值,或称为σ的多项式.注意：)(*式中的有关运算是线性变换的幂、数乘、加法,易得)()(V L f ∈σ.（５）可逆变换设)(V L ∈σ,若存在)(V L ∈τ使得l ==τσστ,则称σ是可逆变换,且称τ为σ的逆变换,记为1-σ.7.3 线性变换的矩阵一．教学思考1.本节主题是：在数域F 上n 维向量空间V 中可以用V 的基给出V 的线性变换σ的矩阵表示A ,从而把讨论线性变换的问题转化为用矩阵来处理,讨论起来即具体又简单,并且提供了丰富的内容,同时使我们看到矩阵工具的使用.要逐步体会用矩阵解决问题的方法及熟练掌握V 的线性变换σ与F 上n 阶矩阵A 的对应关系.2.本节从内容上讲先定义数域F 上n 维向量V 上线性变换σ关于V 的基的矩阵的概念,定理7.3.1讨论了向量ξ与其象)(ξσ关于同一个基的坐标之间的关系.引理7.3.2是线性变换与n 阶矩阵（环）之间建立一一对应的理论基础,是一难点、重点（下面给出较详尽的分析说明）.而从内容上讲解决给定)(F M A n ∈,存线性变换σ,使A 为σ的矩阵的问题.定理7.3.3建立了()n V L 与()F M n 的一一对应,是线性变换,并用具体n 阶矩阵表示的基础.（定理7.3.4）最后的一个结论：“讨论了一个线性变换σ在不同基底下的矩阵之间的关系——相似”,为矩阵按相似的关系分类提供了依据,为以后研究相似矩阵的不变量（特征根）奠定了基础,此亦可作一个定理.3.本节概念及上述主要定理是重点、难点,在讲述过程中特别是引理7.3.2须作重点详尽的分析,定理7.3.3证明形式上很清楚,不能使学生仅停留在符号上,应掌握证明的实质,要逐步分析使学生理解.4.本节重要的体现出从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系体会辩证唯物主义观点.二．教学内容、要求（一） 内容：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的一一对应,线性变换关于不同基的矩阵的相似.（二） 重点、难点：线性变换的矩阵,()n V L 与()F M n 的同构.（三） 要求：1．n 维向量空间取定一组基n ααα,,,21 后,使学掌握V 上所有线性变换集合()V L 与数域F 上所有n 阶矩阵集合()F M n 之间建立一一对应.2.掌握在某基n ααα,,,21 下,线性变换σ的矩阵A 的概念,并熟练地掌握给定线性变换σ会求在该基下的矩阵；反之给定矩阵A 后,会确定线性变换σ；从而()n V L 与()F M n 为同构的代数系.3．掌握若已知()V L ∈σ在基下n ααα,,,21 矩阵为A,且向量11,()n ni i i i i i x y αασαα====∑∑的坐标公式：11n n y x A y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4．掌握若两基满足T n n ),,(),,(11ααββ =且()V L ∈σ在基n ααα,,,21 与基n βββ,,,21 下的矩阵分别为B A ,,则AT T B 1-=.且熟习各计算公式及技能,弄清线性变换的矩阵是随基底的改变而改变的.5．通过学习,从抽象的线性变换概念及运算进行推理、判断得出线性变换可由n 阶矩阵表示,使问题具体化,由具体矩阵解决实际问题；从线性变换与矩阵的内在联系逐步培学生的辩证唯物主义观点.三．教学过程1．线性变换的矩阵,向量的象的坐标公式（1）问题 设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,1 对V ∈∀ξ,有ξ关于基{}n αα,1 的坐标),,(1n x x ；同样)(ξσ关于基{}n αα,1 的也有坐标),,(1n y y ；问ξ与)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标有和关系？而研究向量的某种性质时,往往从分析基向量的性质入手,为此引入：（2）线性变换的矩阵定义１ 设)(,dim V L n V ∈=σ,{}n αα,1 为V 的一个基,令：n n a a ααασ11111)(++=n n a a ααασ21122)(++=……n nn n n a a ααασ++= 11)(作矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,称之为线性变换σ关于基{}n αα,1 的矩阵. 例1．2V 中取从原点出发的彼此正交的向量21,εε作为2V 的一个基,令σ是将2V 的每一向量旋转角θ的一个旋转,求σ关于{21,εε}的矩阵.例2．求n 维向量空间的位似变换关于任一基的矩阵,由此的单位变换、零变换关于任一基的矩阵.（1、2解略）（3）向量的象的坐标公式定理7.3.1设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a a A 1111,若ξ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n x x ,而)(ξσ关于基{}n αα,1 的坐标为),,(1n y y ;则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A y y 11.2．))(dim (n V V L =与)(F M n 的同构对应设,dim n V =取定V 的一个基{}n αα,1 后,可知对()V L ∈∀σ都有唯一n 阶矩阵)(F M A n ∈与之对应；问题是上述结论的反面是否成立？即对∀)(F M A n ∈,是否恰有一个()V L ∈σ使得σ关于取定的基{}n αα,1 的矩阵为A ？这个问题成立的意义在于： 对n 维空间V ,可建立))(dim (n V V L =与)(F M n 的1—1对应；进一步的是()V L ,)(F M n 各自有相应的加法、数乘运算,这种对应与运算又有什么联系？引理7.3.2设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,则对V 中任意n 个向量n ββ,,1 ,恰有一个()V L ∈σ使得),,2,1(,)(n i i i ==βασ.注：（1）引理含义为：存在唯一一个线性变换把给定的基向量变为任意指定的n 个向量.（2）该引理是建立()V L 与)(F M n 同构对应的基础.推论7.3.4设,dim n V ={}n αα,1 为V 的一个基,()V L ∈σ,σ关于基{}n αα,1 的矩阵为A ；则σ可逆的充要条件为A 可逆,且1-σ关于这个基的矩阵为1-A .3．线性变换在不同基下矩阵间关系引言：一般地线性变换关于基的矩阵与基的选择有关,同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵是不同的（如作业）,为了利用矩阵研究线性变换,显然需要讨论线性变换在不同基下的矩阵间的关系.引例 设()2F L ∈σ,且σ关于基{1ε,2ε}的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4231A ,求关于基()(){}012111==αα、的矩阵.分析：本题不能直接用定义做,因σ的对应关系不清楚,由定义是求B 使()()()2121)(ααασασ，，=B,由由题知A ),())(),((2121εεεσεσ=,而{}21,εε与{}21,αα间的关系易得,因而可通过上述已知转化一下.解：设()()()2121)(ααασασ，，=B,因22211,εαεεα=+=,所以T ),(1101),(),(212121εεεεαα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101T .于是 T))(),(())(),()(())(),(())(),((2122122121εσεσεσεσεσεσεεσασασ=+=+=AT T AT 12121),(),(-==ααεε,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12341AT T B . 由引例有结论：同一线性变换σ在V 的两个不同基下的矩阵B A ,是不同的,有关系AT T B 1-=（T 为过渡矩阵）.一般地：定理7.3.5设,dim n V ={}n αα,1 ,{}n ββ,,1 为V 的两个基, ()V L ∈σ,σ关于这两个基的矩阵分别为A 和B,且T n n ),,(),,(11ααββ =；则AT T B 1-=. 反过来,设)(,F M B A n ∈,且存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则A 和B 是V 的同一线性变换在不同基下的矩阵.定义２ 设)(,F M B A n ∈,若存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,则称矩阵B 与A 相似,记作A B . 性质：“相似”是方阵之间的一个“等价关系”：（1）自反性：)(F M A n ∈∀,有A 与A 相似；（2）对称性：若B 与A 相似,则A 与B 相似；（3）传递性：若B 与A 相似,C 与B 相似,则C 与A 相似.（易证,且容易看到所存在的可逆矩阵的关系）另外：由矩阵的运算性质易得：T A T AT T TA T T A T T A A T n n n n 1111111)()(-----=++=++ .7.4 不变子空间一 ．教学思考上节的结论：线性变换关于不同基的矩阵是相似的,矩阵相似是方阵的一个等价关系,所以方阵可以按等价分类,彼此相似的矩阵可作为同一线性变换在不同基下的矩阵.自然的问题是：能否适当的选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵有较简单的形式？具体地下面将研究：在什么条件下可适当选择V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵？用矩阵的语言即是在什么条件下A 相似与一个对角阵？这个问题的解决同所谓的不变子空间的概念关系密切.作为本节内容较简单,即“不变子空间的定义及性质”,有了这个概念后,引导学生看一看不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.二 ．内容及要求内容：不变子空间的定义、性质.要求：掌握不变子空间的定义、性质,了解不变子空间在简化线性变换的矩阵中的作用.三 ．教学过程1．概念及性质令V 是数域F 上的一个向量空间,()V L ∈σ.定义1 W 是V 的一个子空间,若()W W ⊆σ（即∀ξW ∈,σ（ξ）W ∈）,则称W 在线性变换σ下不变（或稳定）,此时W 称为σ的一个不变子空间（或σ一子空间）.例 平凡子空间、)Im(),(σσKer 、位似变换下的子空间等（略）.定义2 设W 是线性变换σ的一个不变子空间,只考虑σ在W 上的作用,就得到子空间W 本身的一个线性变换,称为σ在W 上的限制,记为W |σ.性质 （不变子空间的）1）σ的有限（无限）个不变子空间的交仍是σ的不变子空间.2）σ的有限个不变子空间的和仍是σ的一个不变子空间.3）设W 是V 的一个子空间,),,(1n L W αα =,()V L ∈σ；则W 是σ的一个不变子空间W n ∈⇔)(,),(1ασασ .2．不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系设,dim n V =()V L ∈σ,W 是σ的一个)0(n r r <<维不变子空间,可令},,{1r αα 为W 的一个基,于是),,(1r L W αα =；将},,{1r αα 扩充为V 的一个基},,,,,{11n r r αααα +,则可设：nnn r rn n n nnr r rr r r r rr r r rr a a a a a a a a a a αααασαααασααασααασ++++=++++=++=++=++++111111*********)()()()( 于是σ关于基},,,,,{11n r r αααα +的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21A O A A r r n ,即当σ有一个非平凡子空间时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵具有较多个0元素.特别地：当2121,(,W W W W V ⊕=在σ之下不变）时,那么选取1W 的一个基和2W 的一个基凑成V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21A O O A ,更进一步,若V 可以分解为σ的s 个不变子空间的直和时,可适当选择V 的一个基使得σ关于这个基的矩阵为准对角形.结论：给了n 维向量V 的一个线性变换,只要能将V 分解成一些在σ之下不变的子空间直和,那么就可以适当的选取V 的基,使得σ关于这个基的矩阵具有比较简单的形状.显然,这些不变子空间的维数越小,相应的矩阵的形状就越简单.特别当V 能分解为n 个σ之下不变的一维子空间的直和,那么与σ相应的矩阵就有对角形式.下两节将讨论这个问题.7.5 本征值和本征向量一．教学思考：1．本征值和本征向量的概念是解决线性变换及矩阵可对角化的重要概念,是下节问题及结论的基础. 2．线性变换的本征值与本征向量是用一个条件等式联系着的两个概念,注意它们的依存关系.在分析σ的本征值、本征向量的求法中引入了矩阵的特征根特征向量的概念,注意它们的关系和区别.3．相似矩阵的特征多项式相同,从而特征根同（反之不然）,进而下述具体求σ的本征值、本征向量时转化为σ关于某个基的矩阵的有关问题,而与基的选择无关.4．本节求线性变换与矩阵的特征根、特征向量的方法具体,技能要熟练准确.注意利用数域F 上的多项式求根及n 个方程、n 个未知数的齐次线性方程组求非零解的知识.二 ．内容及要求：1．内容：特征根和特征向量的概念、性质、求法、特征多项式.2．要求：①掌握线性变换的本征值、本征向量、特征多项式的概念性质.②掌握特征根、特征向量的求法.三． 教学分析、建议、及过程：（一）线性变换的本征值、本征向量的概念重要及关系紧密,分析清其性质及实质含义进而分清其与矩阵的特征根与特征向量的关系,以及由相似阵的特征多项式、特征根相同知σ的本征值的求法时,转化为矩阵的有关问题而与基的选择无关.特别是最终得到特征根、特征向量的求法,真正分析清楚,弄懂弄会.（二）过程：引言：设)(,dim V L n V ∈=σ,在什么条件下可找到V 的一个基{}n αα,,1 ,使得σ关于这个基的矩阵为对角形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλ0000001 ,即：n n n αλασαλασ==)()(111 （*）要做到这一点,从上节最后的分析结果知在于V 能否分解为σ的一维不变子空间的直和.我们将看到这不是总能办到的,只从另外的方面讨论.现在从解决的问题所满足的式子（*）给予我们一个重要启示,即研究线性变换σ,很重要的是去寻找满足条件λαασ=)(的数λ和非零向量α,这就是下面要介绍的线性变换σ本征值和本征向量问题.1．特征根、特征向量：（本征值、本征向量）（１）概念定义１设V 是数域F 上的一向量空间,)(V L ∈σ,如果对F 中的一个数λ,存在中F 非零向量ξ,使得λξξσ=)(.则称λ为线性变换σ的一个本征值,而λ叫做σ的属于本征值λ的一个本征向量. 例1．设σ是3V 中关于某平面H 的正射影,可知0、1都是σ的本征值（考虑相应的本征向量是什么）. 例2．对)()(:],[x xf x f x F V σ=,可知)(V L ∈σ；对,F ∈∀λ因o x f ≠∀)(,都有)()())((x f x xf x f λσ≠=,因此σ没有本征值.（２） 本征向量的性质１） 同一本征向量不能属于不同的本征值.（证略）２） 令{}λξξσξλ=∈=)(|V V ,则λV 是V 的一个子空间,称为σ的一个本征子空间.（易证）（3）σ的一维不变子空间与σ的本征值和本征向量间的联系一方面：若ξ是σ的一个属于本征值λ的本征向量,则{}F a a L ∈=|)(ξξ是σ的一维不变子空间.另一方面：若U 是σ的一维不变子空间,则U 中每个非零向量都是σ的属于同一本征值的本征向量.（事实上容易验证,注意多方解释）（4） 本征值、本征向量的求法设)(,dim V L n V ∈=σ,取定V 的一个基{}n αα,,1 ,令σ关于这个基的矩阵为()n ij a A =,若n n x x ααξ++= 11是σ的一个属于本征值λ的本征向量,有n n x x αλαλλξξσ++== 11)(；由定理7.3.1有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x A x x 11λ,即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ （1）.即ξ关于基{}n αα,,1 的坐标是上述（1）以A I -λ为系数矩阵的齐次线性方程组的非零解；而（1）有非零解⇔系数行列式0=-A I λ （2）即F ∈λ是σ的一个本征值时其须满足（2）；反之若F∈λ满足（2）时,则（1）有非零解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x 1,从而n n x x ααξ++= 11满足λξξσ=)(,即λ为线性变换σ的一个本征值.上述讨论了σ的本征值与本征向量满足的条件,其中在本征值中,行列式A I -λ很重要,为讨论方便引入：定义2 设())(F M a A n ij ∈=,行列式 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)( 叫做矩阵A 的特征多项式（显然n x f x F x f A =∂∈))((],[)(0）.把)(x f A 在复数域C 内的根（即0)(=x f A 在复数域C 内的解）叫做矩阵A 的特征根.若λ为A 的一个特征根,那么相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n x x A I λ的一个非零解叫做矩阵A 的属于特征根λ的一个特征向量.由此的：求线性变换σ的本征值与相应的本征向量的方法步骤：1） 取定V 的一个基{}n αα,,1 ,求σ关于这个基的矩阵为A .2） 求出A 的特征多项式A xI x f A -=)(在数域F 内的全部根s λλ,,1 ,即是σ的全部本征值.3） 对每个i λ,求出相应的齐次线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00)(1 n i x x A I λ的一个基础解系r i ηη,,1 ,于是 σ的属于本征值i λ的全部本征向量在给定的基下的坐标形式为j j i i k F k k k rr ,,11∈++=ηηξ 不全为0.例3．求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=320230005A 的特征根和相应的特征向量. 例4．设R 上三维向量空间的线性变换σ关于基{}321,,ααα的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=013211233A ,求σ的本征值和相应的本征向量.2．矩阵的特征多项式的进一步讨论（1）相似矩阵的特征多项式问题：上述讨论知,设V 是数域F 上的一向量空间, )(,dim V L n V ∈=σ,求σ的本征值即求σ关于V 的某基的矩阵A 的在F 内的特征根,由σ关于V 的不同基的矩阵不同（相似）,是否由于基的不同而使得矩阵不同,从而使得特征根不同呢？为此：设A F M B A n ),(,∈与B 相似,即存在可逆矩阵T 使得AT T B 1-=,因I IT T =-1,所以T A xI T AT T IT xT B xI )(111-=-=----,从而《高等代数》电子教案)()()(111x f A xI T T T A xI T T A xI T B xI x f A B =-=-=-=-=---.即相似矩阵有相同的特征多项式,从而有相同的特征根.定义3 设)(,dim V L n V ∈=σ,σ关于V 的某基的矩阵A 的特征多项式称为σ的本征多项式,记为)(x f σ；即)(x f σ=)(x f A .定理7.5.1设)(,dim V L n V ∈=σ,F ∈λ是σ的本征值的充要条件是,λ是)(x f σ的一个根.（2）矩阵())(F M a A n ij ∈=的特征多项式的展开 nnn n n n A a x a a a a x a a a a x A xI x f ---------=-=212222111211)(将其展开是][x F 中一多项式. 1) 由行列式定义易知)(x f A 的降幂形式的前两项为：++++-=-12211)()(n nn n A x a a a x x f2) 由多项式的性质知)(x f A 的常数项为)0(A f ,而)0(A f =A n )1(-.定义4 矩阵A 的对角线上元素的和成为矩阵A 的迹,记为；即)(A Tr nn a a a +++= 2211. 综上：A x A Tr x x f n n n A )1()()(1-++-=- )1(另外讨论：A 的特征根与)(x f A 的展开式中的系数的关系.设n λλ,,1 是A 的全部特征根,则由根与一次因式的关系有：n n n n n n A x x x x x f λλλλλλ 1111)1()()()()(-++++-=--=- （2）比较（1）（2）得：)(A Tr =n λλ++ 1； =A n λλ 1.（3）*特征多项式的一个重要性质哈密尔顿——凯莱（Hamiltom-Caylay ）定理：设())(F M a A n ij ∈=,A xI x f A -=)(是A 的特征多项式；则 =-=A AI A f A )(O I A A a a a A n n nn n =-++++--)1()(12211 .（θσσ=)(f ）7.6 可以对角化的矩阵一． 教学思考：1、本节是在第四节、第五节的基础上,完全解决第三节引出的问题：在什么条件下存在V 的一个基,使得线性变换σ关于这个基的矩阵为对角阵？平行地,何时方阵A 相似与一个对角形矩阵？2、本节最终结果方法、步骤很具体,注意归纳.3、其中一种思想：线性变换与方阵的相应结论与转化,以及以其中一方面处理另一方面问题的思考与方法须注意.二 ．内容及要求：内容：线性变换和矩阵可以对角化的概念及判定（充分条件及充要条件）.要求：理解掌握线性变换可以对角化的概念,掌握可以对角化的判定、方法步骤（重点）四川民族学院数学系三 ．教学过程：引言：形式最简单的矩阵是对角形矩阵,本节在前述基础上讨论.问题：设dim ,()V n L V σ=∈,在何条件下存在V 的一个基{}1,,n αα 使得σ关于这个基的矩阵为对角形.（平行地：设()n A M F ∈）,在何条件下存在一个可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形）.这个问题即是所谓的：1．线性变换、矩阵可对角化的定义定义１设dim ,()V n L V σ=∈,若存在V 的一个基,使得σ关于这个基的矩阵为对角阵,则称σ可对角化.类似地：设()n A M F ∈如果存在可逆矩阵T 使得1T AT -为对角形,则称A 称可对角化.2．线性变换、矩阵可对角化的条件（１）一个充分条件：引理（Th7.6.1）——属于不同特征根的特征向量的性质——线性无关令()L V σ∈,若1,,s ξξ 分别是σ的属于互不相同的特征根1,,s λλ 的特征向量,则1,,s ξξ 线性无关.推论7.6.3设()n A M F ∈,若()A f x 在F 内有n 个单根,则A 可对角化.（２）一个充要条件特征子空间设()L V σ∈,λ是σ的一个特征根,令{}|()V V λξσξλξ=∈=,称之为σ的属于特征根λ的特征子空间,且是σ的一个不变子空间.定理7.6.5设V 是数域F 上n 维向量空间,()n L V σ∈,则σ可对角化的充要条件为：1）σ的特征多项式()f x σ的根1,,t λλ 全在F 内；2）对每个特征根i λ有dim i i V λλ=的重数.（证略）平行地：推论7.6.6设()n A M F ∈,则A 可以对角化的充要条件为：1）A 的特征根都在F 内；2）对A 的每个特征根λ都有秩()I A n s λ-=-.（其中s 为λ的重数）总结：判断σ可对角化的方法步骤：1） 取V 的一个基,求σ关于这个基的矩阵A ；2） 求()f x σ=()A f x 的全部根i λ；（判断i λ是否都在F 内）3） 若每个i λ都在F 内,求1()i n x I A x λο⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭的基础解系1,,s i i ξξ ,若基础解系所含向量的个数等于i λ的重数,则σ可对角化；4） 取3）中每个基础解系为坐标的向量构成V 的基,σ关于V 的这个基的矩阵为对角形. 平行地：()n A M F ∈,判断A 可以对角化的方法步骤：1） 求()A f x 的全部根i λ（判断i λ是否都在F 内）；2） 若每个i λ都在F 内,求秩()i I A λ-；若每个i λ,秩()i I A λ-=i n λ-的重数,则A 可以对角化.。
第七章-线性变换
x1 , x2 ,, xn P , 使 x1 1 x2 2 xn n
从而， ( ) x1 ( 1 ) x2 ( 2 ) xn ( n ).
由此知， ( ) 由 ( 1 ), ( 2 ),, ( n ) 完全确定.
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1 , 2 , , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
( 1 ) a11 1 a21 2 an1 n ( 2 ) a12 1 a22 2 an 2 n ( ) a a a n 1n 1 2n 2 nn n
＝x1 1 x2 2 xn n
＝x1 1 x2 2 xn n
由已知，即得 ＝ .
.
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定.
( 2 ) (0,1,0) (0,1,1) 0 1 1 2 1 3
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0) 0 1 0 2 0 3
1 0 0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
和 ：
数量乘积
k ： k k k P
记作 1 .
的逆变换: E
n
n 的n次幂： , n为自然数
的多项式： f ( ) am m a1 a0 E
5/36
二、 线性变换的简单性质
第七章线性变换.ppt
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
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线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
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如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
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7.2 线性变换的运算
（4） ( )
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线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
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特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
![高等代数第7章线性变换[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/dbec90e8a32d7375a51780ae.png)
=xcosq - ysinq
同样 y’= xsinq + ycosq )。
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6
记 A = cosq sinq
sinq
cosq
则rq (a ) = Aa，称为旋转变换.
可以证明旋转变换 rq是一个线性变换。 （如何证明？）
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7
例4 设A:R3R3, "a =(a1, a2, a3), 定义 A(a) = (a1, a2, 0), 易证A是线性变换. 它是
则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
f(A)g(A)=g(A)f(A). 即同一线性变换的多项式的乘法可交换
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例用在D表线示性.空显间然Pn有[l]中,求微商是线性变换,
Dn = O 又变量的平移
f(l) | f(l+a) (aP)
也是线性变换, 用Sa表示. 按Taylor公式
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三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
(kA)(a)= (KA)(a) =K(A(a)) ．
1、kA也是线性变换．
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2、(1)1的数乘 1A = A (2)数乘结合律 (kl)A =k(lA) (3)数乘分配律 (k+l)A =kA+lA (4)数乘分配律 k(A +B)=kA+kB
f(l+a)=f(l)+af ’(l)+a 2 f ’’(l)+… +
高等代数--第七章 线性变换_OK
45
线性变换的乘法
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
(A B )() A (B ()) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，
(A B )( ) A (B ( )) A (B () B ())
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
14
又如果1 , 2 ,, r之间有一线性关系式 k11 k22 krr 0,
那么它们的象之间也有同样的关系
A ( ) k1A (1) k2A (2) krA (r ),
15
3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性 相关的向量组.
A x1A 1 x2A 2 xnA n x1B 1 x2B 2 xnB n B .
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结论1的意义就是，一个线性变换完全被它 在一组基上的作用所决定。
2.设 1,2,,n是线性空间V的一组基。对于
任意一组向量 1,2,,n一定有一个线性变换A
使
A i i ,i 1, 2, , n.
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A (B ()) A (B ( )) (A B )( ) (A B )( ),
(A B )(k) A (B (k)) A (kB ())
kA (B ()) k(A B )().
这说明AB是线性的。
既然一般映射的乘法适合结合律，线性变换
的乘法当然也适合结合律，即
(A B )C A (B C ).
29
例3 在 F 22 中定义线性变换 A
X
a c
b
d
X
高等代数讲义ppt第七章 线性变换
(4) 若A 是可逆的，则矩阵 A 也可逆，且A-1的矩阵是A-1。
例5 设 V是数域P上的n维线性空间，则L(V)与P n×n同构。
例6 设 A1，A2是 n 维线性空间 V 的两个线性变换，证明： A2V⊂A1V 的充要条件是存在线性变换 A 使得 A2=A1A 。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
例4 设 A 是n维线性空间V的一个线性变换, A3=2E, B =A2-2A+2E， 证明：A，B都是可逆变换。
线性变换
§3 线性变换的矩阵
§3 线性变换的矩阵
定理1 设1, 2 , , n是线性空间V的一组基, 对V中任意n个向量 1,2 , ,n 存在唯一的线性变换 A∈L(V) 使任的何像得元，素只都要可选以取是适基当
线性变换
§1 线性变换的定义
二、线性变换的性质
性质1 设 A 是V的线性变换，则 A(0) 0, A( ) A()
性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变。
性质3 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
注意： 线性变换可能把线性无关的向量组变成线性相关的 向量组。
例3 设 1,2, ,r 是线性空间V的一组向量，A 是V的一个线
线性变换的加法满足以下运算规律：
(1) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
(2) A + B = B + A
线性变换
§2 线性变换的运算
定义2 设 A∈L(V)，k∈P，对k与 A 的数量乘积 kA 定义为：
(kA) k A, V
结论2 对∀A ∈L(V)，k∈P 有 kA∈L(V)。
Amn AmAn , (Am )n Amn, m, n N
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式中：R 为旋转矩阵 t 为平移向量
§7.2 直接线性变换解法的基本关系式
由另外一种方法来推演共线条件方程式…… 3、成像投影关系
x XC f = Z Z C ⋅ x = f ⋅ X C C ⇒ Z C ⋅ y = f ⋅ YC y = YC f ZC
写成矩阵形式
x f ： ZC y = 0 1 0
XC X XS Y = RY + Y C S ZC Z ZS
XC X X Y Y R tY C = = LW ZC 0T 1 Z Z 1 1 1
§7.1 概述 0、背景
以往的航空摄影测量测图多半以内定向相对定向-绝对定向的方案处理立体像对。 此时的内定向需已知像片的参数：
内方位元素、框标的理论坐标
即，所用相机为量测摄影机。 地面摄影测量按此种方案处理时也需使用 量测摄影机。
目前存在的大量非量测摄影机，如 CCD 摄像机、普通数码相机、工业相机，能否应 用于近景摄影测量中是人们普遍关心的问题。 此类设备并不适合使用上述测量方案； 况且近景摄影测量中相当多的测量成果都是 基于目标上离散点的空间坐标。由离散点可 生成等值线、生成目标的表面模型、计算面 积、体积、坡度等成果。
此式中： （x,y）---像点的坐标仪坐标； （x0,y0）---像主点的坐标仪坐标； （X,Y,Z）---像点对应的物方点的物方 空间坐标 （XS,YS,ZS）---摄影中心的物方空间坐标 （ai,bi,ci）---旋转矩阵中的方向余旋 （δx,δy）---线性误差改正数（包含ds,dβ）
a1 ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) x − x0 + δx = − f a ( X − X ) + b (Y − Y ) + c ( Z − Z ) 3 3 3 S S S y − y + δy = − f a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) 0 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S )
是否有某种算法适合非量测摄影机的数 据处理？ 答案是肯定的。
一、定义 直接线性变换解法是建立像点的“坐标 仪坐标”和相应物点的物方空间坐标直接的 线性关系的解法. 二、直接线性变换解法的特点 1、不归心、不定向； 2、不需要内外方位元素的起始值；???
3、物方空间需布置一组控制点； 4 、特别适合于处理非量测相机所摄影像； 5、本质是一种空间后交-前交解法。
[om2 , om1 ] − − −
以像主点为原点包含不正交 性dβ误差的像点p的坐标；
x − x0 + δx = − f y − y + δy = − f 0
a1 ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S )
a ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) x − x0 + δx = − f 1 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) y − y + δy = − f a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) 0 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S )
1 之间的关系 与u 即： dx 0 v = 1 ZC 0 dy 1 0 0 u0 v0 1
f 0 0 0 f 0 0 0 1 0 0 0
X t Y 1 Z 1
X u l1 l2 l3 l4 v = l l Y Z C 5 6 l7 l8 Z 1 l9 l10 l11 l12 1 u = (l1 X + l2Y + l3 Z + l4 ) / Z C v = (l X + l Y + l Z + l ) / Z 5 6 7 8 C Z = l X +l Y +l Z +l C 9 10 11 12
l1 X + l2Y + l3 Z + l4 u = l X + l Y + l Z + l 9 10 11 12 l X + l6Y + l7 Z + l8 v = 5 l9 X + l10Y + l11Z + l12 l1 X + l2Y + l3 Z + l4 u = l X + l Y + l Z + 1 9 10 11 l X + l6Y + l7 Z + l8 v = 5 l9 X + l10Y + l11Z + 1
a1 ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) x − x0 + δx = − f a ( X − X ) + b (Y − Y ) + c ( Z − Z ) 3 3 3 S S S y − y + δy = − f a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) 0 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S )
第七章 直接线性变换解法
Direct Linear Transformation--------DLT
主要内容
§7.1 概述 DLT解法的基本关系式 §7.2 DLT解法的基本关系式 DLT解法的解算过程 §7.3 DLT解法的解算过程 DLT解法物方坐标解算 §7.4 DLT解法物方坐标解算 §7.5 有关技术问题 §7.6 二维直接线性变换
0 f 0
XC 0 0 YC 0 0 ZC 1 0 1
§7.2 直接线性变换解法的基本关系式
由另外一种方法来推演共线条件方程式…… 4、成像共线条件方程式 建立物方坐标系坐标与像点坐标之间的关系， 之 与间的关系 即： 1 0
dx 0 0 u0 v0 1
以上假设认为x轴方向无比例尺误差的影 响。 设x轴方向比例系数为1， 则y轴方向比例 系数为 (1+ds) ； 设x轴方向主距为fx， 则y轴方向主距为 fy= fx/(1+ds) ；
a1 ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) x − x0 + δx = − f a ( X − X ) + b (Y − Y ) + c ( Z − Z ) 3 3 3 S S S y − y + δy = − f a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) 0 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S )
X t Y 1 Z 1
u Z C v = 1
1 dy 0
f 0 0
0 f 0
0 0 0 0 1 0
R 0T
像空与物方 投影关系 像素与像平面
§7.2 直接线性变换解法的基本关系式
由另外一种方法来推演共线条件方程式…… 4、成像共线条件方程式 建立物方坐标系坐标与像点坐标之间的关系，
§7.2 直接线性变换解法 的基本关系式
直接线性变换解法原则上也是由共线条 件方程式推演而来。
a1 ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 (Z − ZS ) x − x0 + δx = − f a ( X − X ) + b (Y −y − y + δy = − f a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 (Z − ZS ) 0 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 (Z − ZS )
′ [om2 , om1 ] − − −
以像主点为原点包含不正交性dβ 误差及比例尺不一误差ds的像点 p的坐标（实际在p´）；
x − x0 + δx = − f y − y + δy = − f 0
a1 ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S )