第七章线性变换习题答案

第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明：

ABBA=E．

『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．

证明任取f(x)P[x]，则有

=(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x))

(xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)，

于是ABBA=E．

4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明：

kkk k1,k1ABBAA．

『解题提示』利用数学归纳法进行证明．

证明当k2时，由于ABBA=E，可得

22()()2

ABBAAABBAA B BAAA，

因此结论成立．

假设当ks时结论成立，即ssss1

ABBAA．那么，当ks1时，有

s1s1(s s)()ssss(s1)s

ABBAAABBAA B BAAAAA，

即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立．

『特别提醒』由

AE可知，结论对k1也成立．

5．证明：可逆映射是双射．

『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．

1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用

A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1()

1()1()

1V A，使得

1

AA(A)，即A是满射．于是A是双射．

-1-

『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构．

6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当

A1,A2,,A n线性无关．

证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0

，即

1122nn

A(kkk nn)0．

1122

而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于

1,2,,n是线性无关的，

1122nn

因此k

1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关．

反之，若A

1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据

1,2,,n

教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然

BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n．

再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的．

证法2设A在基

1,2,,n下的矩阵为A，即

A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A．

121212

由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆．

因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A

1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无

关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基

1,2,,n到1,2,,n

A1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换．

『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆．

9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为

aaa

111213

A aaa．

212223

aaa

313233

1）求A在基3,2,1下的矩阵；

-2-

2）求A在基1,k2,3下的矩阵，其中kP且k0；

3）求A在基12,2,3下的矩阵．

『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．

解1）由于

A3a131a232a333a333a232a131，

A2a121a222a323a323a222a121，

A1a111a212a313a313a212a111．

故A在基

3,2,1下的矩阵为

aaa

333231

B aaa．

1232221

aaa

131211

2）由于

1

Aaaaaaka，

1111212313111212313

k

Akkakakakaakka，

2121222323121222323

1

Aaaaaaka．

3131232333131232333

k

故A在基

1,k2,3下的矩阵为

akaa

111213

11

B aaa．

2212223

kk

akaa

313233

3）由于从1,2,3到12,2,3的过渡矩阵为

100

X110，

001

故A在基1

2,2,3下的矩阵为

-3-

1

100aaa100aaaa

11121311121213

B110aaa110aaaaaaaa．

32122232111221222122313

001aaa001aaaa

31323331323233

『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．

10．设A是线性空间V上的线性变换，如果k0

1

A，但

k0

A，求证：

,A,,A

k1

（k0）线性无关．

证明由于k0kiik0

A，故对于任意的非负整数i，都有AA(A)．当k0时，设

k1

xxAxA0，

12n

用

k1

A作用于上式，得

k1

x A0，

1

但k10

A，因此x10．于是

k1

xAxA0，

2n

再用

k2

A作用上式，同样得到x．依此下去，可得

20

x1x2x k0．从而

k1

,A,,A线

性无关．

16．证明：

1 i 1

2

与i 2

n i n

相似，其中i

1,i2,,i是1,2,,n的一个排列．

n

『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1设V是一个n维线性空间，且1,2,,n是V的一组基．另外，记