全等三角形压轴题分类解析

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七年级下三角形综合题归类

考点2：利用角相等证明垂直

1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系

Q A

F

D E

P

B C

2.如图，在等腰△R t ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.

拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交

AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

C

F D

A

图9

E

B

3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.

（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

4.如图1，∆ABC的边BC在直线

l上，AC⊥BC,且AC=BC,∆EFP的边FP也

在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的

(1)

（ 2

数量关系和位置关系；

A

（2） 将 ∆EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

E F

（3）将 ∆EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长

B

D C

线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成

立，给出证明；若不成立，请说明理由.

E

A

A (E) E

A

Q

F P

B C

l

B

C (F)

三、 等腰三角形（中考重难点之一）

P

l

B F

(2)

C P

l

(3)

Q

考点 1：等腰三角形性质的应用

1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连结 BD ，

取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ∆EMC 的形状，并说明理由．

M

B

D

E

A

C

压轴题拓展： 三线合一性质的应用）已知 Rt ∆ABC 中， AC = BC ，∠C = 90︒ ， D 为 AB 边的中点，∠EDF = 90︒ ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F ．

当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S ∆DEF + S 1

∆CEF = S ∆ABC ．当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC

不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S ∆DEF

，S

∆CEF

，S ∆ABC

又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

A

A

A

D

E

D

D

E

C

F 图1

B C

图2 C

F B E

图3

B F

2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于 D ，BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ，H

是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G 。(1) BF =AC (2) CE = 1 2

BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。

考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）

1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边

经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM

的平分线 BF 相交于点 F .

⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：

① 通过测量 DE ，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ；

同类变式： 已知：△ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点图直角三角尺的一条 图 ② 连接点 E 与 AD 边的中点 N ，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ；

③ 请证明你的上述两猜想.

⑵ 如图 14―2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，

请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF ，进而猜想此

时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明

2. 在 △Rt ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是 AC 的中点，DG ⊥AC 交 AB 于点 G.

（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF 与 CF ，过点 F 作 FH ⊥FC ，交直线 AB 于点 H ．①求证：DG=DC

②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明．

（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在

你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（直接写出结论，不必证明）

B B

H A

G F D

E C A

G

D C E

，

A

直角边经过点 A ，且 60º 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B 、C 重合），斜边与

∠ACM 的平分线 CF 交于点 F

F

（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时

B

E 图（2）

C

M

○

1 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 .

○

2 连结点 E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .

A

○

3 请证明你的上述猜想；

（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和 EF 有怎样的数量关系， N

F

并说明你的理由？

B

图（1）

C M

附加思考题： 以 ∆ABC 的两边 AB 、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ∆ABD 和等腰 Rt ∆ACE ，∠BAD = ∠CAE = 90︒ . 连接 DE ， M 、 N 分别是 BC 、 DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．

⑴如图① 当 ∆ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ；线段 AM 与 DE 的数量关系是

； ⑵将图①中的等腰 Rt ∆ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转θ ︒ ( 0 < θ < 90 )后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是 否发生改变？并说明理由．

D

N

D

N E

A

E

A

B

M 图①

C B M

图②

C