理科数学参考答案
高考理科数学试题及答案2024
高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A⋃B）＝（ ）A．{x|x＝3k，k∈Z}B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z}C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z}D．∅【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集，∴∁U（A⋃B）＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选：A．2．（5分）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．1D．2【答案】C【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．3．（5分）执行下面的程序框图，输出的B＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：根据程序框图列表如下：A13821B251334n1234故输出的B＝34．故选：B．4．（5分）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，则cos〈﹣，﹣〉＝（ ）【答案】D【解答】解：因为向量||＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）•（﹣）＝（2+）•（+2）＝2+2+5•＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos〈﹣，﹣〉＝＝＝．故选：D．5．（5分）已知正项等比数列{a n}中，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，则S4＝（ ）A．7B．9C．15D．30【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，设公比为q，a1＝1，S n为{a n}前n项和，S5＝5S3﹣4，显然q≠1，（如果q＝1，可得5＝15﹣4矛盾），可得＝5•﹣4，解得q2＝4，即q＝2，S4＝＝＝15．故选：C．6．（5分）有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1【答案】A【解答】解：根据题意，在报名足球或乒乓球俱乐部的70人中，设某人报足球俱乐部为事件A，报乒乓球俱乐部为事件B，则P（A）＝＝，由于有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，则同时报名两个俱乐部的由50+60﹣70＝40人，则P（AB）＝＝，则P（B|A）＝＝＝0.8．故选：A．7．（5分）“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的（ ）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解答】解：sin2α+sin2β＝1，可知sinα＝±cosβ，可得sinα±cosβ＝0，所以“sin2α+sin2β＝1”是“sinα+cosβ＝0”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．9．（5分）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）A．120B．60C．40D．30【答案】B【解答】解：先从5人中选1人连续两天参加服务，共有＝5种选法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中选取1人参加星期日服务，共有＝12种选法，根据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60种选法．故选：B．10．（5分）已知f（x）为函数向左平移个单位所得函数，则y＝f（x）与的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：把函数向左平移个单位可得函数f（x）＝cos（2x+）＝﹣sin2x的图象，而直线＝（x﹣1）经过点（1，0），且斜率为，且直线还经过点（，）、（﹣，﹣），0＜＜1，﹣1＜﹣＜0，如图，故y＝f（x）与的交点个数为3．故选：C．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC的面积为（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：解法一：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，又PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，∴根据对称性易知∠PDB＝∠PCA＝45°，又底面正方形ABCD得边长为4，∴BD＝，∴在△PBD中，根据余弦定理可得：＝，又BC＝4，PC＝3，∴在△PBC中，由余弦定理可得：cos∠PCB＝＝，∴sin∠PCB＝，∴△PBC的面积为＝＝．解法二：如图，设P在底面的射影为H，连接HC，设∠PCH＝θ，∠ACH＝α，且α∈（0，），则∠HCD＝45°﹣α，或∠HCD＝45°+α，易知cos∠PCD＝，又∠PCA＝45°，则根据最小角定理（三余弦定理）可得：，∴或，∴或，∴或，∴tanα＝或tanα＝，又α∈（0，），∴tanα＝，∴cosα＝，sinα＝，∴，∴cosθ＝，再根据最小角定理可得：cos∠PCB＝cosθcos（45°+α）＝＝，∴sin∠PCB＝，又BC＝4，PC＝3，∴△PBC的面积为＝＝．故选：C．12．（5分）已知椭圆＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：椭圆，F1，F2为两个焦点，c＝，O为原点，P为椭圆上一点，，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，不妨m＞n，可得m+n＝6，4c2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，即12＝m2+n2﹣mn，可得mn＝，m2+n2＝21，＝（），可得|PO|2＝＝（m2+n2+2mn cos∠F1PF2）＝（m2+n2+mn）＝（21+）＝．可得|PO|＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
2020年高考理科数学全国1卷(word版,含答案)
1.【ID:4002604】若，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，则．故选D．2.【ID:4002605】设集合，，且，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：易求得：，，则由，得，解得．故选B．3.【ID:4002606】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，设正四棱锥的底面边长为，斜高，则，两边同时除以，得：，解得：，故选C．4.【ID:4002607】已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意知，，则．故选C．5.【ID:4002608】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度(单位：)的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：由图易知曲线特征：非线性，上凸，故选D．6.【ID:4002609】函数的图象在点处的切线方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，则切线斜率，又，则切线方程为．故选B．7.【ID:4002610】设函数在的图象大致如下图，则的最小正周期为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由图可估算，则．故选C．由图可知：，由单调性知：，解得，又由图知，则，当且仅当时满足题意，此时，故最小正周期．8.【ID:4002611】的展开式中的系数为()A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，要得到项，则应取项，则其系数为．故选C．9.【ID:4002612】已知，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由，得，解得：或(舍)，又，则．故选A．10.【ID:4002613】已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆．若的面积为，，则球的表面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由条件易得：，由，则，则，所以球的表面积为．故选A．11.【ID:4002614】已知：，直线：，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】解：：，则，如图，由圆的切线性质，易知：，则，所以最小时，最短，即最短，此时，易求得：，则直线：，整理，得：．故选D．12.【ID:4002615】若，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据题意，有，若，则，不符合题意，因此．13.【ID:4002616】若，满足约束条件，则的最大值为________．【答案】1【解析】解：作不等式组满足的平面区域如图：易得：，，，因为区域为封闭图形，分别将点的坐标代入，得最大值为．14.【ID:4002617】设，为单位向量，且，则________．【答案】【解析】解：因为，，则，则．15.【ID:4002618】已知为双曲线：的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴．若的斜率为，则的离心率为________．【答案】2【解析】解：如图，，，则由题意得：，解得：，(舍)，所以的离心率为．16.【ID:4002619】如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，则________．【答案】【解析】在中，；在中，，由展开图的生成方式可得，在中，由余弦定理可得，于是，因此在中，由余弦定理可得．17. 设是公比不为的等比数列，为，的等差中项．（1）【ID:4002620】求的公比．【答案】【解析】解：设数列的公比为，则，，即，解得或(舍去)，的公比为．（2）【ID:4002621】若，求数列的前项和．【答案】【解析】解：记为的前项和．由及题设可得，．所以，．可得．所以．18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）【ID:4002622】证明：平面．【答案】见解析【解析】方法：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，．，，，则，，，平面．方法：设，由题设可得，，，．因此，从而．又，故．所以平面．（2）【ID:4002623】求二面角的余弦值．【答案】【解析】由知，，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，解得，，二面角的余弦值为．19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为．（1）【ID:4002624】求甲连胜四场的概率．【答案】【解析】解：．（2）【ID:4002625】求需要进行第五场比赛的概率．【答案】【解析】(甲连胜场)(乙连胜场)(丙连胜场)．（3）【ID:4002626】求丙最终获胜的概率．【答案】【解析】丙最终获胜，有两种情况，丙连胜或输一场．(丙连胜)，丙输一场，则共进行场，丙可以在①第场输，、场胜；②第、场胜，场输；③第、、场胜，第场输，(丙第场输，，场胜)；(丙第，场胜，第场输)；(丙第，，场胜，第场输)，(丙胜)．20. 已知，分别为椭圆：的左、右顶点．为的上顶点，，为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为．（1）【ID:4002627】求的方程．【答案】【解析】由题意知，，，故，，，故椭圆的方程为．（2）【ID:4002628】证明：直线过定点．【答案】见解析【解析】方法：设，，故：，，故：，联立，，同理可得，，①当时，：，②当时，，：，③当且时，，：，令，故直线恒过定点．方法：设，，．若，设直线的方程为，由题意可知．因为直线的方程为，所以．直线的方程为，所以．可得．又，故，可得，即．①将代入得．所以，．代入①式得．解得(舍去)，．故直线的方程为，即直线过定点．若，则直线的方程为，过点．综上，直线过定点．21. 已知函数．（1）【ID:4002629】当时，讨论的单调性．【答案】当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．【解析】当时，，其导函数，又函数为单调递增函数，且，于是当时，函数单调递减；当时，函数单调递增．（2）【ID:4002630】当时，，求的取值范围．【答案】【解析】方法：根据题意，当时，不等式显然成立；当时，有，记右侧函数为，则其导函数，设，则其导函数，当时，函数单调递减，而，于是．因此函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也为最大值．因此实数的取值范围是，即．方法：等价于．设函数，则．(i)若，即，则当时，．所以在上单调递增，而，故当时，，不合题意．(ii)若，即，则当时，；当时，．所以在，上单调递减，在上单调递增．又，所以当且仅当，即．所以当时，．(iii)若，即，则．由于，故由(ii)可得．故当，．综上，的取值范围是．22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）【ID:4002631】当时，是什么曲线？【答案】为以坐标原点为圆心，半径为的圆．【解析】解：，的参数方程为，则的普通方程为：，是以坐标原点为圆心，半径为的圆．（2）【ID:4002632】当时，求与的公共点的直角坐标．【答案】【解析】解：当时，：，消去参数，得的直角坐标方程为：，的直角坐标方程为：，联立得，其中，，，解得，与的公共点的直角坐标为．23. 已知函数．（1）【ID:4002633】画出的图象．【答案】见解析【解析】解：如图，．（2）【ID:4002634】求不等式的解集．【答案】【解析】解：方法：由题意知，结合图象有，当时，不等式恒成立，故舍去；当，即时，不等式恒成立；当时，由，得，，解得，综上，．方法：函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．的图象与的图象的交点坐标为．由图象可知当且仅当时，的图象在的图象上方．故不等式的解集为．。
2023届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市等5地二模理科数学2答案
新疆维吾尔自治区2023年普通高考第二次适应性检测理科数学参考答案第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案CBCCBCDAAABD第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.514.2315.-16.3033-三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.解:（1）由已知得⎩⎨⎧-=-=++②① )1( )1(11n n n n a p S a p S ，①②-得n n n pa pa a -=++11*()n ∈N ，所以n n pa a p =-+1)1(，又因为1≠p ，所以11-=+p pa a n n ，当1=n 时，111,1pa pa p a p =-=-故.所以数列{}n a 是首项为1-p p ，公比为1-p p 的等比数列.……………………6分（2）由（1）知nn a 2=，所以22)12(21-=-=+n nn S ，故121121(21)12)(12(42111---=--=+++n n n n n n b ，所以123n nT b b b b =+++⋯+122311111111()2212121212121n n +=-+-+⋯+-------)1211(211--=+n ，又因为*n ∈N ，所以01211>-+n ，所以21<n T .…………………………12分18.解：（1）作AD EF //交P A 于F ，作//EM PA 交AD 于M ，连接CM ，FQ ，易得//EF MA .因为||||||||||||DE DM BQ EP MA QC ==，且DM MA BQ QC +=+，所以//AM QC ，又//EF MA ，所以//EF CQ .故四边形EFQC 是平行四边形，所以//CE FQ ，又FQ ⊂平面P AQ ，CE ⊄平面P AQ ，所以//CE 平面P AQ .………………………………………………………………6分（2）以A 为坐标原点，AB 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴建立坐标系，设)40( ||<<=t t BQ ，则)0,0,0(A ，)0,4,0(D ，)4,0,0(P ，)0,,2(t Q .设平面PAQ 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，)4,0,0(=AP ，(2,,0)AQ t =，则有111402t 0z x y =⎧⎨+=⎩，令t x =1，则1(,2,0)t =-n .设平面PQD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，)4,4,0(-=PD ，(2,,4)PQ t =-，则有22222440240y z x ty z -=⎧⎨+-=⎩，令22y =，则2(4,2,2)t =-n .若存在二面角D PQ A --是直二面角，则120⋅=n n ，即24t t 40--=，解得2=t ，(2,2,0)Q .故存在点Q 是BC 的中点时，使得二面角D PQ A --是直二面角，此时||1.||BQ CQ =…………………………………………………………………12分19.解：（1）由于甲队每场比赛平局的概率都是41，所以甲队三场比赛打平的场次，即随机变量X 服从二项分布，由题意得1~(3,4X B ，其分布列如下：00331327(0)((,4464P X C ===11231327(1)((,4464P X C ===2213139(2)((,4464P X C ===3303131(3)()(,4464P X C ===X 0123P64276427649641数学期望13()3.44E X =⨯=………………………………………………6分（2）由已知得不同的对阵情况共有633=A 种，每种可能性出现的概率均为1.6设甲队第二轮对阵乙队至少连续获胜两场的概率为1p ，甲队第二轮对阵丙队至少连续获胜两场的概率为2p ，甲队第二轮对阵丁队至少连续获胜两场的概率为3p ，则211111111111311511;6236436234643272p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=311111112111111111;6246346342624318p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=因为321p p p >>，所以甲队在第二轮对阵乙队时，p 的取值最大，最大值为1.12……………………………………………………………………………………12分111111112111311111;6326426324642312p =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=20.解：（1）由题意知()e e(ln )x f x x x x =-+，()0,x ∈+∞，e()(1)(e x f x x x'=+-所以，易见e e ()xp x x=-在()0,x ∈+∞上递增，且(1)0p =，所以当()0,1x ∈时，()0p x <，即()0f x '<，()f x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0p x >，即()0f x '>，()f x 在()1,+∞上单调递增，故()(1)0f x f ≥=，所以）（x f 的最小值为0.………………………………5分（2）原不等式等价于()()l e n 21xx x x b x -+≥-+在()0,x ∈+∞上恒成立，即ln e 1x x x x bx +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立，也即e ln 1x x x x b x +--≥在()0,x ∈+∞上恒成立.令()ln 1e x x x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，所以()22ln e x x xt x x+'=，令()2e ln xx x x ϕ=+，则()x ϕ是()0,∞+上的增函数，又因为12e 1e 10e ϕ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()e 10ϕ=>，所以()x ϕ在区间()0,1上存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0200ln 0x x e x +=得01000ln 000ln 111e ln ln e x x x x x x x x ⎛⎫=-=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，又由函数()e x q x x =在区间()0,∞+上单调递增，上式即()001lnq x q x ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以0001lnln x x x ==-，00e 1x x =，当()00,x x ∈时，()0t x '<，()t x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 单调递增，所以()000000min000ln 111()2e x x x x x x t x t x x x +--+-=+===，所以2b ≤.…………………………………………………………………………12分21.解：（1）因为||||AB MN =，所以点O 到AB 的距离等于点O 到MN 的距离，该距离等于2p，所以2AB p =.由||2AB p ==解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.………4分（2）由（1）可知准线l 的方程为1y =-，设点(,1)D m -，(,1)E n -，00(,)P x y 则直线PD 的方程为00(1)()()(1)y x m x m y +-=-+，整理得0000(1)()()(1)0y x x m y x m m y +-----+=.因为直线PD 和圆O 相切，所以点O 到直线PD 的距离等于1，1,=整理得2000(1)2(1)0y m x m y -+-+=，同理有2000(1)2(1)0y n x n y -+-+=，因为01y >，所以,m n 是一元二次方程2000(1)2(1)0y x x x y -+-+=的两个根，则0021x m n y -+=-，00(1)1y mn y -+=-，故0||||DE m n =-=又因为2004,x y =所以||DE =.因为点P 到准线l 的距离为01,y +所以12PDES =⨯△…………………………………9分令01(t 0)y t -=>，则PDES △因为44t t +≥，所以PDE S ≥=△当且仅当2t =时等号成立.综上，△PDE面积的最小值为………………………………………12分二选一试题22.解：（1）因为曲线C 的参数方程为()2cos 22sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数，故曲线C 的直角坐标方程为2240y x x +-=.又cos ,sin x y ρθρθ==，故曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.……5分（2）设直线l 的倾斜角为α，则直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⋅⎧⎨=+⋅⎩(t 为参数)，代入()2224x y -+=得()22sin cos 20t t αα+--=．设点P 对应的参数为1t ，点Q 对应的参数为2t ，则()12122sin cos 2t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩(*)，因为:2:3PM PQ =，所以122t t =，所以122t t =-，代入*式整理可得223sin 8sin cos 3cos 0αααα-+=，解得4tan 3α±=，所以直线l的斜率为43+或43.………………10分23.解：（1）原不等式为 |1||4|7x x +++≤，当4x ≤-时，147x x ----≤，得6x ≥-，所以64x -≤≤-；当41x -<≤-时，147x x --++≤恒成立，所以41x -<≤-；当1x >-时，147x x +++≤，得1x ≤，所以11x -<≤．综上，不等式的解集为 61{|}x x -≤≤．………………………………………5分（2）因为,m n 为正实数，()2()0m n f x mn +-≥即为()2mnf x m n≥+又213m n m m m n mn n m n m ++=+=+335m n n m =++≥+=，当且仅当m nn m =时等号成立，即41m n ==时等号成立，所以2mn m n +的最大值为15．又因为()()|4||3|f x x a x a a ≥+-+=(当x a =-时取等号)，要使()2mn f x m n ≥+恒成立，只需 |31|5a ≥．所以115a ≤-或151a ≥．……………………………………………………10分以上解法仅供参考，如有其他方法，酌情给分。
高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟(三)理科数学试题(含答案)
四川省成都外国语学校2024届高三下学期高考模拟（三）数学（理科）本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数（ ）A ．B ．2C ．D ．43．“”是“方程表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知为锐角，若，则（ ）ABCD5．正方形的边长为2，是的中点，是的中点，则（ ）A ．4B ．3C ．D ．6．已知非零实数，满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）{}240,A x x x x =-≤∈Z {}14B x x =-≤<A B = []1,4-[)0,4{}0,1,2,3,4{}0,1,2,3i ()242i z m m =---m =2±2-13m <<22113x y m m+=--αsin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos α=ABCD E AD F DC ()EB EF BF +⋅=4-3-a b 1a b >+221a b >+122a b +>24a b>1ab b>+()214f x x =+()sin g x x =A ．B ．C ．D ．8．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是（）A ．B ．C．D ．9．已知甲同学从学校的2个科技类社团，4个艺术类社团，3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率（ ）A ．B ．C ．D ．10．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬，有时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚测得山顶得仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走了90米到达点（，，，在同一个平面内），在处测得山顶得仰角为，则鼎湖峰的山高为（ ）米()()14y f x g x =+-()()14y f x g x =--()()y f x g x =()()g x y f x =cm 3cm 22π8π223π163π356131234A P 45︒15︒B A B P Q B P 60︒PQA ．B ．C ．D ．11．已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的中点，则平面截该正方体所得的截面图形周长为（ ）A ．6B ．CD12．已知，分别是双曲线：（，）的左右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于、两点，点在轴上，，平分，则双曲线的离心率（ ）ABCD ．二、填空题：本题共4小题；每小题5分，共20分。
23届高三理科数学热身考试试卷答案
成都七中高2023届高考热身试题数 学 (理科)参考解答一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.解：N 是自然数集,{0,1,2},{2,1,0,1},A B ==--于是{0,1}.A B =答案为C.2.解：在这12个月中,我国居民消费价格月度同比数据的众数为2.1%.我国居民消费价格月度环比数据的众数为0.0%.我国居民消费价格最低是1月.我国居民消费价格最高是10月.解：因为//a b ,所以cos 2.5,则sin 1.α=±满足//a b .,则12sin 25α=6.解：公比231221a a q a a -===--,于是334512()1(2)8.a a a a q -=-=⨯-=-3可得232(,),(,0)323BA OA =-=因为点A 为线段CD 的中点,则42(,3BC BD BA +==-14. 解：作出可行域,如图,1y =-⎧1x y +=⎧11 3 68 10 1225(2)根据正六棱柱的性质可得：以1,,CE CB CC 为 x 轴(3,3,0),(0,0,0),(23,0,0),(23,0,2),A C E M N6于是(3,3,0)AE =-,(23,0,2),(0,2,CM CN ==根据正六棱柱的性质知10,0.AB AE AA AE ⋅=⋅=所以平面11ABB A 的法向量1(3,3,0)n AE ==-.8设平面1CMF N 的法向量为()2,,n x y z =, 2200CM n CN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⋅⋅即2320220x z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,则2(1,3,3)n =- 10分设平面1CMF N 与平面11ABB A 所成角θ.因为12121223cos ,23n n n n n n ⋅-〈〉==1242,7n n 〈〉=所以平面1CMF N 与平面1ABB A 12分 19.(本小题满分12分)由频数分布表可知,该市一天的空气质量等级为10250.41100+=91012++= 3263≈天.681012470.912257令212x x u -=,即证明e 1e (0)2u u u->>0.u >即证明e e 2(0)u u u u -->>. 令()e e2(0),u u u u u ϕ-=-->()e e 220.u u u ϕ-'=+-≥≥所以()u ϕ在(0,)+∞单调递增,所以()(0)0.u ϕϕ>=从而e e 2(0)u u u u -->>. 所以1221221e e e x x x x x x +->-. 10分于是1222e x x a +>,由(1)知212e 0,,2x x a <<>12ln 2.2x x a +<< 12分 说明：也可换元后用对数均值来书写. ；5 105 10。
2023年高考全国甲卷数学(理)答案
2023年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年年
年年年年参考答案
一、选择题
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】D
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】C
【11题答案】
【答案】C
【12题答案】
【答案】B
二、填空题
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】15
【15题答案】
第1页/共2页
第2页/共2页
【答案】12
【16题答案】
【答案】2
三、解答题
【17题答案】
【答案】（1）1n a n =-
（2）()1222n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）1313
【19题答案】
【答案】（1）分布列见解析，()1E X = （2）（i ）23.4m =；列联表见解析，（ii ）能
【20题答案】
【答案】（1）2p =
（2）1282-【21题答案】
【答案】（1）答案见解析.
（2）(,3]-∞
四、选做题
【22题答案】
【答案】（1）3π4
（2）cos sin 30ραρα+-=
【23题答案】
【答案】（1）,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（226。
2020年全国新课标卷三(理科数学)_参考答案
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附： ，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001kBiblioteka 3.8416.635
10.828
19．如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且 ， ．
（1）证明：点 在平面 内；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
20．已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点．
15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
16．关于函数f（x）= 有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x= 对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题
3．B
【解析】
【分析】
计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
【详解】
对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 .
因此，B选项这一组的标准差最大.
17．设数列{an}满足a1=3， ．
（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
18．某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
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即 ．………………………………………………5分
（Ⅱ）直线 的参数方程可化为 （ 为参数），
代入曲线 方程得 ，设 ， 对应的参数分别为 ， ，
所以 ．………………………………10分
24.解：（Ⅰ）当 时，不等式 化为 ．
此不等式等价于 或 或
即 或 或
综上，不等式的解集是 .………………………………………………5分
1
2
3
的数学期望 …………………………12分
19.解：（Ⅰ）由题意 ， ，
∴ ，
∴ ∴ …………………………………………………2分
又 平面 ， 平面 …………………4分
∵ ， 平面 , 平面
，……………………………………………………………………5分
又 ， .…………………………………………………6分
解得 ．即 的长为 ．…………………………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得 ， ．………………………8分
∴ ，从而 ．………………………10分
∴ ．……………………12分
18.解：（Ⅰ）设各组的频率为 ，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为27,24,21,18所以视力在5.0以下的频率为0.03+0.07+0.27+0.24+0.21=0.82，
∴ ，
从而 ．
∵ ⊥ ∴ ∴ ，故 是直径．……………5分
（Ⅱ）连接 ， ，∵ 是直径，∴∠ ∠ ，
在 △ 与 △ 中， ， ，
从而 ，于是 ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，∠ 为直角，∴ 是直径，
由（Ⅰ）得 ．……………………………………………………10分
23.解：（Ⅰ）曲线 的极坐标方程 ，
从而得 ，∴存在 满足条件.…………………………………12分
解法2：（Ⅰ）∵ ，∴ ，
∴椭圆方程为 .…………………………………………………………2分
设直线 方程为 ，
由 ，……………………………………………4分
可得 ，……………………………………………………6分
又点 .……………………………8分
（Ⅱ）设存在 满足条件，则 ，
故全年级视力在5.0以下的人数约为 ……………………………3分
（2） ………………………5分
因此在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为视力与学习成绩有关系．…………6分
（3）依题意9人中年级名次在 名和 名分别有3人和6人，
可取0、1、2、3
， ，
， ……………………………………10分
的分布列为
0
∴ 即 成立……………………………………………8分
令 ， ， ，
∵
∴ 在 上单调递增∴ ∴ 在 上单调递增
∴ ∴
∴ 即 成立.………………………………………11分
综上， 时，不等式 成立，
即 成立.………………………………………12分
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.解：（Ⅰ）∵ ，∴∠ ∠ ．
∵ 为切线，∴ ，
又∵∠ ，∴ ，
∴椭圆方程为 .…………………………………………………………2分
设 则 ，
直线 ： ，即 ，
代入椭圆方程 ，得
∵ ，……………………………………………………………4分
∴ ∴ ∴ ……………6分
∴ .………………………………8分
（Ⅱ）设存在 满足条件，则 ，
则由 得 ……………………………………10分
(Ⅱ)分别以 所在直线为 轴，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，∴ ， …………8分
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
即
令 ，则 ， ，所以 ．………………………………10分
设直线 与平面 所成角为 ，则，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．…………………………………12分
20.解法1：（Ⅰ）∵ ，∴ ，
（Ⅱ）即 ，
而 ，当且仅当 时取等号，
即 ，故 ，
所以 ，从而 的取值范围是 .……………………10分
理科数学参考答案
一．选择题
CBAAB CBDAB CD
二．填空题
13.127 14. 15. 16.
三．解答题
17.解：（Ⅰ）在△ 中，设 ，则 ．
在△ 中，∵ ， ， ，
∴ ．………………………………………………………………2分
在△ 中，∵ ， ， ，
由余弦定理得 ．………………4分
∵ ∴
即 ．……………………………………………………………5分
又 ，
则由 得 ，……………………………10分
.∴存在 满足条件.……………………………12分
21.解：（Ⅰ）∵ ∴
∵ ∴ ∴ ………………………2分
又∵ ∴ ∴ ………………………4分
（Ⅱ）∵ ，欲证 ，
只需证 ……………………………5分
令 ， ，
，
∵
∴ 在 上单调递减∴ ∴ 在 上单调递减
∴ ∴