课时作业7：专题强化 圆周运动的综合分析

题型一 竖直面内的圆周运动1.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0.5 kg 的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图1所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g 取10 m/s 2)( )图1A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B解析 “水流星”在最高点的临界速度v ＝gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.2．某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，重力加速度为g ，飞行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( ) A ．mg B ．2mg C ．mg ＋m v 2RD ．2m v 2R答案 B解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R ，解得：F 2＝mg ＋m v 2R.所以由牛顿第三定律可知，F 2′－F 1′＝F 2－F 1＝2mg ，B 正确．3.(多选)如图2所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R .现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，小球通过最高点时的速率为v 0，重力加速度为g ，则下列说法中正确的是( )图2A ．若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力B ．若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力C ．若0 <v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力D ．不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力 答案 ABC解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 02R ，解得v 0＝gR ，此时小球对管内壁无压力，选项A 正确；若v 0＞gR ，则有mg ＋F N ＝m v 02R ，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确；若0＜v 0＜gR ，则有mg －F N ＝m v 02R ，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确；综上分析，选项D 错误．4．(多选)(2020·烟台二中高一月考)如图3所示，轻杆一端固定在光滑水平轴O 上，另一端固定一质量为m 的小球．给小球一初速度，使其在竖直平面内做圆周运动，且刚好能通过最高点P ，重力加速度为g ，下列说法正确的是( )图3A ．小球在最高点时对杆的作用力为零B ．小球在最高点时对杆的作用力大小为mgC ．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力一定增大D ．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的力可能增大 答案 BD解析 以小球为研究对象，设在最高点时杆对小球的作用力大小为F ，方向竖直向上，小球刚好能通过最高点P ，速度为零，根据牛顿第二定律得，mg －F ＝m v 2r ＝0，即有F ＝mg ，再由牛顿第三定律得，小球在最高点时对杆的作用力大小也为mg ，方向竖直向下，故A 错误，B 正确；对于小球，在最高点时：若v <gr ，杆对球的作用力方向竖直向上，F ＝mg －m v 2r ，增大小球的初速度，杆对球的作用力F 减小，则球对杆的力减小，故C 错误；若v >gr ，杆对球的作用力方向竖直向下，由mg ＋F ＝m v 2r ，得F ＝m v 2r －mg ，当速度v 增大时，杆对球的作用力F 增大，则球对杆的力增大，故D 正确． 题型二 圆锥摆模型 水平面内圆周运动的临界问题5．(多选)假设飞机转弯时空气对飞机的升力与机翼的平面垂直．若质量为m 的飞机以恒定的速率v 在水平面内做圆周运动，其轨道半径大小为R ，机翼平面与水平方向成一定的角度，飞机所在处的重力加速度大小为g ，则下列说法正确的是( ) A ．空气对飞机的作用力大小为mg B ．飞机所受的升力大小为m v 2RC ．飞机所受的合力大小为m v 2RD ．如果保持机翼与水平方向的夹角不变，轨道半径随飞机速度的增大而增大 答案 CD6．(多选)如图4所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点，设法让两个小球在不同的水平面上做匀速圆周运动．已知L 1跟竖直方向的夹角为60°，L 2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( )图4A ．细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为3∶1B ．小球m 1和m 2的角速度大小之比为3∶1C ．小球m 1和m 2的向心力大小之比为3∶1D ．小球m 1和m 2的线速度大小之比为33∶1 答案 AC解析 对任一小球进行研究，设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡， 则：F T cos θ＝mg 解得F T ＝mg cos θ所以细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为： F T1F T2＝cos 30°cos 60°＝31，故A 正确； 小球所受合力的大小为mg tan θ，根据牛顿第二定律得： mg tan θ＝mLω2sin θ，得：ω＝gL cos θ，故两小球的角速度大小之比为：ω1ω2＝cos 30°cos 60°＝431，故B 错误； 小球所受合力提供向心力，则向心力为：F n ＝mg tan θ小球m 1和m 2的向心力大小之比为：F n1F n2＝tan 60°tan 30°＝3，故C 正确；两小球角速度大小之比为：43∶1，由v ＝ωr 得线速度大小之比为33∶1，故D 错误． 7.(多选)如图5所示，在圆锥体表面上放一个物体，圆锥体绕竖直轴转动．当圆锥体旋转角速度缓慢增大时，物体仍和圆锥体保持相对静止，则( )图5A ．物体受到的支持力减小B ．物体受到的合外力不变C ．圆锥对物体的作用力不变D ．物体受到的静摩擦力增大 答案 AD解析 对物体进行受力分析，如图所示，根据向心力公式得F f cos θ－F N sin θ＝mrω2在竖直方向有F f sin θ＋F N cos θ＝mg 解得F N ＝mg cos θ－mrω2sin θ F f ＝mg sin θ＋mrω2cos θ圆锥体旋转角速度缓慢增大时，物体受到的支持力F N 减小，静摩擦力增大，故A 、D 正确； 物体受到的合外力提供向心力，F 合＝mω2r 随着转速的增大，合外力增大，故B 错误；圆锥对物体的作用力与物体重力的合力即为物体的合外力，由于合外力变化，则圆锥对物体的作用力变化，故C 错误．8．(多选)(2020·全国高一课时练习)如图6所示，轻杆长为3L ，在杆的A 、B 两端分别固定质量均为m 的球A 和球B ，杆上距球A 为L 处的点O 装在光滑水平转动轴上，杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，且杆对球A 、B 的最大约束力相同，重力加速度为g ，则( )图6A ．B 球在最低点较A 球在最低点更易脱离轨道B ．若B 球在最低点时杆作用力为3mg ，则A 球在最高点受杆的拉力C ．若某一周A 球在最高点和B 球在最高点受杆的力大小相等，则A 球受杆的支持力、B 球受杆的拉力D ．若每一周做匀速圆周运动的角速度都增大，则同一周B 球在最高点受杆的力一定大于A 球在最高点受杆的力 答案 AC解析 杆和球在竖直面内做匀速圆周运动，它们的角速度相同，B 球做圆周运动的半径是A 球的2倍，由v ＝rω可知，B 球的线速度v B 是A 球的线速度v A 的2倍，v B ＝2v A ，在最低点，由向心力公式F －mg ＝m v 2r ，得杆对A 球的作用力F A ＝mg ＋m v 2L ，杆对B 球的作用力为F B ＝mg ＋m 2v 2L ，所以在最低点，F B >F A ，而杆对球A 、B 的最大约束力相同，故B 球在最低点较A球在最低点更易脱离轨道，故A 正确；假设A 球在最高点受杆的拉力F A ′，由向心力公式mg ＋F A ′＝m v 2r 可知，A 球在最高点受杆的拉力F A ′＝m v 2L －mg ，球B 在最低点时杆对B 球的作用力为拉力，F B ＝mg ＋m 2v 2L ＝3mg ，则v ＝gL ，所以F A ′＝0，即A 球在最高点不受杆的拉力，故B 错误；若某一周A 球在最高点和B 球在最高点受杆的力大小相等，因v B ＝2v A ，所以A 球受杆的支持力、B 球受杆的拉力，故C 正确；当v B ＝2gL 时，v A ＝2gL2，B 球受到杆的作用力为0，而A 球受到杆的作用力为mg2，故D 错误．9．(多选)如图7所示，两个质量均为m 的小木块a 和b (可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转轴OO ′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g .若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )图7A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝kg2l是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝2kg3l时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 小木块a 、b 做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即F f ＝mω2R .当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a ：F f a ＝mωa 2l ，当F f a ＝kmg 时，kmg ＝mωa 2l ，可得ωa ＝kgl；对木块b ：F f b ＝mωb 2·2l ，当F f b ＝kmg 时，kmg ＝mωb 2·2l ，可得ωb ＝kg2l，所以b 先达到最大静摩擦力，即b 先开始滑动，选项A 、C 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则F f a ＝mω2l ，F f b ＝mω2·2l ，F f a <F f b ，选项B 错误；ω＝2kg 3l <ωa ，a 没有滑动，则F f a ＝mω2l ＝23kmg ，选项D 错误． 10.如图8所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B 从水平地面上以不同速率进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁下部的压力为0.75mg .g 为重力加速度，忽略空气阻力，求A 、B 两球落地点间的距离．图8答案 3R解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A 、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差． 对A 球，由牛顿第二定律得 3mg ＋mg ＝m v A 2R解得A 球通过最高点C 时的速度大小为v A ＝2gR 对B 球，由牛顿第二定律得 mg －0.75mg ＝m v B 2R解得B 球通过最高点C 时的速度大小为v B ＝gR 2A 、B 球做平抛运动的时间相同，由2R ＝12gt 2可得t ＝2×2Rg＝2R g两球做平抛运动的水平位移分别为 x A ＝v A t ＝4R x B ＝v B t ＝RA 、B 两球落地点间的距离Δx ＝x A －x B ＝3R .11.如图9所示，用一根长为l ＝1 m 的细线，一端系一质量为m ＝1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为F T .(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)图9(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 答案 (1)522 rad/s (2)2 5 rad/s解析 (1)若小球刚好要离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mg tan θ＝mω02l sin θ 解得ω0＝g l cos θ＝522 rad/s (2)当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得mg tan α＝mω′2l sin α 解得ω′＝gl cos α＝2 5 rad/s 12.如图10所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m 的物体A 放在转盘上，物体A 到圆孔的距离为r ，物体A 通过轻绳与物体B 相连，物体B 的质量也为m .若物体A 与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A 随转盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g )图10答案g(1－μ)r≤ω≤g(1＋μ)r解析当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即F＋F fmax＝mrω12①由于B静止，故有F＝mg②又F fmax＝μF N＝μmg③由①②③式可得ω1＝g(1＋μ)r当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动所需的向心力为F－F fmax＝mrω22④由②③④式可得ω2＝g(1－μ)r故要使A随转盘一起转动而不滑动，其角速度ω的范围为ω2≤ω≤ω1，即g(1－μ)r≤ω≤g(1＋μ)r.。