高等代数第七章 线性变换(北大版)
合集下载
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
![高等代数第7章线性变换[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/fdc6c2e602768e9950e73865.png)
设A,BL(V), 定义A与B的和为V的一个变
换, 使"aV, 有 (A+B)(a) =A(a)+B(a)．
1、A + B 也是V的一个线性变换．
因为对于所有的a,bV和数k，lP,有
(A+B)(ka+lb) = A(ka+lb ) +B(ka+lb ) = kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b) = k (A+B)(a)+l (A+B)(b)
精选
2、乘法适合结合律,即 (AB)C = A(BC)
因为映射的合成满足结合律 3、乘法不满足交换律,即一般地
AB BA 如求微分变换D 与求积分变换J , 有
DJ = E ,但一般地 JD E 4、单位变换的作用 AE = EA = A 5、零变换的乘法 OA = AO = O
精选
二、线性变换的加法及其性质
精选
2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O
其中 (-A)(a)= -A(a), 从而
(A - B) = (A+ (-B)) 3、分配律 A(B+C) = AB +AC
(A+B)C = AC+BC
D是一个线性变换，称为微分变换.
例7 闭区间[a, b]上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换
x
则J是一个J(线f (性x))变=换精选.a f (t)dt
二、线性变换的简单性质
换, 使"aV, 有 (A+B)(a) =A(a)+B(a)．
1、A + B 也是V的一个线性变换．
因为对于所有的a,bV和数k，lP,有
(A+B)(ka+lb) = A(ka+lb ) +B(ka+lb ) = kA(a)+lA(b)+kB(a)+lB(b) = k (A+B)(a)+l (A+B)(b)
精选
2、乘法适合结合律,即 (AB)C = A(BC)
因为映射的合成满足结合律 3、乘法不满足交换律,即一般地
AB BA 如求微分变换D 与求积分变换J , 有
DJ = E ,但一般地 JD E 4、单位变换的作用 AE = EA = A 5、零变换的乘法 OA = AO = O
精选
二、线性变换的加法及其性质
精选
2、(1)交换律 A +B =B +A (2)结合律 (A+B)+C =A+(B+C) (3)零变换 A+O =A (4)负变换 A+(-A) = O
其中 (-A)(a)= -A(a), 从而
(A - B) = (A+ (-B)) 3、分配律 A(B+C) = AB +AC
(A+B)C = AC+BC
D是一个线性变换，称为微分变换.
例7 闭区间[a, b]上所有连续函数全体 组成实数域R上的线性空间C0(a, b). 定义变换
x
则J是一个J(线f (性x))变=换精选.a f (t)dt
二、线性变换的简单性质
高等代数北大版第章习题参考答案精修订
高等代数北大版第章习题参考答案SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数【北大版】7.9
LLLLL
0 ≠ 0. ( J aE )k 1 = M O O 0 1 0 L 0
k ∴ J 的最小多项式为 ( x a ) .
§7.9 最小多项式
6.(定理13) A ∈ P n×n与对角矩阵相似 (定理13)
A 的最小多项式是 上互素的一次因式的积. 的最小多项式是P上互素的一次因式的积 上互素的一次因式的积
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量 §5 对角矩阵 §6线性变换的值域与核 §7不变子空间 §8 若当标准形简介 §9 最小多项式 小结与习题
§7.9 最小多项式
一,最小多项式的定义 二,最小多项式的基本性质
§7.9 最小多项式
二,最小多项式的基本性质
1.(引理1)矩阵 的最小多项式是唯一的 (引理1 矩阵A的最小多项式是唯一的 的最小多项式是唯一的. 都是A的最小多项式 的最小多项式. 证:设 g1 ( x ), g2 ( x ) 都是 的最小多项式 由带余除法,g1 ( x ) 可表成 由带余除法,
g1 ( x ) = q( x ) g2 ( x ) + r ( x )
∴ g1 ( x ) h( x ), g2 ( x ) h( x ).
从而
g ( x ) h( x ).
的最小多项式. 故 g( x ) 为A的最小多项式 的最小多项式
§7.9 最小多项式
推广: 若A是一个准对角矩阵 是一个准对角矩阵
A1 A2 O As
且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i = 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x )]. 的最小多项式是为 两两互素, 特别地,若 g1 ( x ), g2 ( x ),..., g s ( x ) 两两互素,即
高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.7
若 V W1 W2 Ws，则
11, ,1n1 , 21, , 2一组基，且在这组基下 的矩阵为准对角阵
A1
A2
.
As
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
（1）
反之，若 在基 11, ,1n1 , 21, , 2n2 , , s1, , sns 下的矩阵为准对角矩阵(1), 则由 i1, i2 , , ini 生成 的子空间 Wi 为 的不变子空间，且V具有直和分解：
其次，任取 Vi , 设
( i E )ri Wi 0.
1 2 s , i Wi . 即 1 2 (i ) s 0 令 j j , ( j i); i i .
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
由（2）, 有 ( i E)ri (i ) 0, i 1,2, , s. 又 ( i E)ri (i ) ( i E)ri (i )
Wi fi ( )V , 则Wi 是 fi ( ) 的值域， Wi是 的不变子空间.
又 ( i E)ri Wi ( i E)ri fi ( )V
( i E)ri fi ( ) V f V
( i E)ri Wi 0.
（2）
2023/8/17§7.7 不变子空间 数学与计算科学学院
下证 V V1 V2 Vs . 分三步：
1 . 证明 V W1 W2 Ws .
2 . 证明f1(V1),fV2(2), fVs (s是)直和1 .
3∴. 证存明在多Vi 项 W式i
, i
u1 (
1, 2,
), u2(
, s. ),
, us ( ),
使
u1( ) f ( )1 u2( ) f2( ) us ( ) fs ( ) 1
高等代数【北大版】7.4
§7.4 特征值与特征向量
二,特征值与特征向量的求法
的一组基, 分析: 设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是V的一组基, 的一组基 分析: 在这组基下的矩阵为A. 线性变换 σ 在这组基下的矩阵为 的特征值, 设 λ0是 σ 的特征值,它的一个特征向量 ξ 在基
x01 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标记为 M , x 0n x01 则 σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标为 A M , x 0n
证:设 A 设
B , 则存在可逆矩阵 ,使得 则存在可逆矩阵X,
B = X 1 AX
于是, 于是, λ E B = λ E X 1 AX
= λ X 1 EX X 1 AX = X 1 ( λ E A) X = X 1 λ E A X
由多项式根与系数的关系还可得
+ L + ( 1) A
n
的全体特征值的和= ① A的全体特征值的和= a11 + a22 + L + ann . 的全体特征值的和 ② A的全体特征值的积= A . 的全体特征值的积=
§7.4 特征值与特征向量称之为A的迹 称之来自 的迹,记作trA. 记作
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. (定理 相似矩阵具有相同的特征多项式. 定理6)
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是 设线性变换
1 2 2 A = 2 1 2, 2 2 1
特征值与特征向量. 求 σ 特征值与特征向量 解:A的特征多项式 的特征多项式
λ 1 2 2 λ E A = 2 λ 1 2 = (λ + 1)2 (λ 5) 2 2 λ 1
二,特征值与特征向量的求法
的一组基, 分析: 设 dimV = n, ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是V的一组基, 的一组基 分析: 在这组基下的矩阵为A. 线性变换 σ 在这组基下的矩阵为 的特征值, 设 λ0是 σ 的特征值,它的一个特征向量 ξ 在基
x01 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标记为 M , x 0n x01 则 σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标为 A M , x 0n
证:设 A 设
B , 则存在可逆矩阵 ,使得 则存在可逆矩阵X,
B = X 1 AX
于是, 于是, λ E B = λ E X 1 AX
= λ X 1 EX X 1 AX = X 1 ( λ E A) X = X 1 λ E A X
由多项式根与系数的关系还可得
+ L + ( 1) A
n
的全体特征值的和= ① A的全体特征值的和= a11 + a22 + L + ann . 的全体特征值的和 ② A的全体特征值的积= A . 的全体特征值的积=
§7.4 特征值与特征向量称之为A的迹 称之来自 的迹,记作trA. 记作
2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. (定理 相似矩阵具有相同的特征多项式. 定理6)
§7.4 特征值与特征向量
例2.设线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵是 设线性变换
1 2 2 A = 2 1 2, 2 2 1
特征值与特征向量. 求 σ 特征值与特征向量 解:A的特征多项式 的特征多项式
λ 1 2 2 λ E A = 2 λ 1 2 = (λ + 1)2 (λ 5) 2 2 λ 1
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
![高等代数第7章线性变换[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/dbec90e8a32d7375a51780ae.png)
=xcosq - ysinq
同样 y’= xsinq + ycosq )。
精选PPT课件
6
记 A = cosq sinq
sinq
cosq
则rq (a ) = Aa，称为旋转变换.
可以证明旋转变换 rq是一个线性变换。 （如何证明？）
精选PPT课件
7
例4 设A:R3R3, "a =(a1, a2, a3), 定义 A(a) = (a1, a2, 0), 易证A是线性变换. 它是
则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
f(A)g(A)=g(A)f(A). 即同一线性变换的多项式的乘法可交换
精选PPT课件
25
例用在D表线示性.空显间然Pn有[l]中,求微商是线性变换,
Dn = O 又变量的平移
f(l) | f(l+a) (aP)
也是线性变换, 用Sa表示. 按Taylor公式
精选PPT课件
17
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
(kA)(a)= (KA)(a) =K(A(a)) ．
1、kA也是线性变换．
精选PPT课件
18
2、(1)1的数乘 1A = A (2)数乘结合律 (kl)A =k(lA) (3)数乘分配律 (k+l)A =kA+lA (4)数乘分配律 k(A +B)=kA+kB
f(l+a)=f(l)+af ’(l)+a 2 f ’’(l)+… +
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
DJ JD.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
f t dt f x f 0
数学与应用数学
nn P 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX ,
( X ) XB,
X P nn
则 , 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有
C a , b 上的变换
J : C a , b C a , b , J f x f t dt
x a
是一个线性变换.
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
二、 线性变换的简单性质
1． 为V的线性变换，则
(0) 0, ( ) ( ).
( )( X ) ( ( X )) ( XB ) A( XB ) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX ) B AXB.
.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
二、 线性变换的和
故 为一一对应.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
√ √
2 f ( x ) f ( x ). 2．在 P[ x ]n中，
, V 非零固定. 3．在线性空间V中，
nn 固定. X AX , A P 4．在 P 中，
n n
√
√
( x) x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间，
1 1 1 1 1
数学与应用数学
1
1
1 是V的线性变换.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应. 证：" " 设 为线性空间V上可逆线性变换. 任取 , V , 若 ( ) ( ), 则有
数学与应用数学
三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
2．基本性质
(1) ( kl ) k ( l ) (2) ( k l ) k l (3) k ( ) k k (4) 1
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V 则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ()) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
数学与应用数学
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
3．负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
,
V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
注： ( ) 0
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
例1. 线性空间 R[ x] 中，线性变换
6．C看成是实数域R上的线性空间， ( x ) x .
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( k ) ( k ) k ( ) k ( ) k ( ( ) ( )) k ( )( ).
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
2．基本性质
（1）满足交换律： （2）满足结合律： （3） 0 0 , 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 k11 k2 2
kr r , kr ( r ).
则 ( ) k1 (1 ) k2 ( 2 )
3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
四、 线性变换的逆
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1 .
注：几个特殊线性变换
单位变换(恒等变换)：E : V V , 零变换： 0 : V V ,
0, V k , V
, V
K :V V , 由数k决定的数乘变换：
事实上， , V ,
m P ,
K k ( ) k k K K , K m km mk mK .
( 1 )( ) 1 ( ( )) 1 ( ( ))
( 1 )( ) .
为单射.
其次，对 V , 令 1 ( ), 则 V ,且
( ) ( 1 ( )) 1 ( ) . 为满射.
数学与应用数学
若 1 , 2 , 也线性相关.
, r 线性相关，则 1 , 2 ,
, kr 使
, r
事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 ,
k11 k2 2
kr r 0
kr r 0.
则由2即有，k1 1 k2 2 线性相关， 1 , 2 ,
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量
§5 对角矩阵
2015-6-12 数学与应用数学
§6线性变换的值域与核 §7不变子空间
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式 小结与习题
§7.1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
二、线性变换的简单性质
1
1 1 1
1
1
1 1
1
k
1
k k k k k
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
( )
例3．V P[ x ]或P[ x ]n上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
2．基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
证：对 , V , k P ,
1 1 1 1
D f x f x
J f x f t dt
x
DJ f x D 0 f t dt
x
0
f x,
x
即 DJ E .
而，
JD f x J f x 0
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
例1. V R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
用 T 表示，即
2
x cos sin x 这里， y sin cos y
T : R R ,
2
x y
x y
易验证： , R , k R
2
T T T T k kT
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
例2． V R3 , V 为一固定非零向量，把V中每 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线
注意：3的逆不成立，即 1 , 2 , , r
, r 未必线性相关.
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
练习：下列变换中，哪些是线性变换？
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
f t dt f x f 0
数学与应用数学
nn P 例2. 设A、B 为两个取定的矩阵，定义变换
( X ) AX ,
( X ) XB,
X P nn
则 , 皆为 P nn 的线性变换，且对 X P nn , 有
C a , b 上的变换
J : C a , b C a , b , J f x f t dt
x a
是一个线性变换.
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
二、 线性变换的简单性质
1． 为V的线性变换，则
(0) 0, ( ) ( ).
( )( X ) ( ( X )) ( XB ) A( XB ) AXB, ( )( X ) ( ( X )) ( AX ) ( AX ) B AXB.
.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
二、 线性变换的和
故 为一一对应.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
√ √
2 f ( x ) f ( x ). 2．在 P[ x ]n中，
, V 非零固定. 3．在线性空间V中，
nn 固定. X AX , A P 4．在 P 中，
n n
√
√
( x) x . 5．复数域C看成是自身上的线性空间，
1 1 1 1 1
数学与应用数学
1
1
1 是V的线性变换.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
(2) 线性变换 可逆 线性变换 是一一对应. 证：" " 设 为线性空间V上可逆线性变换. 任取 , V , 若 ( ) ( ), 则有
数学与应用数学
三、 线性变换的数量乘法
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，k P , 定义 k 与 的数量乘积 k 为：
k k ,
则 k 也是V的线性变换.
V
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
2．基本性质
(1) ( kl ) k ( l ) (2) ( k l ) k l (3) k ( ) k k (4) 1
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的乘积 为： , V 则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ( )) ( ( ) ()) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( ( k )) ( k ( )) k ( ( )) k ( )( )
数学与应用数学
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
3．负变换
设 为线性空间V的线性变换，定义变换 为：
,
V
则 也为V的线性变换，称之为 的负变换.
注： ( ) 0
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
２．基本性质
（1）满足结合律：
（2） E E ，E为单位变换 （3）交换律一般不成立，即一般地，
.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
例1. 线性空间 R[ x] 中，线性变换
6．C看成是实数域R上的线性空间， ( x ) x .
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
§7.2 线性变换的运算
一、线性变换的乘积 二、线性变换的和 三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆 五、线性变换的多项式
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
一、 线性变换的乘积
1．定义
设 , 为线性空间V的两个线性变换，定义它们 的和 为： , V
则 也是V的线性变换.
事实上， ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ), ( )( k ) ( k ) ( k ) k ( ) k ( ) k ( ( ) ( )) k ( )( ).
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
2．基本性质
（1）满足交换律： （2）满足结合律： （3） 0 0 , 0为零变换. （4）乘法对加法满足左、右分配律：
2．线性变换保持线性组合及关系式不变，即 若 k11 k2 2
kr r , kr ( r ).
则 ( ) k1 (1 ) k2 ( 2 )
3．线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关 的向量组. 即
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
注： 线性空间V上的全体线性变换所成集合对于
线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性 空间，记作 L(V ).
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
四、 线性变换的逆
1．定义
设 为线性空间V的线性变换，若有V的变换 使
E
则称 为可逆变换，称 为 的逆变换，记作 1 .
注：几个特殊线性变换
单位变换(恒等变换)：E : V V , 零变换： 0 : V V ,
0, V k , V
, V
K :V V , 由数k决定的数乘变换：
事实上， , V ,
m P ,
K k ( ) k k K K , K m km mk mK .
( 1 )( ) 1 ( ( )) 1 ( ( ))
( 1 )( ) .
为单射.
其次，对 V , 令 1 ( ), 则 V ,且
( ) ( 1 ( )) 1 ( ) . 为满射.
数学与应用数学
若 1 , 2 , 也线性相关.
, r 线性相关，则 1 , 2 ,
, kr 使
, r
事实上，若有不全为零的数 k1 , k2 ,
k11 k2 2
kr r 0
kr r 0.
则由2即有，k1 1 k2 2 线性相关， 1 , 2 ,
第七章 线性变换
§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算 §3 线性变换的矩阵 §4 特征值与特征向量
§5 对角矩阵
2015-6-12 数学与应用数学
§6线性变换的值域与核 §7不变子空间
§8 若当标准形简介
§9 最小多项式 小结与习题
§7.1 线性变换的定义
一、线性变换的定义
二、线性变换的简单性质
1
1 1 1
1
1
1 1
1
k
1
k k k k k
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
( )
例3．V P[ x ]或P[ x ]n上的求微商是一个 线性变换， 用D表示，即
D : V V , D( f ( x )) f ( x ), f ( x ) V
例4. 闭区间 [a , b]上的全体连续函数构成的线性空间
2．基本性质
(1) 可逆变换 的逆变换 1 也是V的线性变换.
2015-6-12§7.2 线性变换的运算
数学与应用数学
证：对 , V , k P ,
1 1 1 1
D f x f x
J f x f t dt
x
DJ f x D 0 f t dt
x
0
f x,
x
即 DJ E .
而，
JD f x J f x 0
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
例1. V R 2(实数域上二维向量空间)，把V中每 一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，
用 T 表示，即
2
x cos sin x 这里， y sin cos y
T : R R ,
2
x y
x y
易验证： , R , k R
2
T T T T k kT
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
例2． V R3 , V 为一固定非零向量，把V中每 一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线
注意：3的逆不成立，即 1 , 2 , , r
, r 未必线性相关.
事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成
线性相关的向量组. 如零变换.
2015-6-12§7.1 线性变换的定义
数学与应用数学
练习：下列变换中，哪些是线性变换？