第7章 线性变换

第7章 线性变换§1 线性变换的定义线性空间V 到自身的映射，通常叫做V 的一个变换，现在讨论的线性变换是线性空间的最简单也是最重要的一种变换。

一、线性变换的定义定义7.1 设V 为线性空间，若对于V 中的任一向量α，按照一定的对应规则T ，总有V 中的一个确定的向量β与之对应，则这个对应规则T 称为线性空间V 中的一个变换，记为βα=)(T 或 )(,V T ∈=αβα，β称为α的象，α称为β的原象。

象的全体所构成的集合称为象集，记作T （V ），即T （V ）={}V T ∈=ααβ|)(。

由此定义可见，变换类似于微积分中的函数，不过微积分中的函数是两个实数集合间的对应，而这里的变换则是线性空间中的向量与向量之间的对应。

定义7.2 线性空间V 中的变换T ，若满足条件（1） 对任意V ∈βα,有（2） )()()(βαβαT T T +=+；（3） 对任意V ∈α及数域P 中任意数k 有)()(ααkT k T =，则称变换T 为V 中的线性变换。

例7.1 线性空间V 中的恒等变换或称单位变换E ，即E )()(V ∈=ααα 以及零变换ℴ，即ℴ)(0)(V ∈=αα都是线性变换.例7.2 设V 是数域P 上的线性空间，k 是P 中的某个数，定义V 的变换如下： V k ∈→ααα,.这是一个线性变换，称为由数k 决定的数乘变换，可用K 表示.显然当1=k时，便得恒等变换，当0=k 时，便得零变换.例7.3 在线性空间][x P 或者n x P ][中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用D 代表，即 D （)(x f ）=)(x f '.例7.4 定义在闭区间[]b a ,上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以),(b a C 代表.在这个空间中变换ℐ（)(x f ）=⎰xadt t f )( 是一线性变换.例7.5 在3R 中，定义下列变换：对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 3R ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 1321321x x x x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 3321101x x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛T 2332213212x x x x x x x x试确定它们是否为线性变换？解 对任意的∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321,y y y x x x 3R 和数∈k R ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 1321132111332211332211321321)(y y y y x x x x y x y x y x y x y x yx y x y y y x x x=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 321321y y y x x x ；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 32113211321321321x x x k x x x x k kx kx kx kx kx kx kx x x x k 。

故T 是线性变换；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++T =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333322111321321101y x y x y x y x y y y x x x ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛T 333332113211020101y x y x y y y x x x 。

上两式不等，故1T 不是线性变换。

同理可验证2T 也不是线性变换。

（也可取特殊的向量来验证不是线性变换）二、线性变换的性质命题7.1 设V 是n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换，则有：（1）)()(,0)0(ααT -=-T =T ；（2）线性变换保持线性组合与线性关系式不变.即 )()()()(22112211m m m m k k k k k k ααααααT ++T +T =+++T ；（3）若m a a a ,,,21 线性相关，则)(,),(),(21m αααT T T 也线性相关。

证明 此命题的证明请读者自己证之。

注意命题7.1（3）的逆命题是不成立的。

即若m a a a ,,,21 线性无关，则)(,),(),(21m αααT T T 不一定线性无关。

(如前面的微分变换)§2 线性变换的运算一、线性变换的乘法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积为.(AB )(α)= A,(B (α)) (V ∈α).则线性变换的乘积也是线性变换.（自己验证）线性变换的乘法适合结合律，即(AB)C=A(BC).但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换D （)(x f ）=)(x f '. ℐ（)(x f ）=⎰xadt t f )( 的乘积D ℐ=ℰ，但一般ℐD ≠ℰ.对于任意线性变换A ，都有A ℰ=ℰA = A .二、线性变换的加法设A,B 是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的和A+B 为(A+B )(α)= A (α)+B (α) (V ∈α).则线性变换的和还是线性变换（自己验证）.线性变换的加法适合结合律与交换律，即A+(B+C)=(A+B)+C .A+B=B+A .对于加法，零变换ℴ与所有线性变换A 的和仍等于A ：A +ℴ=A .对于每个线性变换A ，可以定义它的负变换（-A ）： (-A )(α)=- A (α) (V ∈α).则负变换（-A ）也是线性变换，且A +（-A ）=ℴ.线性变换的乘法对加法有左右分配律，即A(B+C)=AB+AC ，(B+C)A=BA+CA.三、线性变换的数量乘法数域P 中的数与线性变换A 的数量乘法定义为 k A =KA即k A (α)=K (A (α))=KA (α),当然A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律：)(kl A =k (l A ),)(l k +A =k A +l A , k (A+B )=k A +k B , 1A =A .线性空间V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域P 上一个线性空间.V 的变换A 称为可逆的，如果有V 的变换B 存在，使AB=BA=E .这时，变换B 称为A 的逆变换，记为A 1-.如果线性变换A 是可逆的，那么它的逆变换A 1-也是线性变换.既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当n 个（n 是正整数）线性变换A 相乘时，就可以用个n A AA来表示，称为A 的n 次幂，简记为A n .作为定义，令A 0= E .根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则：A n m +=A m A n ,(A m )n =Am n )0,(≥n m 当线性变换A 可逆时，定义A 的负整数幂为 A n -=(A 1-)n (n 是正整数).值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来(AB )n ≠A n B n .设 011)(a x a x a x f m m m m +++=--是][x P 中一多项式，A 是V 的一个线性变换，定义f (A )=m a A m +1-m a A 1-m +…+0a E显然f (A )是一线性变换，它称为线性变换A 的多项式.不难验证，f (A )g ( A )=g ( A )f ( A ).即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的.例 在线性空间n P ][λ中，求微商是一个线性变换，用D 表示.显然有D=n ℴ.其次，变换的平移 P a a f f ∈+→)()(λλ也是一个线性变换，用ℐa 表示.根据泰勒展开式)()!1()(!2)()()()1(12λλλλλ---++''+'+=+n n f n a f a f a f a f ,因之ℐa 实质上是D 的多项式：ℐa =ℰ+a D +!22a D 2+…+)!1(1--n a n D 1-n . §3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系.空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式n n x x x εεεξ+++= 2211 (1)其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211）=1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换A 与ℬ在这组基上的作用相同，即A i ε=B i ε，,,,2,1n i =那么A = B .结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i =定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换A 使A i ε=i α .,,2,1n i =定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A (2ε)，…， A (n ε)）=A n ),,,(21εεε (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nnn n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例1 在4][x R 中，取基1,,,432231====ααααx x x 求微分运算D 的矩阵。