1-5 极坐标系中质点运动描述
质点运动的坐标系
r
y
1
位置矢量可表示为
r xi yj zk
j 其中 i 、和 k 分别是x、y和z方向的单位矢量。
位矢大小 r r x 2 y 2 z 2
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
y x cos , cos , r r
z cos r
小球的加速度可表示为 ：
a ut 2 u
2
由上式可以看到, 径向加速度是时间的线性函
数, 横向加速度则为常量。
22
三、自然坐标系 (natural coordinates) 沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。 取轨道上一固定点为原点, 规定两个随质点位置
变化而改变方向的单位矢量, 一个是指向质点运动
ˆ d
dt
dt dt
dt dt
dt
dt dt
a [
d2
d d ˆ ˆ ( ) ] [ 2 2 ] 2 dt dt dt dt dt
2
d
d 2
ˆ ˆ a a a
18
a
d2 dt 2
d d d 2 d 2 ( ) , a 2 2 dt dt dt dt
分别称为径向加速度和横向加速度。
质点直线运动, 取该直线为极径，极角为常量：
d2 a 2 , a 0 dt
质点圆周运动, 极径是圆周半径, 为常量, 有
d 2 d 2 a ( ) , a 2 dt dt
19
2 d 2 d 2 1 v 继续推算 a ( ) ( ) dt dt
方向的切向单位矢量, 用 表示, 另一个是垂直于
质点运动的描述
质点运动的描述质点运动是经典力学中的基本概念，它描述了一个物体在空间中运动的方式。
质点被定义为一个没有体积的点，它具有质量和位置。
在质点运动的描述中，我们通常关注的是质点的位置、速度和加速度，以及与时间的关系。
I. 位置的描述质点的位置可以用坐标来描述。
在二维情况下，我们可以用笛卡尔坐标系或极坐标系来表示质点的位置。
在三维情况下，我们通常使用笛卡尔坐标系。
质点在空间中的位置可以用一个向量来表示，该向量以质点所处位置为终点，以参考点为起点。
II. 速度的描述质点的速度是指单位时间内质点位置的变化率。
在一维情况下，我们可以用标量表示质点的速度。
在二维或三维情况下，我们需要使用向量表示质点的速度。
质点的速度可以通过位置对时间的导数来计算，即速度等于位置关于时间的导数。
III. 加速度的描述质点的加速度是指单位时间内质点速度的变化率。
加速度表示了质点运动的变化情况。
在一维情况下，我们可以用标量表示质点的加速度。
在二维或三维情况下，我们需要使用向量表示质点的加速度。
质点的加速度可以通过速度对时间的导数来计算，即加速度等于速度关于时间的导数。
IV. 运动方程的描述运动方程是描述质点运动的基本方程。
对于匀速直线运动，质点的运动方程可以表示为x = x0 + vt，其中x为质点的位置，x0为初始位置，v为速度，t为时间。
对于匀加速直线运动，质点的运动方程可以表示为x = x0 + vt + 0.5at^2，其中a为加速度。
在二维或三维情况下，我们可以将位置、速度和加速度的每个分量分别表示，并分别应用相应的运动方程。
V. 质点运动的特殊情况在质点运动中，还存在一些特殊情况。
例如，匀速圆周运动中，质点沿着一个固定半径的圆周以恒定速度运动。
在这种情况下，质点的位置可以用极坐标来表示，并且质点的速度与加速度垂直于运动方向。
VI. 质点运动的描述与分析质点运动的描述和分析对于理解物体运动的基本规律和设计运动轨迹具有重要意义。
质点在极坐标系中的运动分析
质点在极坐标系中的运动分析在物理学中，质点在极坐标系中的运动是一种常见的运动形式。
极坐标系是一种由径向和角度两个坐标轴组成的坐标系，对于描述圆形或者旋转运动的物体非常有用。
在本文中，我们将探讨质点在极坐标系中的运动特点以及相关的物理概念。
首先，我们来介绍一下极坐标系的基本概念。
在极坐标系中，一个质点的位置可以由径向距离和角度来确定。
径向距离表示质点与原点之间的距离，而角度则表示质点所在位置相对于参考方向的角度。
这种坐标系的特点是能够直观地描述物体的旋转和径向运动。
接下来，我们将讨论质点在极坐标系中的运动方程。
对于质点在极坐标系中的运动，我们可以通过径向速度和角速度来描述。
径向速度表示质点沿着径向的运动速度，而角速度则表示质点绕原点旋转的速度。
根据牛顿第二定律，我们可以得到质点在极坐标系中的运动方程：质点的径向加速度等于质点的径向力除以质量，即：a_r = F_r / m质点的角加速度等于质点的角力矩除以质量，即：α = τ / I其中，F_r表示径向力，m表示质量，τ表示角力矩，I表示转动惯量。
在质点的运动过程中，我们还需要考虑到质点的角动量和角动量守恒定律。
角动量表示质点绕原点旋转的动量，可以用以下公式表示：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，当质点在极坐标系中的运动过程中没有外力或者外力矩作用时，质点的角动量保持不变。
这意味着质点的转动惯量和角速度的乘积保持不变。
此外，我们还需要了解质点在极坐标系中的运动特点。
质点在极坐标系中的运动可以是径向运动、角度运动，或者同时具有径向和角度运动。
径向运动表示质点沿着径向方向的运动，可以是向内或者向外的运动。
角度运动表示质点绕原点旋转的运动，可以是顺时针或者逆时针的运动。
质点的运动轨迹可以是圆形、椭圆形或者其他形状，取决于质点的运动方程和初始条件。
最后，我们来看一个实例来更好地理解质点在极坐标系中的运动分析。
第1章-质点运动学
位移
rrrBArxBxBAii
rA
yA
yB
j j
y
yB A r
r y A A
rB
B
yB yA
(xB xA)i ( yB yA) j
xi yj
o
xA
xB x
xB xA
若质点r 在 (三x维B 空x间A中)i运动( yB
yA)
j
(zB
z A )k
位移的大小为 r x2 y2 z2
23
1-2 求解运动学问题举例
例3 有 一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度
为 v0 10 j , 它的加速度为 a 1.0v j. 问:（1）经
过多少时间后可以认为小球已停止运动, （2）此球体
在停止运动前经历的路程有多长？
解：由加速度定义
v dv 1.0
t
dt
,
v v0
0
a dv 1.0v dt
v v2
位矢量
t
0,
t 0
0,
tv
rv
a
dv dt
v2 r
en
2ren
法向单 位矢量
vB
r
o
en
v
vB
vA et r
vA
31
1-3 圆周运动
三alitlami tm 变00速litdmdv圆vvvt0tt周nt运vtavt动dvdttrev2ttleeit切mntv向a0nn加aaevn速tntneen度t 和法向v加2v速tove度2vnrevtv1vn1
一 圆周运动的角速度和角加速度
角坐标 (t)
角速度 (t) d (t)
dt
速率
质点运动的描述,自然坐标系
结论：
z K
r
R
z K P
r
o
y
o x
y
运动目标
(船)
绝
相
牵 动系 (水)
对
对
对
静系 (岸)
对
对
对
对
对
对
人骑车以速率
向正西行驶
遇到从北向南刮的风 , 速率也是
自然坐标系
如果质点做平面曲线运动，且被约束在已知 的轨道上，则可采用“自然坐标系”。
所谓“自然”，意即“顺其自然”，把轨道 当作坐标的“轴”。
质点的坐标是代表路程， 演示动画 质点的运动方向规定为轨道切线的正方向。
自然坐标系的建立
O
ˆ n
s
ˆ n
ˆ
将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一 点O作为坐标原点。 质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧长 度s 来表示，s 称为弧坐标。 运动方程：s s (t ) 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。 在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标和法向坐标。 •切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向；
x R cost , y R sin t
x2 y 2 R2
o
P2 v1 R an P 1 t x
dr v (R sin t )i (R cost ) j dt
2 2
r ( R cost )i ( R sin t ) j
a ( R cost )i ( R sin t ) j r
此处的 d
质点运动学
例1-1 已知质点在xy平面内运动，其运动方程是 x R cost ,y R sin t 。 式中R、 均为正常数。求(1)质点的轨迹方程；(2)质点在任意时刻的位矢、 速度和加速度；(3)质点在 t1 0 到 t2 3 2 时间内的位移。
解：(1) 由运动方程消去时间参量，可得质点轨迹方程
O
y
x
s
p2
p1
r
r1 r2
| r | p1p2 | r2 r1 |
s : 路程即弧线 p1p 2
路程s是标量
| r |
|r| || r2| |r1| |
图中 s | r | |r|
平均速度
平均速率
r v t
v2
2 ac tan
vy vx
(3)求加速度 a
3 y
2 1 a a
dv d a (2 i 2t j ) 2 j dt dt
a
2
-1
-2 -3
a
4
x
沿y轴负方向 矢量有两个重要特征： 大小 方向
a a
例1-2 汽车在半径 R 300.0m 的轨道上加速运动，其路程与时间的关系是 s 5.0t 2 0.1t 3 m ，求时 t 1.0s ，汽车的加速度大小。
(
v x i v y j vz k
dt
dt
( xi yj zk )
dt
i
dt
j
dt
k
r (t )
O
v
v | v |
2 2 2 vx v y vz
大学物理第1章质点运动学的描述
t0
0 2 4
t 2s 4
2
t 2s
x/m
6
-6 -4 -2
例3 如图所示, A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, A、B 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 A以恒定的速率 v 向左滑行, 当 60 时, 物体B的 速率为多少？ 解 建立坐标系如图, 物体A 的速度
1. 5 arctan 56.3 1
（2） 运动方程
x(t ) (1m s )t 2m
y(t ) ( m s )t 2m
1 4 2 2
1
由运动方程消去参数
1 -1 2 y ( m ) x x 3m 4
轨迹图
t 4s
6
t 可得轨迹方程为
y/m
三、位置变化的快慢——速度
速度是描写质点位置变化快慢和方向的物理量，是矢量。
速率是描写质点运动路程随时间变化快慢的物理量，是标量。 1 平均速度 在t 时间内, 质点从点 A 运动到点 B, 其位移为
B
y
r r (t t) r (t)
r (t t)
s r
质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模 型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考 虑一些次要的因素 .
二、位置矢量、运动方程、位移
1 位置矢量
确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 . 位置矢量, 简称位矢 r
y
y j
r xi yj zk
j k 式中 i 、 、 分别为x、y、z
xA xB xB x A
yB y A
o
x
经过时间间隔 t 后, 质点位置矢量发生变化, 由 始点 A 指向终点 B 的有向线段 AB 称为点 A 到 B 的 位移矢量 r . 位移矢量也简称位移.
极坐标下的质点运动
rer r e
a
dv dt
d dt
(rer
r e
)
rer
2r e
r e
r
d e dt
d e lim e d t t0 t
1 d
dt
(erd
dt
d dt
(re
r e
)
rer
2r e
dt
r e
r e
re(err) 2er
对于匀速圆周运动, ,是一常量，所以， 0
由此得： v re （切线方向）
a r 2er （向心方向）
4
d er dt
er
e
d e dt
e
(er )
例 质点的圆周运动问题
解：在某时刻，设质点运动图所示位置，
选取极坐标系，对于固定的圆，r 是常数，于是有，
r rer
v
dr dt
d(rer )
dt
rer
rer 0 r e
a
dv dt
d (r e )
极坐标下的质点运动
——曲线运动问题
极坐标系下表示
r
rer
v=
d r = d(rer )= dt dt
d d
r t
er
+
r
d er dt
d er lim er d t t0 t
1 d
dt
e
e
由此整理得：
v dr dt
= d(rer ) dt
dr dt
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rω2 r
o
(12t '2 ) 2 24t '
t ' 0.55(s)
2 4t '3 2.67(rad)
b 2 例 质点沿半径为R的圆周按 s v 0t t 运动，式中s为自然 2 坐标，v 、b为常量。
0
求 (1) 质点的加速度； (2) 质点的角速度、角加速度； (3) 法向加速度和切向加速度数值相等前，质点运动的时间。 解 (1) 本题是自然坐标的第一类问题。 先求出速率
ds v v 0 bt dt dv at b dt
v (v 0 bt ) an R R
2
2
1 a an a t R 2b 2 (v 0 bt ) 4 R
2 2
(v 0 bt ) 2 tan Rb (2) 根据线量和角量关系，写出用角量描述的运动方程θ (t )
线 位置 位移
量
角 量 加速度 与 线 量 切线加速度 的 比 法向加速度 较
匀速直线运动
速度
v dr/dt a dv/dt
a dv /dt
a n v 2 /r
Δr r r0
r
角 角位置 角位移 角速度 角加速度
量
线量和角量的关系
θ
Δθ θ θ0
§ 1.5 极坐标系中质点运动描述
主要内容：
1. 圆周运动的角量描述 2.角量和线量的关系
一、圆周运动的角量描述 角位置 角位移 方向:
B s
A
沿逆时针转动， 为正； 沿顺时针转动， 为负。
角量表示运动方程
R
o
x
(t )
角速度
角加速度
Δ d lim Δt 0 Δt dt Δ d （） lim t 0 Δt dt
解：由： 0 t 由： 2 02 2
0 8 0 2 得： t 4 2 rad / s
2 （rad） 得： 2 16
R =R = R 50 16 40 n 20 圈 R 20 2
用角量表示匀变速圆周运动的基本方程： 0 t 1 2 0 0 t t 2 2 0 2 2 0
Q
二、角量和线量的关系：
ds rd
o
v r
a r
an r
2
ds d P r
x( 极轴)
ds d r dt dt dv d r dt dt v2 an r 2 r
0 0 t t 2
2 0 2 2 ( 0 )
1 2
解题思路 极坐标中质点运动学问题也分为两类问题。
求导
积分
求导 积分
质点的圆周运动可用线量描述也可用角量描述。
例 一质点作半径为0.1m 的圆周运动,已知运动学方 3 2 4 t (rad) 程为 求 (1) 当t =2s时,质点运动的an 和 aτ 以及 a 的大小 o (2) 当 =? 时,质点的加速度与半径成45 角？ 解 (1) 由运动学方程可得
d 12t 2 dt an rω2 230.4(m/s 2 )
2
d 2 2 24t dt
aτ r 4.8(m/s 2 )
2
a an aτ 230.5(m/s 2 )
(2) 设 t´ 时刻, 质点的加速度与半径成45 角, 则
t' : aτ an
s v0 b 2 t t R R 2R
d v 0 b t dt R R
d b dt R
(3) 由 at an 可得
(v 0 bt ) 2 b R
解出
v0 R t b b
例 半径为20cm的主动轮与半径为50cm的从动轮，用无相对 滑动的皮带连接。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在4s 内从动轮角速度达 8rad / s。求在这4s内主动轮转过多少圈。
ω dθ/dt
v r
a r
an r 2
β dω/dt
Δx vΔt
匀速圆周运动
t
匀变速直线运动
匀变速圆周运动
1 x x0 v 0t at 2 2 2 2 v v 0 2a( x x0 )
v v 0 at
0 t