高等代数北大版94

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高等代数【北大版】课件

线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都为零，主对角线上的元素为特征值。通过相似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理解矩阵的性质和特征。

高等代数北大版线性空间

引入我们懂得，在数域P上旳n维线性空间V中取定一组基后，
V中每一种向量有唯一拟定旳坐标 (a1,a2 , ,an ), 向量旳
坐标是P上旳n元数组，所以属于Pn.
这么一来，取定了V旳一组基 1, 2 , , n , 对于V中每一种向量，令在这组基下旳坐标 (a1,a2 , ,an ) 与相应，就得到V到Pn旳一种单射 : V P n , (a1,a2 , ,an )
2）证明：复数域C看成R上旳线性空间与W同构，
并写出一种同构映射.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
及线性有关性，而且同构映射把子空间映成子空间.
2023/12/29§6.8 线性空间旳
3、两个同构映射旳乘积还是同构映射.
证：设：V V , :V V 为线性空间旳同构
映射，则乘积是 V到V 旳1－1相应. 任取， V , k P, 有
第六章线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间旳定义 §6 子空间旳交与和
与简朴性质
§7 子空间旳直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间旳同构
§4 基变换与坐标变换小结与习题
2023/12/29
§6.8 线性空间旳同构
一、同构映射旳定义二、同构旳有关结论
2023/12/29§6.8 线性空间旳
中分别取 k 0与k 1, 即得
0 0,
2）这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合旳成果.
3）因为由 k11 k22 krr 0 可得 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0
反过来，由 k1 (1 ) k2 (2 ) kr (r ) 0 可得 (k11 k22 krr ) 0.

高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析

第一章多项式1．用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。

高等代数北大版习题参考答案

第九章欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。

4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

高等代数北大版4-4

§4.4 矩阵的逆
练 0 3 3 习已知 A 1 1 0 , AB A 2 B, 求矩阵B． 1 2 3
解：由 AB A 2 B ，得 ( A 2 E ) B A ，又
1 3 3 1 1 A 2 E 可逆，且 ( A 2 E ) 1 1 3 2 1 1 1 0 3 3 B ( A 2 E ) 1 A 1 2 3 1 1 0
2 2
1 3 3 3
A23 (1) A32 (1)
1 2 2 3 3 4 1 3 2 1
A31 (1) A33 (1)
31
2 3 2 1 1 2 2 2
4 2
3 2
5
3 3
§4.4 矩阵的逆
A11 2, A12 3, A13 2, A21 6, A22 6 A23 2, A31 4, A32 5, A33 2, A 2
1
1 m
1 2
1 1
§4.4 矩阵的逆
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T

T 1
A .
1 T
1
(5) 若A可逆，则 A 亦可逆，且 A (6) 若A可逆，则 A 亦可逆，且 A
k

k
A . A

1
A

1
k
.
注：当 A 0 时，定义

d A.
立即可得,
a11 a21 * AA a n1
a12 a22 an 2

a1n A11 a2 n A12 ann A1n

北京大学高等代数和解析几何真题1983——1984年汇总

北京大学数学考研题目1983年基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业2222022200Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是.1223112220...1,...2, (1)n n n n n x x x x x x xx x n ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=+⎩二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。

121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。

证明：多项式在有理数域上不可约。

20000120231001011A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值，，，－1的特征向量。

（1）求A;(2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。

20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。

证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。

1984年数学各专业132110::23100363x y l z x y z π--==-++-=一、（分）求直线与平面的交点。

10,,,,a b c a b b c c a ⨯⨯⨯二、（分）设向量不共面。

试证：向量不共面。

15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。

（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。

{}{}{}{}23231231251,,.2,,V R V T V V T T T T T T TT T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。

高等代数习题北大第四版答案一到四章

从而 ( f ( x), g( x))h( x) 是 f (x)h(x) 与 g( x)h( x) 的一个最大公因式，又因为
( f (x), g( x)) h( x) 的首项系数为１，所以 ( f (x)h(x), g(x)h(x)) = ( f ( x), g( x))h( x) 。
u1(x) f (x) + v1(x)g (x) = 1
（1）
u2 (x) f (x) + v2 (x)h(x) = 1
将（1）（2）两式相乘，得
（2）
[u1(x)u2(x) f (x) + v1(x)u2(x)g (x) + u1(x)v2(x)h(x)] f ( x) ， +[v1(x)v2 (x)]g( x)h( x) = 1 所以 ( f ( x), g( x) h( x)) =1 。
即[u(x) − v(x)] f ( x) + v( x)[ f ( x) + g( x)] = 1 ，
所以 ( f (x), f ( x) + g( x)) =1。
同理 ( g( x), f ( x) + g( x)) =1 。
再由 12 题结论，即证 ( f ( x) g( x), f ( x) + g( x)) =1。
2） f (x) = x3 − x2 − x, g( x) = x −1 + 2i 。
q(x) = 2x4 − 6x3 +13x2 − 39x +109
解 1）
；
r (x) = −327
2） q(x) = x2 − 2ix − (5 + 2i ) 。 r (x) = −9 + 8i

高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析

WORD 格式可编辑第一章多项式0时，代入2)可得q2pm1. 用 g(x)除 f (x), 求商q(x)与余式r(x):1) f (x) x 3 3x * 22x 1, g(x) 3x 2x 2) f(x) x 4 2x5,g(x) x 211)由带余除法，可得q(x)亍討(X)26 x92同理可得q(x) x x 1, r(x) 5x 7。

1) 2 x mx 1| x 3px q , 2)2 ..4 2x mx 1 | x px q 。

解 1) 由假设, 所得余式为 0, 即(p 所以当 p 1 2 m 时有x 2 mxq m 0m(2 p m 2) 0 2) m, p,q 适合什么条件时，有 2. 1 |xq 1 p2，于是当m 21 m2 )x (q m) 0,pxm 0时，代入(2)可得综上所诉，当时，皆有x 2mx 1|x 4 px 2 q 。

1) f(x)2x 5 5x 3 8x, g(x) x3 ; 2) f (x) x 3 x 2x, g(x) x 12i 。

1)q(x) 2x 4 6x 3 1 13x 239x 109r(x) 327q(x ))x 22ix(52i)or(x) 9 8i求g(x)除f (x)的商q(x)与余式:解 2) 把f (x)表示成x X o 的方幕和，即表成3.4.C o C|(X X o ) C 2(X X o )2... C n (X X 。

)" L 的形式:51) f (X ) X , X o 1 ； 2)f (X ) x 4 2X 2 3,X o 2 ；3) 43f (X ) X 2ix (1i)x 23X 7 i,X o i o解 1)由综合除法，可得 f(x)1 5(X 1) 10(x21) 10(x 1)3 5(X 1)4 (X 1)5 ； 2) 由综合除法，可得 X 42X 2 3 11 24(X 2) 22(X 2)2 8(X2)3 (X 2)4 ;3) 由综合除法，可得X 42ix 3(1 i)x 2 3X (7i)(7 5i) 5(X i) ( 1 i)(x i)2 2i(x i)3 (X i)4。

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?? (? ),? (? )?? (? ,? ), ? ? ? V
即， ? (? ) 2 ? ? 2 两边开方得， ? (? ) ? ? , ? ? ? V ,
2) ? 1) : 若 ? 保持向量长度不变，则对 ? ? , ? ? V
有， ?? (? ),? (? )?? (? ,? ),
(1)
?? (? ),? (? )?? (? , ? ),
(2)
§9.4 正交变换
?? (? ? ? ),? (? ? ? )?? (? ? ? ,? ? ? ),
(3)
把(3)展开得，
?? (? ),? (? )?? 2?? (? ),? (? )?? ?? (? ),? (? )?
? (? ,? ) ? 2(? , ? ) ? (? , ? )
再由 (1)(2) 即得，
?根据２）?
3) ? 2) : 若 d ?? (? ),? (? )?? d ?? , ? ?, ? ? , ? ? V
则有， d ?? (? ),? (0) ?? d ?? ,0 ?, ? ? ? V
即， ? (? ) ? ? , ? ? ? V .
§9.4 正交变换
故 2）成立.
二、n 维欧氏空间中的正交变换
第九章欧氏空间
§1 定义与基本性质 §2 标准正交基 §3 同构 §4 正交变换 §5 子空间
§6 对称矩阵的标准形 §7 向量到子空间的
距离─最小二乘法 §8酉空间介绍小结与习题
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换二、n 维欧氏空间中的正交变换
§9.4 正交变换
一、一般欧氏空间中的正交变换
? ?? (? ),? (? )?? (? , ? )
故 ? 是正交变换．
§9.4 正交变换
2. n 维欧氏空间 V中的线性变换 ? 是正交变换
? 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵．
证明： ? 设 ?1,?2 ,L ,?n 为V的标准正交基，且
? ??1,?2 ,L ,?n ?? ??? 1,?? 2 ,L ,?? n ? ? ??1,?2 ,L ,?n ?A
n
? (? , ? ) ? xi yi i?1
§9.4 正交变换
n
? 又 ? (? ) ? xi? (?i ), i?1
n
? ? (? ) ? yj? (? j ) j? 1
由于? (?1 ),? (?2 ),L ,? (?n )为标准正交基，得
n
?? (? ),? (? )?? ? xi yi i?1
? (?i ,? j ) ?
1 0
i? j i? j
§9.4 正交变换
2).若线性变换 ? 使V的标准正交基 ?1,?2,L ,?n 变成
标准正交基 ? (?1),? (?2 ),L ,? (?n ) ，则? 为V的正交
变换．
证明：任取 ? , ? ? V , 设
? ? x1?1 ? x2?2 ? L xn?n ? ? y1?1 ? y2?2 ? L yn?n , 由 ?1,?2 ,L ,?n 为标准正交基，有
下述命题是等价的：
1）? 是正交变换； 2）? 保持向量长度不变，即
? (? ) ? ? , ? ? ? V;
3）? 保持向量间的距离不变，即
d ?? (? ),? (? )?? d ?? , ? ?, ? ? , ? ? V
§9.4 正交变换
证明：首先证明 1)与2)等价．
1) ? 2) : 若 ? 是正交变换，则
§9.4 正交变换
例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 ?1,?2 ,L ,?n ,
定义线性变换 ? 为：
?? 1 ? ? ?1 ?? i ? ?i ,
i ? 2,3, L n.
则 ? 为第二类的正交变换，也称之为镜面反射．
? ??1,?2,L ,?n ?? ??1,?2,L ,?n ?A 即， ??? 1,?? 2 ,L ,?? n ?? ??1,?2 ,L ,?n ?A
由于当A是正交矩阵时，?? 1,?? 2 ,L ,?? n 也是V的
标准正交基，再由 1即得 ? 为正交变换．
§9.4 正交变换
3. 欧氏空间 V的正交变换是 V到自身的同构映射．
1. n 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基
不变的线性变换．
1).若 ? 是 n 维欧氏空间 V的正交变换，?1,?2 ,L ,?n
是V的标准正交基，则 ? (?1 ),? (?2 ),L ,? (?n ) 也是V
的标准正交基 .
事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质
? ? ? 即有，
? (?i ),? (? j )
?? (? ),? (? )?? (? , ? )
? ? 是正交变换．
§9.4 正交变换
再证明2)与3)等价．
2) ? 3) : Q ? (? ) ? ? (? ) ? ? (? ? ? ),
? d ?? (? ),? (? )?? ? (? ) ? ? (? )
故 3）成立.
? ? (? ? ? ) ? ? ? ? ? d(? , ? )
1.定义
欧氏空间V的线性变换 ? 如果保持向量的内积不变，
即， ?? (? ),? (? )?? (? , ? ), ? ? , ? ? V
则称 ? 为正交变换 .
注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度
不变的正交变换的推广 .
§9.4 正交变换
2.欧氏空间中的正交变换的刻划
（定理4）设 ? 是欧氏空间 V的一个线性变换 .
当 ? 是正交变换时，由 1知，?? 1,?? 2 ,L ,?? n 也是V
的标准正交基，而由标准正交基 ?1,?2 ,L ,?n 到标准
正交基 ?? 1 ,?? 2 ,L ,?? n 的过渡矩阵是正交矩阵 .
§9.4 正交变换
所以， A是正交矩阵．
? 设 ?1,?2,L ,?n 为V的标准正交基，且
因而有， 1）正交变换的逆变换是正交变换；（由同构的对称性可得之） 2）正交变换的乘积还是正交变换．（由同构的传递性可得之）
§9.4 正交变换
4. n 维欧氏空间中正交变换的分类：
设 n 维欧氏空间 V中的线性变换 ? 在标准正交基 ?1,?2 ,L ,?n 下的矩阵是正交矩阵 A，则 A ? ? 1. 1）如果 A ? 1, 则称 ? 为第一类的（旋转）; 2）如果 A ? ? 1, 则称 ? 为第二类的．