全国卷理科数学及答案
2024年高考数学全国甲卷理科真题试卷附详解
2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷理科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.l.设5z i =+,则()i z z +=()A.10iB.2iC.10D.2-2.集合1,2,3,4,9{}5,A =,{|}B x A =,则()A C A B = ()A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}3.若实数,x y 满足约束条件4330,220,2690.x y x y x y --⎧⎪--⎨⎪+-≤⎩,则5z x y =-的最小值为()A.12B.0C.52-D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若5105,1S S a ==,则1a =()A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为21(0,4),(0,4)F F -,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A.135B.137C.2D.36.设函数22sin ()1x e xf x x+=+则曲线()y f x =在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.16B.13C.12D.237.函数2(sin )x x y x e e x -=-+-在区间 2.8,[]2.8-的图像大致为()A. B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A.1+B.1-C.32D.19.设向量(1,),(,2)a x x b x =+=,则()A.3x =-是a b ⊥的必要条件B.3x =-是//a b 的必要条件C.0x =是a b ⊥的充分条件D.1x =-+是//a b 的充分条件10.设,αβ为两个平面,,m n 为两条直线,且.m αβ= 下述四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则n α⊥或n β⊥③若//n α且//n β,则//m n④若n 与,αβ所成的角相等,则m n ⊥.其中所有真命题的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2960,4B b ac ︒==,则sin sin A C +=()A.32B. C.72D.3212.已知b 是a ,c 的等差中项,直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点,则AB 的最小值为()A.1B.2C.4D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是______．14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为1r ,下底面半径均为2r ,圆台的母线长分别为21212(),3()r r r r --,则圆台甲与乙的体积之比=V V 甲乙____________.15.已知1a >且8115log log 42a a -=-,则a =_______.16.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 之差的绝对值不大于12的概率为_______.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=,设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈)附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2()P K k≥0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知434n n S a =+(1)求{}n a 的通项公式;(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和nT 19.(12分)如图,在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//,4,2,EF AD BC AD AD AB BC EF ED =====FB =,M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点3(1,)2M 在C 上,且MF x ⊥轴.(1)求C 的方程.(2)过点(4,0)P 的直线交C 于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ⊥轴.21.(12分)已知函数()(1)ln(1)f x ax x x =-+-(1)若2a =-,求()f x 的极值.(2)当0x 时,()0f x ,求a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1.ρρθ=+(1)写出C 的直角坐标方程.(2)设直线,:(x t l t y t a =⎧⎨=+⎩为参数),若C 与l 相交于,A B 两点,且||2AB =,求a 的值.23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知实数,a b 满足 3.a b + (1)证明:2222a b a b+>+(2)证明:2222 6.a b b a -+-∣∣∣∣2024年全国甲卷理科数学参考答案一、选择题.l.A【解析】因为5z i =+,所以()(55)10i z z i i i i +=-++=,故选A.2.D【解析】因为1,2,3,4,9{}5,A =,{|}{1,4,9,16,25,81}B x A ==所以{}()2,3,5A C A B = ,故选D.3.D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩,作出可行域如图由5z x y =-可得1155y x z =-即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-则该直线截距取最大值时,z 有最小值此时直线1155y x z =-过点A 联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩,即3,12A ⎛⎫⎪⎝⎭则min 375122z =-⨯=-.故选D.【解析】因为510S S =,所以788,0S S a ==,又因为51a =,所以公差1817,733d a a d =-=-=,故选B.5.C 【解析】1221||82||||106F F c e a PF PF ====--,故选C.6.A【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+即该切线方程为13y x -=,即31y x =+令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.7.B 【解析】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可排除D.故选:B.【解析】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,3tan 13⇒α=-所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭故选:B.9.C【解析】对A,当a b ⊥ 时,则0a b ⋅=所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅=所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =±,即必要性不成立,故B 错误;对D,当1x =-+时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.10.A对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确故选:A.11.C 【解析】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin 2A C +=.故选:C.12.C因为,,a b c 成等差数列,所以2b a c =+,2c b a =-,代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=,即()()120a x b y -++=,令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩故直线恒过()1,2-,设()1,2P -,圆化为标准方程得:()22:25C x y ++=设圆心为C ,画出直线与圆的图形,由图可知,当PC AB ⊥时,AB最小1,PC AC r ===,此时24AB AP ====.故选:C 二、填空题.13.【答案】5由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.14.【答案】64【解析】由题可得两个圆台的高分别为)12 h r r ==-甲)12h r r==-乙所以((2121163143S S hV hV hS S h++-===++甲甲甲乙乙乙.故答案为:4.15.【答案】64【解析】由题28211315loglog log4log22aaa a-=-=-,整理得()2225log60log aa--=2log1a⇒=-或2log6a=,又1a>所以622log6log2a==,故6264a==故答案为:64.16.【答案】715【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A120=种设前两个球的号码为,a b,第三个球的号码为c,则1322a b c a b+++-≤故2()3c a b-+≤,故32()3c a b-≤-+≤故323a b c a b+-≤≤++若1c=,则5a b+≤,则(),a b为:()()2,3,3,2,故有2种若2c=,则17a b≤+≤,则(),a b为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4故有16种当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=故所求概率为56712015=.故答案为:715三、解答题.(一)必考题:共60分.17.【小问1详解】根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯因为3.841 4.6875 6.635<<所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=用频率估计概率可得0.64p =又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.18.【小问1详解】当1n =时,1114434S a a ==+,解得14a =．当2n ≥时,11434n n S a --=+,所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-而140a =≠,故0n a ≠,故13nn a a -=-∴数列{}n a 是以4为首项,3-为公比的等比数列所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-(21)31n n T n ∴=-⋅+.(2)设1(1)n n n b na -=-,求数列{}n b 的前n 项和nT 19.【答案】（1）证明见详解（2）13【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDECD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE 【小问2详解】如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =结合（1）BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =所以ABM 为等边三角形,O 为AM 中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF==所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF ==因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3B M E,()(),BM BF ==()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =得113,1y z ==,即)m =则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即22222303230x y x y z ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩,令23x =,得223,1y z ==-即()3,3,1n =- ,1111cos ,131313m n m n m n ⋅===⋅⋅,则43sin ,13m n =故二面角F BM E --的正弦值为4313.20.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【小问1详解】设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故2132a a -=,故2a =,故3b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=故()()422Δ102443464120k k k =-+->,故1122k -<<又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-,故22223325252Q y y y x x --==--所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-故1Q y y =,即AQ y ⊥轴.21.【答案】（1）极小值为0,无极大值.（2）12a ≤-【小问1详解】当2a =-时,()(12)ln(1)f x x x x =++-故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数故()f x '在()1,∞-+上为增函数,而(0)0f '=故当10x -<<时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =,无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x +-=-+'+-=-+->++设()()()1ln 1,01a xs x a x x x+=-+->+则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+当12a ≤-时,()0s x '>,故()s x 在()0,∞+上为增函数故()()00s x s >=,即()0f x '>所以()f x 在[)0,∞+上为增函数,故()()00f x f ≥=.当102a -<<时,当210a x a+<<-时,()0s x '<故()s x 在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数,故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <即在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=,不合题意,舍.当0a ≥,此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立,不合题意,舍综上,12a ≤-.(二)选考题.22.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【小问1详解】由cos 1ρρθ=+,将xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+1x =+,两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+.法1:直线l 的斜率为1,故倾斜角为π4故直线的参数方程可设为222x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ,则)()212121,21s s a s s a +=--=-且()()22Δ818116160a a a =---=->,故<1a12AB s s ∴=-=2==,解得34a =.法2:联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩,得22(22)10x a x a +-+-=()22Δ(22)41880a a a =---=-+>,解得1a <设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-则AB ==2=解得34a =23.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥当a b =时等号成立,则22222()a b a b +≥+因为3a b +≥,所以22222()a b a b a b+≥+>+【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
2023年全国甲卷高考数学理科真题解析
2023年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁U (M ∪N)=（ ） A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =−∈∣ C ．{32,}xx k k Z =−∈∣ D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，∁U (M ∪N )={x|x =3k,k ∈Z }． 故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+−=，则=a （ ） A ．-1 B ．0 · C ．1 D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +−=−++=+−=，所以22210a a =⎧⎨−=⎩，解得：1a =． 故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89．已知向量,,a b c 满足1,2a b c ===，且0a b c ++=，则cos ,a c b c 〈−−〉=（ B ．25−C ．25D ．45【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为0a b c ++=,所以a ⃗+⃗⃗即2222a b a b c ++⋅=,即1+1+2a 所以0a b ⋅=. 如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,2,OA OB OC OAB ==是等腰直角三角形AB 边上的高22,22OD AD =, 所以23222CD CO OD =+==, 13tan ,cos 310AD ACD ACD CD ∠===,cos ,cos a c b c ACB 〈−−〉=∠故选:D.5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前158考虑3π3π7π2,2,2222x x x=−==，即x当3π4x=−时，3π3πsin42f⎛⎫⎛⎫−=−−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3π4x=时，3π3πsin142f⎛⎫=−=⎪⎝⎭，y，则PBC的面积为（利用全等三角形的证明方法依次证得PDO PCO≅，PDB PCA≅，从而得到PA，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解；，1cos3PCB∠=，从而求得3PA PC⋅=−，再利用空间向量的数量从而求得17PB=，由此在PBC中利用余弦定理与三角形面积公，所以PDO PCO≅，则∠，所以PDB PCA≅，则PA2,45PCA∠=︒，故在PBC 中，cos PCB ∠PCB <∠<所以PBC 的面积为法二：,AC BD 交于，则cos PA PC PA PC ⋅=∠不妨记,PB m BPD θ=∠=，因为()()1122PO PA PC PB PD =+=+，所以()()22PA PC PB PD +=+，即222222PA PC PA PC PB PD PB PD ++⋅=++⋅，()217923923cos m m θ++⨯−=++⨯⨯，整理得26cos 110m m θ+−=①，又在PBD △中，2222cos BD PB PD PB PD BPD =+−⋅∠，即2329m =+−两式相加得22340m −=，故17PB m ==， 故在PBC 中，cos PCB ∠PCB <∠<所以PBC 的面积为故选：C.．设O 为坐标原点，135【答案】B12PF F S =35，解得：12PF F S=1⎛⨯− ⎝B ．2而()1212PO PF PF =+，所以1212PO PF PF =+，22121122111221222PO PF PF PF PF PF PF =+=+⋅+=故选：B ．方法三：因为1226PF PF a +==①，221212PF PF PF +−2212126125PF PF PF PF +−=②，联立①②，解得：二、填空题由图可知，当目标函数32 y x =−由233323x yx y−+=⎧⎨−=⎩可得33xy=⎧⎨=⎩，即所以max332315z=⨯+⨯=.故答案为：由题意可知，O 为球心，在正方体中，则球心O 到1CC 的距离为OM =所以球O 与棱1CC 相切，球面与棱同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有．在ABC 中，【答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出方法二：利用余弦定理求出【详解】cos606=，ABCABDACDSSS=+可得，11602sin 30sin 3022AD AD b =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，cos606=，因为60sin b =sin B =，所以45C ，180604575B =−−=， 75ADB =，即2AD AB =． 【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦三、解答题312a ===12n ⎛++⨯ ⎝(1)n ++−12n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎤⎫⎥−*N ∈． 111A B C -中，(1)证明：1AC AC =； (2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求【答案】(1)证明见解析(2)131AC ⊥底面1AC BC ∴⊥BC ∴⊥平面∴平面ACC 1平面BCC 1A 到平面在1Rt ACC △设CO =1,AOC △△21CO AO +211x ∴++1AC AC ∴=）1AC AC =Rt ACB △≌1BA =，作BD AA ⊥11A D =，在Rt ABC △延长AC ，使由CM AC ∥E X=【答案】(1)分布列见解析，()1上两点，0FM FN ⋅=，求）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出()22,,N x y 利用0FM FN ⋅=，找到因为0FM FN ⋅=，所以)(121my n my +−()2121m y y ++2124,y m y y +=轴围成ABC ,ABC 的高为所以||=AB 所以ABC S =解得2a =.。
2020年全国统一高考数学试卷理科(新课标Ⅲ)(附答案及详细解析)
（t 为参数且 t≠1），C 与坐标
轴交于 A，B 两点． （1）求|AB|； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设 a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； （2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
B．3
C．4
D．6
2．（5 分）复数
的虚部是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
3．（5 分）在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p1，p2，p3，p4，且 pi＝1，则下面四
种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
（1）求 b； （2）若 f（x）有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于 1． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）已知 55＜84，134＜85．设 a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5 分）若 x，y 满足约束条件
2020年高考全国I卷理科数学试题(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位H±o2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题R对应题日的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦T净后，再选涂梵他答案标号。
冋答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在木试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
L 若z=l+i,则k2-2z∣=A. 0B. 1C. √2D・ 22. 设^A={x∖x2 4<0}, B- {x∣2r÷α<0}, WA^B-{x∖-2≤κ<∖},则旷A. -4 B∙ -2 C. 2 D. 43. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之•,它的形状可视为•个正四棱锭•以该卩q核锥的高为边长的正方形而枳等于该四棱维一个侧而三角形的面枳，则几侧面三角形底边上的髙与底而正方形的边长的比值4. 已知/为抛物线Cy=2砂（p>0）上•点，点/到C的焦点的距离为12,到）轴的距离为9,则严5∙某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度X （单位:O C）的关系，在20个不同的温度亦+ 1A. 2B. 3C. 6D. 9为442条件卜•进行种子发芽实验•由实验数据（兀丿）（心12….20）得到卜•而的散点图:100%8. (.r + ^-)(x + >05的展开式中QJ 的系数为 XA ・5 B. IO C. 15D. 209∙己知 αe (0,π)t M. 3cos2α 一 Scosa==5» 则 Sina =A.逅B. ZC.1 D.迈 333910.已知4氏C 为球O 的球面上的三个点.OQ 为Z ∖∕BC 的外接圆.KOO I 的面积为4兀・由此散点图，在10。
2020年高考全国III卷理科数学试题(含解析)
一、选择题1.已知集合*{(,)|,,}A x y x y N y x =∈≥，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}A B =，有4个元素，故选C.2.复数113i -的虚部是（ ）A.310-B.110-C.110D.310【答案】D【解析】1131313(13)(13)10i ii i i ++==--+，故选D. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （ ）A.14p p ==30.1=C.14p p ==30.2= 【答案】B等，都为选项中，大部分数4.Logistic 0.23(53)()1t KI t e --=+，其中K *t 约为 （ ）（ln193≈A.60 69 【答案】C1319≈-，∴*66t ≈. 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 （ ） A.1(,0)4 B.1(,0)2 C.(1,0) D.(2,0)【答案】B【解析】不妨设(2,4)D p ，(2,E ，∵OD OE ⊥，∴440OD OE p ⋅=-=，解得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =，其焦点坐标为1(,0)2.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ）A.3135-B.1935-C.1735D.1935【答案】D【解析】由2()||25619a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，又22||27a b a a b b +=+⋅+=，所以()1919cos ,5735||||a a b a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+，故选D.7.在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则cos B = （ ）A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】由余弦定理可知：2222222||||||34||cos 32||||234BC AC AB AB C BC AC +-+-===⋅⨯⨯，可得|| 3 AB =，又由余弦定理可知222222||||||3341cos 2||||2339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯. 故选A.8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A.6+ B. C. D.4+【答案】C棱PC ⊥底面ABC 606=+︒C.9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ= （ ）A.2-B.1-C.1D.2 【答案】D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D.10.若直线l 与曲线y 和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 （ ）A.21y x =+B.122y x =+C.112y x =+ D.1122y x =+ 【答案】D【解析】由y =得y '=假设直线l与曲线y =相切于点0(x ， 则直线l的方程为0)y x x =-，即00x x -+=.由直线l 与圆2215x y +==，解得01x =，故直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F.P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F ∆的面积为4，则a = （ ） A.1D.8 【答案】 A【解析】法一：设1PF m =，则12142PF F S mn ∆==，又ce a=a 所以24tan 45b ︒=又因为c e a ==12.已知5458<，45138<.设5，8，13，则 （ ）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A【解析】易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <， 因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==， 又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <， 综上所述：a b c <<.故选：A. 二、填空题13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________.【答案】7【解析】作出可行域如图所示，由32z x y =+知3122y x z =-+，由图可知，当目标函数过点(1,2)A 时，取得最大值，即max 7z =.14.262()x x+的展开式中常数项是________（用数字作答）.【答案】240【解析】因为2(6)123r r r r r r r ---240.15.________.【答案】3锥的母线长为，可得OD BCOS BS =322r -23316.关于函数1()sin sin f x x x=+. ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称；③()f x 的图像关于直线2x π=对称；④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是________. 【答案】②③【解析】对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--，所以该函数为奇函数，关于原点对称，①错②对；对于③，11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x xπππ-=-+=+=-，所以()f x 关于2x π=对称，③对；对于④，令sin t x =，则[1,0)(0,1]t ∈-，由双勾函数1()f t t t=+的性质，可知()(,2][2,)f t ∈-∞-⋃+∞，所以()f x 无最小值，④错.三、解答题17.设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-. （1）计算23,a a .猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列{2}n n a 的前n 项和n S .【解析】（1）由13a =，134n n a a n +=-，21345a a =-=﹐323427a a =-⨯=，… 猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+. 利用数学归纳法证明：（i ）当1,2,3n =时，显然成立；（ii ）假设()n k k N *=∈时猜想成立，即21k a k =+，则1n k =+时，1343(21)42(1)1k k a a k k k k +=-=+-=++， 所以1n k =+时猜想也成立， 综上（i ）（ii ），所以21n a n =+. （2）令2(2n n n b a ==则12n n S b b b =+++2323252n S =⨯+⨯+由①-②得，1322(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯，化简得(21)2n S n =-⨯18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分別估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据.完成下面的22⨯列联表.并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【解析】（1）根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为1的概率为2162543100100++= 该市一天的空气质量等级为2的概率为5101227100100++=，该市一天的空气质量等级为3的概率为67821100100++=， 该市一天的空气质量等级为4的概率为7209100100++=. （2）由题意，计算得1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=， 即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为350. （3）22⨯列联表如下：由表中数据可得：22100(3383722)K ⨯⨯-⨯所以有95%. 19.如图，在长方体1上且112,2DE ED BF FB ==（1）证明：点1C （2）若12,1,3AB AD AA ===，求二面角1A EF A --的正弦值.【解析】（1）在1AA 上取一点M ，使得12A M AM =，分别连接EM ，1B M ，1EC ， 1FC .在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111 DD AA BB ==， 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，所以1DE AM FB ==， 所以四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形. 所以1//AF MB 且1AF MB =，//AD ME 且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =，所以11//B C ME 且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， 所以11//EC MB ， 所以1//AF EC ，所以点1C ，在平面AEF 内.（2）在长方形1111ABCD A B C D -中，以1C 为原点，11C D 所在直线为x 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 2AB =，1AD =，13AA =所以(2,1,3)A ，E (2,1,0)，则(2,1,EF =-(0,1,1)=--，1(0,1,2)A E =-1111(,,)n x y z =，则1100n EF n AE ⎧⋅=⎧⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =-，设平面1A EF 22(,n x =，则2222210200n EF z y z n A E ⎧⋅==⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎩，取法向量2(1,4,n =所以121212142cos ,||||321n n n n n n ⋅+-<>==⋅⋅设二面角1A EF A -为θ，则42sin 7， 即二面角1A EF A -的正弦值为20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.【解析】（1）c e a ==22516m =，∴C 的方程：221612525x y +=. （2）设直线BP ：(5)y k x =-，与椭圆C 联立可得：2222(116)160400250k x k x k +-+-=.设00(,)P x y ，则202400255116k x k -=+，∴202805116k x k-=+，∴0210||5|116PB x k =-+. ∵BP BQ ⊥，∴直线BQ ：1(5)y x k=--.令6x =，1y k =-，∴1(6,)Q k -，||BQ =∵||||BP BQ =，∴214k =或2164k =. 根据椭圆的对称性，只需讨论12k =和18k =的情况，当12k =时，03x =，||PQ =PQ 点A 到直线PQ 11122APQ S PQ d ∆=.||⋅=当18k =时，03x =-||PQ =∴点A 到直线PQ ∴21|2APQ S PQ d ∆=.|⋅综上52APQ S ∆=.21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直.（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）2()3f x x b '=+，又曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直，∴13()024f b '=+= ，解得34b =-.（2）设0x 为()f x 的一个零点，且011x -≤≤，由题意可知30034c x x =-+，令33()(11)4x x x x ϕ=-+-≤≤，则11()3()()22x x x ϕ'=-+，此时1(1,)2x ∈--，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；11(,)22x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；1(,1)2x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则1(1)4f -=，11()24f -=-，11()24f =，1(1)4f =-，此时1144c -≤≤，再设1x 为()f x 的零点，则31113()04f x x x c =-+=，311131444x x -≤-+≤，整理得2111211(1)(1)01(1)()0x x x x x ⎧-++≤⎪⎨+-≥⎪，解得111x -≤≤， 则()f x 四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 1t ≠），C 与坐标轴交于,A B （1）求||AB ；（2的极坐标方程. 【解析】（1）当x =,求得12y =;当0y =时,求得2t =或t (0,12)和(4,0)-,||AB （2）由（1）得直线3120x y -+=,故直线AB 23.设a ，b ，c R ∈，（1）证明：ab bc ++（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c的最大值，证明：max{,,}a b c ≥. 【解析】（1）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---223()024b a b =-+-<.（2）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，∵1abc =，∴()1ab a b -+=，即：2210ba b a ++=，∵0b ≠，则440b b ∆=-≥. 不妨设b 为max{,,}a b c ，则340b -≥，即b ≥，∴max{,,}a b c ≥。
2022年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N =A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()2211x y ++=3．已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（510.618-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm5．函数()2sin cos x xf x x x+=+在[],ππ-的图象大致为6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 8．右图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．12A A =+B ．12A A=+C ．112A A=+D ．112A A=+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4=0S ，55a =，则A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-10．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数②()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．26πD 6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考全国乙卷数学(理)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题1.设z =2+i1+i 2+i5，则z =()A.1-2iB.1+2iC.2-iD.2+i【答案】B 【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得z =2+i 1+i 2+i 5=2+i 1-1+i =i 2+i i2=2i -1-1=1-2i ，则z=1+2i.故选：B .2.设集合U =R ，集合M =x x <1 ，N =x -1<x <2 ，则x x ≥2 =()A.∁U M ∪NB.N ∪∁U MC.∁U M ∩ND.M ∪∁U N【答案】A 【解析】【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为x |x ≥2 即可.【详解】由题意可得M ∪N =x |x <2 ，则∁U M ∪N =x |x ≥2 ，选项A 正确；∁U M =x |x ≥1 ，则N ∪∁U M =x |x >-1 ，选项B 错误；M ∩N =x |-1<x <1 ，则∁U M ∩N =x |x ≤-1 或x ≥1 ，选项C 错误；∁U N =x |x ≤-1 或x ≥2 ，则M ∪∁U N =x |x <1 或x ≥2 ，选项D 错误；故选：A .3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=3，点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1,C 1,D 1,A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：2×2×2 +4×2×3 -2×1×1 =30.故选：D .4.已知f (x )=xe xe ax -1是偶函数，则a =()A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为f x =xe x e ax-1为偶函数，则f x -f -x =xexe ax -1--x e-xe -ax -1=x e x -e a -1xe ax -1=0，又因为x 不恒为0，可得e x -e a -1 x=0，即e x =e a -1x，则x =a -1 x ，即1=a -1，解得a =2.故选：D .5.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域x ,y 1≤x 2+y 2≤4 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为()A.18B.16C.14D.12【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域x ,y |1≤x 2+y 2≤4 表示以O 0,0 圆心，外圆半径R =2，内圆半径r =1的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON =π4，结合对称性可得所求概率P =2×π42π=14.故选：C .6.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3 单调递增，直线x =π6和x =2π3为函数y =f x 的图像的两条对称轴，则f -5π12 =()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D 【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =-5π12即可得到答案.【详解】因为f (x )=sin (ωx +φ)在区间π6,2π3单调递增，所以T 2=2π3-π6=π2，且ω>0，则T =π，w =2πT =2，当x =π6时，f x 取得最小值，则2⋅π6+φ=2k π-π2，k ∈Z ，则φ=2k π-5π6，k ∈Z ，不妨取k =0，则f x =sin 2x -5π6 ，则f -5π12 =sin -5π3 =32，7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A.30种B.60种C.120种D.240种【答案】C 【解析】【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.【详解】首先确定相同得读物，共有C 16种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A 25种，根据分步乘法公式则共有C 16⋅A 25=120种，故选：C .8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，∠AOB =120°，若△PAB 的面积等于934，则该圆锥的体积为()A.πB.6πC.3πD.36π【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.【详解】在△AOB 中，∠AOB =120°，而OA =OB =3，取AC 中点C ，连接OC ,PC ，有OC ⊥AB ,PC ⊥AB ，如图，∠ABO =30°，OC =32,AB =2BC =3，由△PAB 的面积为934，得12×3×PC =934，解得PC =332，于是PO =PC 2-OC 2=332 2-32 2=6，所以圆锥的体积V =13π×OA 2×PO =13π×(3)2×6=6π.9.已知△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD 为等边三角形，若二面角C -AB -D 为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为()A.15B.25C.35D.25【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取AB 的中点E ，连接CE ,DE ，因为△ABC 是等腰直角三角形，且AB 为斜边，则有CE ⊥AB ，又△ABD 是等边三角形，则DE ⊥AB ，从而∠CED 为二面角C -AB -D 的平面角，即∠CED =150°，显然CE ∩DE =E ,CE ,DE ⊂平面CDE ，于是AB ⊥平面CDE ，又AB ⊂平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面ABC =CE ，直线CD ⊂平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角，令AB =2，则CE =1,DE =3，在△CDE 中，由余弦定理得：CD =CE 2+DE 2-2CE ⋅DE cos ∠CED =1+3-2×1×3×-32=7，由正弦定理得DE sin ∠DCE =CDsin ∠CED，即sin ∠DCE =3sin150°7=327，显然∠DCE 是锐角，cos ∠DCE =1-sin 2∠DCE =1-3272=527，所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切为35.故选：C10.已知等差数列a n 的公差为2π3，集合S =cos a n n ∈N * ，若S =a ,b ，则ab =()A.-1B.-12C.0D.12【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{a n }中，a n =a 1+(n -1)⋅2π3=2π3n +a 1-2π3，显然函数y =cos 2π3n +a 1-2π3的周期为3，而n ∈N ∗，即cos a n 最多3个不同取值，又{cos a n |n ∈N ∗}={a ,b }，则在cos a 1,cos a 2,cos a 3中，cos a 1=cos a 2≠cos a 3或cos a 1≠cos a 2=cos a 3，于是有cos θ=cos θ+2π3 ，即有θ+θ+2π3 =2k π,k ∈Z ，解得θ=k π-π3,k ∈Z ，所以k ∈Z ，ab =cos k π-π3 cos k π-π3 +4π3 =-cos k π-π3 cos k π=-cos 2k πcos π3=-12.故选：B11.设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-4【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得k AB ⋅k =9，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则AB 的中点M x 1+x 22,y 1+y 22，可得k AB =y 1-y 2x 1-x 2,k =y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2，因为A ,B 在双曲线上，则x 21-y 219=1x 22-y 229=1，两式相减得x 21-x 22-y 21-y 229=0，所以k AB ⋅k =y 21-y 22x 21-x 22=9.对于选项A ：可得k =1,k AB =9，则AB :y =9x -8，联立方程y =9x -8x 2-y 29=1 ，消去y 得72x 2-2×72x +73=0，此时Δ=-2×72 2-4×72×73=-288<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得k =-2,k AB =-92，则AB :y =-92x -52，联立方程y =-92x -52x 2-y 29=1，消去y 得45x 2+2×45x +61=0，此时Δ=2×45 2-4×45×61=-4×45×16<0，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得k =3,k AB =3，则AB :y =3x由双曲线方程可得a =1,b =3，则AB :y =3x 为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：k =4,k AB =94，则AB :y =94x -74，联立方程y =94x -74x 2-y 29=1，消去y 得63x 2+126x -193=0，此时Δ=1262+4×63×193>0，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D .12.已知⊙O 的半径为1，直线PA 与⊙O 相切于点A ，直线PB 与⊙O 交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若PO =2，则PA ⋅PD的最大值为()A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2【答案】A 【解析】【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA ⋅PD =12-22sin 2α-π4 ，或PA ⋅PD =12+22sin 2α+π4 然后结合三角函数的性质即可确定PA ⋅PD的最大值.【详解】如图所示，OA =1,OP =2，则由题意可知:∠APO =45°，由勾股定理可得PA =OP 2-OA 2=1当点A ,D 位于直线PO 异侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α+π4=1×2cos αcos α+π4=2cos α22cos α-22sin α =cos 2α-sin αcos α=1+cos2α2-12sin2α=12-22sin 2α-π4 0≤α≤π4，则-π4≤2α-π4≤π4∴当2α-π4=-π4时，PA ⋅PD 有最大值1.当点A ,D 位于直线PO 同侧时，设∠OPC =α,0≤α≤π4，则：PA ⋅PD =|PA |⋅|PD |cos α-π4=1×2cos αcos α-π4=2cos α22cos α+22sin α =cos 2α+sin αcos α=1+cos2α2+12sin2α=12+22sin 2α+π40≤α≤π4，则π4≤2α+π4≤π2∴当2α+π4=π2时，PA ⋅PD 有最大值1+22.综上可得，PA ⋅PD 的最大值为1+22.【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.二、填空题13.已知点A 1,5 在抛物线C ：y 2=2px 上，则A 到C 的准线的距离为.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x =-54，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：5 2=2p ×1，则2p =5，抛物线的方程为y 2=5x ，准线方程为x =-54，点A 到C 的准线的距离为1--54 =94.故答案为：94.14.若x ，y 满足约束条件x -3y ≤-1x +2y ≤93x +y ≥7，则z =2x -y 的最大值为.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.详解】作出可行域如下图所示：z =2x -y ，移项得y =2x -z ，联立有x -3y =-1x +2y =9，解得x =5y =2，设A 5,2 ，显然平移直线y =2x 使其经过点A ，此时截距-z 最小，则z 最大，代入得z =8，故答案为：8.15.已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【解析】【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【详解】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.16.设a ∈0,1 ，若函数f x =a x +1+a x 在0,+∞ 上单调递增，则a 的取值范围是.【答案】5-12,1 【解析】【分析】原问题等价于f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得1+a a x ≥-ln aln 1+a ，由右侧函数的单调性可得实数a 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a 的取值范围.【详解】由函数的解析式可得f x =a x ln a +1+a x ln 1+a ≥0在区间0,+∞ 上恒成立，则1+a x ln 1+a ≥-a x ln a ，即1+a a x ≥-ln aln 1+a在区间0,+∞ 上恒成立，故1+a a 0=1≥-ln aln 1+a，而a +1∈1,2 ，故ln 1+a >0，故ln a +1 ≥-ln a 0<a <1即a a +1 ≥10<a <1 ，故5-12≤a <1，结合题意可得实数a 的取值范围是5-12,1.故答案为：5-12,1.三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i ，y i (i =1,2,⋅⋅⋅10)，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率x i545355525754545659545312541868伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i =x i -y i (i =1,2,⋯,10)，记z 1，z 2，⋯，z 10的样本平均数为z，样本方差为s 2，(1)求z ，s 2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果z ≥2s 210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)z =11，s 2=61；(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】(1)直接利用平均数公式即可计算出x ,y ，再得到所有的z i 值，最后计算出方差即可；(2)根据公式计算出2s 210的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】x =545+533+551+522+575+544+541+568+596+54810=552.3，y =536+527+543+530+560+533+522+550+576+53610=541.3，z =x -y=552.3-541.3=11，z i =x i -y i 的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，故s 2=(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-110=61【小问2详解】由(1)知:z=11，2s 210=2 6.1=24.4，故有z ≥2s 210,所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.在△ABC 中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.(1)求sin ∠ABC ；(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC 的面积.【答案】(1)21 14；(2)310.【解析】【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC=7，然后由余弦定理可得cos B=5714，最后由同角三角函数基本关系可得sin B=21 14；(2)由题意可得S△ABDS△ACD=4，则S△ACD=15S△ABC，据此即可求得△ADC的面积.【小问1详解】由余弦定理可得：BC2=a2=b2+c2-2bc cos A=4+1-2×2×1×cos120°=7，则BC=7，cos B=a2+c2-b22ac=7+4-12×2×7=5714，sin B=1-cos2B=1-2528=2114.【小问2详解】由三角形面积公式可得S△ABDS△ACD=12×AB×AD×sin90°12×AC×AD×sin30°=4，则S△ACD=15S△ABC=15×12×2×1×sin120°=310.19.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD=5DO，点F在AC上，BF⊥AO.(1)证明：EF⎳平面ADO；(2)证明：平面ADO⊥平面BEF；(3)求二面角D-AO-C的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)22.【解析】【分析】(1)根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行判定推理作答.(2)由(1)的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.(3)由(2)的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.【小问1详解】连接DE ,OF ，设AF =tAC ，则BF =BA +AF =(1-t )BA +tBC ，AO =-BA +12BC ，BF ⊥AO ，则BF ⋅AO =[(1-t )BA +tBC ]⋅-BA +12BC =(t -1)BA 2+12tBC 2=4(t -1)+4t =0，解得t =12，则F 为AC 的中点，由D ,E ,O ,F 分别为PB ,PA ,BC ,AC 的中点，于是DE ⎳AB ,DE =12AB ,OF ⎳AB ,OF =12AB ，即DE ⎳OF ,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行四边形，EF ⎳DO ,EF =DO ，又EF ⊄平面ADO ,DO ⊂平面ADO ，所以EF ⎳平面ADO .ABCDEO P【小问2详解】由(1)可知EF ⎳OD ，则AO =6,DO =62，得AD =5DO =302，因此OD 2+AO 2=AD 2=152，则OD ⊥AO ，有EF ⊥AO ，又AO ⊥BF ,BF ∩EF =F ，BF ,EF ⊂平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又AO ⊂平面ADO ，所以平面ADO ⊥平面BEF .【小问3详解】过点O 作OH ⎳BF 交AC 于点H ，设AD ∩BE =G ，由AO ⊥BF ，得HO ⊥AO ，且FH =13AH ，又由(2)知，OD ⊥AO ，则∠DOH 为二面角D -AO -C 的平面角，因为D ,E 分别为PB ,PA 的中点，因此G 为△PAB 的重心，即有DG =13AD ,GE =13BE ，又FH =13 AH ，即有DH =32GF ，cos ∠ABD =4+32-1522×2×62=4+6-PA 22×2×6，解得PA =14，同理得BE =62，于是BE 2+EF 2=BF 2=3，即有BE ⊥EF ，则GF 2=13×622+622=53，从而GF =153，DH =32×153=152，在△DOH 中，OH =12BF =32,OD =62,DH =152，于是cos ∠DOH =64+34-1542×62×32=-22，sin ∠DOH =1--222=22，所以二面角D -AO -C 的正弦值为22.ABCD EFGH OP20.已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为53，点A -2,0 在C 上.(1)求C 的方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点.【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解【解析】【分析】(1)根据题意列式求解a ,b ,c ，进而可得结果；(2)设直线PQ 的方程，进而可求点M ,N 的坐标，结合韦达定理验证y M +y N2为定值即可.【小问1详解】由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3 x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y 2x 2+22=k x 1+2 +3x 1+2+k x 2+2 +3x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2 x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +316k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段PQ 的中点是定点0,3 .【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；(3)得出结论．21.已知函数f(x)=1x +aln(1+x).(1)当a=-1时，求曲线y=f x 在点1,f1处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若f x 在0,+∞存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)ln2x+y-ln2=0；(2)存在a=12,b=-12满足题意，理由见解析.(3)0,12.【解析】【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g x =ax2+x-x+1ln x+1，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥12和0<a<12三中情况即可求得实数a的取值范围.【小问1详解】当a=-1时，f x =1x-1ln x+1，则f x =-1x2×ln x+1+1x-1×1x+1，据此可得f1 =0,f 1 =-ln2，函数在1,f1处的切线方程为y-0=-ln2x-1，即ln2x+y-ln2=0.【小问2详解】由函数的解析式可得f1x=x+aln1x+1，函数的定义域满足1x+1=x+1x>0，即函数的定义域为-∞,-1∪0,+∞，定义域关于直线x=-12对称，由题意可得b=-12，由对称性可知f-12+m=f-12-mm>12，取m=32可得f1 =f-2，即a+1ln2=a-2ln 12，则a+1=2-a，解得a=12，经检验a=12,b=-12满足题意，故a=12,b=-12.即存在a=12,b=-12满足题意.【小问3详解】由函数的解析式可得f x =-1 x2ln x+1+1x+a1x+1，由f x 在区间0,+∞存在极值点，则f x 在区间0,+∞上存在变号零点;令-1 x2ln x+1+1x+a1x+1=0，则-x+1ln x+1+x+ax2=0，令g x =ax2+x-x+1ln x+1，f x 在区间0,+∞存在极值点，等价于g x 在区间0,+∞上存在变号零点，g x =2ax-ln x+1,g x =2a-1 x+1当a≤0时，g x <0，g x 在区间0,+∞上单调递减，此时g x <g0 =0，g x 在区间0,+∞上无零点，不合题意;当a≥12，2a≥1时，由于1x+1<1，所以g x >0,g x 在区间0,+∞上单调递增，所以g x >g 0 =0，g x 在区间0,+∞上单调递增，g x >g0 =0，所以g x 在区间0,+∞上无零点，不符合题意；当0<a<12时，由gx =2a-1x+1=0可得x=12a-1，当x∈0,12a-1时，g x <0，g x 单调递减，当x∈12a-1,+∞时，g x >0，g x 单调递增，故g x 的最小值为g12a-1=1-2a+ln2a，令m x =1-x+ln x0<x<1，则m x =-x+1x>0，函数m x 在定义域内单调递增，m x <m1 =0，据此可得1-x+ln x<0恒成立，则g 12a-1=1-2a +ln2a <0，令h x =ln x -x 2+x x >0 ，则hx =-2x 2+x +1x ，当x ∈0,1 时，h x >0,h x 单调递增，当x ∈1,+∞ 时，h x <0,h x 单调递减，故h x ≤h 1 =0，即ln x ≤x 2-x (取等条件为x =1)，所以g x =2ax -ln x +1 >2ax -x +1 2-x +1 =2ax -x 2+x ，g 2a -1 >2a 2a -1 -2a -1 2+2a -1 =0，且注意到g 0 =0，根据零点存在性定理可知:g x 在区间0,+∞ 上存在唯一零点x 0.当x ∈0,x 0 时，g x <0，g x 单调减，当x ∈x 0,+∞ 时，g x >0，g x 单调递增，所以g x 0 <g 0 =0.令n x =ln x -12x -1x ，则n x =1x -121+1x 2=-x -1 22x2≤0，则n x 单调递减，注意到n 1 =0，故当x ∈1,+∞ 时，ln x -12x -1x <0，从而有ln x <12x -1x，所以g x =ax 2+x -x +1 ln x +1 >ax 2+x -x +1 ×12x +1 -1x +1=a -12 x 2+12，令a -12 x 2+12=0得x 2=11-2a，所以g 11-2a>0，所以函数g x区间0,+∞ 上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数a 得取值范围是0,12.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.四、选做题【选修4-4】(10分)22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin θπ4≤θ≤π2，曲线C 2：x =2cos αy =2sin α (α为参数，π2<α<π).(1)写出C 1的直角坐标方程；(2)若直线y =x +m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点，求m 的取值范围.【答案】(1)x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 (2)-∞,0 ∪22,+∞ 【解析】【分析】(1)根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x ,y 的取值范围；(2)根据曲线C 1,C 2的方程，结合图形通过平移直线y =x +m 分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为ρ=2sin θ，即ρ2=2ρsin θ，可得x 2+y 2=2y ，整理得x 2+y -1 2=1，表示以0,1 为圆心，半径为1的圆，又因为x =ρcos θ=2sin θcos θ=sin2θ,y =ρsin θ=2sin 2θ=1-cos2θ，且π4≤θ≤π2，则π2≤2θ≤π，则x =sin2θ∈0,1 ,y =1-cos2θ∈1,2 ，故C 1:x 2+y -1 2=1,x ∈0,1 ,y ∈1,2 .【小问2详解】因为C 2:x =2cos αy =2sin α(α为参数，π2<α<π)，整理得x 2+y 2=4，表示圆心为O 0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y =x +m 过1,1 ，则1=1+m ，解得m =0；若直线y =x +m ，即x -y +m =0与C 2相切，则m2=2m >0 ，解得m =22，若直线y=x +m 与C 1,C 2均没有公共点，则m >22或m <0，即实数m 的取值范围-∞,0 ∪22,+∞ .【选修4-5】(10分)23.已知f x =2x +x -2 .(1)求不等式f x ≤6-x 的解集；(2)在直角坐标系xOy 中，求不等式组f (x )≤yx +y -6≤0所确定的平面区域的面积.【答案】(1)[-2,2]；(2)6.【解析】【分析】(1)分段去绝对值符号求解不等式作答.(2)作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，f (x )=3x -2,x >2x +2,0≤x ≤2-3x +2,x <0，不等式f (x )≤6-x 化为：x >23x -2≤6-x或0≤x ≤2x +2≤6-x 或x <0-3x +2≤6-x ，解x >23x -2≤6-x，得无解；解0≤x ≤2x +2≤6-x ，得0≤x ≤2，解x <0-3x +2≤6-x ，得-2≤x <0，因此-2≤x ≤2，所以原不等式的解集为：[-2,2]小问2详解】作出不等式组f (x )≤yx +y -6≤0表示的平面区域，如图中阴影△ABC，由y =-3x +2x +y =6，解得A (-2,8)，由y =x +2x +y =6 , 解得C (2,4)，又B (0,2),D (0,6)，所以△ABC 的面积S △ABC =12|BD |×x C -x A =12|6-2|×|2-(-2)|=8.。
高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
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全国卷理科数学及答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.
2010年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修II)
第I 卷
一．选择题
（1）复数2
31i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭
（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i +
（2）函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是 （A ）211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+>
（C ）211(R)x y e x +=-∈ （D ）211(R)x y e x +=+∈
（3）若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩
≥≥≤，则2z x y =+的最大值为
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（4）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=
（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35
（5）不等式2601
x x x ---＞的解集为 （A ）{}2,3x x x -＜或＞ （B ）{}213x x x -＜，或＜＜
（C ）{}213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜
（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种
（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像 （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4
π个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π个长度单位 （8）ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB a =，CA b =，1a =，2b =，则CD =
（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355
a b +
（9）已知正四棱锥S ABCD -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为
（A ）1 （B （C ）2 （D ）3
（10）若曲线12
y x -=在点12,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
a =
（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8
（11）与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点
（A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个
（C ）有且只有3个 （D ）有无数个
（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=＞＞F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =
（A ）1 （B （C （D ）2
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13）已知a 是第二象限的角，4tan(2)3
a π+=-，则tan a = ． （14）若9()a x x
-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．
（15）已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M 的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p = ．
（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分10分）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ． （18）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+．
（Ⅰ）求lim n n n
a S →∞； （Ⅱ）证明：12222312n n a a a n
+++…＞． （19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱
111ABC A B C -中，AC BC =，1AA AB =，D 为1BB 的
中点，E 为1AB 上的一点，13AE EB =．
（Ⅰ）证明：DE 为异面直线1AB 与CD 的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线1AB 与CD 的夹角为45°，求二面角111A AC B --的大小．
（20）（本小题满分12分） 如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是．电流
能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为．
（Ⅰ）求p ；
（Ⅱ）求电流能在M 与N 之间通过的概率；
（Ⅲ）ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望．
（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l 与双曲线C ：
()22
22
100x y a b a b -=＞，＞相交于B 、D 两点，且BD 的中点为()1,3M ． （Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，17DF BF =，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．
（22）（本小题满分12分）设函数()1x f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤+，求a 的取值范围．。