概率论17-18-2
上海工程技术大学概率论与数理统计复习题(17-18(一))-答案
5．某人独立射击 10 次，每次射击的命中率均为 0.6，求： (1) 击中三次的概率； (2) 至少有一次未击中的概率． 解： （1） p P 10 (3) C10 (0.6) (0.4) 0.0425
10
10
0
2 1 0.97 0.98 0.9733 3 3
7．设 8 支枪中有 3 支未经试射校正，5 只已经试射校正．一射手用校正的枪射击时，中靶 的概率为 0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶的概率为 0.3．现假定从 8 支枪中任取一支进 行射击，结果中靶，求所用的枪是己校正过的概率． 解：设事件 A ：射击中靶，事件 B ：所用的枪是已校正过的
P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
1 1 1 1 4 6 12 3
3. 甲乙二人独立地去破译一份密码， 已知各人能译出的概率分别为 1/5 和 1/3， 求密码被译 出的概率. 解：设A:甲译出密码，B:乙译出密码，C:密码被译出. 则 C A B
a a a 解：由规范性得： k 3 1 1 2 3 k 1 1 3
a , 3k
k 1, 2, ，求常数 a ．
a2
k cos x, 9．设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) 0,
(2) P0 X ； 解： (1)
x
概率论与数理统计复习题
1 1 ， P( B) ，试分别在下列三种情况下求 P ( A B ) 的值： 3 2 1 (1) A, B 独立； (2) A, B 互斥； (3) A B ； (4) P( AB) ． 8
概率论与数理统计课后习题答案浙江大学第四版完整版.pdf
完全版概率论与数理统计课后习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）nn n n o S1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一]2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一](3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二]设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A －(AB+AC )或A －(B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S －(A+B+C)或CB A（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：C A C B B A 。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：ABCC B A 或（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故表示为：AB +BC +AC6.[三]设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7.问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：由P (A )=0.6，P (B )=0.7即知AB ≠φ，（否则AB =φ依互斥事件加法定理，P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为P (AB )=0.6+0.7－1=0.3。
概率论第1章
且 P(5 i 0 A i ) 1
根据概率的有限可加性，所求概率为
5 0 4 1 C C C 113 5 5 5 C5 P(5 A ) 1 P ( A ) P ( A ) 1 i 2 i 0 1 5 C10 C150 126
(2) 令Ai=“第i次取到的是安慰剂”
利用条件概率的乘法定理可得
3 4 5 1 P( A1 A2 A3 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A2 | A1 ) P ( A1 ) 8 9 10 12 3 A5 5 4 3 1 或 P 3 A10 10 9 8 12
4
第1章 概率论的基本概念
习题3(3)
P( AB )
3.(3) 已知P(A)=1/2, (a)若A,B互不相容，求 (b)若P(AB)=1/8, 求 P( AB ) 解：利用差事件概率可得
P( AB) P[ A(S B)] P( A AB) P( A) P( AB)
,
若A,B互不相容，则P(AB)=0, 故
第1章 概率论的基本概念
习题5
5. 10片药片中有5片是安慰剂. (1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂 的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前三次都取到安慰剂的概率.
解(1):这属于经典概型的组合问题
令Ai=“取到的5片中有i片是安慰剂”，i=0,1,2,3,4,5，它们是互不相容的。
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
－ P(AB)－ P(AC)－P(BC)
+P(ABC)
其中 P(ABC)=P(C|AB)P(AB)=0
马尔科夫预测课件.ppt
以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：
p11
7 15 1
50%
??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
7 p21 9 78% 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出
现滞销的次数。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度
销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
一、基本概念
它可能跳到第一张或者第三张荷叶，也可能在原地不动。 我们把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态， 这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状 态有关，与它以前所处的状态无关，这种性质就是所谓 的“无后效性”。 上例中，青蛙所处的那张荷叶，称为青蛙所处的状态， 在经济系统的研究中，一种经济现象，在某一时刻 t 所 出现的某种结果，就是该系统在该时间t 所处的状态。
第三节 马尔可夫决策
一、基本概念
经济学中把这种现象称为“无后效性”，即 “系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态”。 例如，池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假 设有个青蛙在荷叶上随机地跳来跳去，在初始 时刻 t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，
2
3 1
概率论-第十七讲-无限集合
三、不可数集合
定义6： 若有从［0,1］到集合A的双射函数,那么A的基数是c。 选用字母c是根据集合［0,1］常叫做连续统(Continuum) 这个事实。 例6：证 (a) ｜[a,b]｜=c。a＜b。 f(x)=(b-a)x+a是从［0,1］到［a,b］的双射函数。 (b) ｜(0,1)｜=｜［0,1］｜。
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二、可数集合
定理6 ：设A, B可数, 则A×B可数。 A={a0,a1,a2,…}, B={b0,b1,b2,…}
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二、可数集合
例4： 证明下列每一个集合都是可数无限的。 (a) N 2={〈n1,n2〉|ni∈N}。 (b) I n={〈x1,x2,…,xn〉|xi∈I} (整数分量的n重组集合)。 (c) Q n={〈x1,x2,…,xn〉|xi∈Q}。 (d) 有理系数的所有n次多项式集合。 (e) 有理系数的所有多项式集合。 (f) 以有理数为元素的所有n×m矩阵集合。 (g) 以有理数为元素的任意有限维的所有矩阵集合。
证明：令 k = max｛f(0), f(1), … , f(n-1)｝+ 1，则k∈N, 但对每一x∈{0,1,2,…,n-1}, f(x)≠k。 这说明, f 不是一个满射函数, 所以 f 不是一个双射函数。 因为 n 和 f 都是任意选取的, 我们得出N是无限的。
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、有限集合与无限集合
定理2： 有限集合A的每一子集是有限的。 证明： 令|A| = n, 则存在{0,1,…,n-1}到 A 的双射函数 f， 不妨设f(0) = a0, f(1) = a1,…, f(n-1) = an-1, A={a0, a1, a2, …, an-1} (不妨假定a0 < a1 < … < an-1)。 任取A的一子集B= {a0', a1',…, a m-1'}， ( 规定a0'<a1' <…< am-1'), 构造函数g:{0,1,…,m-1}到B，g(i) = ai', 因g为双射函数，所以B为有限集。 推论： 设S是T的子集，如果S是无限集，那么T是无限集。
概率论课后习题答案
习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。
《概率论与数理统计》课后习题答案2
1． 试分别给出随机变量的可能取值为可列、有限的实例．解 用X 表示一个电话交换台每小时收到呼唤的次数，X 的全部可能取值为可列的 0,1,2,3，…，；用Y 表示某人掷一枚骰子出现的点数，Y 的全部可能取值为有限个 1,2,3，4,5,6 ；2． 试给出随机变量的可能取值至少充满一个实数区间的实例．解 用X 表示某灯泡厂生产的灯泡寿命（以小时记），X 的全部可能取值为区间 （0，+∞）3． 设随机变量X 的分布函数()F x 为()F x = 2 1, >20, 2A x xx ⎧-⎪⎨⎪≤⎩ 确定常数A 的值，计算(04)P X ≤≤.解 由(20)(2),F F +=可得10, =44AA -= (04)(04)(4)(0)0.75P X P X F F ≤≤=<≤=-=.4．试讨论：A 、B 取何值时函数()arctan3xF x A B =+ 是分布函数． 解 由分布函数的性质，有()()0,1F F -∞=+∞=，可得0,211,,21,2A B A B A B πππ⎧⎛⎫+-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒==⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩于是()11arctan ,.23xF x x π=+-∞<<+∞1．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的概率分布．解 由题意知，X 的取值可以是0,1,2,3.而X 取各个值的概率为{}{}70,103771,10930P X P X ====⨯= {}{}32772,1098120321713.10987120P X P X ==⨯⨯===⨯⨯⨯= 因此X 的概率分布为012 377711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．从分别标有号码1 ，2 ，… ，7的七张卡片中任意取两张， 求余下的卡片中最大号码的概率分布．解 设X 为余下的卡片的最大号码 ，则X 的可能取值为5、6、7，且1{5}21P X ==5{6}21P X ==15{7}21P X ==即所求分布为567 1515212121X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3．某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数的概率分布．解 设此人将门打开所需的试开次数为X ，则X 的取值为1,2,3,...,k n =，事件{}{}1X k k k ==-前次未打开，第次才打开，且{}11P X n ==， {}11121n P X n n n-==⋅=-，… …，{}()121112111,2,....,n n n k P X k n n n k n k k n n ---+==⋅⋅⋅⋅--+-+== 故所需试开次数的分布为12~111X n nn ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ... n .... 4．随机变量X 只取1 、2 、3共三个值，并且取各个值的概率不相等且组成等差数列，求X 的概率分布．解 设{}{}{}1,2,3P X a P X b P X c ======，则由题意有1a b c c b b a ++=⎧⎨-=-⎩解之得2313a c b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设三个概率的公差为d ，则11,33a d c d =-=+，即X 的概率分布为 12 3111333X d d⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，103d << 5．设随机变量X 的全部可能取值为1 ，2 ，… ，n ，且()P X k = 与k 成正比，求X 的概率分布．解 由题意，得{}() 1,2,,k P X k p ck k n ====其中c 是大于0的待定系数．由11nkk p==∑，有12....1nk k cp c c n c ==+++=∑ 即()112n n c +=，解之得 ()21c n n =+.把()21c n n =+代入k p ，可得到X 的概率分布为{}()2,1,2,...,.1kP X k k n n n ===+6．一汽车沿街道行驶时须通过三个均设有红绿灯的路口．设各信号灯相互独立且红绿两种信号显示的时间相同，求汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布．解 设汽车未遇红灯通过的路口数为X ，则X 的可能值为0，1，2，3．以()1,2,3i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”，则123,,A A A 相互独立，且()()1,1,2,32i i P A P A i ===．对0,1,2,3k =，有{}()1102P X P A ==={}()()()1212211142P X P A A P A P A ===== {}()123311282P X P A A A ==== {}()123311382P X P A A A ==== 所以汽车未遇红灯通过的路口数的概率分布为012 311112488X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦7．将一颗骰子连掷若干次，直至掷出的点数之和超过3为止．求掷骰子次数的概率分布．解 设掷骰子次数为X ，则X 可能取值为1，2，3，4，且31{1}62P X === 141515{2}6666612P X ==⨯+⨯+=；115111117{3}6666666216P X ==⨯⨯+⨯+⨯=； 1111{4}666216P X ==⨯⨯=所以掷骰子次数X 的概率分布为123 415171212216216X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 8．设X 的概率分布为试求（1）X 的分布函数并作出其图形；（2） 计算{11}P X -≤≤ ，{0 1.5}P X ≤≤ ，{2}P X ≤ ． 解（1）由公式 (){}()k kx xF X P X x p x ≤=≤=-∞<<+∞∑，得()0,00.2,010.5,120.6,231,3x x F X x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩（2） {}11(1)(10)0.500.5P X F F -≤≤=---=-= {}0 1.5(1.5)(00)0.500.5P X F F ≤≤=--=-={}2(2)0.6P X F ≤==9．设随机变量X 的分布函数为010.210()0.70212x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，，，，试求（1） 求X 的概率分布；（2） 计算1322P X ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，{1}P X ≤- ，{03}P X ≤< ，{1|0}P X X ≤≥解 (1)对于离散型随机变量，有{}()()0P X k F k F k ==--，因此，随机变量X 的概率分布为10 2 0.20.50.3X -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (2) 由分布函数计算概率，得13310.52222P X F F ⎧⎫⎛⎫⎛⎫-<≤=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭；{}()110.2P X F ≤-=-=；{}()0330(00)10.20.8P X F F ≤<=---=-=； {}{}{}{}{}1,0100010.50.625.00.8P X X P X X P X P X P X ≤≥≤≥=≥≤≤===≥10．已知随机变量X 服从0—1分布，并且{0}P X ≤=0.2，求X 的概率分布 ． 解 X 只取0与1两个值，{0}P X =={0}P X ≤－{0}P X <＝0.2,{1}1{0}0.8P X P X ==-==11．已知{}P X n == nP ，n =1,2,3,⋯,求P 的值 ．解 因为1{}1,n P X n ∞===∑ 有 11=,1n n pp p∞==-∑解此方程，得0.5p =. 12．商店里有5名售货员独立地售货．已知每名售货员每小时中累计有15分钟要用台秤．（1） 求在同一时刻需用台秤的人数的概率分布；（2） 若商店里只有两台台秤，求因台秤太少而令顾客等候的概率．解 (1) 由题意知,每名售货员在某一时刻使用台秤的概率为150.2560p ==, 设在同一时刻需用台秤的人数为X , 则()~5,0.25X B , 所以{}550.250.75(0,1,2,3,4,5)kk k P X k C k -===(2) 因台秤太少而令顾客等候的概率为{}{}55553320.250.75k k k k k P X P X k C -==>===∑∑332445550.250.750.250.750.250.1035C C =++≈13．保险行业在全国举行羽毛球对抗赛，该行业形成一个羽毛球总队，该队是由各地区的部分队员形成．根据以往的比赛知，总队羽毛球队实力较甲地区羽毛球队强，但同一队中队员之间实力相同，当一个总队运功员与一个甲地区运动员比赛时，总队运动员获胜的概率为0.6，现在总队、甲队双方商量对抗赛的方式，提出三种方案：（1）双方各出3人； （2）双方各出5人； （3）双方各出7人．3种方案中得胜人数多的一方为胜利．问：对甲队来说，哪种方案有利？解 设以上三种方案中第i 种方案甲队得胜人数为(1,2,3),i X i =则上述3种方案中，甲队胜利的概率为（1）{}331322(0.4)(0.6)0.352k k k k P X C -=≥=≈∑（2）{}552533(0.4)(0.6)0.317k k k k P X C -=≥=≈∑（3）{}773744(0.4)(0.6)0.290kk k k P X C -=≥=≈∑因此第一种方案对甲队最为有利．这和我们的直觉是一致的。
概率论与数理统计发展史简要、主要内容概要及其主要应用
概率论与数理统计是一门研究随机现象和数据分析的学科。
以下是关于概率论与数理统计发展史、主要内容概要以及其主要应用的简要介绍：发展史概率论与数理统计是数学的重要分支之一，其发展可以追溯到17世纪。
以下是一些重要的里程碑事件：- 1654年，法国贵族帕斯卡尔引入概率论的基本概念。
- 18世纪，瑞士数学家伯努利家族对概率论做出了系统的研究，并提出伯努利试验和大数定律。
- 19世纪，法国数学家拉普拉斯在概率论方面有很多重要贡献，提出了拉普拉斯公式和拉普拉斯逼近定理。
-20世纪，俄国数学家科尔莫哥洛夫发展了现代概率论的基本框架，建立起了测度论和概率测度的数学基础。
主要内容概要概率论研究随机现象的规律性和不确定性，主要包括以下几个方面的内容：1. 概率基本概念：包括样本空间、事件、随机变量等。
2. 概率分布：研究随机变量的取值及其对应的概率。
3. 大数定律：研究随机变量序列的稳定性，指出当样本容量足够大时，随机现象的长期平均值收敛于期望值的概率趋近于1。
4. 中心极限定理：研究多个相互独立的随机变量之和的分布趋近于正态分布的概率。
数理统计是利用样本数据对总体特征进行推断和决策的学科，主要内容如下：1. 抽样方法：研究如何从总体中获取代表性样本的方法。
2. 统计描述：通过统计量对总体特征进行度量和描述。
3. 参数估计：利用样本数据对总体参数进行估计。
4. 假设检验：根据样本数据对关于总体的假设进行推断和判断。
5. 方差分析和回归分析：研究多个变量之间的关系和影响。
主要应用概率论与数理统计具有广泛的应用领域，涉及自然科学、社会科学、工程技术等众多领域，包括但不限于以下方面：1. 金融和风险管理：用于分析投资组合的风险、金融市场波动性的预测和金融产品的定价。
2. 医学和生物统计学：应用于疾病概率分析、药物疗效评估和流行病学研究等。
3. 工程和质量控制：用于产品质量分析、过程改进和可靠性评估。
4. 社会科学和市场调查：用于样本调查、舆论调查和社会现象的分析。
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=[24 ± 0.98] =[23.02, 24.98]
[l= n L( p)]' = i 1= − i 1
=0
2p
2(1 − p)
∑ pˆ
=X 2
−1; X
=1 n
n i =1
Xi
(2)Epˆ= 1 EX −1= EX −1 2
EX = 2 × (1 − p) + 4 × p = 2 p + 2;
∴ Epˆ= EX −1= p;
所以，pˆ 是p的无偏估计量。
东 南 大 学 考 试 卷 （ A 卷）
课 程 名 称 概率论与数理统计及随机过程 考试学期 1 7 - 1 8 - 2 得分
适用专业
全校
考试形式
闭卷
考试时间长度 120 分钟
自
题号 一
二
三
四
五
六
七
八
觉
得分
遵
守 考
∫x
Φ( x) =
1
e−t2 /2dt 表示标准正态分布的分布函数，
−∞ 2π
场
Φ(−1.6= 45) 0.05；Φ(−1.= 96) 0.025；Φ= (0) 0.5； Φ= (1) 0.8413
=1
−
1 8
(2
−
z)2 ;
∴ fZ (= z)
[FZ (z)=]'
1
4
(2
+
z)
1
4
(2
−
z)
0
−2 < z < 0 0≤ z ≤2 其它
五、解：X 表示 100 件中合格品的个数，则
X ~ b(n,= p), n 1= 00, p 0.8;
EX = np = 80; DX = np(1 − p) = 16;
若该假设检验的拒绝域为：任取容量为 5 的简单随机样本，若其中次品数大于 1
律
件，则拒绝原假设。该检验问题犯第一类错误的概率α =
。
13) 设总体服从均匀分布U[a, 3a] ， a 为未知参数，若 2.2, 3.4, 2.5, 2.4, 3.5 是来自该
如
线
总体的样本， 则 a 的矩估计值为
。
考
二、(10’) 设一箱子中有 3 颗红球，1 颗白球，2 颗黑球。现掷一枚均匀的骰子，出现几点，
+
C32 C122
+
C33 C132
]
=
1[1 62
+
1 5
+
1 ]= 20
1 8
=
0.125;
(2)P( A2 | B=)
P( A2 )P(B | A2=) P(B)
4 ≈ 0.267 15
三.
13 13 10
36
36
36
(1)P2
=
16 48
19 48
13 48
17
17
14
48 48 48
如
一、填充题（每空格 2’，共 36’）
姓名
考
1) 已 知 P(B)=0.5 ， P(AB)=0.3 ， A 和 B 相 互 独 立 , 则
试
P(A-B)=
;P(AUB)=
。
作
封
弊
2) 一电梯在一楼载有 4 名乘客,该楼共六层,设每个人在每层下是等可能的.则有两人
在三楼下的概率为
;二楼和三楼各有一个人下的概率为
觉
11) 设 X1 , X 2 , X 3 , X4 是 来 自 正 态 总 体 N(0,4) 的 简 单 随 机 样 本 ， 则
遵 守
E
(
X
2 1
+
X
2 2
+
X
2 4
)
=
， 则 若 b X 22 ~ F (1, 2) ， 则 常 数
X
2 3
+
X
2 4
考
b=
。
场 纪
12) 设某种产品的次品率为 p。对假设检验问题= ：H0: p 0.1; H1 : p > 0.1进行检验。
别表示样本均值和样本方差， 则 D（X）=
， E(S2 ) =
。
9) 随机变量 X 的分布律为 P(X= 1)=0.3，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.4，则其分布函数
为
。
10) 随 机 变 量 X 服 从 均 值 为 2 的 指 数 分 布 , 则 Y=-2X+1 的 密 度 函 数
自
为
。
纪
Φ= (1.3) 0.9032； Φ= (1.96) 0.975； = Φ(2) 0.9772
线
律
Tn ~ t(n) P(T3= 5 ≥ 2.0301) 0.025；
P(T3= 5 ≥ 1.6869) 0.05；
P(T3= 6 ≥ 2.0281) 0.025；
P(T3= 6 ≥ 1.6883) 0.05；
P( A=i )
1=; i 6
1,..., 6;
P(B | A=i )
C3i =, i C1i2
1; 2;3; P(B | A=i )
0=; i
4,5, 6
6
3
∑ ∑ = (1) P(B) = P( Ai )P(B | Ai ) P( Ai )P(B | Ai )
=i 1=i 1
=
1 6
[
C31 C112
P( X =−2) =0.4.
6)-2.4 7)0.5
8)1/15; 4/3
0 x < 1
9)
F ( x)
=
0.3 0.6
1≤ x < 2 2≤ x<3
1 x ≥ 3
10)
fY
(
y)
=
1
4
−1− y
e4
0
y ≤1 y >1
11) 12; 2;
12) 0.0815
13)1.4
二 Ai 表示事件骰子掷出 i 点；i=1,2,3,4,5,6;B 表示事件取出的球均为红球。
律
线
线
姓名 姓名
如 考 试 作 弊
封
此
封
答
卷
无
密
四、(10’)设随机变量 X 和 Y 相互独立,都服从均匀分布 U[-1,1],令 Z=X − Y ，求随机变量
效
Z 的概率密度函数 fZ (z) 。
学号
密
学号
第 3 页 共 4 页-
自
觉
五、(10’) 假设一大批产品的合格率为 0.8，现从中随机抽取 100 件。试用
=i 1=i 1
= p ∑ (1 − p) ∑ = 12 i n1= ( Xi −2) 12 i n1 (4− Xi )
∑ ∑ 对数似然函数： ln L( p)= 1 n
= 2 i 1
= ( X i − 2) ln p + 12 in1
(4
−
Xi
) ln(1 −
p)
n
n
∑ ( Xi − 2) ∑ (4 − Xi )
(3)设平稳分布为p = ( p1, p2 , p3);则
pP= p, p1 + p2 + p3= 1
1
3
p1
+
1 4
p2
+
1 2
p3
= p1
1
3
p1
+
1 2
p2
+
1 4
p3
= p2
p1 + p2 + p3 = 1
解得= ：p1
14= 53 ; p2
14= 63 ; p3
12 ; 43
四、解：
试
就从箱子中取出几个球。（1）求取出的球为均红球的概率；（2）如果取出的球为均为红球，
姓名
作
则骰子掷出 2 点的概率是多少？
弊
封
此 答 卷 无 效
学号
密
第 2 页 共 4 页-
三、（15')设一 Markov 链{X n , n ≥ 0} 的状态空间为{1, 2, 3 }。 其一步转移概率矩阵为
12 3
自
1 1/ 3 1/ 3 1/ 3
觉
P= 2 1/ 4 1/ 2 1/ 4
遵
3 1/ 2 1/ 4 1/ 4
守 考
初始分布pi (0=)
P{X 0=
i}=
1 3
，=i
1, 2,3. 试求：
场
(1) P{= X0 1= , X 2 2= , X 4 3};(2) P{= X 2 1};(3)平稳分布
纪
。
此
答
3) 设随机变量 X 服从正态分布 N (−2 , 4), P(X>0) = ________ 。
卷
无
4) 设{Bt , t ≥ 0} 为σ 2 = 1的维纳过程，则 P(B1 + B3 > 6) =________。
效
5) 随 机 变 量 X ， Y 的 联 合 分 布 律 为 ： P(X=-1,Y=-1)=0.2; P(X=-1,Y=2)=0.4;
的无偏估计量，说明理由。.
此
姓名
答
卷
无
封
效
七、(9’)设总体 X 服从正态分布 N ( u,9),u 未知。现有来自该总体样本容量为 36 的样本, 其
样本均值为 24. （1）试检验 H0: u=22.0 v.s. H1: u>22.0.(检验水平α = 0.05) ，(2)求 u 的置
信度为 95%的置信区间。