高等代数【北大版】2.8

第二章 行列式
§1 引言 §2 排列 §3 n 级行列式 §4 n 级行列式的性质 §5 行列式的计算 §6 行列式按行(列)展开 行列式按行( §7 Cramer法则 Cramer法则 §8 Laplace定理 Laplace定理 行列式乘法法则
一,k 级子式
余子式
代数余子式
二,拉普拉斯(Laplace)定理 拉普拉斯(Laplace)定理 三,行列式乘法法则
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + + ainbnj , i , j = 1,2, , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
例2:证明齐次性方程组 :
ax1 + bx2 + cx3 + dx4 bx1 ax2 + dx3 cx4 cx dx ax + bx dx1 + cx2 bx3 ax4 2 3 4 1
级子式与余子式, 一,k 级子式与余子式,代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
k 2个元素 ( k ≤ n),位于这些行和列的交叉点上的 位于这些行和列的交叉点上的
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M,称为行列 按照原来次序组成一个 ,称为行列 级子式; 式 D 的一个 k 级子式;在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n k 级 行列 余子式; 式 M ′ ,称为 k 级子式 M 的余子式;
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
中所在的行, 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行,列指标分别是
i1 , i2 , , ik ; j1 , j2 , , jk ,则在 M 的余子式 M ′ 前
( 1)i1 + i2 ++ ik + j1 + j2 ++ jk 后称之为 M 的代数 后称之为 加上符号
=0 =0 =0 =0
只有零解. 不全为0. 只有零解.其中 a , b, c , d 不全为 .
§2.8 Lap式
a 2 ′= b D = DD c d
a D= b c d b a d c c d a b
b a d c d c b a a b c d
c d a b b a d c
行运用Laplace 定理结果. 定理结果. 为行列式 D 取定前 k 行运用
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
1 0 例1:计算行列式 D = 1 : 0
M 1 = 1 2 = 2, 解: 1 0
2 1 4 1 2 1 0 1 3 1 3 1 M 2 = 1 1 = 0, 1 1
M 3 = 1 4 = 1, 1 3 M 5 = 2 4 = 6, 0 3
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n 1 )行, 行 元素所组成的一切k级子式与它们的 由这 k 行元素所组成的一切 级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D.即 . 若 D 中取定 k 行后,由这 k 行得到的 k 级子式 行后, 为 M 1 , M 2 , , M t ,它们对应的代数余子式分别为 它们对应的代数余子式分别为
2 2 2
2 4
a , b, c , d不全为 ,有 (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )4 ≠ 0 不全为0, 由
故方程组只有零解. 即 D ≠ 0,故方程组只有零解.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
�
余子式, 余子式,记为 A = ( 1)
i1 + i2 ++ ik + j1 + j2 ++ jk
M′ .
注: ① k 级子式不是唯一的 级子式不是唯一的.
k k 级子式). (任一 n 级行列式有 C n C n个 k 级子式).
② k = 1 时,D中每个元素都是一个 级子式; 中每个元素都是一个1级子式 中每个元素都是一个 级子式;
A3 = ( 1) A5 = ( 1)
1+ 3+ 2+ 3
4+1+ 1+ 3
∴ D = (2)i1 + 0i(2) + (1)i 5 + 2i 0 + 6i 0 + (1)i0 = 7
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
三,行列式乘法法则
设有两个n 设有两个 级行列式 a11 a12 a1n b11 b12 a21 a22 a2 n b21 b22 D1 = , D2 = an1 an 2 ann bn1 bn 2
b1n b2 n bnn
c11 c12 c1n c21 c22 c2 n 则 D1 D2 = cn1 cn 2 cnn n 其中 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + + ainbnj = ∑ aik bkj ,
i , j = 1,2, , n
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
c1n cnn b1n bnn
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + + ainbnj , i , j = 1,2, , n.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
∴ D = ( 1)1+ 2++ n+ ( n+1)++ 2 n cij ( 1)n = cij
d c b a c d a b d c b a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
= (a + b + c + d )
A1 , A2 , , At , 则 D = M 1 A1 + M 2 A2 + + M t At. .
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
注:
① k = 1 时,D = M 1 A1 + M 2 A2 + + M t At 按某行展开; 即为行列式 D 按某行展开;
a11 a1k 0 0 a 11 ak 1 akk 0 0 = ② D= b11 b1r a k1 * br 1 brr a1k akk b11 br 1 b1r brr
它们的代数余子式为
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
2 1 = 2, M4 = 0 1 M 6 = 1 4 = 1 1 3
A1 = ( 1)
1+ 3+1+ 2
0 1 = 0 A = ( 1)1+ 3+ 2+ 4 1 1 = 2 , , 2 1 1 0 1
1 2 = 5 A = ( 1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( 1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 . 6 0 3 0 1
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
又对D作初等行变换: 又对 作初等行变换: 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + + ain r2 n , i = 1,2, , n.
可得
0 0 c11 0 0 cn1 D= b11 1 1 bn1
k = n 时,D本身为一个 级子式. 本身为一个n级子式 本身为一个 级子式.
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
二,拉普拉斯(Laplace)定理 拉普拉斯 定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的乘积中的每一项都是行列式 的一项,而且符号也一致. 的一项,而且符号也一致.
k =1
证: 作一个 级的行列式 作一个2n级的行列式
a11 a1n 0 an1 ann 0 D= b11 1 1 bn1
由拉普拉斯定理
0 0 b1n bnn
a11 a1n b11 b1n D = = aij bij an1 ann bn1 bnn