2019中考数学专题汇编全集二次函数与特殊三角形判定

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中考数学考点系统复习第三章函数第九节二次函数与几何综合题类型三：二次函数与特殊三角形问题

求点的坐标： 1．分别表示出点 A，B，P 的坐标，再表示出线段 AB，BP，AP 的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP 分别列方程求解即可． 2．作等腰三角形底边上的高，用勾股定理或相似建立等量关系． 3．以 AB 为底边时，可用解析法，先求中垂线的解析式，再联立方程组求交点．
此时点 C 的坐标为21，1＋32
5
或2 1，13－2
5
.
综上可知，当△ABC 是直角三角形时，点 C 的坐标共有 4 个为((1 1，，33))，
((1，1，－－2)
2)，21，1＋23
5
或21，1－23
5
.
问题：已知线段 AB 和直线 l，在 l 上求点 P，使△PAB 为直角三角形．
【分层分析】点 P 在线段 BC 的中垂线与抛物线的交点处．求中垂线的解析式，联立方程组求解．
解：存在．由题意得 B(3，0)，C(0，－3)，由点 B，C 的坐标求得直线
BC 的解析式为 y＝x－3，线段 BC 的中点为32，－32，设线段 BC 的中垂线的解析式为 y＝－x＋b，代入23，－32，得 b＝0. ∴线段 BC 的中垂线的解析式为 y＝－x，
【分层分析】利用两圆一中垂的方法在直线 l上找出点 P，共有 5 个，并注意检验点 P 是否满足条件，当点 P，A，C 共线时，不符合题意．
解：存在．设 P(1，p)，AC2＝10， PA2＝(1＋1)2＋(p－0)2＝p2＋4， PC2＝(1－0)2＋(p＋3)2＝p2＋6p＋10. 分三种情况讨论： ①当 PA＝PC 时，p2＋4＝p2＋6p＋10，解得 p＝－1，∴P1(1，－1)； ②当 AC＝PC 时，p2＋6p＋10＝10，解得 p1＝0，p2＝－6，当 p＝－6 时，显然 A，C，P 三点在一条直线上不能构成三角形，舍去， ∴P2(1，0)；

2019年中考数学专题汇编二次函数-综合题含知识点汇总(word版有答案解析)

二次函数知识点汇总含二次函数-综合题一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，，，是常数，0叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

中考体系-107.二次函数与特殊三角形-2(最全,含答案)

二次函数与特殊三角形-2一、二次函数与等腰三角形1、指定一边做底或腰2、需要讨论二、二次函数与等边三角形三、二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形2、在特殊条件下存在点问题3、需要对直角讨论的类型四、二次函数与等腰直角三角形三、二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形1. 【易】（直角三角形）（顺义二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y x m x m=-++（m 是常数）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），且A 、B两点在原点两侧．⑴ 求A 、B 两点的坐标（可用含m 的代数式表示）； ⑵ 若6ABC S ∆=，求抛物线的解析式；⑶ 设抛物线的顶点为D ，在⑵的条件下，试判断ACD △的形状，并求tan ACB ∠的值．【答案】解：⑴令0y = ，则 2(1)0x m x m -++=∴ 1x m = ， 21x =∵ 点A 在点B 左侧，且A 、B 两点在原点两侧．∴ ()0A m ，，()10B ，⑵ 抛物线与y 轴交于点()0C m ， ∵A 、B 两点在原点两侧 ∴ 0m <∴11AB m m =-=-，OC m m ==- ， ∵6ABC S ∆= ∴1(1)()62m m --= ∴3m =- ， 4m =(舍去)∴抛物线的解析式为 223y x x =+- ⑶ 抛物线的顶点()14D --，AD = ， AC =，DC = ∴ 222AD AC CD =+∴ ACD △是直角三角形过点B 作BE AC ⊥于点E ， ∵OA OC =∴45OAC OCA ∠=∠=︒ ∵4AB =∴AE BE ==，EC AC AE =-=∴tan 2BE ACB EC ∠==2. 【中】（直角三角形）（包头市中考题）已知抛物线k kx kx y 322-+=交x 轴于A 、B 两点，（A 在B 的左边），交y 轴于C 点，且y 有最大值4.⑴求抛物线的解析式；⑵在抛物线上是否存在点P ，使PBC ∆是直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由.【答案】⑴223y x x =--+⑵由223y x x =--+可得(30)(10)(03)()A B C P a b -，，，，，，设点，. ①如图，当PC BC PM y ⊥⊥时，作轴，垂足为M 点，因为△PMC ∽△COB ，所以33931PM MC a b a b CO OB --===-，即，所以.（例2）因为()P a b ，在222323y x x b a a =--+=--+上，所以，解方程组1222173903203239a a b a b b a a b ⎧=-⎪=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨==--+⎩⎩⎪=⎪⎩得，，（舍去）. 所以72039P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.②当PB BC ⊥时，作PN x ⊥轴，垂足为N 点，因为△PNB ∽△BOC ，所以13113PN NB b a a b BO OC --+===+，即，所以. 因为22()2323P a b y x x b a a =--+=--+，在上，所以，解方程组12221103113130239a a b a b b a a b ⎧=-⎪=+=⎧⎧⎪⎨⎨⎨==--+⎩⎩⎪=-⎪⎩得，，（舍去）. 所以101339P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.综上所述，抛物线存在点P ，使得△PBC 为直角三角形，此时720 39P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或101339P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.3. 【中】（直角三角形）（常德市初中毕业学业考试）已知二次函数过点()02A -，，()10B -，，5948C ⎛⎫⎪⎝⎭，．⑴ 求此二次函数的解析式；⑵ 判断点112M ⎛⎫⎪⎝⎭，是否在直线AC 上？⑶ 过点112M ⎛⎫⎪⎝⎭，作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明BEF △是直角三角形．【答案】⑴ 设二次函数的解析式为()20y ax bx c a =++≠把()02A -，，()10B -，，5948C ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得2092558164c a b ca b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩，解得2a =，0b =，2c =-， ∴222y x =-⑵ 设直线AC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()02A -，，5948C ⎛⎫⎪⎝⎭，代入得29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得52k =，2b =-， ∴522y x =- 当1x =时，511222y =⨯-=∴112M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线AC 上．⑶ 设E 点坐标为1322⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则直线EM 的解析为4536y x =-由2453622y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩化简得2472036x x --=，即172023x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴F 点的坐标为713618⎛⎫⎪⎝⎭，．过E 点作EH x ⊥轴于H ，则H 的坐标为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴32EH =，12BH =∴2223110224BE ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类似地可得22213131690845186324162BF ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222401025001250186324162EF ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2221084512504162162BE BF EF +=+==， ∴BEF △是直角三角形．4. 【中】（直角三角形）（鞍山市2013年毕业考试数学试卷）如图，已知一次函数122y x =+的图象与x 轴交于点A ，与二次函数2y ax bx c =++的图象交于y 轴上的一点B ，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有唯一的交点C ，且2OC =． ⑴ 求二次函数2y ax bx c =++的解析式；⑵ 设一次函数122y x =+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象的另一交点为D ，已知P 为x 轴上的一个动点，且PBD △为直角三角形，求点P 的坐标．x图1图2【答案】解：⑴ ∵122y x =+交x 轴于点A ， ∴4x =-，与y 轴交于点B ， ∵0x =， ∴2y =∴B 点坐标为：()02，， ∴()40A -，，()02B ，， ∵二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有唯一的交点C ，且2OC = ∴可设二次函数()22y a x =-，把()02B ，代入得：12a = ∴二次函数的解析式：21222y x x =-+； ⑵ （Ⅰ）当B 为直角顶点时，过B 作1BP AD ⊥交x 轴于1P 点由1Rt Rt AOB BOP △∽△∴1AO BO BO PO =，∴1422OP =，得：11OP =，∴()110P ，，（Ⅱ）当D 为直角顶点时，作2P D BD ⊥，连接2BP ，将0.52y x =+与20.522y x x =-+联立求出两函数交点坐标：D 点坐标为：()5 4.5，，则AD ，当D 为直角顶点时∵2DAP BAO =∠∠，2BOA ADP =∠∠， ∴2ABO AP D △∽△，∴2AB AOAP AD=2，解得：211.25AP =，则211.2547.25OP =-=，故2P 点坐标为()7.250，；（Ⅲ）当P 为直角顶点时，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，设()30P a ，则由33Rt OBP EP D △∽△ 得：33OP OB DE P E =，∴24.55a a =-， ∵方程无解，∴点3P 不存在，∴点P 的坐标为：()110P ，和()27.250P ，.5. 【难】（直角三角形）（2012年海南省中考题）如图，顶点为），（44-P 的二次函数图象经过原点（0，0），点A 在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于P 对称，连接AN 、ON .⑴求该二次函数的关系式. ⑵若点A 的坐标是（6，-3），求ANO ∆的面积；⑶当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，请解答以下问题： ①证明：ONM ANM ∠=∠；②ANO ∆能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标；如果不能，请说明理由.图②图①（第3题）【答案】⑴21(4)44y x =--⑵12ANO S =△.⑶①如图①，当点A x 在轴下方时，过点A AC x ⊥作轴于点C AD PE D ⊥，于点. 设 4EC a AD a OC a ===+，则，， ∴点21444A a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，，∴2144AC a =-.∴ME OEAC OC=，∴241444ME a a =+-. ∴4ME a =-，∴4PM PN a NE a ===+，.∵22114(4)44DM AC ME a a a a ⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭，∴22112244DN a DM a a a a a ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭.∴2441444AD a OE DNa NE a a a ===+++，，∴AD OEDN NE=. ∵90ADN OEN ∠=∠=︒，∴△ANM ∽△ONM . ∴ANM ONM ∠=∠.如图②，当点A 位于x 轴上方时，设21(4)4 4A c c ANM ONM ⎛⎫--∠=∠ ⎪⎝⎭，，同理可证. ②当90ONA ∠=︒时，此时点P A 与点重合，不合题意. 当90OAN ∠=︒时，如图①，则△AMD ∽△NAD . ∴DM AD AD DN=，∴2 AD MD DN =. ∴2221144a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.解得0a =，此时点A P 与点重合，不合题意.当90NOA ∠=︒时，如图②，∵ONM ANM ∠=∠， ∴设8FC a OC a ==+，则. ∴218(4)44A a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，，∴21(4)44AC a =+-.∵244188(4)44ME ME AC a a a ==+++-，，∵ME a =.则4PM PN a ==+，∴8NE a =+.∵90AON ∠=︒，OE MN ⊥，∴△MOE ∽△ONE ， ∴OE EN ME OE =，∴484aa +=，解得1244a a =-+=--（舍去），∴2184(4)444a a +=++-=，.()4,4A ∴+6. 【难】（三角函数+直角三角形）（2012年海南中考）如图，顶点为()44P -，的二次函数图象经过原点()00，，点A 在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M 、N 关于点P 对称，连接AN 、ON ．⑴ 求该二次函数的关系式．⑵ 若点A 的坐标是()63-，，求ANO △的面积．⑶ 当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①证明：ANM ONM ∠=∠②ANO △能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】⑴ ∵二次函数图象的顶点为()44P -，，∴设二次函数的关系式为()244y a x =--．又∵二次函数图象经过原点()00，， ∴()20044a =--，解得14a =． ∴二次函数的关系式为()21444y x =--，即2124y x x =-． ⑵ 设直线OA 的解析式为y kx =，将()63A -，代入得36k -=，解得12k =-．∴直线OA 的解析式为12y x =-．把4x =代入12y x =-得2y =-．∴()42M -，．又∵点M 、N 关于点P 对称， ∴()46N -，，4MN =．∴164122ANO S ∆=⋅⋅=． ⑶ ①证明：过点A 作AH l ⊥于点H ，，l 与x 轴交于点D ．则设2000124A x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则直线OA 的解析式为20000121424x x y x x x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则()048M x -，，()04N x -，，2001424H x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，．∴4OD =，0ND x =，04HA x =-，20014NH x x =-．∴04tan OD ONM ND x ∠==， ()()()000220000000444444tan 146444x x x HA ANM NH x x x x x x x ---∠=====-+--．∴tan tan ONM ANM ∠=∠． ∴ANM ONM ∠=∠．②不能．理由如下：分三种情况讨论：情况1，若ONA ∠是直角，由①，得45ANM ONM ∠=∠=︒， ∴AHN △是等腰直角三角形． ∴HA NH =，即2000144x x x -=-．整理，得2008160x x -+=，解得04x =．∴此时，点A 与点P 重合．故此时不存在点A ，使ONA ∠是直角．情况2，若AON ∠是直角，则222 O A ON AN +=． ∵222222200001244OA x x x ON x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，，()222200001424AN x x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，∴()222222220000000011244244x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．整理，得320008160x x x -+=，解得00x =，04x =． ∴此时，故点A 与原点或与点P 重合．故此时不存在点A ，使AON ∠是直角．情况3，若NAO ∠是直角，则AMN DMO DON △∽△∽△， ∴MD ODOD ND=． ∵4OD =，08MD x =-，0ND x =， ∴00844x x -=．整理，得2008160x x -+=，解得04x =． ∴此时，点A 与点P 重合．故此时不存在点A ，使ONA ∠是直角．综上所述，当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动时，ANO △不能成为直角三角形．2、在特殊条件下存在点问题7. 【易】（全等+直角三角形）（2011年西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为()10-，．如图所示，B 点在抛物线211222y x x =+-图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-．⑴ 求证：BDC COA △≌△；⑵ 求BC 所在直线的函数关系式；⑶ 抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．x【答案】⑴ 证明：∵90BCD ACO ∠+∠=︒，90ACO OAC ∠+∠=︒，∴BCD OAD ∠=∠．∵ABC △为等腰直角三角形， ∴BC AC =．在BDC △和COA △中，90BDC COA BCD OAC BC AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，BDC COA △≌△（AAS ）．⑵ 解：∵C 点坐标为()10-，． ∴1BD CO ==．∵B 点的横坐标为3-，∴B 点坐标为()31-，．设BC 所在直线的函数关系式为y kx b =+， ∴031k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴BC 所在直线的函数关系式为1122y x =--．⑶ 存在∵二次函数解析式为：211222y x x =+-， ∴22111117222228y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．∴对称轴为直线12x =-．若以AC 为直角边，点C 为直角顶点，对称轴上有一点1P ，使1CP AC ⊥， ∵BC AC ⊥，∴点1P 为直线BC 与对称轴直线12x =-的交点．由题意可得： 112212y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解得：111214x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴11124P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．若以AC 为直角边，点A 为直角顶点，对称轴上有一点2P ，使2AP AC ⊥，则过点A 作2AP BC ∥，交对称轴直线12x =-于点2P ．∵CD OA =，∴()02A ，．由题意得直线2AP 的解析式为122y x =-+，12212y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 解得：111294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴21924P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴P 点坐标分别为11124P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，、21924P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．x8. 【易】（线段最值+直角三角形）已知矩形纸片OABC 的长为4，宽为3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（与点O A 、不重合），现将POC △沿PC 翻折得到PEC △，再在AB 边上选取适当的点D ，将PAD △沿PD 翻折，得到PFD △，使得直线PE PF 、重合．⑴ 若点E 落在BC 边上，如图①，求点P C D 、、的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；⑵ 若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP x AD y ==，，当x 为何值时，y取得最大值？⑶ 在⑴的情况下，过点P C D 、、三点的抛物线上是否存在点Q ，使PDQ △是以PD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．图②【答案】解：⑴ 由题意知，POC △、PAD △均为等腰直角三角形，可得()30P ，、()03C ，、()41D ，设过此三点的抛物线为()20y ax bx c a =++≠，则39301641c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴过P 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式为215322y x x =-+ ⑵ 由已知PC 平分OPE ∠，PD 平分APF ∠，且PE 、PF 重合，则90CPD ∠=︒∴90OPC APD ∠+∠=︒，又90APD ADP ∠+∠=︒ ∴OPC ADP ∠=∠．∴Rt Rt POC DAP △∽△．∴OP OCAD AP =，即34x y x =- ∵()()()2211414420433333y x x x x x x =-=-+=--+<<∴当2x =时，y 有最大值43． ⑶ 假设存在，分两种情况讨论： ①当90DPQ ∠≠︒时，由题意可知90DPC ∠=︒，且点C 在抛物线上，故点C 与点Q 重合，所求的点Q 为()03，②当90DPQ ∠=︒时，过点D 作平行于PC 的直线DQ ，假设直线DQ 交抛物线于另一点Q ，∵点()30P ，、()03C ，， ∴直线PC 的方程为3y x =-+，将直线PC 向上平移2个单位与直线DQ 重合，∴直线DQ 的方程为5y x =-+ 由2515322y x y x x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 得16x y =-⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩ 又点()41D ，， ∴()16Q -，故该抛物线上存在两点()03Q ，、()16-，满足条件．9. 【易】（线段最值+直角三角形）（2010广安）如图，直线1y x =--与抛物线24y ax bx =+-都经过点()10A -，、()34C -，．⑴求抛物线的解析式；⑵动点P 在线段AC 上，过点P 作x 轴的垂线与抛物线相交于点E ，求线段PE 长度的最大值；⑶当线段PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q ，使PCQ △是以PC 为直角边的直角三角形?若存在，请求出Q 点的坐标；若不存在．请说明理由．【答案】⑴ 由题知409344a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1a =，3b =-，∴抛物线解析式为234y x x =--⑵ 设点P 坐标()1m m --，，则E 点坐标()234m m m --，，()13m -≤≤ ∴线段PE 的长度为：()()2221342314m m m m m m -----=-++=--+∴由二次函数性质知当1m =时，函数有最大值4，所以线段PE 长度的最大值为4．⑶ 由⑵知()12P -，①过P 作PC 的垂线与x 轴交于F ，与抛物线交于Q ，设AC 与y 轴交于G ，则()01G -，，1OG =，又可知()10A -，，则1OA =， ∴OAG △是等腰直角三角形， ∴45OAG ∠=︒∴PAF △是等腰直角三角形，由对称性知()30F ，设直线PF 的解析式为11y k x b =+()10k ≠，则 1111302k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解之得11k =，13b =-， ∴直线PF 为3y x =- 由2334y x y x x =-⎧⎨=--⎩解得1121x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2221x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴()121Q +，()221Q - ②过点C 作PC 的垂线与x 轴交于H ，与抛物线交点为Q ，由45HAC ∠=︒，知ACH △是等腰直角三角形，由对称性知H 坐标为()70，，设直线CH 的解析式为22y k x b =+()20k ≠，则 22227034k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解之得21k =，27b =-， ∴直线CH 的解析式为7y x =- 解方程组2734y x y x x =-⎧⎨=--⎩得3316x y =⎧⎨=-⎩，4434x y =⎧⎨=-⎩当()34Q -，时，Q 与C 重合，PQC △不存在，所以Q 点坐标为()16-，综上所述在抛物线上存在点()12551Q +-，，()22551Q ---，、()316Q -，使得PCQ △是以PC 为直角边的直角三角形．A OG PF BHE C(Q )xyQ 1Q 210. 【易】（面积+面积最值+直角三角形）（甘肃定西中考）如图，抛物线22y x x k =-+与x轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点()03C -，．［图⑵、图⑶为解答备用图］ ⑴ k =____________，点A 的坐标为____________，点B 的坐标为____________； ⑵ 设抛物线223y x x =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；⑶ 在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；⑷ 在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使BCQ △是以BC 为直角边的直角三角形．图⑴图⑵ 图⑶【答案】⑴3=-k ，()10A -，， ()30B ，．⑵如图⑴，抛物线的顶点为()14M -，，连结OM ．则 AOC △的面积32=，MOC △的面积32=， MOB △的面积6=， ∴ 四边形ABMC 的面积AOC =△的面积MOC +△的面积MOB +△的面积9=．(1)⑶如图⑵，设()223D m m m --，，连结OD ．则 03m <<，2230m m --<．且 AOC △的面积32=，DOC △的面积32m =， DOB △的面积()23232m m =---， ∴ 四边形ABDC 的面积AOC =△的面积DOC +△的面积DOB +△的面积 239622m m =-++ 23375228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． ∴ 存在点31524D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使四边形ABDC 的面积最大为758．(2)⑷有两种情况：(3)(4)如图⑶，过点B 作1BQ BC ⊥，交抛物线于点1Q 、交y 轴于点E ，连接1Q C ． ∵ 45CBO =︒∠，∴45EBO =︒∠，3BO OE ==．∴ 点E 的坐标为()03，． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩，解得1125x y =-⎧⎨=⎩，；2230.x y =⎧⎨=⎩， ∴ 点1Q 的坐标为()25-，．如图⑷，过点C 作CF CB ⊥，交抛物线于点2Q 、交x 轴于点F ，连接2BQ ． ∵ 45CBO =︒∠，∴45CFB =︒∠，3OF OC ==．∴ 点F 的坐标为()30-，． ∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得3303x y =⎧⎨=-⎩，4414x y =⎧⎨=-⎩ ∴点2Q 的坐标为()14-，．综上，在抛物线上存在点()125Q -，、()214Q -，，使1BCQ △、2BCQ △是以BC 为直角边的直角三角形．11. 【中】（等腰直角三角形+直角三角形）(2011年绵阳)已知抛物线221y x x m =-+-与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点，如图，设它的顶点为B⑴ 求m 的值；⑵ 过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证：ABC △是等腰直角三角形； ⑶ 将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C ′，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，如图.请在抛物线C ′上求点P ，使得EFP △是以EF 为直角边的直角三角形.【答案】⑴ ∵抛物线221y x x m =-+-与x 轴只有一个交点，∴()()224110m =--⨯⨯-=△，解得2m =⑵ 由⑴知抛物线的解析式为221y x x =-+，易得顶点()10B ，，当0x =时，1y =，得()01A ，. 由2121x x =-+解得0x =（舍），或2x =，所以()21C ，. 过C 作x 轴的垂线，垂足为D ，则1CD =，1D B BD x x =-=. ∴在Rt CDB △中，45CBD =︒∠，BC .同理，在Rt AOB △中，1AO OB ==，于是45ABO =︒∠，AB =∴18090ABC CBD ABO ∠=︒-∠-∠=︒，AB BC =，因此ABC △是等腰直角三角形．⑶ 由题知，抛物线C ′的解析式为223y x x =--，当0x =时，3y =-；当0y =时，1x =-，或3x =，∴()10E -，，()03F -，，即1OE =，3OF =. ①若以E 点为直角顶点，设此时满足条件的点为()111P x y ，，作1PM x ⊥轴于M .∵190PEM OEF EFO OEF +=+=︒∠∠∠∠， ∴1PEM EFO =∠∠，得1Rt Rt EFO PEM △∽△，于是113PM OE EM OF ==，即13EM PM =.∵11EM x =+，11PM y =，∴1113x y +=. （*）由于()111P x y ，在抛物线C ′上，有()21113231x x x --=+，整理得21137100x x --=，解得11x =-（舍），或1103x =. 把1103x =代入（*）中可解得1139y =.∴1101339P ⎛⎫⎪⎝⎭，. ②若以F 点为直角顶点，设此时满足条件的点为()222P x y ，，作2P N ⊥与y 轴于N .同①，易知2Rt Rt EFO FP N △∽△，得213FN OE P N OF ==，即23P N FN =. ∵22P N x =，23FN y =+，∴()2233x y =+. （**）由于()222P x y ，在抛物线C ′上，有()22223323x x x =+--，整理得222370x x -=，解得20x =（舍），或273x =. 把273x =代入（**）中可解得2209y =-.∴272039P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上所述，满足条件的P 点的坐标为101339⎛⎫ ⎪⎝⎭，或72039⎛⎫- ⎪⎝⎭，.12. 【中】（直角三角形+平移）（成都市中考）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()210y a x c a =++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，其顶点为M ,若直线MC 的函数表达式为3y kx =-,与x 轴的交点为N，且cos BCO ∠ ⑴ 求此抛物线的函数表达式；⑵ 在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由； ⑶ 过点A 作x 轴的垂线，交直线MC 于点Q .若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?【答案】解：⑴ ∵直线MC 的函数表达式为3y kx =-，∴点()03C -，.∵||cos ||OC BCO BC ===∠， ∴可设()||30OC t t =>，||BC =. 则由勾股定理，得||OB t =.而||33OC t ==，∴1t =.∴||1OB =.∴点()10B ，. ∵点()10B ，、()03C -，在抛物线上， ∴403.a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得14.a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的函数表达式为()221423y x x x =+-=+-.⑵ 假设在抛物线上存在异于点C 的点P ，使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形. ①若PN 为另一条直角边.∵点()14M --，在直线MC 上，∴43k -=--，即1k =. ∴直线MC 的函数表达式为3y x =-.易得直线MC 与x 轴的交点N 的坐标为()30N ，. ∵||||ON OD =，∴45DNO =︒∠，∴90PNC =︒∠.设直线ND 的函数表达式为y mx n =+. 由303m n n +=⎧⎨=⎩，13.m n =-⎧⇒⎨=⎩，∴直线ND 的函数表达式为3y x =-+.设点()3P x x -+，，代入抛物线的函数表达式，得 2323x x x -+=+-，即2360x x +-=.解得1x ，2x =.∴1y ，2y =.∴满足条件的点为1P ⎝⎭、2P ⎝⎭. ②若PC 是另一条直角边.∵点A 是抛物线与x 轴的另一交点，∴点A 的坐标为()30-，. 连接AC .∵||||OA OC =，∴45OCA =︒∠，又45OCN =︒∠，∴90ACN =︒∠.∴点A 就是所求的点()330P -，. [或：求出直线AC 的函数表达式为3y x =--.设点()3P x x --，，代入抛物线的函数表达式，得2323x x x --=+-，即230x x +=.解得1230x x =-=，.∴ 1203y y ==-，.∴点()230P -，，()403P -，（舍去）.] 综上可知，在抛物线上存在满足条件的点，有3个，分别为：1P ⎝⎭、2P ⎝⎭、()330P -，. ⑶ ①若抛物线沿其对称轴向上平移，设向上平移()0b b >个单位.可设函数表达式为223y x x b =+-+.由2233y x x b y x ⎧=+-+⎨=-⎩，消去y ，得20x x b ++=. ∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须140b =-Δ≥，即14b ≤.∴104b <≤.∴若抛物线向上平移，最多可平移14个单位长度. ②若抛物线沿其对称轴向下平移，设向下平移()0b b >个单位. 可设函数表达式为223y x x b =+--.∵当3x =-时，y b =-；当3x =时，12y b =-.易求得()36Q --，，又()30N ，. ∴要使抛物线与线段NQ 总有交点，必须6b --≥或12b -≥0，即6b ≤或612≤.∴012b <≤.∴若抛物线向下平移，最多可平移12个单位长度.[或：若抛物线沿其对称轴向下平移，设平移()0b b >个单位. 则2123y x x b =+--，23y x =-在33x -≤≤总有交点.即22122330y y x x b x x x b -=+---+=+-=在33x -≤≤总有实数根. 令221124y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭.在33x -≤≤时，1124y -≤≤.∴要使20x x b +-=在33x -≤≤有解，b 必须满足1124b -≤≤.∴012b <≤，即b 的最大值为12.∴向下最多可平移12个单位长度.]综上可知，若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ 总有公共点，则向上最多可平移14个单位长度，向下最多可平移12个单位长度.13. 【易】（直角三角形）（2012杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数()21y k x x =+-的图象交于点()1A k ，和点()1B k --，． ⑴当2k =-时，求反比例函数的解析式；⑵要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；⑶设二次函数的图象的顶点为Q ，当ABQ △是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．【答案】解：⑴当2k =-时，()12A -，，∵A 在反比例函数图象上， ∴设反比例函数的解析式为：my x=()0m ≠，代入()12A -，得：21m-=，解得：2m =-，∴反比例函数的解析式为：2y x=-，⑵∵要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，∴0k <，∵二次函数()2215124y k x x k x k ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭的对称轴为：直线12x =-，要使二次函数()21y k x x =+-满足上述条件，在0k <的情况下，x 必须在对称轴的左边，即12x <-时，才能使得y 随着x 的增大而增大，∴综上所述，0k <且12x <-；⑶由⑵可得：1524Q k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∵ABQ △是以AB 为斜边的直角三角形，A 点与B 点关于原点对称，（如图是其中的一种情况） ∴原点O 平分AB ， ∴OQ OA OB ==，作AD x ⊥轴，QC x ⊥轴，垂足为D 、C ，∴OQ ==，∵OA解得：k =14. 【中】（面积+直角三角形）（2010郴州）如图⑴，抛物线24y x x =+-与y 轴交于点A ，()0E b ，为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .⑴求点A 的坐标；⑵当0b =时（如图⑵），ABE △与ACE △的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？⑶是否存在这样的b ，使得BOC △是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.(1)(2)【答案】⑴将0x =，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为()04-，⑵当0b =时，直线为y x =，由24y xy x x =⎧⎨=+-⎩解得1122x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=-⎩ 所以B 、C 的坐标分别为()22--，，()22， 14242ABE S =⨯⨯=△，14242ACE S =⨯⨯=△所以ABE ACE S S =△△（利用同底等高说明面积相等亦可）当4b >-时，仍有ABE ACE S S =△△成立. 理由如下由24y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以B 、C的坐标分别为()b，)b ，作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G，则BF CG == 而ABE △和ACE △是同底的两个三角形，所以ABE ACE S S =△△.⑶存在这样的b .因为BF CG =，BEF CEG =∠∠，90BFE CGE ==︒∠∠ 所以BEF CEG △≌△，所以BE CE =，即E 为BC 的中点所以当OE CE =时，OBC △为直角三角形，因为GE b b GC -所以CE =||OE b =||b =，解得14b =，22b =-，所以当4b =或2-时，OBC △为直角三角形.2、需要对直角讨论的类型15. 【易】（直角三角形）（宁夏回族自治区中考）如图，抛物线21222y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点． ⑴求A 、B 、C 三点的坐标； ⑵证明ABC △为直角三角形；⑶在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使ABP △是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】⑴∵抛物线21222y x =-++与x 轴交于A 、B 两点，∴21202x -+=.即240x -=．解之得：1x =2x =．∴点A 、B的坐标为()0A、()0B ．将0x =代入2122y x =-++，得C 点的坐标为()02，⑵∵AC，BC =AB = ∴222AB AC BC =+，则90ACB =︒∠，∴ABC △是直角三角形． ⑶将2y =代入2122y x =-+得212222x x -++=，∴10x =，2x = ∴P点坐标为)2．16. 【易】（三角函数+直角三角形）（2011年沈阳）如图1，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点()03C -，，对称轴是直线1x =，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．⑴求抛物线的函数表达式； ⑵求直线BC 的函数表达式；⑶点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限． ①当线段34PQ AB =时，求tan CED ∠的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．x =1图1【答案】⑴设抛物线的函数表达式为()21y x n =-+，代入点()03C -，，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为()221423y x x x =--=--．⑵由()()22313y x x x x =--=+-，知()10A -，，()30B ，．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+()0k ≠，代入点()30B ，和点()03C -，，得303.k b b +=⎧⎨=-⎩，解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-． ⑶①因为4AB =，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线1x =对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为1724⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，点F 的坐标为704⎛⎫- ⎪⎝⎭，．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，．直线3BC y x =-∶与抛物线的对称轴1x =的交点D 的坐标为()12-，．过点D 作DH y ⊥轴，垂足为H ．在Rt EDH △中，1DH =，13222EH OH OE =-=-=，所以2tan 3DH CED EH ==∠．②()112P -，2512P ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭．图2 图3 图417. 【中】（面积+直角三角形）（2012届九年级第一模拟试题）如图，矩形A BC O ′′′是矩形OABC (边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的．O ′点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为()13，．如果二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过O 、O ′两点且图象顶点M 的纵坐标为1-．⑴求这个二次函数的解析式；⑵在⑴中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM△为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和POM△的面积；若不存在，请说明理由；MA'O'C'ABCOyx【答案】解：⑴22y x x=-⑵满足条件的点有()20P，或()33P，，13POMS=△或18.【中】（面积+直角三角形）（2013年兰州市初中毕业生数学学业考试）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分1C与经过点A、D、B的抛物线的一部分2C组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为32⎛⎫-⎪⎝⎭，，点M是抛物线2C：223y mx mx m=--（0m<）的顶点．⑴求A、B两点的坐标；⑵“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC△的面积最大？若存在，求出PBC△面积的最大值；若不存在，请说明理由；⑶当BDM△为直角三角形时，求m的值．【答案】⑴解：令0y=，则2230mx mx m--=∵0m<，∴2230x x--=解得：11x=-，23x=∴()10A -，、()30B ， ⑵存在．∵设抛物线1C 的表达式为1(3)y a x x =+-（）（0a ≠），把302C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入可得12a =∴1C ：21322y x x =-- 设21322P n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴23327–4216PBC POC BOP BOC S S S S n ⎛⎫=+=--+ ⎪⎝⎭△△△△∵304a =-<，∴当32n =时，PBC S △最大值为2716． ⑶ 由2C 可知：()30B ，，()03D m -，，()14M m -，2299BD m =+，22164BM m =+，221DM m =+，∵90MBD ∠<︒，∴讨论90BMD ∠=︒和90BDM ∠=︒两种情况．当90BMD ∠=︒时，222BM DM BD +=，222164199m m m +++=+解得：12m =，22m =（舍去）当90BDM ∠=︒时，222BD DM BM +=，222991164m m m +++=+解得：11m =-，21m =（舍去）综上1m =-或2m =-时，BDM △为直角三角形．19. 【中】（面积+直角三角形）（2012年广州）如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． ⑴求点A 、B 的坐标；⑵设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD △的面积等于ACB △的面积时，求点D 的坐标；⑶若直线l 过点()40E ，，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1【答案】⑴由()()2333342848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为()40A -，、()20B ，．对称轴是直线1x =-． ⑵ACD △与ACB △有公共的底边AC ，当ACD △的面积等于ACB △的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD AC ∥，得DBG CAO =∠∠．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为914⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．因为AC BD ∥，AG BG =，所以HG DG =．而D H DH =′，所以2734D G DG ==′．所以D ′的坐标为2714⎛⎫⎪⎝⎭，．图2 图3⑶过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ．以AB 为直径的G ⊙如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM l ⊥．在Rt EGM △中，3GM =，5GE =，所以4EM =．在1Rt EM A △中，8AE =，113tan 4M A M EA AE ==∠，所以16M A =．所以点1M 的坐标为()46-，，过1M 、E 的直线l 为334y x =-+．根据对称性，直线l 还可以是334y x =-．20. 【中】（面积+直角三角形）(丰台区2010年初三毕业及统一练习)已知抛物线22y x x =--．⑴求抛物线顶点M 的坐标；⑵若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；⑶在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使PAC △为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴∵抛物线21924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴顶点M 的坐标为1924⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ⑵抛物线与22y x x =--与x 轴的两交点为()10A -，，()20B ，．设线段BM 所在直线的解析式为y kx b =+()0k ≠． ∴2019.24k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴线段BM 所在直线的解析式为332y x =-．设点N 的坐标为()x t -，．∵点N 在线段BM 上，∴332t x -=-． ∴223x t =-+．∴AOC NQAC OQNC s S S =+△四边形梯形21121112(2)2322333t t t t ⎛⎫=⨯⨯++-+=-++ ⎪⎝⎭． ∴S 与t 之间的函数关系式为211333S t t =-++，自变量t 的取值范围为904t <<． ⑶假设存在符合条件的点P ，设点P 的坐标为()P m n ，，则12m >且22n m m =--．222(1)PA m n =++，222(2)PC m n =++，25AC =．分以下几种情况讨论：①若90PAC ∠=°，则222PC PA AC =+．∴222222,(2)(1) 5.n m m m n m n ⎧=--⎪⎨++=+++⎪⎩ 解得152m =，21m =-．∵12m >．∴52m =．∴15724P ⎛⎫⎪⎝⎭，．②若90PCA ∠=°，则222PA PC AC =+．∴222222,(1)(2) 5.n m m m n m n ⎧=--⎪⎨++=+++⎪⎩解得332m =，40m =．∵12m >，∴32m =．∴23524P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．当点P 在对称轴右侧时，PA AC >，所以边AC 的对角APC ∠不可能是直角．∴存在符合条件的点P ，且坐标为15724P ⎛⎫⎪⎝⎭，，23524P⎛⎫- ⎪⎝⎭，．21. 【中】（面积最值+直角三角形）已知二次函数22y ax bx =+-的图象经过点()10A ，及()20B -，两点．⑴求二次函数的表达式及抛物线顶点M 的坐标；⑵若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B 、点M 重合）．设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式，并写出四边形NQAC 的面积的最大值；⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PAC △为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标．【答案】解：⑴设抛物线的解析式为()()12y a x x =-+()0a ≠，将()02C -，坐标代入，得：1a =，∴22y x x =+-；其顶点M 的坐标是1924⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． ⑵设线段BM 所在直线的解析式为y kx b =+， ∴029142k b k b =-+⎧⎪⎨-=-+⎪⎩.解得：32k =-，3b =-，∴线段BM 所在的直线的解析式为332y x =--．∵ 332t x -=--，∴223x t =-，点N 的坐标为223N t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，, ∴()2112111222322333AOC OCNQ S S S t t t t =+=⨯⨯++⋅-=-++梯形△．∴S 与t 间的函数关系式为211333S t t =-++．12t =时，S 的最大值为3712.⑶存在符合条件的点P ，设点P 的坐标为12P m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，如图，连接PA 、PC ，作CE MF ⊥于E ．则222125AC =+=；222112PA m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；()222122PC m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．分以下几种情况讨论：①若90APC =︒∠,则222PC PA AC +=，()2222111222m m ⎛⎫⎛⎫--++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5，解得：112m =-，232m =-， ②若90ACP =︒∠,则222PC AC PA +=，()22122m ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭522112m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，解得：74m =-. ③若90PAC =︒∠，则222AC PA PC +=，()22221151222m m ⎛⎫⎛⎫+--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：34m =．综上所述，存在满足条件的点P ,其坐标分别是:11122P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，21322P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，31724P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，41324P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题：二次函数(含答案解析)

2019年浙江省中考数学分类汇编专题:二次函数一、单选题1.二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（）A.(1，3)B.（1，-3)C.（-1，3）D.（-1，-3）【答案】A【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：∵y=（x-1）2+3，∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.2.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A.有最大值﹣1，有最小值﹣2B.有最大值0，有最小值﹣1C.有最大值7，有最小值﹣1D.有最大值7，有最小值﹣2【答案】D【考点】二次函数的最值【解析】【解答】∵由知当x=2，最小值为-2，又∵x=-1与x=3关于x=2对称故最大值为，故答案为：D。

【分析】先配方，∵对称轴x=2，在给定定义域范围内，故最小值可求。

图像张口向上，故离图像最远的点为最大值。

3.小飞研究二次函数(为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，若，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为其中错误结论的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：∵抛物线y=-（x-m）2-m+1∴顶点坐标为：（m，-m+1）∵y=-x+1当x=m时，y=-m+1∴抛物线的顶点坐标始终在直线y=-x+1上，故①正确；设抛物线的顶点坐标C（m，-m+1），与x轴的两交点坐标为B、A过点C作CD⊥x轴，当△ACB是等腰直角三角形时，则AD=DB=CD=-m+1，OD=m∴点B的横坐标为：m+（-m+1）=1∴点B（1,0）∴-（1-m）2-m+1=0解之：m1=1（舍去），m2=0当m=0时，抛物线的顶点与x轴的两交点构成等腰直角三角形，故②正确；∵A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＞2m∴∵a=-1，对称轴为直线x=m∴当x＞m时，y随x的增大而减小，∴时，，故③错误；∵当-1＜x＜2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线x=m∴m≥2，故④正确；故答案为：C【分析】利用抛物线的解析式，可得到顶点坐标，再将顶点坐标代入y=-x+1进行验证，就可对①作出判断；过点C作CD⊥x轴，利用等腰直角三角形的性质，可知AD=DB=CD=-m+1，OD=m，从而求出点B的坐标，再将点B的坐标代入抛物线的解析式，就可求出符合题意的m的值，可对②作出判断；利用二次函数的性质，可对③④作出判断；综上所述，可得出说法错误的结论。

(完整word版)2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含详细参考答案)

2019年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质【基础知识回顾】一、二次函数的定义：一般地如果y= （a 、b 、c 是常数a≠0）那么y 叫做x 的二次函数。

【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的结构特征是：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是，按项、项、项依次排列 2、强调二次项系数a 0】二、二次函数的图象和性质：1、二次函数y=kx 2+bx+c （a≠0)的图象是一条 ,其定点坐标为对称轴是。

2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0）中:①、当a 〉0时，开口向，当x 〈—2b a时，y 随x 的增大而，当x 时，y 随x 的增大而增大，②、当a 〈0时，开口向，当x〈-2b a时,y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax 2 ，对称轴顶点坐标2、y= ax 2 +k ，对称轴顶点坐标3、y=a （x —h ） 2对称轴顶点坐标4、y=a （x-h ） 2 +k 对称轴顶点坐标】三、二次函数图象的平移【名师提醒:二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移,因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a：开口方向向上则a 0，向下则a 0 ｜a|越大，开口越b：对称轴位置，与a联系一起，用左右判断，当b=0时，对称轴是c：与y轴的交点：交点在y轴正半轴上,则c 0，在y轴负半轴上则c 0，当c=0时,抛物线过点【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ，经常根据对应的函数值判断a+b+c和a—b+c的符号】【重点考点例析】考点一:二次函数图象上点的坐标特点例1 (2018•湖州)已知抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点（-1，0），（3，0），求a,b的值．【思路分析】根据抛物线y=ax2+bx-3(a≠0）经过点（—1，0），（3,0），可以求得a、b的值，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx—3（a≠0）经过点(-1,0），（3,0），∴30 9330a ba b--+-⎧⎨⎩＝＝，解得，12ab-⎧⎨⎩＝＝,即a的值是1,b的值是-2．【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h 平移|k|个单位【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．考点二：二次函数的图象和性质例2 （2018•德州)如图，函数y=ax2—2x+1和y=ax-a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【思路分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可．【解答】解：A、由一次函数y=ax-a的图象可得:a＜0,此时二次函数y=ax2-2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；B、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=—22a-＞0,故选项正确；C、由一次函数y=ax—a的图象可得:a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上,对称轴x=-22a-＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；D、由一次函数y=ax—a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2—2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数以及一次函数的图象,解题的关键是熟记一次函数y=ax-a 在不同情况下所在的象限,以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．例3 （2018•新疆）如图，已知抛物线y 1=-x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定:当x 取任意一个值时,x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M;若y 1=y 2,记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时,M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是（填写所有正确结论的序号)．【思路分析】①观察函数图象，可知：当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方,进而可得出当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x ＜0时，抛物线y 1=—x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方，进而可得出当x ＜0时，M=y 1，再利用二次函数的性质可得出M 随x 的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y 1=-x 2+4x 的最大值，由此可得出：使得M 大于4的x 的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x 值,由此可得出:若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．此题得解．【解答】解：①当x ＞2时,抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方， ∴当x ＞2时，M=y 1，结论①错误；②当x ＜0时，抛物线y 1=-x 2+4x 在直线y 2=2x 的下方, ∴当x ＜0时，M=y 1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=—x2+4x=—（x—2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在,结论③正确；④当M=y1=2时，有—x2+4x=2，解得:x1=2-2（舍去)，x2=2+2；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．【点评】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征,逐一分析四条结论的正误是解题的关键．考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例4 (2018•滨州）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B（—1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a—b+c＜0；③b2-4ac＜0；④当y＞0时,-1＜x＜3,其中正确的个数是（)A．1 B．2C．3 D．4【思路分析】直接利用二次函数的开口方向以及图象与x轴的交点,进而分别分析得出答案．【解答】解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0)图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c,即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=—1时，a-b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2-4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（-1，0),∴A（3，0)，故当y＞0时，—1＜x＜3，故④正确．故选:B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．考点四：抛物线的平移例5 （2018•广安）抛物线y=（x-2）2—1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度【思路分析】抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．【解答】解：抛物线y=x2顶点为（0，0）,抛物线y=(x—2）2—1的顶点为（2，—1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象．故选：D．【点评】本题考查二次函数图象平移问题,解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．考点五：二次函数的应用例6（2018•衢州)某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高,高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．【思路分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式,代入点（8,0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1。

二次函数压轴题专题突破练专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定(学生版)

备战2019年中考数学压轴题之二次函数专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定【方法综述】特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。

直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定理。

等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。

对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。

当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以解决问题。

【典例示范】类型一固定边的直角三角形判定例1：如图所示，已知抛物线的图像经过点A(1,0),B(0,5),（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E（不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。

针对训练1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为；（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P 点的坐标．3．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO 为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．4．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+b x+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO 为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1．①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值．6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），我们把|x1﹣x2|记为d（A、B），抛物线的顶点到x轴的距离记为d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把这样的抛物线叫做“正抛物线”．（1）抛物线y=2x2﹣2是不是“正抛物线”；（回答“是”或“不是”）．（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）是“正抛物线”，求抛物线的解析式；（3）如图，若“正抛物线”y=x2+mx（m＜0）与x轴相交于A、B两点，点P是抛物线的顶点，则抛物线上是否存在点C，使得△PAC是以PA为直角边的直角三角形？如果存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标．类型二固定边的等腰三角形例2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P 是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在点P，使△POC 是以OC 为底边的等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说（3）在抛物线上是否存在点D（与点A 不重合）使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．针对训练1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D．(1)求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为（0，﹣1），一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G，再沿y轴运动到点E．当四边形ABPC的面积最大时，求PG+GE的最小值；(3)将线段AB沿x轴向右平移，设平移后的线段为A'B'，直至A'P平行于y轴（点P为第2小问中符合题意的P点），连接直线CB'．将△AOC绕着O旋转，设旋转后A、C的对应点分别为A''、C'，在旋转过程中直线A''C'与y轴交于点M，与线段CB'交于点N．当△CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出CM的长度．2．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5交x轴于点A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D 为抛物线的顶点，连接AD．（1）求直线AD的解析式．（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y轴，交抛物线于点E′和F′，交AD于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底边的等腰三角形，若存在，请出点P的坐标及△PAC的面积，若不存在，请说明理由。

2019年中考数学函数考点全突破专题09 二次函数与三角形的综合

一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题 2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

一解决此类题目的基本步骤与思路 1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3. 根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想 3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K 字形相似去处理。

二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1. 如图，已知抛物线(2)(4)y a x x =+-(a 为常数，且a ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线33y x b =-+与抛物线的另一交点为D ，且点D 的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P 为直线BD 下方的抛物线上的一点，连接PD 、PB , 求△PBD 面积的最大值．y解答：(1)抛物线(2)(4)y a x x =+-令y ＝0，解得x ＝－2或x ＝4， ∴A (－2，0)，B (4，0)． ∵直线3y x b =+经过点B(4，0)，∴34=0b +，解得43b ， ∴直线BD 解析式为：343y =+当x ＝－5时，y ＝3D (－5，3)∵点D(－5，33在抛物线(2)(4)y a x x =+-上， ∴(-52)(-54)=33a +-，∴3a = ∴抛物线的函数表达式为：23323832)(y x x x =+---． (2)设P (m ,232383- ∴2134323839(3)(23BPD S ⎡⎤=⨯+--⎢⎥⎣⎦△ 233=+10323181=)328m -+ ∴△BPD 8138【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax a =--（0>a ）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），经过点A 的直线l ：y kx b =+与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =．l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）. 的面积的最大值为425时，求抛物线的函数表达式；解答：1）A （－1，0）∵CD ＝4AC ，∴点D 的横坐标为4 ∴a y D 5=，∴)5,4a D （. ∴直线l 的函数表达式为y ＝ax ＋a （2）过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H 设E （x ，ax 2－2ax －3a ），则H （x ，ax ＋a ）.∴a ax ax a ax ax a ax HE 43)32()(22++-=---+= ∴a x a a ax ax S S S DEH AEH ADE 8125)23(25)43(2522+--=++-=+=△△△.yx lBC DAOEFH∴△ADE 的面积的最大值为a 8125，∴4258125=a ，解得52=a . ∴抛物线的函数表达式为5654522--=x x y .【中考链接】3.如图，直线l ：y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y =ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；解答：（1）令x =0代入y =﹣3x +3，∴y =3，∴B （0，3），把B （0，3）代入y =ax 2﹣2ax +a +4，∴3=a +4， ∴a =﹣1，∴二次函数解析式为：y =﹣x 2+2x +3；（2）令y =0代入y =﹣x 2+2x +3， ∴0=﹣x 2+2x +3，∴x =﹣1或3，∴抛物线与x 轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：1 20 3baa b cc⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为223y x x=--+.把B（3-，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得303m nn-+=⎧⎨=⎩，解得13mn=⎧⎨=⎩，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（1-，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（1-+3）2+t2=4+t2，PC2=（1-）2+（t－3）2=t2-6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=2-；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：13172t+=，23172t-=.综上所述P 的坐标为（1-，2-）或（1-，4）或（1-，3172+）或（1-，3172-）．【试题精炼】如图，二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B （点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【解析】：（1）由C在二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即可得到a 与c的关系式．（2）要使线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中=，则可考虑若GF使得AD：GF：AE=3：4：5即可．由AD、AE、F点都易固定，且G在x轴的负半轴上，则易得G 点大致位置，可连接CF并延长，证明上述比例AD：GF：AE=3：4：5即可．解答：（1）解：将C（0，﹣3）代入二次函数y=a（x2﹣2mx﹣3m2），则﹣3=a（0﹣0﹣3m2），解得a=．（2）解：如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，﹣4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为﹣3m．【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝12x2＋12x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。

中考体系-107.二次函数与特殊三角形-3(最全,含答案)

二次函数与特殊三角形-3一、二次函数与等腰三角形1、指定一边做底或腰2、需要讨论二、二次函数与等边三角形三、二次函数与直角三角形1、求证为直角三角形2、在特殊条件下存在点问题3、需要对直角讨论的类型四、二次函数与等腰直角三角形1. 【中】（直角三角形）（2012年广州）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． ⑴求点、的坐标；⑵设为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标；⑶若直线过点，为直线上的动点，当以、、为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线的解析式．【答案】：⑴令，即，解得，，∴、点的坐标为、． ⑵，在中，，设中边上的高为，则有，解得．如图1，在坐标平面内作直线平行于，且到的距离，这样的直线有2条，分别是和，则直线与对称轴的两个交点即为所求的点．233384y x x =--+x A BA B y C A B D ACD △ACB △D l ()40E ，M l A B Ml 0y =2333084x x --+=14x =-22x =A B ()40A -，()20B ，192ACB S AB OC =⋅=△Rt AOC△5AC =ACD △AC h 192AC h ⋅=185h =AC AC 185h =1l 2l 1x =-D设交轴于，过作于，则，∴．设直线的解析式为()0k ≠，将，坐标代入，得到，解得，∴直线解析式为．直线可以看做直线向下平移长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线的解析式为．则的纵坐标为，∴1914D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．同理，直线向上平移个长度单位得到，可求得综上所述，点坐标为：1914D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，．图2 图1⑶如图2，以为直径作，圆心为．过点作的切线，这样的切线有2条．连接，过作轴于点．∵，，∴，半径．又，则在中，，，．在中，，1l y E C 1CF l ⊥F 185CF h ==18954sin sin 25CF CF CE CEF OCA ====∠∠AC y kx b =+()40A -，()03B ，403k b b -+=⎧⎨=⎩343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩AC 334y x =+1l AC CE 921l 393334242y x x =+-=-1D ()3391424⨯--=-AC 922l 22714D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，D 22714D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1AB F ⊙F E F ⊙FM M MN x ⊥N ()40A -，()20B ，()10F -，F ⊙3FM FB ==5FE =Rt MEF△4ME 4sin 5MFE =∠3cos 5MFE =∠Rt FMN △412sin 355MN MN MFE =⋅=⨯=∠，则，∴点坐标为直线过，，设直线的解析式为()0k ≠，则有，解得，所以直线的解析式为．同理，可以求得另一条切线的解析式为．综上所述，直线的解析式为或．2. 【中】（平移+直角三角形）（益阳市2013年普通初中毕业学业考试数学试卷）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A B ，两点的坐标分别为()11A x y ，，()22B x y ，，AB 中点P 的坐标为()p p x y ，．由12p p x x x x -=-，得122p x x x +=，同理122p y y y +=，所以AB 的中点坐标为121222x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，．由勾股定理得2222121AB x x y y =-+-，所以A B ，两点间的距离公式为AB ．注：上述公式对A B ，在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l ：22y x =+与抛物线22y x =交于A B ，两点，P 为AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线于点C ．39cos 355FN MN MFE =⋅=⨯=∠45ON =M 41255⎛⎫⎪⎝⎭，l M 41255⎛⎫⎪⎝⎭，()40E ，l y kx b =+4125540k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩l 334y x =-+334y x =--l 334y x =-+334y x =--图2⑴ 求A B ，两点的坐标及C 点的坐标；⑵ 连结AC BC ，，求证ABC △为直角三角形；⑶ 将直线l 平移到C 点时得到直线l '，求两直线l 与l '的距离．【答案】⑴由{2222y x y x =+=，解得113x y ⎧⎪=⎨⎪=-⎩，223x y ⎧⎪⎨⎪=⎩则A B ，两点的坐标分别为：3A -⎝，3B +⎝， ∵P 是A B ，的中点，由中点坐标公式得P 点坐标为132⎛⎫⎪⎝⎭，，又PC x ⊥轴交抛物线于C 点，将12x =代入22y x =中得12y =，∴C 点坐标为1122⎛⎫⎪⎝⎭，．⑵由两点间距离公式得：图1Py 2y 1x 2x 1y p y 2y 1x p x 2x 1AB y xO图105AB =，15322PC =-=， ∴PC PA PB ==，∴PAC PCA ∠=∠，PBC PCB ∠=∠， ∴90PCA PCB ∠+∠=︒，即90ACB ∠=︒ ∴ABC △为直角三角形．⑶ 过点C 作CG AB ⊥于G ，过点A 作AHPC ⊥于H ，则H 点的坐标为132⎛ ⎝，， ∴1122PAC S AP CG PC AH ==△××，∴12CG AH ==-= 又直线l 与l '之间的距离等于点C 到l 的距离CG ， ∴直线l 与l '．3. 【中】（圆+直角三角形）（湛江市2013年初中毕业生学业考试数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，顶点为()34，的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B C 、两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为()05-，．⑴ 求此抛物线的解析式；⑵ 过点B 作线段AB 的垂线交抛物线与点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与C 的位置关系，并给出证明．⑶ 在抛物线上是否存在一点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：⑴ 设抛物线解析式为：()()2340y a x a =-+≠，将()05A -，代入求得：1a =-， ∴抛物线解析式为()223465y x x x =--+=-+-. ⑵ 抛物线的对称轴l 与OC 相离，证明：令0y =，即2650x x -+-=，得1x =或5x =，∴()10B ，，()50C ，. 如答图1所示，设切点为E ，连接CE ，由题意易证Rt Rt ABO BCE △∽△， ∴AB OB BC CE =1CE=，答图1求得C ⊙的半径CE ；而点C 到对称轴3x =的距离为2，2> ∴抛物线的对称轴l 与C ⊙相离. ⑶ 存在.理由如下：有两种情况：（Ⅰ）如答图2所示，点P 在x 轴上方.答图2∵()05A -，，()50C ，，∴AOC △为等腰直角三角形，45OCA =︒∠； ∵PC AC ⊥，∴45PCO =︒∠.过点P 作PF x ⊥轴于点F ，则PCF △为等腰直角三角形.设点P 坐标为()m n ，，则有OF m =，PF CF n ==， 5OC OF CF m n =+=+=①又点P 在抛物线上，∴265n m m =-+-②联立①②式，解得：2m =或5m =.当5m =时，点F 与点C 重合，故舍去， ∴2m =，∴3n =，∴点P 坐标为()23，；（Ⅱ）如答图3所示，点P 在x 轴下方.答图3∵()05A -，，()50C ，，∴AOC △为等腰直角三角形，45OAC =︒∠；过点P 作PF x ⊥轴于点F ，∵PA AC ⊥，∴45PAF =︒∠，即PAF △为等腰直角三角形.设点P 坐标为()m n ，，则有PF AF m ==，5OF n OA AF m =-=+=+， ∴5m n +=- ①又点P 在抛物线上，∴265n m m =-+- ②联立①②式，解得：0m =或7m =.当0m =时，点F 与原点重合，故舍去， ∴7m =，∴12n =-， ∴点P 坐标为()712-，.综上所述，存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形.点P 的坐标为()23，或()712-，.4. 【中】（等腰三角形+直角三角形）（2013年襄阳市初中毕业生学业考试数学试题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 的坐标为()10-，，对称轴为直线2x =-． ⑴求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵点D 是抛物线与y 轴的交点，点C 是抛物线上的另一点．已知以AB 为一底边的梯形ABCD 的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E 的坐标；⑶点P 是⑵中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E 向上运动．设点P 运动的时间为t 秒．①当t 为_______秒时，PAD △的周长最小？当t 为______秒时，PAD △是以AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P 在运动过程中，是否存在一点P ，使PAD △是以AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴由抛物线的轴对称性及()10A -，可得()30B -，．⑵设抛物线的对称轴交CD 于点M ，交AB 于点N ，由题意可知AB CD ∥，由抛物线的轴对称性可得2CD DM =． ∵MN y ∥轴，AB CD ∥， ∴四边形ODMN 是矩形． ∴2DM ON ==， ∴224CD =⨯=． ∵()10A -，，()30B -，，P E ABC DOxy∴2AB =． ∵()192ABCD S AB CD OD =+=梯形， ∴3OD =．即3c =．∴把()10A -，，()30B -，代入23y ax bx =++得， 309330a b a b -+=⎧⎨-+=⎩，解之，得14a b =⎧⎨=⎩∴243y x x =++．将243y x x =++化为顶点式为()221y x =+-得()21E --，．⑶①2，4或4-4②存在．∵90APD ∠=︒，90PMD PNA ∠=∠=︒，∴90DPM APN ∠+∠=︒，90DPM PDM ∠+∠=︒． ∴PDM APN ∠=∠． ∵PMD ANP ∠=∠， ∴APN PDM △∽△． ∴AN PNPM DM =． ∴132PNPN =-．∴2320PN PN -+=． ∴1PN =或2PN =．∴()21P -，或()22-，．5. 【难】（中心对称+直角三角形）（北京八中2010-2011学年度第一学期期中练习）如图，已知抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），点的横坐标是1． ⑴ 求点坐标及的值；⑵ 如图1，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点、关于点成中心对称时，求的解析式；()2125C y a x =+-∶P x A B AB B P a 2C 1C x 2C 3C 3C M P M B 3C⑶ 如图2，点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与轴相交于、两点（点在点的左边），当以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．【答案】⑴由抛物线得顶点的坐标为 ∵点在抛物线上，∴，解得． ⑵连接，作轴于，作轴于 ∵点关于点成中心对称， ∴过点，且∴，∴，∴顶点的坐标为抛物线关于轴对称得到，再平移得到 ∴抛物线的解析式为 ⑶∵抛物线由绕着轴上的点旋转得到 ∴顶点关于点成中心对称由⑵得点的纵坐标为，设点坐标为作轴于，作轴于，作于∵旋转中心在轴上，∴，∴，点坐标为，坐标为，坐标为，根据勾股定理得，，，①当时，，解得，∴点坐标为 Q x 1C Q 1804C 4C N x E F E F P N F Q图2图1()2125C y a x =+-∶P ()25--，()10B ，1C ()20125a =+-59a =PM PH x ⊥H MG x ⊥G P M 、B PM B PB M B =PBH MBG △≌△5MG PH ==3BG BH ==M ()45，1C x 2C 3C 3C ()25459y x =--+4C 1C x Q 180︒N P 、Q N 5N ()5m ，PH x ⊥H NG x ⊥G PK NG ⊥K Q x 26EF AB BH ===3FG =F ()30m +，H ()20-，K ()5m -，22224104PN NK PK m m =+=++22221050PF PH HF m m =+=++2225334NF =+=90PNF ∠=︒222PN NF PF +=443m =Q 1903⎛⎫⎪⎝⎭，②当时，，解得，∴点坐标为 ③∵，∴综上，当点坐标为或时，以点、、为顶点的三角形是直角三角形．6. 【难】（直角三角形）（九年级第一次质量预测）如图，经过轴上、两点的抛物线交y 轴的正半轴于点，设抛物线的顶点为． ⑴用含的代数式表示出点、的坐标⑵若90BCD ∠=︒，请确定抛物线的解析式； ⑶在⑵的条件下，能否在抛物线上找到另外的点，使为直角三角形?如果能，请求出点坐标；如果不能，请说明理由．【答案】⑴设抛物线的解析式为()0a ≠.则.则点的坐标为. 点的坐标为. ⑵过点作轴于，如图1所示，则有.90PFN ∠=︒222PF NF PN +=103m =Q 203⎛⎫⎪⎝⎭，90NPF HPK ∠<∠=︒90NPF ∠≠︒Q 1903⎛⎫ ⎪⎝⎭，203⎛⎫⎪⎝⎭，P NF 图(2)图(1) x ()10A -，()30B ，2y ax bx c =++()0a ≠C D a C D Q BDQ △Q ()()13y a x x =+-()()222314y a x x a x a =--=--D ()14D a -，C ()03C a -，D DE y ⊥E DEC COB △∽△∴.∴. ∴，（舍去）. ∴.抛物线的解析式为.⑶如图2，若90=︒，作轴于，轴于.可证. 有，设点， . 化简得，即.解之得或.检验略.舍去.由得点坐标：. 如图3，若90BDQ ∠=︒. 延长交轴于，可证明.即. 则. 得，点的坐标为.所在的直线方程为.则与的解为 (舍),，得交点的坐标为. 所以满足题意的点有两个：.DE ECCO OB=1|||3|3a a =-21a =1a =±1a =1a =-223y x x =-++DBQ ∠QF x ⊥F DH x ⊥H Rt Rt DHB BFQ △∽△DH HBBF FQ=Q ()223k k k -++，242323k k k =---22390k k --=()()3230k k -+=3k =32k =-3k =32k =-Q 3924Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，DQ y M DEM DHB △∽△DE EM DH HB =142EM=12EM =M 702⎛⎫ ⎪⎝⎭，DM 1722y x =+1722y x =+223y x x =-++1x =12x =Q 11524⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 391152424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，图2图2图17. 【中】（直角三角形+轴对称）（眉山市中考）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为. ⑴求该抛物线的解析式；⑵动点在x 轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标.⑶在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标.【答案】⑴将、坐标代入得解得 ∴抛物线的解折式为… ⑵设点的横坐标为，则它的纵坐标为即点的坐标又∵点在直线上 ∴ 解得（舍去）， ∴的坐标为（Ⅰ）当为直角顶点时过作交轴于点，设易知点坐标为由得即，∴ ∴ （Ⅱ）同理，当为直角顶点时，点坐标为（Ⅲ）当为直角顶点时，过作轴于，设()30P b ，，由，得112y x =+y A x D 212y x bx c =++A E x B CB ()10，P PAE △P M ||AM MC -M 01A （，）10B （，）212y x bx c =++1102c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩321b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩213122y x x =-+E m 213122m m -+E 213,122m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭E 112y x =+213111222m m m -+=+10m =24m =E 43（，）A A 1AP DE ⊥x 1P 1,0P a （）D 20（－，）Rt Rt AOD POA △△∽DO OA OA OP =211a =12a =11,02P ⎛⎫⎪⎝⎭E 2P 11,02⎛⎫⎪⎝⎭P E EF x ⊥F 90OPA FPE ∠+∠︒＝OPA FEP ∠∠＝Rt Rt AOP PFE △△∽由得解得， ∴此时的点的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点的坐标为或或或（Ⅲ）抛物线的对称轴为 ∵关于对称 ∴ 要使最大，即是使最大由三角形两边之差小于第三边得，当在同一直线上时的值最大．易知直线的解折式为∴由得 ∴8. 【难】（平分面积+直角三角形）（2011年徐州市中考）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为。

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第24题二次函数综合题
类型1 二次函数与特殊三角形判定
1. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx －3a (a >0)经过点A (－1，0)、C (0，3)，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D .
(1)求此二次函数解析式；
(2)连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第1题图
(1)解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3a 的图象经过点A (－1，0)、C (0，
3)，
∴根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3a ＝0－3a ＝3
，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2
， ∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；
(2)证明：由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4得，点D 的坐标为(1，4)，点B 的坐标为(3，0)，
如解图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥DE 于点F ， ∵D (1，4)，B (3，0)，C (0，3)，
∴OC ＝OB ＝3，DE ＝4，BE ＝2，CF ＝DF ＝1，
∴CD 2＝CF 2＋DF 2＝2，BC 2＝OC 2＋OB 2＝18，BD 2＝DE 2＋BE 2＝20， ∴CD 2＋BC 2＝BD 2，
∴△BCD 是直角三角形；
第1题解图
(3)解：存在．
抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3对称轴为直线x ＝1.
i )如解图，若以CD 为底边，则P 1D ＝P 1C ，
设点P 1的坐标为(x ，y )，根据勾股定理可得P 1C 2＝x 2＋(3－y )2，P 1D 2＝(x －1)2＋(4－y )2，
∴x 2＋(3－y )2＝(x －1)2＋(4－y )2，
即y ＝4－x .
又∵P 1(x ，y )在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3上，
∴4－x ＝－x 2＋2x ＋3，
即x 2－3x ＋1＝0，
解得x 1＝3＋52，x 2＝3－52<1(舍去)，
∴x ＝3＋52，
∴y ＝4－x ＝5－52，
即点P 1的坐标为(3＋52，5－52)．
ii )如解图，若以CD 为一腰，
∵点P 2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性知，点P 2与点C 关于直线x ＝1对称，此时点P 2的坐标为(2，3)．
∴符合条件的点P 的坐标为(3＋52，5－52)或(2，3)．
2. 如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点，与x 轴的另一个交点为(2，0)，将抛物线C 1向右平移m (m >0)个单位得到抛物线C 2，C 2交x 轴于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C .
(1)求抛物线C 1的解析式及顶点坐标；
(2)以AC 为斜边向上作等腰直角△ACD ，当点D 落在抛物线C 2的对称轴上时，求抛物线C 2的解析式；
(3)若抛物线C 2的对称轴上存在点P ，使△P AC 为等边三角形，请直接写出m 的值．
第2题图
解：(1)∵抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)，与x 轴的另一个交点为(2，0)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧c ＝04＋2b ＋c ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧c ＝0b ＝－2， ∴抛物线C 1的解析式为 y ＝x 2－2x ，
则y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，
∴该抛物线的顶点坐标为(1，－1)；
(2)∵将抛物线C 1向右平移m (m >0)个单位得到抛物线C 2，
∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－m )2－1，
∵抛物线C 2交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，
∴A (m ，0)、B (m ＋2，0)、C (0，m 2＋2m )，
设抛物线C 2的对称轴与x 轴的交点为点E ，
如解图①，过点C 作CH ⊥DE 于点H ，
第2题解图①
∵△ACD 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，
∴∠CDA ＝90°，CD ＝AD ，
又∵∠CHD ＝∠DEA ＝90°，
∴∠CDH ＋∠ADE ＝∠ADE ＋∠DAE ，
∠HCD ＋∠HDC ＝∠HDC ＋∠ADE ，
∴∠CDH ＝∠DAE, ∠HCD ＝∠EDA ，
∴△CHD ≌△DEA ，
∴HD ＝ AE ＝1, DE ＝ CH ＝m ＋1，
∴EH ＝HD ＋DE ＝m ＋2，
由OC ＝HE 得m 2＋2m ＝ m ＋2，
解得m 1＝1，m 2＝－2(舍去)，
∴抛物线C 2的解析式为y ＝(x －1－1)2－1＝x 2－4x ＋3；
(3)m ＝33.
【解法提示】如解图②，连接BC 、BP ，由抛物线的对称性可知AP ＝BP ，
第2题解图②
∵△P AC 是等边三角形，
∴AP ＝BP ＝CP ，∠APC ＝60°，
∴C 、A 、B 三点在以点P 为圆心，P A 长为半径的圆上，
∴∠CBO ＝12∠CP A ＝30°，
∴BC ＝2OC ，
由勾股定理得OB ＝BC 2－OC 2＝3OC ，
∴3()
m2＋2m＝m＋2，
解得m1＝
3
3，m2＝－2(舍去)．
∴m＝
3 3.。