第七章 线性变换
《高等代数》第七章 线性变换
线性变换的多项式有以下性质：
1) f (A ) 是一线性变换.
2) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) ,
那么
h(A ) = f (A ) + g(A ) , p(A ) = f (A ) g(A ) .
特别地，
f (A ) g(A ) = g(A ) f (A ) .
定义为 数乘k变A 换= ,K可A用, K 表示. 显然，当 k = 1 时
即
们(k便A得)恒(等) =变K换(，A当(k) =) =0 K时A，便(得) .零变换.
显然，k A 还是线性变换. 2. 运算规律 1) ( kl ) A = k ( l A ) , 2) ( k + l ) A = k A + l A , 3) k (A + B ) = k A + k B , 4) 1 A = A .
证毕
五、线性变换的多项式
下面引进线性变换的多项式的概念.
1. 线性变换的幂
既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线
性变换 A 重复相乘时，其最终结果是完全确定的,
与乘积的结合方式无关. 因此当 n 个( n 是正整数)
线性变换 A 相乘时，我们就可以用 A A ... A
n个
来表示，称为 A 的 n 次幂，简单地记作 A n. 即
对于线性变换，我们已经定义了乘法、加法与 数量乘法三种运算. 由加法与数量乘法的性质可知, 线性空间 V 中全体线性变换，对于如上定义的加法 与数量乘法，也构成数域 P 上一个线性空间.
对于线性变换，我们也可定义逆变换.
四、线性变换的逆变换
1. 定义 定义5 线性空间 V 的线性变换 A 称为可逆的 如果有 V 的变换 B 存在，使
第七章 线性变换
(4) 多项式:
1) n 个( n 是正整数)线性变换 /A的乘积为/A的
n次幂，记为/An，即/An=/A/A.../A(n个). 规定 /A0 = /E. 当线性变换/A可逆时, 规定/A-n=(/A-1)n 2) 设 f (x) = amxm + am -1xm -1 + … + a0 是P[ x ] 中 一多项式，/A是 V 的一线性变换，则称 f (/A ) = am /A m + am -1 /A m -1 + … + a0/E
xi1, xi 2 ,, xiri
，则向量组
x11 , x12 ,, x1r1，x21 , x22 ,, x2r2， ，xs1, xs 2 ,, xsrs
线性无关.
6) 设B=X-1AX,即矩阵A与B相似. 如果i是A的特征
值，xi是A对应特征值i的特征向量，则i是B的特征值 ,且B对应特征值i的特征向量是X-1x.
是线性变换 /A 的多项式.
3) 线性变换的幂运算规律 ① /A n + m = /A n /A m , (/A n )m = /A m n (m , n 0) . ② 一般来说:(/A /B )n /A n /B n . 4) 如果在 P[ x ] 中，有 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x) g(x) , 那么 h(/A ) = f (/A ) + g(/A ) , p(/A ) = f (/A ) g(/A ) .
1+ 2+ ...+n=a11+a22+...+ann; 12...n=|A|.
4) 如果1, 2, ..., s是矩阵A的互异特征值，其对应
高等代数课件
(r ) a1r1 a2r2 arrr (r1) a1,r11 ar,r1r ar1,r1r1 an,r1n
(n ) a1n1 arnr ar1,nr1 annn
这表明关于这个基的矩阵是
A1 O
A3 A2
|W关于W的基1, 2, …, r 的矩阵
定理7.3.3 设V是数域F上的一个n维向量空间, {1, 2, …, n} 是V的一个基, 对于V的每个线性变换, 让它对应于它关于基{1, 2, …, n}的矩阵A. 如此建立的对应关系是L(V)到Mn(F)的一个同构 (保持加法和纯量乘法的双射). 而且如果变换,分别对应于矩阵A,B, 则变换,的乘积对应于矩阵A,B的乘积AB. (保持乘法)
例 6 接例4. V3是L与H的直和. 取L上的一个非零向量1作为它
的基, 取H上的两个正交单位向量2, 3作为它的基, 那么1, 2, 3组
V3的一个基. 关于这个基的矩阵是
1 0
0
0 cos sin
0 sin cos
应该地, 如果V是它的子空间W1, W2, … , Ws的直和, 且每一个都 是的不变子空间. 用这些子空间的基组V的一个基. 则关于这个基
定理7.1.2 设是向量空间V到W的一个线性映射. 则有 (i) 是单射Im()=W. (i) 是满射Ker()={0}.
两个线性映射的合成映射是线性映射. 设U, V, W是数域F上的向量空间, : UV, :VW是线性映射. 则合成映射:VW是U到W线性映射.
如果线性映射:VW有逆映射 1, 则 1是从W到V的线性映 射.
(n ) a1n1 a2n2 annn
其中, (a1j, a2j,…, anj, )是(j )关于基1, 2, …, n的坐标 j=1,2, …,n,. 它们是唯一确定的. 以它为第j列, 做成一个矩阵:
第七章线性变换总结篇(高等代数)
第 7章 线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。
注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。
2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换⇔()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+∀∈∀∈ 3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα∀∈。
性质1. ()()00,σσαα==-; 性质2. 若12s ,,,ααα线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性相关。
性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。
注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ，12,,,s γγγ是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss s m m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭于是，若()dim V n =，12,,,n ααα是V 的一组基，σ是V 的线性变换， 12,,,m βββ是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n n m m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n n n mn b b c b b c b b c σβββααα⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭设112111222212m m n n mn b b c b b c B b b c ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，12,,,m ηηη是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη是12,,,m ηηη的一个极大线性无关组，那么()()()12,ri i iσβσβσβ就是()()()12,m σβσβσβ的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ的秩等于秩()B 。
第七章-线性变换
x1 , x2 ,, xn P , 使 x1 1 x2 2 xn n
从而， ( ) x1 ( 1 ) x2 ( 2 ) xn ( n ).
由此知， ( ) 由 ( 1 ), ( 2 ),, ( n ) 完全确定.
二、 线性变换与矩阵
1．线性变换的矩阵
设 1 , 2 , , n为数域P上线性空间V的一组基，
为V的线性变换. 基向量的象可以被基线性表出,设
( 1 ) a11 1 a21 2 an1 n ( 2 ) a12 1 a22 2 an 2 n ( ) a a a n 1n 1 2n 2 nn n
＝x1 1 x2 2 xn n
＝x1 1 x2 2 xn n
由已知，即得 ＝ .
.
由此知，一个线性变换完全由它在一组基上的作 用所决定.
( 2 ) (0,1,0) (0,1,1) 0 1 1 2 1 3
( 3 ) (0,0,1) (0,0,0) 0 1 0 2 0 3
1 0 0 ( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 0 1 1 0
和 ：
数量乘积
k ： k k k P
记作 1 .
的逆变换: E
n
n 的n次幂： , n为自然数
的多项式： f ( ) am m a1 a0 E
5/36
二、 线性变换的简单性质
第七章线性变换.ppt
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().
所以kσ是V的一个线性变换.
2020-12-11
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15
线性变换的加法满足变换律和结合律,容易证明,对
如果 , V而 ( ) (). 那么 ( ) ( ) () 0, 从而 ker( ) {0}. 所以 , 即σ是单射.
2020-12-11
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11
如果线性映射 :V W 有逆映射 1 ，那么是W
到V 的一个线性映射.
2020-12-11
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12
7.2 线性变换的运算
（4） ( )
2020-12-11
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16
线性变换的数乘满足下列算律：
(5)
k( ) k k ,
(6)
(k l) k l ,
(7)
(kl) k(l ),
(8)
1 ,
这里k,l是F中任意数，σ,τ是V的任意线性变换.
定理7.2.1 L（V）对于加法和数乘来说作成数域 F上一个向量空间.
在σ之下的象是W 的一个子空间，而W 的任意子空 间在σ之下的原象是V 的一个子空间.
2020-12-11
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9
特别，向量空间V 在σ之下的象是W 的一个
子空间，叫做σ的象, 记为 Im( ),
即 Im( ) (V ).
另外，W 的零子空间 { 0 } 在σ之下的原象是 V 的一个子空间，叫做σ的核，
一、内容分布
7.2.1 加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式
第七章 线性变换
这是一个线性变换，
称为由数k决定的数乘变换，可用 K 表示。 显然，当k=1时，我们便得恒等变换，
当k=0时，便得零变换。
例5 在线性空间P [ x ]或者 P [ x ]中，求微商是一 n 个线性变换。这个变换通常用D代表，即
D ( f ( x )) f '( x ).
例6 定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成 实数域上一线性空间，以C(a,b)代表。在这个空 间中，变换 x
A ( B ( ) ) A ( B ( ) ) ( A B ) ( ) ( A B ) ( ) , ( A B ) ( k ) A ( B ( k ) ) A ( k B ( ) ) k A ( B ( ) ) k ( A B ) ( ) .
y ' sin cos y
来计算的。同样地，空间中绕轴的旋转也是一个 线性变换。
例2 设 是几何空间中一固定的非零向量，把 每个向量 变到它在 上的内射影的变换也是一 个线性变换，以 表示它。用公式表示就是
( ) ( , ) ( , )
首先，线性空间的线性变换作为映射的特殊 情形当然可以定义乘法。设A，B是线性空间V 的两个线性变换，定义它们的乘积AB为
( A B )( ) A ( B ( )) ( V ).
容易证明，线性变换的乘积也是线性变换。事 实上，( A B )( ) A ( B ( )) A ( B ( ) B ( ))
2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变。 换句话说，如果 是 1 , 2 , , r 的线性组合：
k 1 1 k 2
2
k r r ,
第七章 线性变换
,即A
1
B .
可以证明，可逆线性变换一定是双射，从而它就是线性空间到其自身的同构映射。
类似于方阵的幂与多项式概念，关于线性变换，也有所谓幂与多项式概念，具体如下 定义 1.7 设 A L(V ), 利用乘法定义可以归纳地定义线性变换的正整数次幂：
2
A
A A , A
3
A
2
A , , A
第七章
线性变换
变换的思想是数学中一个十分重要的思想，几乎可以说无处不在，也可以这么说，如 果不研究变换，数学就变得死水一潭、没有意义。线性变换是高等代数中一个重要概念， 它对研究线性空间本身结构有着重要作用，为矩阵运算的简化以及矩阵的分解提供了方法。
§1
线性空间上的线性变换及其运算
如果说同构映射反映了两个线性空间之间的关系， 那么， 这一节将要介绍的线性空间上 的线性变换反映的将是线性空间到其自身的关系。 定义 1.1 设 V 是数域 P 上一个线性空间，如果映射 A : V V 满足：
3
( x, y, z )T 3 , 定义 A ( x, y, 0)T 3 , 证明： A 是 3 上的线性变换。
4. 设 A 是实数域 上 3 维线性空间 中绕 Oz 轴由 Ox 向 Oy 方向旋转 90 的变换，证
3
明： A 是 上的线性变换，并且 A 5. 6. 证明性质 1.1, 1.3.
3
4
E .
在 P[ x] 中， 对任意 f ( x) P[ x], A f ( x) f' ( x), B f ( x) xf ( x), 其中 f' ( x) 是 f ( x) 的导函数，证明： AB BA E , 这里E 为恒等变换。
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MATLAB软件应用第七章线性变换
例1：求矩阵
122
212
221
A
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的特征值与特征向量，并将其对角化.
解1：建立m文件v1.m如下：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
E=eye(3);
syms x
f=det(x*E-A) %矩阵A的特征多项式
solve(f) %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值
%所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1.
%（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系syms y
y=5;
B=y*E-A;
b1=sym(null(B)) %b1为（x1*E—A）X=0基础解系
%（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系y=-1;
B=y*E-A;
b2=sym(null(B)) %b2为（x2*E—A）X=0基础解系
T=[b1,b2] %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵
D=T^-1*A*T %将矩阵A对角化，得对角矩阵D
运行结果如下：
f =
x^3-3*x^2-9*x-5
ans =
5
-1
-1
b1 =
sqrt(1/3)
sqrt(1/3)
sqrt(1/3)
b2 =
[ sqrt(2/3), 0]
[ -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]
[ -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]
T =
[ sqrt(1/3), sqrt(2/3), 0]
[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]
[ sqrt(1/3), -sqrt(1/6), sqrt(1/2)]
D =
[ 5, 0, 0]
[ 0, -1, 0]
[ 0, 0, -1]
解2：建立m文件v2.m如下：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
d=eig(A) %求全部特征值所组成的向量
[V,D]=eig(A) %求特征值及特征向量所组成的矩阵inv(V)*A*V %A可对角化，且对角矩阵为D
运行结果如下：
d =
-1
-1
5
V =
247/398 1145/2158 780/1351 279/1870 -1343/1673 780/1351 -1040/1351 1013/3722 780/1351 D =
-1 0 0 0 -1 0 0 0 5 ans =
-1 * * * -1 * * * 5
例2：求矩阵
110
430
102
A
-⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
的特征值与特征向量，并判别A
是否可以对角化.
解：建立m文件v3.m如下：clc
a=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2]; [V,D]=eig(a)
det(V)
运行结果如下：
V =
0 881/2158 881/2158
0 881/1079 881/1079
1 -881/2158 -881/2158
D =
2 0 0
0 1 0
0 0 1
ans =
所以矩阵A 不能对角化。
例3：求例1中矩阵A 的迹，并验证11,()n n
i i i i A tr A λλ====∑∏.
解：建立m 文件v4.m 如下：
clc
A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];
fprintf('矩阵A 的迹=%d\n',trace(A)) %求矩阵A 的迹
d=eig(A) %求矩阵A 的特征值
b=sum(d,1); %矩阵d 元素求和
fprintf('矩阵A 特征根的和=%d',b)
fprintf('\n 矩阵A 的行列式=%d',det(A))
f=prod(d,1); %矩阵d 元素求积，即特征值求积 fprintf('\n 矩阵A 特征根的积=%d',f)
运行结果如下：
矩阵A 的迹=3
d =
-1
-1
5
矩阵A 特征根的和=3
矩阵A 的行列式=5
矩阵A 特征根的积=5>>
例4：对矩阵2121A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭
，求矩阵B ，使得2B A = 解：建立m 文件v5.m 如下：
clc
A=[2 1;-2 -1];
[V,D]=eig(A)
B=V*sqrt(D)*inv(V)
B^2
运行结果如下：
V =
985/1393 -1292/2889 -985/1393 2584/2889
D =
1 0
0 0
B =
2 1 -2 -1 ans =
2 1 -2 -1
例5：对实对称矩阵
222
254
245
A
-
⎛⎫
⎪
=-
⎪
⎪
--
⎝⎭
，求正交矩阵U，使得T
U AU为
对角矩阵
解：建立m文件v6.m如下：
clc
A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; %实对称矩阵A
[P,D]=eig(A) %矩阵A的对角化
P'*A*P
运行结果如下：
P =
-963/3230 2584/2889 1/3 -963/1615 -1292/2889 2/3 -963/1292 0 -2/3
D =
1 0 0
0 1 0
0 0 10
ans =
1 0 *
* 1 * * 0 10
【练习与思考】
1、求下列矩阵的特征值与特征向量，判别能否对角化，若能，将其
对角化
（1）
01
10
A
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
（2）
100
213
111
A
⎡⎤
⎢⎥
=-⎢⎥
⎢⎥
-
⎣⎦
2、对矩阵
953
043
001
A
-
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
，求矩阵B，使得2B A
=。