第七章线性变换习题答案
高等代数与解析几何第七章习题线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵习题习题判别下列变换是否线性变换1设是线性空间中的一个固定向量,Ⅰ,,解：当时,显然是的线性变换；当时,有,,则,即此时不是的线性变换;Ⅱ,；解：当时,显然是的线性变换；当时,有,,则,即此时不是的线性变换;2在中,Ⅰ,解：不是的线性变换;因对于,有,,所以;Ⅱ；解：是的线性变换;设,其中,,则有,;3在中,Ⅰ,解：是的线性变换：设,则,,;Ⅱ,其中是中的固定数；解：是的线性变换：设,则,,;4把复数域看作复数域上的线性空间,,其中是的共轭复数；解：不是线性变换;因为取,时,有,,即;5在中,设与是其中的两个固定的矩阵,,;解：是的线性变换;对,,有,;习题在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换;证明表示恒等变换,,；并说明是否成立;证明：在中任取一个向量,则根据,及的定义可知：,,；, ,；,,,即,故;因为,,所以;因为,,所以;因为,,所以;习题在中,,,证明;证明：在中任取一多项式,有;所以;习题设,是上的线性变换;若,证明;证明：用数学归纳法证明;当时,有命题成立;假设等式对成立,即;下面证明等式对也成立;因有,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立; 习题证明1若是上的可逆线性变换,则的逆变换唯一；2若,是上的可逆线性变换,则也是可逆线性变换,且;证明：1设都是的逆变换,则有,;进而;即的逆变换唯一;2因,都是上的可逆线性变换,则有,同理有由定义知是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得;习题设是上的线性变换,向量,且,,,都不是零向量,但;证明,,,线性无关;证明：设,依次用可得,得,而,故；同理有：,得,即得；依次类推可得,即得,进而得;有定义知,,,线性无关;习题设是上的线性变换,证明是可逆线性变换的充要条件为既是单射线性变换又是满射线性变换,即是一一变换;证明：已知是可逆线性变换,即存在;若,则两端用作用即得,因此是单射线性变换;若任取,则存在,使得,即是满射线性变换;已知既是单射线性变换又是满射线性变换,即双射;现定义新的变换：,定有,且有,规定,有,同时有,即有;由定义知是可逆线性变换;习题设是上的线性变换,证明1是单射线性变换的充要条件为；2是单射线性变换的充要条件为把线性无关的向量组变为线性无关的向量组;证明：1已知是单射线性变换,对,则有,由单射得,即;已知,若,则有,得,即得,故是单射;2已知是单射线性变换;设线性无关,现证也线性无关;令,整理有,而是单射,有,已知线性无关,所以,故也线性无关;已知把线性无关的向量组变为线性无关的向量组;若,则有,并一定有;否则若,则说明向量线性无关,而表示把线性无关的向量组变为线性相关的向量组,与条件矛盾;而由可得,即是单射线性变换;习题设是中全体可逆线性变换所成的子集,证明关于线性变换的乘法构成一个群;超范围略习题设,是上的线性变换,且证明1若,则；2若,则;证明：1因为,;所以,从而或;又因为;故;2因为,,所以;习题设与分别是数域上的维与维线性空间,是的一个有序基,对于中任意个向量,证明存在唯一的线性映射,使,;证明：先证明存在性;对任意的,有唯一的线性表达式我们定义显然有,;现验证为到的一个线性映射;1对任意的向量,因为,由定义得;2对任意的,因为,由定义得; 所以为到的一个线性映射;再证唯一性：若另有到的一个线性映射,也使得,;则对任意向量,一定有;由在中的任意性,可得;习题设与分别是数域上的维与维线性空间,是线性映射;证明是的子空间,是的子空间;又若有限,证明;这时称为的零度,称为的秩;证明：1先证与分别为与的子空间,对,,有,所以,故为的子空间；同理,对,,则,使,,所以所以为的子空间.2再证因有限,不妨设,,在中取一个基,再把它扩充为的一个基,则是像空间的一个基.事实上,对,存在,使得;设,则有即中的任意向量都可由线性表示;现证向量组线性无关：设,有,即,所以向量可由向量组线性表示,进而有,整理有,又因线性无关,所以必有,因此线性无关,即为的一个基,故;习题证明关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间;证明：现证明定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法都是从到的线性映射;事实上,对,,有故为到的线性映射;同理,对,,有,,故为到的线性映射;另外线性映射的加法与数量乘法显然满足：1结合律：；2交换律: ；3存在零线性映射,对,有；4对,有负线性映射,使得；5；6；7；8;其中,所以关于定义中所定义的线性映射的加法与数量乘法构成上的一个线性空间;习题证明：;证明：设为维线性空间,为维线性空间,即,;取定的一组基和的一组基;令为到的如下映射：,其中为在基与基下的矩阵;这样定义的是到的同构映射;事实上,1若,,且,则有,;由于,对每一个都有,故有,即是单射;2,令;则存在唯一的线性映射使得,并且由此可见,是满射;3对,,有,,其中即有,,所以,故有,所以是到的同构映射;进而有;习题习题求下列线性变换在所指定的一个基下的矩阵：1的线性变换,,其中为固定矩阵;求,在这个基下的矩阵；2设是线性空间的线性变换,求在基下的矩阵；36个函数：,,,,,的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间;求微分变换在基下的矩阵;解：1由,的定义直接可得：,,,; 所以在这个基下的矩阵为;,,,;所以在这个基下的矩阵为;2由直接可得：,,,………………………,………………………;所以在基下的矩阵为：;3由微分运算性质直接可得：,,,,,;所以微分变换在基下的矩阵为：;习题设是的一个基,,,,;已知线性无关;证明：1 存在唯一的线性变换,使,；21中的在基下的矩阵为；31中的在基下的矩阵为;证明：1因为线性无关,所以也是的一个基;故对的一个基及个向量,定存在唯一的线性变换,使,;2 由已知条件有,,其中与都是的基,所以可逆,且有,进而有;再由1得,所以在基下的矩阵为;3 类似有,所以在基下的矩阵为;习题在中,定义线性变换为,,,其中,,;1求在基下的矩阵；2求在基下的矩阵;解：1由定义知,, 所以有;故在基下的矩阵为：;2类似有;故在基下的矩阵为：;习题在中,线性变换在基,,下的矩阵是;求在基下的矩阵;解：已知,,则有;即在基下的矩阵为：;习题设数域上3维线性空间的线性变换在基下的矩阵为1求在基下的矩阵；2求在基下的矩阵；3求在基下的矩阵;解：1由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;2由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;3由已知可得,,;所以在基下的矩阵为：;习题在维线性空间中,设有线性变换与向量使,但;证明：在中存在一个基,使在该基下的矩阵为;证明：由习题知：维线性空间的向量组,,,线性无关,且有个向量,即构成的一组基,而线性变换作用此基有：,,……………,;故在基,,,下的矩阵为：;习题设是数域上维线性空间的全体线性变换组成的数域上的线性空间,试求,并找出中的一个基;求证：任取的一组基,令为到的映射：,其中;由引理及定理知为同构映射,即;所以它们的维数相同,而,故;现取,,使得,即,;已知,是的一组基,故,为的一组基;习题证明：与维线性空间的全体线性变换都可交换的线性变换是数乘变换;证明：在某组确定的基下,数域上的维线性空间的线性变换与数域上的阶方阵间建立了一个双射,因为与一切阶方阵可交换的方阵为数量矩阵,所以与一切线性变换可交换的线性变换必是数乘变换;习题设是维线性空间的一个线性变换,如果在的任意一个基下的矩阵都相同,则是数乘变换;证明：设在基下的矩阵为,只要证明为数量矩阵即可;设为任意可逆矩阵,令,则也是的一组基,且在这组基下的矩阵为,依题意有;特别地,当取时,计算可得;再取,由可得,即为数量矩阵,所以是数乘变换;习题证明：与相似,其中是的一个排列;证明：用依次表示这两个矩阵,取一个维线性空间及其一组基,对于矩阵,存在的线性变换,使得,由此可得;因为与是在不同基下的矩阵,所以与相似;习题如果可逆,证明与相似;证明：因为,所以与相似;习题如果与相似,与相似,试判断下列叙述是否正确如果不正确,请举反例,否则给出证明;1与相似；2与相似；3与相似;答：1正确;证明：由于与相似,与相似,因此存在可逆阵,,使得,,从而有,其中,所以与相似;2不正确;反例：设,,则有,使,,即,故与相似；再取,则与显然相似;但,;设,且满足,即,计算得,即得,故不可逆;所以与不相似;3不正确;反例：取同2,有,, 两矩阵秩不同;显然,与不相似;习题习题设是数域上线性空间,是的线性变换;如果是的特征值,则对任意多项式,是的特征值,且的属于的特征向量也是的属于的特征向量;证明：设为的属于的特征向量,即,则对任意自然数,有;事实上,当时,显然成立;假设时,有成立;现证时也成立,即;故由数学归纳法得式对任意自然数均成立;设,则有,即;习题对复数域上线性空间上的下述线性变换,求出它的特征值与特征向量,判断是否可以对角化,在可对角化时,求出过度矩阵,并计算;已知在的一个基下的矩阵为1；2；3；4;解：1设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为,;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的两个线性无关的特征向量,,即,其中为由;2设在基下的矩阵为,且当时,有,于是矩阵的特征多项式为,所以的特征值为;求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,因为的属于特征值的两个线性无关的特征向量为,所以以中任意非零向量为其特征向量;当时,矩阵的特征多项式为,所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的两个线性无关的特征向量,,即,其中为由;3设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;由于找不到的三个线性无关的特征向量,故不可对角化;4设在基下的矩阵为,矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,,所以的属于特征值的全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的全部特征向量为;可以对角化;取的四个线性无关的特征向量,,,,即,其中为由基到基的过渡矩阵;且有;习题证明：是矩阵的特征值的充要条件是矩阵为奇异阵; 证明：设非零向量为矩阵的属于特征值的特征向量,则有,整理得,因,所以齐次线性方程组有非零解,故系数行列式;反之亦然;习题设,求;解：矩阵的特征多项式为;所以的特征值为;对,解齐次线性方程组,得基础解系；对,解齐次线性方程组,得基础解系；对,解齐次线性方程组,得基础解系;令,有,进而有,故;习题设是4维线性空间的一个基,线性变换在这个基下的矩阵为;1 求在一个基下的矩阵,其中2求的特征值与特征向量；3求一可逆阵,使为对角阵;解：1由条件有,令,则线性变换在基下的矩阵为;2因为线性变换的特征多项式为;所以线性变换的特征值为;先求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为,;全部特征向量为；再求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为;全部特征向量为;最后求的属于特征值的特征向量;解齐次线性方程组,求得基础解系为,所以的属于特征值的线性无关的特征向量为;全部特征向量为;3因为,所以所求的可逆矩阵为,于是有;习题1设是线性变换的两个不同特征值,是分别属于的特征向量;证明：不是的特征向量；2证明：如果线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量,则是数乘变换;证明：1因为,,所以;假设是线性变换的属于特征值的特征向量,即,且有,整理可得;由于线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关,因此,于是得,这与题设矛盾,因而不是的特征向量;2任取的一个非零向量,设;再任取的一个向量,若或,则显然有；若,则由假设也是特征向量,设;如果,则由1知,不是的特征向量,这与题意矛盾;故,即仍有;这就说明的任意两个特征值都相等,故为数乘变换;习题设是的线性变换;证明：1的行列式为零的充要条件是至少有一个特征值为零；2如果是可逆线性变换,则其特征值一定不为零；又如果是的特征值,则必是的特征值;证明：1设线性变换在一组基下的矩阵为,是的所有特征值,则有,所以的行列式为零至少有一个;2反证法设可逆线性变换有一个特征值为,而是它的一个特征向量,即有;用作用的两边得,;这与矛盾,故可逆线性变换的特征值一定不为零;设为的属于特征值的一个特征向量,即;由于可逆,得,进而有,即,也可写成,故必是的一个特征值;习题设,是阶方阵;证明：1；2如果,则,即相似的矩阵必有相同的迹；3设,;验证：与有相同的特征多项式,但与不相似;证明：1设,为任意两个阶方阵,则主对角线上的元素为,,;它们的和为;同样,的主对角线上的元素的和为;故;2根据1可得; 即相似的矩阵必有相同的迹;3因为,所以其特征多项式为；又因为,所以其特征多项式为,故与有相同的特征多项式;现设矩阵,使得成立,展开有,,即得;解得;所以是不可逆的,故与不相似;习题设的线性变换的互不相同的特征值为;如果在每一个特征值的特征子空间中取基,恰构成全空间的一个基;证明：必可对角化;证明：设特征值的特征子空间的基为,,则有,,,即每一个,都是的特征向量;又知,恰构成空间的一个基,即得有个线性无关的特征向量,所以必可对角化;。
线性变换练习题参考答案
第七章线性变换练习题参考答案一、填空题1.设鸟送，3是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换仃在这组基下的矩 阵是A=(a j 最3，口=x 11x %+2x 8炉V 则仃在基833V l下的矩阵B= 「001、T ，AT,而可逆矩阵T=010满足B=T,AT,ua 在基£132d 3下的坐标为♦0- &'Ax 2.2 .设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间P n 的线性变换仃：仃(与=人3"P n ,则仃,(0)={"A Z=0』w P n },dim (a -1(0))=n —r,dim 二(P n )=r.n 3.复矩阵A=(a j ).的全体特征值的和等于Z a ii ，而全体特征值的积等于i =1 IAJ.4 .设仃是n 维线性空间V 的线性变换，且仃在任一基下的矩阵都相同，则仃为__数乘一变换.5 .数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间L(V)为工2维线性空间，它与P n>n 同构.6 .设n 阶矩阵A 的全体特征值为入口2,…，4,f(x)为任一多项式，则f(A) 的全体特征值为f(1),f(2),,f(n ).7 .设A 」13i,则向量*'是A 的属于特征值4的特征向量.摩2)⑺0 -1相似，则k =』2 1」9 .设三阶方阵A 的特征多项式为f(?Q=73-2K 2-2九+3,则|A|=)10 .n 阶方阵A 满足A 2=A,则A 的特征值为0和1.f 18.右A =—1<0 01)<011 .线性空间R3上的线性变换为A(X I,X2,X3)=(K十2X3,3X2+3X3,X2—2x i),「102、变换A在基a=(1,0,0)"2=(0,1,0),S=(0,0,1)下的矩阵为033.「21。
」二、判断题1 .设。
是线性空间V的一个线性变换，口1,0(2，…R s W V线性无关，则向量组仃包工虫%)，…，仃Q s)也线性无关.(错)2 .设仃为n维线性空间V的一个线性变换，则由仃的秩+仃的零度=n,有V=D(V)㊉仃」(0).(错)未必有V=G(V)@<T-1(0).3 .在线性空间R2中定义变换。
第七章 线性变换 基础训练和答案.doc
第七章线性变换基础训练和答案%1.对下列的线性空间和线性变换，求线性变换0在给定基下的矩阵，并判断它们是否可逆. 1.V = P，的一组基为0 =（i.o.o）, 6r2 =（o,i,o）, a3 =（0,0,1）.对任意的a = （x p x2,x3）G P3线性斐换'为oc = （2X| —羽—易，一工| + 2私一尤3，—工| —尤＞+ 2易）.X22.V = P[x]n的一组基为1,、,一,••・, ——，线性变换为求导运算疚对任意的f（x）eP[x]n,2! （〃一1）!仁/u）=r（x）.（3 一3、3.V = P2x2的一组基为环，琮,&],乌，A= ；G P2x2,对任意的X e P*2,[-2 4 ）.M/X = AX .%1.对上题中的线性变换求它们的核和值域的维数和一组基.%1.求上题中每一个线性变换的特征值和特征向量，并判断它们是否可以对角化.若可以对角化，求线性空间的一组基，使得该变换在此基下的矩阵为对角形.%1.判断1.设V是数域P上的n维线性空间，工/£ L（V）,若线性无关则％ ,•--/ %，•••，•，/ %也线性无关.2.若二/0, •：/%,...,.：/%线性无关，则0,《也线性无关.3.若一个线性变换有一个特征值为零，则该线性变换不可逆.4.一个线性变换的属于不同特征值的两个特征向景必线性无关.5.一个线性变换的特征值了空间一定是该线性变换的不变了空间.6.若线性变换可逆，则它可以对角化.7.若一个线性变换可以对角化，则它必可逆.8.可逆线性变换的特征值均非零.9.一个线性变换可逆的充要条件是它在这个线性空间任何基下的矩阵的行列式均非零.10.n维线性空间上的线性变换..‘7可以对角化的充要条件是n个互不相同的特征值.11.n维线性空间上的线性变换「7可以对角化的充要条件是二/有n个线性无关的特征向量.12.n维线性空间V上的线性变换./可以对角化的充要条件是V有一组以二/TKJ特征向量作成的基.13.若n阶矩阵A与B相似，则它们有相同的特征值.14.若n阶矩阵A与B有相同的特征值，则它们相似.15.若n阶矩阵A与B相似，则它们的每一个特征值都有有相同的特征向量.16.如果4为A的特征值,则人也为疽的特征值.17.设矩阵A可逆，且4为A的特征值，则!也是A的特征值.a\2 a\3a 22 %3，则在基《+勺,勺,勺下 a 32^33/K 的特征值为&则18. 设A 是n 阶矩阵，满足A 2 + 2A + 3£ = 0,则A 必可以对角化.19. 设L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间，弓,《2，...，4是Ker,_-/的基,腐,是Im._r/ 的基则《，笑,…,4, 0\,伉‘•••‘Os 是V 的基.20, 设J /G L(V), V 是数域P 上的n 维线性空间,是Kerr/的基,*,腐,...,同是ImK 的基则r^s-n. %1. 填空&1. 设KEL®),逐基 ％2，乌下的矩阵为人=。
高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案
第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换?（1 ）设「是线性空间「中的一个固定向量，解：当■时，■-. - 显然是’的线性变换;当小时，有■，则□ l闵+觀h 6逐）+e（碣），即此时■不是"的线性变换。
T\a}解：当「时，显然是「的线性变换;T（闵+觀縊讥坷）+丁（％「，即此时L不是「的线性变换。
（2）在匚中，:T|=（心勾+解：「不是：的线性变换。
因对于叩），所以贰加）黑如©）。
J-f（□）解：是二的线性变换。
设■-T （硏丁（E = （2xj -鬲圖+画尼啊/V —vG —（10,0）€ 护有1!:"'二!,有则有左苴中&二（兀心■IIL.. JI. ■KJO|i —、赢I jr .跚）+（2”-兀5L TXa）a眼JCT 三（1Th f 丰乃1（範+为H （西+沟）必（画+另））価+必）二我住+3a:（上c）- T［上q .上吆上3 =心匕、-kxj r +匕勺.2上勺）=jfc（2x1-无|,阳+ 可，2 両（3）在•［；中，（［）」- ,解：0是H用的线性变换：设貳⑴居（Q它月旳.，贝U直（/a）+欢））=/（兀+i）+gd+i）=</◎》+龙⑵）, a財优论kj\x+5-逝/（劝，唯总F。
（u）处『姦訂芻》,其中•是；中的固定数;解：「-是；一的线性变换：设釁鑰廉8.詰圜，则⑺（7U）+g⑴）=/W+gfe）=次/⑴）卡以gO）），◎（射妙-妙厲）-如y（幼伏訂。
5 穴u（4）把复数域’看作复数域上的线性空间，步②匕加，其中「是一的共轭复数;解：「不是线性变换。
因为取兴习，「-7时，有*鸞日關上（7（仕）=滋二i即0（k&）主去曲空）（5）在：，■ 中，设■与:-是其中的两个固定的矩阵,- U Z&1解：「是"的线性变换。
对1蓟如=P瞒Q= ^PXQ二£啲O习题7.1.2在｛中，取直角坐标系-，以-表示空间绕「轴由轴向…方向旋转900的变换，以表示空间绕'轴由--轴向八方向旋转90°的变换，以&表示空间绕轴由 轴向Oy 方向旋转900的变换。
《工程高等代数》7第七章线性空间与线性变换习题解答
习 题 七A 组1．填空题（1）向量组(1,1,0,1),(1,2,3,0),(2,3,3,1)--生成的向量空间的维数是 ． 解 2．（2）设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V ，则它的维数是 ． 解 6．（3）次数不超过2的多项式的全体构成线性空间[]2P x ，其中的元素2()1f x x x =++在基1,1,(1)(2)x x x ---下的坐标是 ．解 T (3,4,1)．（4）设1231010,1,1110⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα是向量空间3V 的一个基，则向量111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α在该基下的坐标是 ．解 T111,,222⎛⎫⎪⎝⎭．（5）二维向量空间2R 中从基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到另一个基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵是 ．解 2312⎛⎫⎪--⎝⎭．（6）三维向量空间中的线性变换(,,)(,,)T x y z x y x y z =+-在标准基1(1,0,0)=e ，2(0,1,0)=e ，3(0,0,1)=e 下对应的矩阵是 ．解 110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭．2. 选择题（1）下列说法中正确的是 ． （A ）任何线性空间中一定含有零向量；（B ）由r 个向量生成的子空间一定是r 维的；（C ）次数为n 的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；（D ）在n 维向量空间V 中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V 的子空间． （2）下列说法中错误的是 ．（A ）若向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（B ）若n 维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα是V 的一个基；（C ）若1n -维向量空间V 中任何向量都可以由向量组12,,,n ααα线性表示，则12,,,n ααα不是V 的一个基；（D ）n 维向量空间V 的任一个基必定含有n 个向量．（3） 下列3维向量的集合中， 是3R 的子空间． （A ）{}123123123(,,)0;,,x x x x x x x x x ⋅⋅≤∈R ； （B ）{}222123123123(,,)1;,,x x x x x x x x x ++=∈R ； （C ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ==∈R ； （D ）{}123123123(,,);,,x x x x x x x x x ≥≥∈R . （4）在2V 中，下列向量集合构成子空间的是 ． （A ）(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合； （B ）(0,0)组成的集合；（C ）所有形如(,1)x 的向量组成的集合； （D ）满足1x y +=的所有(,)x y 组成的集合． （5）2V 的下列变换 不是线性变换． （A ）(,)(0,0)T x y =；（B ）(,)(,)T x y ax by cx dy =++，,,,a b c d 是实数； （C ）(,)(,1)T x y x y =+； （D ）(,)(0,)T x y x y =-．解 （1）A ; （2）A ; （3）C ; （4）B ；（5）C ． 3．验证：（1）主对角线上元素之和等于0的2阶矩阵的全体1S ；（2）2阶对称矩阵的全体2S ，对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基．解 (1)任取11,S S ∈∈A B ，,ac be d af b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A B ，其中,,,,,a b c d e f 表示任意实数，则对于任意的,k λ∈R ，有线性运算的封闭性成立：1ka bkc e k S kd fka b λλλλλ++⎛⎫+=∈⎪+--⎝⎭A B ．1S 的一个基是100100,,010010⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． (2)任取22,S S ∈∈A B ，对于任意的,k λ∈R ，都满足运算成立：T T T 2()k k k S λλλ+=+=+∈A B A B A B ．2S 的一个基是100001,,000110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．4．验证：与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．证明 与向量T (0,1,0)不平行的全体3维数组向量的集合记作V ，T T (1,1,1),(1,0,1)V ==∈αβ，但T(0,1,0)V -=∉αβ，所以V 不是线性空间．5．设U 是线性空间V 的一个子空间，证明：若U 与V 的维数相等，则U =V ． 证明 设12,,,r ααα是U 的一个基，因为U V ⊆，所以12,,,r V ∈ααα．对于任意的V ∈α，必定可被12,,,r ααα线性表示，否则与“U 与V 的维数相等”矛盾．由α的任意性知V U ⊆，从而U =V ．6. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．(1) 110,,0a W a b c b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ； (2) 100,,,00a b W a b c a b c c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=++=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ． 解 (1)不构成．由于1100000W ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭A B 但 1200000W ⎛⎫+=∉ ⎪⎝⎭A B ，即1W 对矩阵加法不封闭．(2) 构成．任取1122221200,0000a b a b W W c c ⎛⎫⎛⎫=∈=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ， 有1112220,0a b c a b c ++=++=，121212000a a b bc c ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭A B ． 于是1212120a a b b c c +++++=，1212212000a a b bW c c ++⎛⎫+=∈ ⎪+⎝⎭A B ． 对任意k ∈R ，111000ka kb k kc ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，1110ka kb kc ++=，所以2k W ∈A ．2W 对矩阵加法和数乘运算封闭，所以2W 构成子空间．7. 判断22⨯R的下列子集是否构成子空间，说明理由．（1）由所有行列式为零的矩阵所组成的集合1W ； （2）由所有满足2=A A 的矩阵组成的集合2W ． 解 (1) 不构成．取10,00⎛⎫=⎪⎝⎭A 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，1,W ∈A B ，但是10,1,01⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭A B A B 因此1W +∉A B ，加法不封闭．(2) 不构成．取单位矩阵1001⎛⎫= ⎪⎝⎭E ，2=E E ，2W ∈E ，但2(2)42=≠E E E ，所以22W ∉E ，数乘不封闭．8. 在3R 中求向量T (2,7,6)=-α在基T T T123(2,0,1),(1,3,2),(2,1,1)=-==-ααα下的坐标． 解 设所求坐标为T123(,,)x x x ，则1232312322270362x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得T T 123(,,)(1,2,1)x x x =-． 9．3R 中两个基为T T T 123(1,1,1),(1,0,1),(1,0,1)==-=ααα；T T T 123(1,2,1),(2,3,4),(3,4,5)===βββ，求由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵． 解 设123123(,,)(,,)=P βββααα，则1123123(,,)(,,)-=P αααβββ1111123234100234011111145100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．10．在3R 中，取两个基T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===e e e ；T T T 123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)===ααα，（1）求由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵；（2）已知由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为110011001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，求123,,βββ； （3）已知α在基123,,βββ下的坐标为T (1,2,3)，求α在基123,,ααα下的坐标．解 （1）因为123123111(,,)(,,)011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭e e e ααα，所以基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ．（2）由于123123*********(,,)(,,)011011010001001001-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A βββααα，故 T T T 123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)===βββ．（3）设α在基123,,ααα下的坐标为T 123(,,)x x x ，则有112323(,,)x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααα，又12312311(,,)2(,,)233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A αβββααα，从而123111011201121300133x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． 11．在3R 中取两个基T T 11T T 22T T33T T 44(1,0,0,0),(2,1,1,1),(0,1,0,0),(0,3,1,0),(0,0,1,0),(5,3,2,1),(0,0,0,1),(6,6,1,3).⎧⎧==-⎪⎪==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎪⎪==⎩⎩e e e e αααα （1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵；（2）求向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标； （3）求在两个基下有相同坐标的向量．解 (1) 因为123412342561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭e e e e αααα，所以前一个基到后一个基的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A ． (2) 设向量T 1234(,,,)x x x x 在后一个基下的坐标为T1234(,,,)y y y y ，则1112221234333444(,,,)x y y x y y x y y x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααα，所以，11112221333444256133611211013y x x y x x y x x y x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 123412927331129231900182773926x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪= ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭． (3) 设向量T 1234(,,,)x x x x =α在两个基下有相同的坐标，则112212343344(,,,)x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e E α，112212343344(,,,)x x x xx x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ααααα，所以 1234()x x x x ⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A E 0，解得T (1,1,1,1),k k =-∈R α． 12．说明xOy 平面上变换x x T y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A 的几何意义，其中(1) 1001-⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (2) 0001⎛⎫= ⎪⎝⎭A ；(3) 0110⎛⎫=⎪⎝⎭A ； (4) 0110⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ．解 (1)1001x x x x T y y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于y 轴对称；(2)00001x x x T y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，投影到y 轴；(3)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，关于直线y x =对称；(4)0110x x x y T y y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，顺时针旋转90．13．n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个(1)2n n +维线性空间．给定n 阶矩阵P ，以A 表示V 中的任一元素，变换T ()T =A P AP称为合同变换．证明合同变换T 是V 中的线性变换．证明 设,V ∈A B ，k ∈R ，则T T ,==A A B B ，所以T ()+=+A B A B ，T ()k k =A A ．从而+A B 与k A 是对称矩阵．又因为T T T ()()()()T T T +=+=+=+A B P A B P P AP P BP A B ，T T ()()()T k k k kT ===A P A P P AP A ，所以T 是V 中的线性变换．14．设3R 中123,,ααα是一个基，且线性变换T 在此基下的矩阵为460350361⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，（1）证明123312,,2-++-+αααααα也是3R 的一个基； （2）求线性变换T 在此基下的矩阵．证明 （1）令112323312,,2=-++==-+βαααβαβαα，可解得1123,=--αβββ 212322=--αβββ， 32=αβ，这说明了123,,ααα和123,,βββ可以相互线性表示，从而它们等价，所以123,,βββ是3R 的一个基．（2）设线性变换T 在基123,,βββ下的矩阵是B ，并设从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵是P ，则1-=B P AP ，由条件知102101110--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，得1120121110-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭P ，从而 1200010001--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B P AP ．15．函数集合{}23210210(),,xV a x a x a e a a a ==++∈R α对于函数的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基2123,,x x x x e xe e ===ααα，求微分运算D 在这个基下的矩阵． 解 因为21123()220x x D x e xe =+=++αααα， 2123()0x x D e xe =+=++αααα，3123()00x D e ==++αααα，所以微分运算D 在这个基下的矩阵为100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．16．二阶对称矩阵的全体12312323,,x x V x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R A 对于矩阵的线性运算构成三维线性空间．在3V 中取一个基123100100,,001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，在3V 中定义合同变换1011()1101T ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A ，求T 在基123,,A A A 下的矩阵．解 因为11123101110101111()110111000111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A A ，2223101110011101()2110111100112T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A A ，333101110001100()110111010101T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A A ，123123100((),(),())(,,)110121T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A ，所以T 在基123,,A A A 下的矩阵为100110121⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭．17．设A 是一个正定矩阵，向量1212(,,,),(,,,)n n x x x y y y ==αβ．在nR 中定义内积 [],αβ为[]T ,=A αβαβ．证明在这个定义之下，n R 是一个Euclid 空间．证明 按定义证明满足以下四条性质即可． （1）对称性 [][]T T T T T T ,(),=====A A A A αβαβαββαβαβα．（2）线性加性 [][][]TT T ,(),,+=+=+=+A A A αβγαβγαγβγαγβγ．（3）线性齐性 [][]T T ,()(),k k k k ===A A αβαβαβαβ．（4）非负性 由于A 是正定矩阵，所以[]T ,=A αααα是个正定二次型，从而[],0≥αα，当且仅当=0α时[],0=αα．18．设V 是一个n 维Euclid 空间，≠0α是V 中一固定向量，证明：[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V的一个子空间．证明 因为1V ∈0，所以1V 非空．再证1V 对两种运算封闭．任给121,V ∈x x ，即[][]12,0,,0==x αx α，根据V 的线性加性有[][][]1212,,,+=+=x x αx αx α000+=，从而可知121V +∈x x ．另一方面，由[][]11,,0k k ==x αx α可知，11k V ∈x ．此即证得[]{}1,0,V V ==∈x x αx 是V 的一个子空间．B 组1．求二阶矩阵构成的线性空间22⨯R中元素0123⎛⎫= ⎪-⎝⎭A 在基10111⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，21011⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，31101⎛⎫= ⎪⎝⎭G ，41110⎛⎫= ⎪⎝⎭G 下的坐标.解 设11223344k k k k =+++A G G G G ，则234134124123 0,1, 2, 3,k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 解得12340,1,2,3k k k k ==-=-=，所求坐标为T (0,1,2,3)--. 2．在二阶矩阵构成的线性空间22⨯R 中，（1）求基123410010000,,,00001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭E E E E到基123421035366,,,11102113⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭F F F F的过渡矩阵；（2）分别求向量11122122a a a a ⎛⎫=⎪⎝⎭M 在基1234,,,E E E E 和基1234,,,F F F F 下的坐标； （3）求一个非零向量A ，使得A 在这两个基下的坐标相等． 解 （1）因为112342=+-+F E E E E ， 21234030=+++F E E E E ， 31234532=+++F E E E E ， 41234663=+++F E E E E ，即1234123420561336(,,,)(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭F F F F E E E E ， 所以，基1234,,,E E E E 到基1234,,,F F F F 的过渡矩阵为2056133611211013⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P ． （2）显然11121111222132242122a a a a a a a a ⎛⎫==+++⎪⎝⎭M E E E E ，得到M 在基1234,,,E E E E 下的坐标为T 11122122(,,,)a a a a ．设M 在基1234,,,F F F F 下的坐标为T 1234(,,,)y y y y ，则111212342122(,,,)a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M E E E E 1122123412343344(,,,)(,,,)y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F F F F E E E E P ， 得111112121213212142222411119391412327932712003371126279327y a a y a a y a a y a a -⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭P 1112212211122122112211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪+-- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭．（3）解方程111221221111122122122111222211122122411193914123279327123371126279327a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎛⎫⎪+-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭，得11122122a a a a ===-，所以11,011k k ⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭A ．3. 设T 是四维线性空间V 的线性变换，T 在V 的基1234,,,αααα下的矩阵为1222265200120026----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A 求T 在V 的基11212323434,,,==-+=-+=-+βαβααβααβαα下的矩阵.解 12341234(,,,)(,,,)=P ββββαααα，其中1100011000110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭P , 所求矩阵11300240000130024-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B P AP . 4. 设12,,,n ααα是n R 的一个基．(1) 证明11212312,,,,n ++++++ααααααααα也是n R 的一个基；(2) 求由基12,,,n ααα到基11212312,,,,n ++++++ααααααααα的过渡矩阵；(3) 求向量α在基12,,,n ααα下的坐标T 12(,,,)n x x x 和在基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα下的坐标T 12(,,,)n y y y 间的变换公式.解 (1) 因为()()1121231212111011,,,,,,,001n n ⎛⎫⎪⎪++++++= ⎪⎪⎝⎭αααααααααααα，所以111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，10=≠P ，P 可逆，从而向量组1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα与向量组12,,,n ααα等价，而12,,,n ααα是n R 的一个基，所以1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα也是n R 的一个基．(2) 由基12,,,n ααα到基1α，12+αα，123++ααα，，12n +++ααα的过渡矩阵为111011001⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ． (3) 坐标变换公式为11111222211100000110001110010001100011000100001100001n n n n y x x x y x x x y x x x ---⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭P ． 5. 设12,,,n ααα是V 的一个基，且()()1212,,,,,,n n =A βββααα，证明12,,,n βββ是V的一个基的充分必要条件是矩阵A 为可逆矩阵．证明 由于12,,,n ααα线性无关，注意到()()112211221212,,,,,,n n n n n n k k kkk k k k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ββββββααα，可得12,,,n βββ是V 的一个基⇔12,,,n βββ线性无关⇔1122n n k k k +++=0βββ时，必定有120n k k k ====⇔()1212,,,0n n k kk ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ααα时，必定有120n k k k ====⇔12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 0时，必定有120n k k k ====⇔齐次线性方程组=Ax 0只有零解 ⇔0≠A ⇔A 是可逆矩阵．6. 设12,V V 是线性空间V 的两个不同的子空间，且1V V ≠，2V V ≠，证明在V 中存在向量α，使得12,V V ∉∉αα同时成立．证明 由于1V V ≠，2V V ≠，于是在V 中存在向量,αβ，使得12,V V ∉∉αβ成立． 若2V ∉α，则α即为所求． 若2V ∈α，则对任意数k ，有2k V +∉αβ．否则，由于2V ∈α和2k V +∈αβ，可得2()k k V +-=∈αβαβ，与假设矛盾．于是，取12k k ≠，则11k V +∈αβ与21k V +∈αβ不能同时成立，否则12121()()()k k k k V +-+=-∈αβαβα，有1V ∈α，矛盾．故11k V +∉αβ与21k V +∉αβ至少有一个成立，不妨设11k V +∉αβ，又12k V +∉αβ，因此1k +αβ即为所求． 7. 设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两个基，证明（1）在两组基下坐标完全相同的全体向量的集合1V 是V 的子空间； （2）设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是P ，若()R r -=E P ，则1dim V n r =-；（3）若V 中的每个向量在这两个基下的坐标完全相同，则1122,,,n n ===αβαβαβ．证明 （1）设1,V ∈αβ，即11221122n n n n x x x x x x =+++=+++ααααβββ， 11221122n n n n y y y y y y =+++=+++βαααβββ．则111222111222()()()()()()n n n n n n x y x y x y x y x y x y +=++++++=++++++αβαααβββ，1122n n k kx kx kx =+++αααα1122n n kx kx kx =+++βββ，即+αβ，k α在这两个基下的坐标也完全相同，于是1V +∈αβ，1k V ∈α，从而1V 是V 的子空间．（2）设α是1V 中任一向量，则12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，12112212(,,,)n n n n x xx x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭αββββββ1212(,,,)n n x xx ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ααα．于是，α在两个基下的坐标存在关系=x Px ，T 12(,,,)n x x x =x ，即()-=E P x 0．由于()R r -=E P ，故此齐次线性方程组的解向量的全体构成n r -维空间，从而α的全体即1V 的维数是n r -． （3）i α(1,2,,)i n =在基12,,,n ααα下的坐标为T (0,0,,0,1,0,,0)（第i 个分量为1，余皆为0），即11100100i i i i n -+=++++++αααααα， 1,2,,i n =．而由条件，i α(1,2,,)i n =在基12,,,n βββ下的坐标也是T (0,0,,0,1,0,,0)，即11100100i i i i n -+=++++++αβββββ，1,2,,i n =，从而有i i =αβ，1,2,,i n =．。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案培训资料
高等代数(北大版)第7章习题参考答案第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高代第7章习题参考答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3）在P 322 中，A(,,)(,,)x1xxxxxx；2312334）在P 3中，A(,,)(2,,)x1xxxxxxx2312231；5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；6）在P[x]中，A()(),fxfx其中0 x P是一固定的数；07）把复数域上看作复数域上的线性空间，A。
nn中，A X=BXC其中B,CP 8）在P解1)当0时,是;当0时,不是。
nn是两个固定的矩阵.2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)=A+A，A(k)A(kx1,kx2,kx3)(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1(2kx1 k x2,k x2k x,3k x)1=k A()，3故A是P上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令u(x)f(x)g(x)则A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
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第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明：ABBA=E．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取f(x)P[x]，则有=(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x))(xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)，于是ABBA=E．4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明：kkk k1,k1ABBAA．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当k2时，由于ABBA=E，可得22()()2ABBAAABBAA B BAAA，因此结论成立．假设当ks时结论成立，即ssss1ABBAA．那么，当ks1时，有s1s1(s s)()ssss(s1)sABBAAABBAA B BAAAAA，即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立．『特别提醒』由AE可知，结论对k1也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1()1()1()1V A，使得1AA(A)，即A是满射．于是A是双射．-1-『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构．6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当A1,A2,,A n线性无关．证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0，即1122nnA(kkk nn)0．1122而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于1,2,,n是线性无关的，1122nn因此k1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关．反之，若A1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据1,2,,n教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n．再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的．证法2设A在基1,2,,n下的矩阵为A，即A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A．121212由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆．因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基1,2,,n到1,2,,nA1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆．9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为aaa111213A aaa．212223aaa3132331）求A在基3,2,1下的矩阵；-2-2）求A在基1,k2,3下的矩阵，其中kP且k0；3）求A在基12,2,3下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解1）由于A3a131a232a333a333a232a131，A2a121a222a323a323a222a121，A1a111a212a313a313a212a111．故A在基3,2,1下的矩阵为aaa333231B aaa．1232221aaa1312112）由于1Aaaaaaka，1111212313111212313kAkkakakakaakka，21212223231212223231Aaaaaaka．3131232333131232333k故A在基1,k2,3下的矩阵为akaa11121311B aaa．2212223kkakaa3132333）由于从1,2,3到12,2,3的过渡矩阵为100X110，001故A在基12,2,3下的矩阵为-3-1100aaa100aaaa11121311121213B110aaa110aaaaaaaa．32122232111221222122313001aaa001aaaa31323331323233『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A是线性空间V上的线性变换，如果k01A，但k0A，求证：,A,,Ak1（k0）线性无关．证明由于k0kiik0A，故对于任意的非负整数i，都有AA(A)．当k0时，设k1xxAxA0，12n用k1A作用于上式，得k1x A0，1但k10A，因此x10．于是k1xAxA0，2n再用k2A作用上式，同样得到x．依此下去，可得20x1x2x k0．从而k1,A,,A线性无关．16．证明：1 i 12与i 2n i n相似，其中i1,i2,,i是1,2,,n的一个排列．n『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1设V是一个n维线性空间，且1,2,,n是V的一组基．另外，记1 i 12 A，iB．2n in -4-于是，在基1,2,,n下，矩阵A对应V的一个线性变换A，即12A(,,,n)(,,,n)(,,,n)A．121212n从而A，i1,2,,n．又因为iii i1,i2,,i也是V的一组基，且ni1iA(,,,)(,,,)2(,,,)．iiiiiiiii12n12n12nBin故A与B相似．证法２设1 i 12 A与iB．2n in对A交换i,j两行，再交换i,j两列，相当于对A左乘和右乘初等矩阵1P(i,j)P(i,j)和P(i,j)，而1P(i,j)AP(i,j)即为将A中的i和j交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A的主对角线上的元素1,2,,n变成i1,i2,,i，这也相当于存在一系列初等矩阵Q1,Q2,,Q s，使得n111QQQAQQQB，s2112s令QQQQ，则有12s1QAQB，即A与B相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A可逆，证明AB与BA相似．证明由于A可逆，故A 1存在．于是AABAAABABA，1()(1)-5-因此，根据相似的定义可知AB与BA相似．19．求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量．已知A在一组基下的矩阵为：1）34A；4）52563A101；5）121001A010．100解1）设A在给定基1,2下的矩阵为A．由于A的特征多项式为342EA|514(7)(2)，52故A的特征值为17，22．当17时，方程组(1EA)X0，即为4x4x0,125x5x0.12解得它的基础解系为11．从而A的属于特征值17的全部特征向量为1k1k2，其中k为任意非零常数．当22时，方程组(2EA)X0，即为5x4x0,125x4x0.12解得它的基础解系为45 ，从而A的属于特征值22的全部特征响向量为24l15l2，其中l为任意非零常数．4）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为563EA11(2)(13)(13)，121故A的特征值为12，213，313．-6-当12时,方程组(1EA)X=0，即为3x6x3x0,123x2xx0,123x2x3x0.1232求得其基础解系为1，故A的属于特征值2的全部特征向量为12k11k12其中k1为任意非零常数．当213时,方程组(2EA)X=0，即为(43)x6x3x0,123x(13)xx0,123x2x(23)x0.1233求得其基础解系为1，故A的属于特征值13的全部特征向量为2323k21k22(23)k23其中k为任意非零常数．2当313时，方程组(3EA)X=0，即为(43)x6x3x0,123x(13)xx0,123x2x(23)x0.1233求得其基础解系为1，故A的属于特征值13的全部特征向量为2333k31k32(23)k33其中k3为任意非零常数．-7-5）设A在给定基1,2,3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为012EA010(1)(1)，10故A的特征值为11（二重），21．当11时，方程组(1EA)X=0，即为0,xx130.xx1310求得其基础解系为,1，故A的属于特征值1的全部特征向量为101k11k22k13其中k1,k2为任意不全为零的常数．当21时，方程组(2EA)X=0，即为0,xx132x0,20.xx1310，故A的属于特征值1的全部特征向量为求得其基础解系为12l1l3，其中l为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设1,2是线性变换A的两个不同特征值，1,2是分别属于1,2的特征向量，证明：12不是A的特征向量；2）证明：如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换．-8-证明1）反证法．假设12是A属于特征值的特征向量，即A()()．121212而由题设可知A111,A222，且12，故A()AA．12121122比较两个等式，得到()()0．1122再根据1,2是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此120，即12．这与12矛盾．所以12不是A的特征向量．2）设1,2,,n是V的一组基，则它们也是A的n个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值1,2,,n，即A，i1,2,,n．iii根据1）即知12n．否则，若12，那么120，且不是A的特征向量，这与V中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V，都有A，即A是数乘变换．25．设V是复数域上的n维线性空间，A,B是V上的线性变换，且ABBA．证明：1）如果0是A的一个特征值，那么V是B的不变子空间；2）A,B至少有一个公共的特征向量．证明1）设V，则A0，于是，由题设知A(B)(AB)(BA)B(A)B()B，00因此B V．根据不变子空间的定义即知，0 V是B的不变子空间．02）由1）可知V是B的不变子空间，若记0 B|V B，则B0是复数域上线性空间00V的一个线性变换，它必有特征值0及非零向量V，使得BB，00即是B的特征向量，从而是A和B的公共特征向量．因此，A,B存在公共的特征向量．-9-。