高等代数北大版64
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析
![高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/737a502aa8114431b90dd8a2.png)
第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
高等代数北京大学第三版
高等代数北京大学第三版简介高等代数是数学中的一门重要课程，是数学的基础和核心课程之一。
北京大学的高等代数课程被广泛认为是高等代数学习中的经典教材之一。
本文将介绍北京大学第三版《高等代数》教材的主要内容和特点。
内容概述《高等代数北京大学第三版》是一本教材，由北京大学吴传荣、李建平合著。
全书共分为十五章，每章围绕一个主题展开讲解。
主要内容包括线性方程和矩阵、行列式、矩阵的相抵标准形及其应用、线性空间与线性变换、特征值与特征向量、正交线性变换与二次型、群、环和域等。
特点1. 详细而全面的内容本教材详细介绍了高等代数的各个重要概念和定理，并给出了充分的例题和习题来帮助学生掌握和巩固所学的知识。
每章的开头都给出了该章的学习目标，使学生能够清晰地了解该章的所学内容，并有针对性地学习。
2. 理论与实践相结合教材既注重理论的讲解，又注重实践的应用。
通过大量的实例和应用，教材将抽象的数学概念与实际问题相结合。
这有助于学生更好地理解数学原理，并在实践中灵活运用。
3. 重点突出，条理清晰教材对于重要的概念和定理都做了重点强调，并给出了详细的证明过程和推导。
条理清晰的内容安排使学生能够逐步建立起完整的知识体系。
4. 多样化的习题除了充分的例题之外，本书还提供了丰富的习题，涵盖了各个难度级别。
习题中融入了不同类型的问题，既能巩固基础知识，又能培养学生的综合运用能力。
习题的解答也提供了详细的步骤和解析，方便学生检查自己的答案和思考方式。
5. 适用范围广泛这本教材不仅适合北京大学的高等代数课程，也适合其他高校的相应课程。
无论是学生还是教师，都能从本书中获得很多学习和教学的帮助。
总结《高等代数北京大学第三版》是一本经典的高等代数教材，内容详细而全面，既注重理论讲解，又注重实际应用。
教材的特点包括多样化的习题和解答、重点突出、条理清晰以及适用范围广泛。
这本教材不仅帮助学生掌握高等代数的基本概念和定理，也培养了学生的分析问题和解决问题的能力。
0701205_高等代数 北大版 课后习题答案
39
26 2 x；
99
2）同理可得 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 。
2． m, p, q 适合什么条件时，有
1） x2 mx 1 | x3 px q ，
2） x2 mx 1 | x 4 px2 q 。
解 1）由假设，所得余式为 0，即 ( p 1 m2 ) x (q m) 0 ，
g( x) q2( x)r1(x) r2 ( x)
解得 r2 ( x) g( x) q2( x)r1(x) g( x) q2( x)[ f ( x) q1( x) g( x)] ， [ q2( x)] f ( x) [1 q1(x)q2 ( x)] g( x)
u( x)
于是
q2( x)
x1
。
v( x) 1 q1(x)q2 ( x) 1 1 ( x 1) x 2
９．证明： ( f (x)h( x), g(x)h( x)) ( f (x), g (x)) h( x) ， (h( x) 的首系数为１） 。
证 因为存在多项式 u( x), v( x) 使 ( f (x), g (x)) u(x) f ( x) v( x)g( x) ，
式，求 t, u 的值。
解
f (x)
因为
q1(x)g( x)
r1( x)
( x3
tx2
u)
( x2
2x u)
，
g( x) q2 ( x)r1( x) r2 (x)
(x (t 2))( x2 2x u) (u 2t 4)x u(3 t ) ，
且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余得 ( f (x), g( x)) x 1，且 u(x)
11
22 2
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数教案(北大版)高等代数试题以及解答
高等代数教案(北大版)-高等代数试题以及解答一、线性方程组1. 定义线性方程组，并说明线性方程组的解的概念。
2. 线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则。
3. 线性方程组的解的性质：唯一性、存在性。
4. 线性方程组在实际应用中的例子。
二、矩阵及其运算1. 定义矩阵，说明矩阵的元素、矩阵的行和列。
2. 矩阵的运算：加法、减法、数乘、矩阵乘法。
3. 矩阵的转置、共轭、伴随矩阵。
4. 矩阵的行列式、行列式的性质和计算方法。
三、线性空间与线性变换1. 定义线性空间，说明线性空间的基、维数。
2. 线性变换的定义，线性变换的矩阵表示。
3. 线性变换的性质：线性、单调性、可逆性。
4. 线性变换的应用：线性映射、线性变换在几何上的意义。
四、特征值与特征向量1. 特征值、特征向量的定义。
2. 矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的计算方法。
3. 特征值和特征向量的性质：特征值的重数、特征向量的线性无关性。
4. 对称矩阵的特征值和特征向量。
五、二次型1. 二次型的定义，二次型的标准形。
2. 二次型的矩阵表示，矩阵的合同。
3. 二次型的性质：正定、负定、不定。
4. 二次型的判定方法，二次型的最小值和最大值。
六、向量空间与线性映射1. 向量空间的概念，包括基、维数和维度。
2. 线性映射的定义，线性映射的性质，如线性、单调性和可逆性。
3. 线性映射的表示方法，包括矩阵表示和坐标表示。
4. 线性映射的应用，如线性变换、线性映射在几何上的意义。
七、特征值和特征向量的应用1. 特征值和特征向量的计算方法，包括特征多项式和特征方程。
2. 特征值和特征向量的性质，如重数和线性无关性。
3. 对称矩阵的特征值和特征向量的性质和计算。
4. 特征值和特征向量在实际问题中的应用，如振动系统、量子力学等。
八、二次型的定义和标准形1. 二次型的定义，包括二次型的标准形和矩阵表示。
2. 二次型的矩阵表示，包括矩阵的合同和相似。
3. 二次型的性质，如正定、负定和不定。
北京大学数学系《高等代数》考点讲义
绪 论 １ 第一章 多项式 ４ 第二章 行列式 １３ 第三章 线性方程组 １９ 第四章 矩阵 ２５ 第五章 二次型 ３１ 第六章 线性空间 ３５ 第七章 线性变换 ４０ 第八章 λ－矩阵 ４３ 第九章 欧氏空间 ４４
三、教材选用
主要参考教材：《高等代数》（第三版），高等教育出版社，２００３，北京大学数学系几何与代数教研 室代数小组编．
１．该教材的内容覆盖了《高等代数》考试大纲的所有内容和知识点． ２．全国采用该教材的学校所占比例非常大． ３．该教材荣获全国高等学校优秀教材． ４．该教材习题编排较好，有梯度．
四、考题综述及变化趋势
— １—
量、矩阵的若当标准型、矩阵的方幂、矩阵的对角化、矩阵的秩、矩阵张成的线性空间、正定矩阵等概 念，分值占到 １５０分中的 １０５分．
厦门大学 ２０１２年考题中，１６道题中有 １０道题考察了矩阵的相关概念和理论． 中科院研究生院 ２０１２年考题中，８道题中有 ５道题考察了矩阵的相关内容． （２）线性空间和线性变换理论． 南开 ２０１２年试题中，９道题中有 ４道题考察了线性空间及线性变换的内容，占到 １５０分中的 ７０分． （３）多项式理论． 多项式理论在各校的考研题中所占的比例适中，一般占到 １５０分的 １５分至 ２５分，但这部分内容 是各校考试题中的必考内容． ３．从方法看，考察的热点有： （１）矩阵的初等变换方法； （２）特征值和特征向量方法； （３）标准正交化方法； （４）子空间直和的判定方法． ４．发展趋势 （１）题型仍会以证明题和计算题为主，因为研究生考试重点考察学生分析问题的能力及综合利用 知识解决问题的能力． 但随着数学在各个领域的应用逐渐扩大，计算题的比重有上升的趋势． （２）考察内容仍将以矩阵理论、线性空间和线性变换理论、多项式理论和线性方程组为热点内容． （３）注意新的概念和新的理论的出现． 中山大学 ２００１年考察了线性空间商空间的概念、对偶空间、子空间的零化子等概念． （４）反问题的讨论． （南京航天航空大学 ２０１１）（２０分）设二次型 ｆ（ｘ１，ｘ２，ｘ３） ＝ａ（ｘ２ １ ＋ｘ２ ２ ＋ｘ２ ３）＋２ｂ（ｘ１ｘ２ ＋ｘ１ｘ３ ＋ ｘ２ｘ３）经过正交变换 Ｘ ＝ＣＹ化为二次型 ３ｙ２ １ ＋３ｙ２ ２，求参数 ａ，ｂ的值及正交矩阵．
高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
2020/9/20§6.6 子空间的交与和
注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2020/9/20
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
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若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
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§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
? x1 ?
?
? (? 1 ,? 2 ,L
,?
n
)
? ? ??
xxMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
? ? ? ??
??2?1?
? ?
LL
?n? ?
a11?1 a12?1
LL
a1n?1
? ? L ?
a21?2 ? L a22?2 ? L
LLLL
a2n?2 ? L
? (? 1,? 2 ,L ,? n )( A ? B)；
(? 1 ,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1 , ? 2 ,L , ? n ) A
? (? 1 ? ? 1,? 2 ? ? 2 ,L ,? n ? ? n ) A ；
若? 1 ,? 2 ,L ,? n 线性无关，则
(? 1,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1,? 2 ,L ,? n )B ? A ? B.
③
又由基 ? 1 , ? 2 ,L , ? n到? 1 ,? 2 ,L ,? n 也有一个过渡矩阵 ,
设为B，即 (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) ? (? 1 , ? 2 ,L , ? n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
§6.4 基变换与坐标变换
(? 1, ? 2 ,L , ? n ) ? (? 1, ? 2 ,L , ? n )BA
1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 ? 1 ,? 2 ,L ,? n; ? 1 , ? 2 ,L , ? n 为V的两组基,
且由基 ? 1 ,? 2 ,L ,? n到? 1 , ? 2 ,L , ? n 的过渡矩阵为 A，
即 (? 1 , ? 2 ,L , ? n ) ? (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) A
n
? 令? j ? aij? i , j ? 1,2, L , n i?1
§6.4 基变换与坐标变换
2、V为数域 P 上 n 维线性空间，? 1,? 2,L ,? n ；
?1, ? 2 ,L , ? n 为V中的两组向量，若
? ? ? ??
? ?
1 2
L?n??L ?aa1112??
1 1
? ?
LLL
a1n? 1 ?
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2 2
? ?
L L
LLLL
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a21 L an1
a22 L an2
L
L L
a1n ?
a2n L ann
? ? ??
为由基 ?1 ,?2 ,L
,?n到基 ?1?,?2?,L
,
?
?
n
的过渡矩阵
；
称 ① 或 ② 为由基 ?1 ,?2 ,L ,?n到基 ?1?,?2?,L ,?n?
的基变换公式 ．
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
? an1?n ? an2?n
LLL
? ann?n
①
即，
§6.4 基变换与坐标变换
? a11 a12 L a1n ?
(?1?,?2?,L
,?n?) ? (?1,?2 ,L
,
?
n
)
? ? ??
a21 L an1
a22 L an2
L
L L
a2n L ann
? ? ??
②
则称矩阵
? a11 a12 L
A?
?
? ? ??
bbMn2 ????
§6.4 基变换与坐标变换
2) ? 1 ,? 2,L ,? n；? 1, ? 2,L , ? n为V中的两组向量，
矩阵 A, B ? P n? n，则
((? 1,? 2 ,L ,? n ) A)B ? (? 1,? 2,L ,? n )( AB)；
(? 1,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1,? 2,L ,? n )B
? ?
aann12??
n n
LLL
? ann? n
则记作
? a11 a12 L
(? 1, ? 2 ,L
, ? n ) ? (? 1,? 2,L
,?
n
)
? ? ??
a21 L an1
a22 L an2
L
L L
a1n ?
a2n L ann
? ? ??
§6.4 基变换与坐标变换
注： 在形式书写法下有下列运算规律
(? 1 ,? 2 ,L ,? n ) ? (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) AB Q ? 1 ,? 2 ,L ,? n; ? 1 , ? 2 ,L , ? n 都是线性无关的 ,
? AB ? BA ? E . 即，A是可逆矩阵 ,且A－1＝B.
反过来，设 A ? (aij )n?n 为P上任一可逆矩阵， 任取V的一组基 ? 1 ,? 2 ,L ,? n ,
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
引入
我们知道，在 n维线性空间 V中，任意 n个线性 无关的向量都可取作线性空间 V的一组基． V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的 .