第十七章量子力学基础
实物粒子的波粒二象性德布罗意波
k
3 kT 2
1 mv2 2
h
h
0
1.46 A
mv 3mkT
ZP33,32B 例7 当电子的德布罗意波长与可见光波长
（库）
（λ=5500 A )相同时，求它的动能是多少电子伏特？
解
Ek
p2 2me
h2
5.0 106 eV
2me
作业ZP44,6，
ZP43-44,1-6 ZP38,1-7
p mv 2meU U
若U 150 V, 0.1nm U 1.5104V, 0.01nm
应用：电子显微 镜（波长10-2～ 10-3nm).
（库）
ZP例392,7 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.4A ,则U约为
(A) 150V (B) 330V (C) 630V (D) 9
电子束透过多晶铝箔的衍射
电子的衍射图样与X射线衍射结果非常相似。
电子束晶体（铝箔） X射线晶体（铝箔）
衍射花样铝箔
的衍射花样
戴维逊和汤姆逊因验证电子的波动性分享
1937年的物理学诺贝尔奖。
1961年琼森做了电子的单缝、双缝、三缝和四 缝衍射实验。
单缝
双缝
三缝
四缝
在电子的波动性被证实之后,实验中逐渐发现了中子、
用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极 高的分辨本领。
1932年德国人鲁 斯卡成功研制了 电子显微镜
附、德布罗意假设
一个能量为E ，动量为P 的实物粒子，
同时具有波动性，波长和频率分别是
h mv
mc2 h
爱因斯坦 --德布罗意 关系式
与实物粒子相联系的波称为物质波， 或德布罗意波.
量子力学基础
量子力学基础
量子力学是描述微观粒子行为的物理学理论。
它基于几个重要的基
本概念：
1. 粒子的波粒二象性：根据量子力学，微观粒子（如电子、光子等）既具有波动特性也具有粒子特性。
这意味着粒子的运动和行为可以通
过波动的方式来描述。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性，确定粒子的位置和动量同时存
在的精确值是不可能的。
不确定性原理表明，我们无法同时准确测量
粒子的位置和动量，只能得到它们的概率分布。
3. 波函数：波函数是描述量子系统状态的数学函数。
它包含了粒子
的所有可能位置和动量的信息。
根据波函数，可以得出粒子的概率分布。
4. 算符和观测量：在量子力学中，物理量（如位置、动量、能量等）被表示为算符，而不是直接的数值。
物理系统的状态和性质可以通过
算符的作用来描述和测量。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学的基本方程，描述了量子系
统的时间演化。
它通过波函数的时间导数和能量算符之间的关系来表示。
量子力学的基础原理提供了一种独特而全面的方式来理解微观世界
的行为。
它已经在许多领域获得了成功应用，如原子物理、核物理、
量子化学和量子计算等。
第十七章量子力学简介解答和分析
习题十七17－1 计算电子经过V U 1001=和V U 100002=的电压加速后，它的德布罗意波长1λ和2λ分别是多少？分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长与该运动粒子的运动速度之间的关系。
解：电子经电压U 加速后，其动能为eU E k =，因此电子的速度为：m2e v U = 根据德布罗意物质波关系式，电子波的波长为：)(23.12nm U emU h m h ==v ＝λ若V U 1001=，则12301.＝λnm ；若V U 100002=，则012302.＝λnm 。
17－2 子弹质量m =40 g, 速率m/s 100=v ,试问:(1) 与子弹相联系的物质波波长等于多少?(2) 为什么子弹的物质波性不能通过衍射效应显示出来?分析 本题考察德布罗意波长的计算。
解：(1)子弹的动量)s /m kg (410010403⋅=⨯⨯==-v m p与子弹相联系的德布罗意波长)m (1066.141063.63434--⨯=⨯==p h λ (2) 由于子弹的物质波波长的数量级为m 1034-, 比原子核的大小(约m 1014-)还小得多,因此不能通过衍射效应显示出来.17－3 电子和光子各具有波长0.2nm ，它们的动量和总能量各是多少？分析 本题考察的是德布罗意物质波的波长公式。
解：由于电子和光子具有相同的波长，所以它们的动量相同，即为： )/(1032.3102.01063.624934s m kg hp ⋅⨯=⨯⨯==---λ 电子的总能量为：)(1030.81420J hcc m E e -⨯=+=λ而光子的总能量为：)(1095.916J hcE -⨯==λ17－4 试求下列两种情况下，电子速度的不确定量：（1）电视显像管中电子的加速电压为9kV ，电子枪枪口直径取0.10mm ；（2）原子中的电子，原子的线度为1010－m 。
分析 本题考察的是海森堡不确定关系。
解：（1）由不确定关系可得： 2≥∆⋅∆x p x 依题意此时的mm x 10.01=∆，因此有：)/(6.021s m x m m p x =∆≥∆=∆ x v 电子经过9kV 电压加速后，速度约为s m /1067⨯。
大学物理 第十七章 量子力学基础3
e2
运用球坐标系
1 2 1 ( r ) (sin ) 2 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 2 2 (E ) 0 2 r sin 40 r
17
将 分离变量为
( r, , ) R( r )( )( )
科学家简介——尼尔斯· 玻尔
6
尼尔斯· 玻尔
尼尔斯· 玻尔(Bohr,Niels)1885年10月 7日生于丹麦首都哥本哈根，父亲是哥本 哈根大学的生理学教授．从小受到良好 的家庭教育．1903年进入哥本哈根大学 学习物理，1909年获科学硕士学位， 1911年获博士学位．大学二年级时研究 水的表面张力问题，自制实验器材，通 过实验取得了精确的数据，并在理论方 面改进了物理学家瑞利的理论，研究论 文获得丹麦科学院的金奖章．
23
在不同的状态中，电子在各处出现的概率是不一样 的．如果用疏密不同的点子表示电子在各个位臵出现的概 率，画出图来，就像云雾一样，可以形象地称做电子云. 注意：1）电子云是几率云，只知电子在何处出现的几 率大小，要问电子在何处，答曰；“云深不知处” 2）电子没有确定的轨道，所谓“轨道”只是电子出现几 率最大的地方。 对于基态 n 1.l 0, ml 0
14
m
E（eV）
0(电离态) -0.54 -0.85 -1.51
布喇开系
帕邢系 巴耳末系
5 4
3
2
-3.39
赖曼系
1 氢原子中电子的能级
15
-13.6(基态)
玻尔把当时人们持极大怀疑的普朗克--爱因斯坦 的量子化与表面上毫不相干的光谱实验巧妙地结合起 来，解释了近30年的光谱之谜--巴耳末与里德伯的公 式，并首次算出里德伯常数。 在表面上完全不同的事物之间寻找它们的内在联系， 这永远是自然科学的一个令人向往的主题。 玻尔能成功解释氢原子光谱的规律性，但不能解 释复杂光谱规律等问题。产生这种缺陷的原因是玻尔 的原子模型是牛顿力学概念和量子化条件的混合物。 1922年，玻尔因为对原子结构和原子放射性的 研究而获诺贝尔物理奖。
能量量子化
三、黑体辐射的实验规律
1）测量黑体辐射的实验原理图：
T
T
空腔
平行光管
三棱镜
实验结果
辐射强度： 单位时间内从物体单位面积上所发射的各种波长的总辐
射能，称为辐射强度。
特点：随温度的升高
①各种波长的辐射强度都 在增加；
②绝对黑体的温度升高时， 辐射强度的最大值向短 波方向移动。
经典物理学所遇到的困难 解释实验曲线 ── 一朵令人不安的乌云
A．一切物体都在辐射电磁波
B．一般物体辐射电磁波的情况只与温度有 关
C．黑体辐射电磁波的强度按波长的分布 只与黑体温度有关
D．黑体能够完全吸收入射的各种波长的 电磁波
【例题2】 对应于3.4×l0 ─19 J 的能量子，其电磁辐射 的频率和波长各是多少？
c
解：根据公式 ε = hν 和 ν = 得
第十七章 波粒二象性 第一节 能量量子化
1900年，在英国皇家学会的新年庆祝会上，
物理学家开尔文勋爵作了展望新世纪的发言:
科学的大厦已经基本完成，后辈 的物理学家只要做一些零碎的修 补工作就行了
但开尔文毕竟是一位重视现实 和有眼力的科学家，就在上面提到 的文章中他还讲到：
“但是，在物理学晴朗 天空的远处，还有两朵 令人不安的乌云……”
-0.54 -0.85
h = 6.62610 ─34 J·s — 普朗克常量 能
-3.4
5. 宏观能量：连续的
量
-13.6
宏观 微观
微观能量：不连续、分立、量子化的
谁拨开了第二朵乌云，开创了物理新纪元
普
爱
朗
因
克
大学物理理论：量子力学基础
大学物理理论：量子力学基础1. 介绍量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观粒子的行为和性质。
本文将介绍一些关于量子力学的基本概念和原理。
2. 原子结构和波粒二象性2.1 光电效应光电效应实验证明了光具有粒子性。
解释光电效应需要引入光量子（光子）概念，并讨论能量、动量和波长之间的关系。
2.2 德布罗意假设德布罗意假设认为微观粒子也具有波动性。
通过计算微观粒子的德布罗意波长，可以得出与经典物理不同的结果。
3. 波函数和不确定性原理3.1 波函数及其统计解释波函数描述了一个系统的状态，并包含了关于该状态各个可观测量的信息。
通过波函数，可以计算出一系列平均值，用来描述系统的特征。
3.2 不确定性原理不确定性原理指出，在某些情况下，无法同时准确地确定一个粒子的位置和动量。
这涉及到测量的本质和粒子与波的性质之间的关系。
4. 玻尔模型和量子力学4.1 玻尔模型玻尔模型是描述氢原子中电子运动的经典物理学模型。
它通过量子化角动量来解释氢原子光谱，并提供了首个对原子结构和能级分布的定性解释。
4.2 泡利不相容原理泡利不相容原理说明电子在同一能级上必须具有不同的状态。
这为填充多电子原子如何达到稳态提供了解释。
5. 薛定谔方程及其解析方法5.1 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中最基本的方程。
它描述了波函数随时间演化的规律，以及如何通过波函数求得可观测量的平均值。
5.2 解析方法介绍几种求解薛定谔方程的解析方法，如分离变量法、变换法等，并通过示例问题演示其使用过程和计算结果。
6. 哈密顿算符与算符方法6.1 哈密顿算符哈密顿算符是用于描述系统总能量的数量。
介绍哈密顿算符的概念和性质，并讨论如何通过其本征值和本征函数求解问题。
6.2 算符方法算符是量子力学中描述可观测量的数学工具，介绍常见的一些算符，如位置算符、动量算符等，并讨论它们之间的对易关系。
结论量子力学作为现代物理学的基石，为我们理解微观世界提供了全新的视角。
量子力学基础
量子力学基础量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观世界中粒子的行为和性质。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
一、波粒二象性量子力学的核心观念之一是波粒二象性，即物质既可以表现出粒子的离散性质，又可以表现出波的波动性质。
这一观念由德布罗意提出，他认为任何物体都具有波函数。
二、波函数与波动方程波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子的位置、动量和能量等物理量。
根据薛定谔方程，波函数满足定态和非定态的波动方程。
三、量子力学中的测量在量子力学中，测量是指对粒子某个物理量进行观测并得到相应的结果。
与经典物理学不同的是，量子物理学中的测量结果是随机的，只能得到概率分布。
四、不确定性原理不确定性原理是量子力学中的重要概念，由海森堡提出。
不确定性原理指出，在给定的时刻，不能同时准确测量一个粒子的位置和动量。
精确测量其中一个物理量，将会导致对另一个物理量的测量结果存在不确定性。
五、量子力学中的算符在量子力学中，算符是用来描述物理量的操作。
比如，位置算符、动量算符和能量算符等。
根据算符的性质，可以求得粒子的期望值和本征态等信息。
六、量子纠缠和超导量子纠缠是量子力学中的一个重要现象，它描述了两个或多个粒子之间的紧密联系。
超导是一种物质在低温条件下具有零电阻和完全抗磁的特性。
七、量子力学的应用量子力学在许多领域都有广泛的应用，尤其是在量子计算、量子通信和量子传感器等前沿科技领域。
量子力学的发展为人类带来了许多革命性的技术和突破。
八、总结量子力学作为现代物理学的重要理论基础，对我们理解微观世界具有重要意义。
本文介绍了量子力学的基础知识，包括波粒二象性、波函数、测量和不确定性原理等内容。
希望读者通过阅读本文，对量子力学有更深入的了解，并能进一步探索其在科学和技术中的应用前景。
量子力学基础知识
量子力学基础知识一、引言量子力学是研究微观领域的物质与能量相互作用的理论框架。
自从其诞生以来，量子力学一直在推动科学的发展，并给人们对宇宙的认识带来了巨大的变革。
本文将介绍量子力学的基础知识，包括量子力学的起源、基本原理、波粒二象性以及量子力学的测量等内容。
二、量子力学的起源量子力学起源于20世纪20年代，由一系列学者的贡献构建而成。
其中，德国物理学家普朗克的能量量子化假设和波尔的量子化条件为量子力学的产生奠定了基础。
普朗克假设能量的辐射是离散的，而非连续的，基于这一假设，波尔提出了电子只能存在于特定的能级上，并且在能级间跃迁时会放出或吸收能量。
这些基本思想为量子力学的建立提供了理论依据。
三、量子力学的基本原理1. 状态和波函数在量子力学中，一个粒子的状态可以由波函数来描述。
波函数是一个数学函数，描述了粒子在空间中的概率分布情况。
根据波函数的不同形式，可以分为定态波函数和非定态波函数。
定态波函数描述的是粒子在确定能级的状态，而非定态波函数描述的是粒子在多个能级之间的叠加态。
2. 波粒二象性量子力学中最重要的原理之一是波粒二象性。
根据波粒二象性，物质既可以表现出波动性，又可以表现出粒子性。
对于微观粒子，如电子、光子等，它们的波动特性可以通过波函数来描述，而粒子性则体现在其具有一定的质量和动量。
3. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的又一基本原理。
它指出，在同一时刻，无法准确测量一个粒子的多个性质，如位置和动量，或者能量和时间。
这是因为在测量的过程中，会对被测量粒子产生扰动，从而导致测量结果的不准确性。
四、量子力学的测量在量子力学中，粒子的测量是通过测量算符来实现的。
测量算符对应于一个可观测量，如位置、动量、能量等。
在测量的过程中，波函数会坍缩到一个特定的本征态上，这个本征态对应于特定的测量结果。
五、应用与展望量子力学在科学技术领域有着广泛的应用。
其中，量子计算、量子通信和量子物质等领域备受关注。
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焦）; 1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧 道显微镜,获1986年Nobel物理学奖。
§17.2 微观粒子的不确定关系
一、几个典型实验 1.子弹实验
子弹总是整颗到达，且有明确的 轨道，打开两孔的效应是单独打 开每孔效应之和： P12＝ P1＋P2，不呈现干涉现象。
论物理德学布整。罗个他意世善原纪于来以用学来历习，史历在的史辐观，射点后理，来论用改上对学，比理比的 方法分起析波问动题的。研究方法，是过于忽视了粒
子19的23研年究，方德法布；罗在意实试物图理把论粒上子，性是和否波
L.V.de Broglie 1892 ——1987
动性统发一生起了来相。反1的92错4误年呢，？在是博不士是论我文们《关 于量子于理粒论子的图研象究想》得中太提多出，了而物过质分波地的忽假略设。 指证出思实路了物。波粒获的子得图具1象9有2呢9“？年波—诺粒—贝二德尔象布物性罗理”意奖及。实验验
实验结果与布拉格公式:
2d sin k （d为晶面间距， I
K为整数）能很好地对应。当入
射波长满足上式时，出现衍射峰
值。
电子衍射实验经电压加速后， 0 5 10 15 20 25 U
波长为 ：
12
. 25 U
o
A
可见，电压改变，则波长改变。当波长满足布拉格公
式时，出现峰值。
戴维逊—革末实验证实了电子具有波动性，也证明了
德布罗意实物粒子也具有波粒二相性的假设是正确的。
2d sin k
2、G.P.汤姆逊（1927 ）电子束穿过多晶片的衍射实验
多晶 铝箔
3、约恩逊（1961） 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验图象
单缝衍射
双缝衍射 三缝衍射
四缝衍射
戴维逊（美.1881－1958）和汤姆逊（英.1892 －1975）共同获得1937年诺贝尔物理奖。
4. 电子实验
p1
pP1122
p2
奇异的结果：本是一个个粒子，但它落到屏上哪一点确是 随机的。只能估计它到达某点可能性（概率）有多大。 实物粒子的二象性就统一在“概率波”上。
二、不确定关系 1. 位置与动量的不确定性关系
1927年，海森堡提出：如果 用x表示一个粒子在x方向上位 置的不确定量（不确定范围）， 用px代表沿x方向的动量的不确 定量，那么它们的乘积有一个下 限，即
例：电子经过电势差为U的电场加速，求其德布罗意波长。
解：电子在电场里加速所获得的动能
Ek
1 2
mv2
eU
p2 Ek 2m
v = c
h h h p 2mEk 2meU
A 12.25 1010 m 12.25 o
U
U
U=150V 时， = 0.1nm — X 射线波段
二、实验验证
1.戴维逊 — 革末实验（1927年）
探测器B
栏缝 热灯丝 D
K
G 电流计
U
M 镍单晶
加速电压
A 根据德布罗意理论： 12 . 25 o
U
固定θ，改变U，I如何变化？
若电子只具有粒子性，电压增大，电子速度增大，单
位时间内射到晶面上的电子数增多，电流应该单调增大。
但电子衍射的实验结果，电流强度不是随着电压的增大而单
调增加，而是显示出有规律的选择性。如图所示： 矛盾！
2. 德布罗意假设 一切实物粒子都有具有波粒二象性
一个总能量为E,动量为 P 的实物粒子,相应的物质波的频
率和波长满足：
E h
p h
—德布罗意关系式
与粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波.
注意：光波的波速等于光子的运动速度，都等于c 。
而物质波的波速 u 并不等于相应粒子的运动速度v；
即：对光波有 = c; 而物质波 v
原子中电子的运动呈现明显的波动性，受不确定原理 的制约，是微观粒子。
例：显象管中的电子加速电压为10kV，电子枪直径为0.1mm 。 计算电子出枪后的横向速度不确定量及速度。
n,
n 1, 2,3,L
r
表示：氢原子中的电子在定态轨道上运
动时，其周长等于电子物质波波长的整数倍，
即满足驻波条件。
导师朗之万把德布洛意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦看后
称：
“揭开了自然界巨大帷幕的一角”
“看来疯狂，可真是站得住脚呢”
经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理学家们
纷纷做起了电子衍射实验。
例：速度v =5.0102m/s飞行的子弹，质量为m =10-2Kg，
对应的德布罗意波长为多少？
h h 1.31025 nm
p mv
太小测不到！ “宏观物体只表现出粒子性”
物质波的概念可以成功地解释原子中令人困惑的轨道量子化
条件。
氢原子量子化条件：rnmvn
n
h
2
2 rn
n h mvn
n
h p
例：原子线度为10-10m , 计算原子中电子速度的不确定量。
解： x 1010 m
x Px 2
v x
Px m
Px = m vx
M
v
+
m
h 5.8 105 m s1 2mx
按经典力学计算，氢原子中电子的轨道速度v ~106 m·s-1 。
v与其不确定量的数量级基本一样，v 没有意义了！ 粒子的轨道概念不适用！
实物粒子的波粒二象性 不确定关系 波函数 薛定谔方程 氢原子 电子的自旋 四个量子数 原子的电子壳层结构
旧量子论：在经典理论框架中引入量子假设,通过革新基本 观念，解决各局部领域的问题。
量子力学：从基本属性上认识微观粒子的运动规律
§17.1 物质波假设及其实验验证
一.德布罗意物质波假设
1.基本思想：自然界是法对国称物统理一学的家，，光波与动实力物学粒的子创(如始电人子，、 质子、中子等)也应量该子有力波学粒的二奠象基性人。之一。
x
px
2
海森堡不确定性关系
海森堡（W.K.Heisenberg）
1901--1976 德国理论物理学家。他在 1925 年 为 量 子 力 学 的 创 立 作 出 了 最 早 的 贡 献 ， 在 26 岁 时 提出的不确定关系和玻恩的 波函数，共同奠定了量子力 学 的 基 础 。 为 此 ， 他 于 1932 年获诺贝尔物理学奖。
子弹是经典粒子ຫໍສະໝຸດ 2. 水波实验I12 I1 I2 2 I1I2 cos
经典波 y y x, t y有明确的物理意义
3. 光子实验
波 粒
I12 I1 I2 2 I1I2 cos
I Nh
二 象
P12 P1 P2 2 P1P2 cos
性 粒子性—光子的整体性， 波动性—可叠加性