全等三角形压轴题分类解析
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B A O D C
E 图2
三角形全等综合题归类
一、 双等边三角形模型
1. (1)如图1,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ,连结AC 和BD ,相交于点E ,连结BC .求∠AEB 的大小; (2)如图2,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转(ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠),求∠AEB 的大小.
2、如图a ,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C ,连接AF 和BE.
(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论;
(2)将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度,得到图b ,(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由;
(3)若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c(草图即可),(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.
3. 如图1,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,,M N 分别为,EB CD 的中点
(1)△ADE 绕A 点旋转到图2的位置时,CD BE =是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由; (2)△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时,△AMN 是否还是等边三角形?若是,请给出证明,若不是,请说明理由.
4、已知,如图①所示,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B A D ,,在一条直线上,连接BE CD M N ,,,分别为BE CD ,的中点.
(1)求证:①BE CD =;②AN AM =;
(2)在图①的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接
写出(1)中的两个结论是否仍然成立.
5. 如图,四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形,连接BG 与DE 相交于点H .
(1)证明:△ABG ≌△ADE ; (2)试猜想∠BHD 的度数,并说明理由; (3)将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转(0°<∠BAE <180°),设△ABE 的面积 为1S ,△ADG 的面积为2S ,判断1S 与2S 的大小关系,并给予证明.
6.已知:如图,ABC △是等边三角形,过AB 边上的点D 作DG BC ∥,交AC 于点G ,在GD 的延长线上取
点E ,使DE DB =,连接AE CD ,. (1)求证:AGE DAC △≌△;
(2)过点E 作EF DC ∥,交BC 于点F ,请你连接AF ,并判断AEF △是怎样的三角形,试证明你的结论.
C
G
A
E
D
B
F
二、 垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1:利用垂直证明角相等
1、如图,△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .
求证:(1)AE =CD ; (2)若AC =12 cm ,求BD 的长.
2、如图(1), 已知△ABC 中, ∠BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线, 且B 、C 在A 、E 的异侧, BD ⊥AE 于D, CE ⊥AE 于E 。
C F G E
D B
A
H
C B O
D 图 A
E C E N D A B
M 图① C A E
M B D N
图②
(1)试说明: BD=DE+CE.
(2) 若直线AE 绕A 点旋转到图(2)位置时(BD
3. 直线CD 经过BCA ∠的顶点C ,CA=CB .E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠. (1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在射线CD
上,请解决下面两个问题:
①如图1,若90,90BCA α∠=∠=,则EF BE AF
-(填“>”,“<”或“=”号);
②如图2,若0180BCA <∠<,若使①中的结论仍然成立,则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系 ;
(2)如图3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系,并给予证明.
考点2:利用角相等证明垂直
1、 如图,在等腰Rt △ABC 中,∠ACB=90°,D 为BC 的
中点,DE ⊥AB ,垂足为E ,过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ,连接CF .(1)求证:CD=BF ;(2)求证:AD ⊥CF ;(3)连接AF ,试判断△ACF 的形状. 2、如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE . 3. 如图1,已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上,连接AE ,GC .(1)试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系,并证明你的结论;
(2)将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转,使E 点落在BC 边上,如图2,连接AE
和GC .你认为(1)中的结论是否还成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
4.如图1,ABC ∆的边BC 在直线l 上,,AC BC ⊥且,AC BC =EFP ∆的边FP 也在直线l 上,边EF 与边AC 重合,且EF FP =
(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系;
(2)将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时,EP 交AC 于点Q ,连接,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满
足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时,EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
三、 等腰三角形(中考重难点之一)
考点1:等腰三角形性质的应用
1. 如图,ABC ∆中,AB AC =,90BAC ∠=︒,D 是BC 中
点,ED FD ⊥,ED 与AB 交于E ,FD 与AC 交于F .求
证:BE AF =,AE CF =.
2. 两个全等的含30,60角的三角板ADE 和三角板ABC ,如图所示放置,,,E A C
三点在一条直线上,连结BD ,取BD 的中点M ,连结,ME MC .试判断EMC ∆的形状,并说明理由.
3、已知Rt ABC ∆中,AC BC =,90C ∠=︒,D 为AB 边的中点,90EDF ∠=︒,EDF ∠绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、F .当EDF ∠绕
A B
C E F
D D A B C
E F A D F C E B 图1 图2 图3 l (1) A B (F) (E)
C P A
B
E
C F P
Q
(2)
l
A
B
E
C F
P l
(3
Q
A B C
D
E
F
图9 A
B
C
D
E
F
M
E
D C
B
A