2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度解析
物体的速度与加速度
物体的速度与加速度在物理学中，速度（speed）和加速度（acceleration）是描述物体运动和变化的重要概念。
本文将探讨速度和加速度之间的关系以及它们在物体运动中的应用。
一、速度（Speed）速度是描述物体在单位时间内所走过的路程。
通常用符号v来表示速度，其公式为：v = s/t，其中s是物体所走过的路程，t是物体运动所花费的时间。
速度的单位通常为m/s（米每秒）或km/h（千米每小时）。
速度可以分为两种：瞬时速度和平均速度。
瞬时速度指的是物体在某一瞬间的速度，通常用v表示。
平均速度指的是物体在一段时间内的平均速度，通常用V表示。
在物理学中，速度的概念广泛应用于解释物体的运动状态。
通过测量物体的速度，我们可以了解物体的运动方向和运动快慢。
二、加速度（Acceleration）加速度是描述物体在单位时间内速度变化的快慢。
通常用符号a来表示加速度，其公式为：a = (v2 - v1)/t，其中v1是物体的初始速度，v2是物体的末速度，t是物体速度变化所花费的时间。
加速度可以分为两种：正加速度和负加速度。
正加速度表示物体速度的增加，负加速度表示物体速度的减小。
加速度乘以时间即可得到速度的变化量。
加速度在物理学中起着重要的作用。
通过测量物体的加速度，我们可以了解物体的加速度方向和加速度的大小，从而进一步研究物体的运动规律。
三、速度与加速度的关系物体的速度和加速度之间存在一定的关系。
当物体的加速度恒定时，速度与时间呈线性关系。
即速度随时间的推移而按照一定的规律逐渐增加或减小。
此外，物体的速度与加速度的互相作用也影响着物体的运动状态。
当物体的速度与加速度方向一致时，物体的速度会逐渐增加；当物体的速度与加速度方向相反时，物体的速度会逐渐减小。
四、速度、加速度与物体运动物体的速度和加速度在研究物体的运动时起着重要的作用。
通过测量物体的速度和加速度，我们可以了解物体的运动状态、轨迹以及受力情况。
例如，在汽车行驶过程中，通过测量车辆的速度和加速度，我们可以掌握车辆的行驶速度、变速情况以及加速度对车辆的影响。
自然坐标系
r
t
t 0
AB .
t R
ern
v2 R
en
法向加速度
a
an
v2 R
vB
B vA
R
O
A
大小，方向，作用
2. 一般圆周运动的
切向加速度和法向加速度 分析方法
vB r
v vB vA vrn vr v
vrn 表示速度方向改变量 vr 表示速度大小改变量
lim lim vr
t 0
rr t
t 0
s t
er
ds dt
er
ds dt
三、 自然坐标系下的加速度
1. 匀速圆周运动， 法向加速度
v vB
vA
v vB
vA
Δv vB vA ,
AB R
lim lim ar
t 0
则：a an2 a 2 (1.88)2 (1.2)2 2.23(m / s2 )
tg an
a
12233'
总结解题策略：
（1）分析问题特点，建立恰当的坐标系 （2）由运动方程求解速度随时间变化的表达式 （3）分别计算出切向加速度与法向加速度，再 求解合加速度的大小和方向
解：根据加速度的定义：
ar
anern
a er
v2 R
ern
dv dt
er
a an2 a 2
v
ds dt
2
R
a
d
dt
1.2t
2013-01-2自然坐标系下的速度-加速度
a
a
0，an
a
an
0
为匀速率曲线运动（圆 周运动）
dv dt
0
v2
n0
a an
a
a a a 2 an 2 dv dt2 v2 2
加速度总是指向曲线的凹侧
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a a 2 an2
加速度
方向 tan 1 an
下面三种情况分别代表那一类运动？
１. ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、
a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
v lim r
t0 t
ds
dt
vr ds v v v
dt
z
v
p s
s
r q
r(t)
r(t t)
o
y x
自然坐标系下的 速度表达式
大学物理
讨论物理意义：
vr ds v v v
dt
ds v dt
1、 瞬时速率 v：
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律 s v0t b运t 2动/ 2，
v0、b 都是正的常量。求：
（1） t 时刻质点的总加速度的大小
（2） t 为何值时，总加速度的大小b
§2、速度、加速度的分量表达式
§2、速度、加速度的分量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，22;dt r d dt v d a dt r d v =≡≡ 。
在一般情况下它们往往都是时间t 的函数。
何谓定义呢？定义它本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是根据实际需要常常用到而定义下来的名称和概念。
例如过两点成一条直线……。
由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成分量的形式。
这次课将准备讨论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。
一、 直角坐标系——直角坐标系又称笛卡儿坐标系在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为：........z k y j x i r ++= （1）根据速度的定义可知dtr d v ≡将（1）代入，则有 1、速度： z y x v k v j v i dt dz k dt dy j dt dx i z k y j x i dt d dt r d v ++=++=++==...........................................)(于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的分量表达式为：z dtdz v y dt dy v x dt dx v z y x ======;;可见速度沿三直角坐标轴的分量（即分速度）就等于其相应的坐标对时间t 的一阶导数。
速度的大小：222z y x v v v v v ++== 速度的方向就用方向余弦来表示：vv k v v v j v v v i v z y y ===),cos(;),cos(;),cos( 。
同理，我们由加速度的定义不难得到它的分量表达式。
2、加速度根据加速度的定义：zy x z y x a k a j a i dt dv k dt dv j dt dv i dt z d k y d j x d i dt dz k dy j dx i dt d dt v d a ++=++=++=++==2222)(比较这些恒等式可得加速度的直角坐标分量表达式：z dt z d v dv a y dt y d v dt dv a x dtx d v dt dv a z t z y y y x x x ============222222 于是可得加速度的大小为：222z y x a a a a a ++== 加速度的方向用方向余弦表示。
自然坐标系中的速度、加速度
a 0, 0 / 2, v
a 0, / 2, v const
a 0, / 2 , v
an 0 0,
直线运动
五、关于圆周运动 ( R)
an
v2 R
0
a
dv dt
a v2 nˆ dv ˆ
s
O’ oanR
a
a
R dt
若 v const
若 v const
M
S+
设M点在t=0时的初位置为 s0
则：运动方程：
s s0 a1t 2 / 2 v
ds dt
M s0
a1t O׳
an
v2 R
nˆ
a12t 2 R
nˆ
a
aM
a12t 2 R
nˆ a1ˆ
dv ˆ
dt
a1ˆ
注意：同一质点的加速度无论在直角坐标还是
a 自然坐标中总加速度
只能是一个值。
（匀速圆周运动）
dv 0 dt
a v2 nˆ R
则为变速圆周运动
例：一半径R的滑轮绕O轴运动，其上绕以绳索，绳索的
一沿端上挂一一点重M的物加，速已度知(重绳物不按伸h长，a与1t轮2 /之2 间规无律相下对降滑，动求)轮
a ? 已知：R，h a1t2 / 2 求：
解：如图建立自然坐标系O׳S+
切a向v单d位v矢v的dˆ增(量vˆ为) dˆ
O中 d
ˆ
'
dˆ
nˆ
O’
d
ads ˆ
dt dt
v dˆ ˆ dv
aan称称a为为nd切法t向向加a加速速度；dt
an
S
v
dˆ
dt
01-2自然坐标系中的描述及相对运动
(1) a 0 匀速率运动； a 0 变速率运动
(2) an 0 直线运动; an
0
曲线运动
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
例1.由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪 口为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射 时t=0.试求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
C
v2
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
dv v a a an n dt
a a
2
a an
a
a an
2 2 2
2
2 v dv dt
2 2
相对性：参照系、坐标系
直角坐标
22Leabharlann 2222
x
x
x
x
x
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
2-1. 在自然坐标中描述质点的运动
1. 位置：在轨道上取一固定点O，用质点距离O的路程
长度 s，可唯一确定质点的位置。位置 s有正负之分
2. 位置变化: s 3. 速度： 沿切线方向。
解：(1) x v0 t
2
1 2 y gt 2
o
v0
x
1 x g y 2 2 v0
an
y g
a
第二讲 自然坐标系：切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) v x v0 , v y gt
o
2 0 2 2
03运动学圆周运动 自然坐标系角速度角加速度切向加速度法向加速度
方向在圆周的切线方向上。 5
同样可以得到加速度：
a
R
d
(sini cosj) R( cos
d
i sin
d
j)
dt
dt
dt
R 2 (cosi sinj )
令： τ为圆周的切向上的单位矢量
a a2 an2
例1、半径R=0.5米的飞轮绕中心轴转动， 其运动函数 为θ=t3+3t(SI)求t=2秒时，轮缘上一点的角速度角加速 度以及切向加速度、法向加速度。
解：ω=3t2+3 α =6t
t=2s时 ω=3×22+3=15(rad/s)
α=6×2=12(rad/s2) aτ =R α =0.5×12=6(m/s2)
5 质点运动学小结：
12、、定描义述：运速动度的物v理量d：r t加、Δ速t、度r：、Δra、v、dva 、s
dt
dt
对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt
3、质点运动学的两类问题：
1）已知运动方程，求速度、加速度。
解法：用求导数的方法解决。
2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
α等于恒量时作匀角加速度运动。
3
对匀角加速运动有： ω=ω0+ α t
0
0t
1
2
t2
0
1 2
(
0 )t
2
2 0
2 (
0)
4
2 线量与角量的关系：质点做圆周运动时也可以用速 度、加速度来描述。
掌握用自然坐标法求点的速度加速度的方法步骤
3、匀变速直线运动 an=0，a = aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动的初 始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分可得
v = v0 + at s = s0+ v0t +at²/2 由上式消去t 可得 v 2= v0 2+2a（s-s0）
则有 v2 / an 20 / 0.894 22.37
3、全加速度a:在自然轴系中，称点的加速度为 全加速度。
全加速度a的大小及方向：
a a 2 an2 (dv / dt)2 (v2 / )2 tan a
an
式中：β为全加速度a与法向轴n正向所夹的锐角。
四、点的运动的几种特殊情况
1、匀速直线运动 v =常量，ρ→∞，故aτ=0， an =0，即a=0。 若已知点的运动的初始条件，当t=0时，s= s0， 则有v = ds/dt，积分得 s－s0=vt。
4、匀变速曲线运动
an= v2/ρ， aτ=dv/dt=常量。若已知点的运动 的初始条件，当t=0时，s= s0，v= v0，则积分 可得 v = v0 +aτt s = s0+ v0t +aτt²/2 由上式消去t可得 v2= v02+2aτ（s-s0）
例3：如图a所示：杆AB的A端铰接固定，环M将AB杆 与半径为R的固定圆环套在一起，AB与垂线之夹角为 φ=ωt，求套环M的运动方程、速度、加速度。
a dv d (v ) dv v d
dt dt
dt dt
aτ
aτ τ
dv dt
τ
an
ann
v
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0
dv v 2 a n＝a x i a y j a z k dt
瞬时曲率半径
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动 运动中的加速度
an
v
2
dv a dt
0
2
a
力学中利用加速度与曲率半径的关系求曲线轨迹上各点的曲率半径。
a
a
ds v v dt
ds v dt
1、 瞬时速率
v
：
n
S+
反映了质点任一时刻沿轨道运动的快 慢。
2、任何时刻质点的速度总沿轨道的 切线方向，速度只有切线分量而无法 向分量。
O
大学物理
二、 自然坐标系下的加速度
由加速度的定义有
d v a dt
由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此， 自然坐标系中可将速度表示为：
2
＝1
大学物理
自然坐标系下加速度表达式：
2 dv v a n dt R
o
n
a
即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：
an a P
a dv dt
2 v an R
a 切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢 an 法向加速度，其大小反映质点速度方向变化的快慢
大学物理
Key: c
大学物理
三、推广：一般平面曲线运动中的加速度
质点的轨迹可以看成是由无穷多个圆组合而成。 对圆周运动而言：曲率半径各点相同 R, 于是对曲线上任一点，研究该点的速度、加速度情况时， 仅需要将 R 换成 就得到一般曲线运动的加速度的正交分解式。
v an a dv t dt
以圆周运动为例：
v dv
d
dv d ( ) v dt dt
d
B
v
A
1 d d ds v n n n dt dt ds dt
dS d
d 1 ds
d
d 2
1
dv v a n0 dt
Hale Waihona Puke a 2 2 2 a a a an dv dt v 2
加速度总是指向曲线的凹侧
an
2
a
大学物理
自然坐标系中总加速度为：
a a an
改变速度大小
大小 a
2 a an 2
a
加速度
方向
tan
2 2 2
与切向加速度垂直
大学物理
例题
一质点沿半径为R的圆周按规律
s v0t bt2 / 2 运动，
v0、b 都是正的常量。求：
（ 1） t 时刻质点的总加速度的大小
一、自然坐标系下的速度
s s(t t ) s(t ) r v lim t 0 t ds dt
z
s
p
r (t )
v
r
s
q
r (t t )
o
x
自然坐标系下的 速度表达式 大学物理
y
ds v v dt
讨论物理意义：
１. 变速直线运动 ２. 匀速率圆周运动 ３. 变速率圆周运动
大学物理
讨论
质点沿固定的圆形轨道， 若速率 v 均匀增加，at 、an、 a以及加速度与速度间的夹角中哪些量随时间变化？
an
v2 an R
at
a
an
2 t
a
变化
at
2 n
a a
变化
a
at
an tg at
变化
大学物理
均匀=不变
大学物理
a a 0 an an n0
切向加速度、反映速度大小变化，
法向加速度、反映速度方向变化， an 0，a 0 变速直线运动；
a 0，an 0 为匀速率曲线运动（圆 周运动）
2 dv v a a an 0 n0 dt
v2
2
2 an
v 2 dv dt
2
dv a2 dt
2
1 y
y x
2 x
3
2
大学物理
四、讨论几种特殊情况：
下面三种情况分别代表那一类运动？
１ . ，an＝0， a 0, 2. ＝常量，an 0，a ＝0, 3. ＝常量，an 0，a 0,
v0
x
an
a
y
g
大学物理
(2)
vx v0 , v y gt
v v x v y v0 g t
gt arctg v0
2 2 2 2 2
o
v0
x
an
a
y
2
g
2
dv gt a 2 dt v0 g 2 t 2
与速度同向
an g a
2
v0 g v0 g t
例、由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口 为原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时 t=0.试求：
(1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。 解：(1)
x v0 t 1 2 y gt 2
o
1 x2 g y 2 2 v0
大学物理
上册
v,a
自然坐标系
在运动轨道上任一点建立正交坐 标系 , 其一根坐标轴沿轨道切线 方向 , 正方向为运动的前进方向； 另一根沿轨道法线方向，正方向 指向轨道内凹的一侧。 切向单位矢量
n
n
大学物理
n
法向单位矢量
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
1
an a
a
n
an
？
i jk 与
两组单位矢量
o
大学物理
的区别是什么？
练习
1: 下列哪一种说法是正确的（ ） （A）运动物体加速度越大，速度越快 （B）作直线运动的物体，加速度越来越小，速 度也越来越小 （C）切向加速度为正值时，质点运动加快 （D）法向加速度越大，质点运动的法向速度变 化越快
v v
dv d a v dt dt
大学物理
讨论物理意义：
以圆周运动为例讨论上式中两个分项的物理意义：
dv d a v dt dt
难点：
d 的大小如何？方向如何 ？ dt
大学物理
d dv a v(t ) dt dt