课时作业3：专题强化五 天体运动的“四类热点”问题

专题强化五 天体运动的“四类热点”问题1.如图1所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬60°的正上方时所用时间为1 h ，则下列说法正确的是( )图1A.该卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4B.该卫星与同步卫星的运行速度之比为1∶2C.该卫星的运行速度一定大于7.9 km/sD.该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能 答案 A解析 由题意知卫星运行的轨迹所对圆心角为120°，即运行了三分之一周期，用时1 h ，因此卫星的周期T ＝3 h ，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得T ∝r 3，又同步卫星的周期T 同＝24 h ，则极地轨道卫星与同步卫星的运行半径之比为1∶4，A 正确；由G Mmr 2＝m v 2r，可得v ∝1r，故极地轨道卫星与同步卫星的运行速度之比为2∶1，B 错误；第一宇宙速度v ＝7.9 km /s ，是近地卫星的运行速度，所以该卫星的运行速度要小于7.9 km/s ，故C 错误；因卫星的质量未知，则机械能无法比较，D 错误.2.(多选)地球同步卫星离地心的距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，地球的第一宇宙速度为v 2，半径为R ，则下列比例关系中正确的是( ) A.a 1a 2＝r R B.a 1a 2＝(r R )2 C.v 1v 2＝r R D.v 1v 2＝R r答案 AD解析 设地球的质量为M ，同步卫星的质量为m 1，地球赤道上的物体的质量为m 2，近地卫星的质量为m 2′，根据向心加速度和角速度的关系有a 1＝ω 21r ，a 2＝ω 22R ，又ω1＝ω2，故a 1a 2＝r R ，选项A 正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm 1r 2＝m 1v 21r ，G Mm 2′R 2＝m 2′v 22R，解得v 1v 2＝Rr，选项D 正确. 3.(2014·天津理综·3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时.假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )A.距地面的高度变大B.向心加速度变大C.线速度变大D.角速度变大答案 A解析 地球自转的周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大.由GMm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，得h＝3GMT 24π2－R ，T 变大，h 变大，A 正确. 由GMm r 2＝ma ，得a ＝GMr2，r 增大，a 减小，B 错误. 由GMm r 2＝m v 2r，得v ＝GMr，r 增大，v 减小，C 错误. 由ω＝2πT可知，角速度减小，D 错误.4.(多选)(2017·广东华南三校联考)石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空.设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星A 的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射绕地人造卫星.如图2所示，假设某物体B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星C 相比较( )图2A.B 的线速度大于C 的线速度B.B 的线速度小于C 的线速度C.若B 突然脱离电梯，B 将做离心运动D.若B 突然脱离电梯，B 将做近心运动 答案 BD解析 A 和C 两卫星相比，ωC >ωA ，而ωB ＝ωA ，则ωC >ωB ，又根据v ＝ωr ，r C ＝r B ，得v C >v B ，故B 项正确，A 项错误.对卫星C 有G Mm C r C 2＝m C ωC 2r C ，又ωC >ωB ，对物体B 有G Mm Br B 2>m B ωB 2r B ，若B 突然脱离电梯，B 将做近心运动，D 项正确，C 项错误.5.(多选)如图3所示，A 表示地球同步卫星，B 为运行轨道比A 低的一颗卫星，C 为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C 的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是( )图3A.v B >v A >v CB.ωA >ωB >ωCC.F A >F B >F CD.T A ＝T C >T B答案 AD解析 A 为地球同步卫星，故ωA ＝ωC ，根据v ＝ωr 可知，v A >v C ，再根据G Mmr 2＝m v 2r 得到v＝GMr，可见v B >v A ，所以三者的线速度关系为v B >v A >v C ，故选项A 正确；由同步卫星的含义可知T A ＝T C ，再由G Mmr 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，可知T A >T B ，因此它们的周期关系为T A ＝T C >T B ，由ω＝2πT 可知它们的角速度关系为ωB >ωA ＝ωC ，所以选项D 正确，B 错误；由F ＝G Mm r 2可知F A <F B <F C ，所以选项C 错误.6.(多选)“嫦娥三号”探月卫星于2013年12月2日顺利发射升空，已知“嫦娥三号”探月卫星绕月球表面做匀速圆周运动，飞行N 圈用时为t ；地球的质量为M ，半径为R ，表面重力加速度为g ；月球半径为r ，地球和月球间的距离为L ，则( ) A.“嫦娥三号”绕月球表面匀速飞行的速率为2πNrtB.月球的平均密度为3πMN 2gr 2t 2C.“嫦娥三号”的质量为4π2r 3N 2gR 2t 2D.月球受地球的引力为4π2Mr 3N 2L 2t 2答案 AD解析 由题知“嫦娥三号”绕月球表面运行的周期为T ＝t N ，由v ＝2πr T 得v ＝2πNrt ，A 对；由G mm ′r 2＝m ′⎝⎛⎭⎫2πT 2r ，m ＝ρ·43πr 3，GM ＝gR 2得月球的平均密度为3πMN 2gR 2t 2，B 错；卫星运行中只能估算中心天体的质量，无法估算卫星的质量，C 错；由万有引力公式F ＝G MmL 2，G mm ′r 2＝m ′⎝⎛⎭⎫2πT 2r 得月球受到地球的引力为4π2Mr 3N2L 2t 2，D 对. 7.(多选)在发射一颗质量为m 的地球同步卫星时，先将其发射到贴近地球表面运行的圆轨道Ⅰ上(离地面高度忽略不计)，再通过一椭圆轨道Ⅱ变轨后到达距地面高度为h 的预定圆轨道Ⅲ上.已知它在圆轨道Ⅰ上运行时的加速度为g ，地球半径为R ，图4中PQ 长约为8R ，卫星在变轨过程中质量不变，则( )图4A.卫星在轨道Ⅲ上运行的加速度为⎝⎛⎭⎫h R ＋h 2gB.卫星在轨道Ⅲ上运行的线速度为v ＝gR 2R ＋hC.卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率D.卫星在轨道Ⅲ上的动能大于在轨道Ⅰ上的动能 答案 BC解析 设地球质量为M ，由万有引力提供向心力得卫星在轨道Ⅰ上有G MmR 2＝mg ，在轨道Ⅲ上有G Mm (R ＋h )2＝ma ，所以a ＝⎝⎛⎭⎫R R ＋h 2g ，A 错；又因a ＝v 2R ＋h，所以v ＝gR 2R ＋h，B 对；卫星由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ需要加速做离心运动，即满足GMm r 2<m v 2r ，所以卫星在轨道Ⅲ上运行时经过P 点的速率大于在轨道Ⅱ上运行时经过P 点的速率，C 对；尽管卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅲ要在P 、Q 点各加速一次，但在圆形运行轨道上v ＝GMr，所以由动能表达式知卫星在轨道Ⅲ上的动能小于在轨道Ⅰ上的动能，D 错.8.(多选)“行星冲日”是指当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间且三者排成一条直线的天文现象.2014年4月9日发生了火星冲日的现象.已知火星和地球绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，火星公转轨道半径为地球的1.5倍，以下说法正确的是( ) A.火星的公转周期比地球的大 B.火星的运行速度比地球的大 C.每年都会出现火星冲日现象 D.2015年一定不会出现火星冲日现象 答案 AD解析 已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍，则由T ＝4π2r 3GM，可知火星的公转周期比地球的大，又由v ＝GMr，知火星的运行速度比地球的小，故A 对，B 错.据T ＝4π2r 3GM，得T 火T 地＝r 3火r 3地＝1.5 1.5，又T 地＝1年，则T 火≈1.8年，由(ω地－ω火)·t ＝2π，得距下一次火星冲日所需时间t ＝2πω地－ω火＝2.25年，故C 错，D 对.9.(多选)最近我国连续发射了多颗北斗导航定位卫星，使我国的导航定位精度不断提高.北斗导航卫星有一种是处于地球同步轨道，假设其离地高度为h ，地球半径为R ，地面附近重力加速度为g ，则有( ) A.该卫星运行周期为24 hB.该卫星所在处的重力加速度为⎝⎛⎭⎫RR ＋h 2gC.该卫星周期与近地卫星周期之比为231h R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D.该卫星运动动能为mgR 22(R ＋h )答案 ABD解析 地球同步卫星和地球自转同步，周期为24 h ，A 正确；由G Mm r 2＝mg ＝m 4π2T 2r ＝m v 2r 可知，g ＝GM r 2，则该卫星所在处的重力加速度和地面处的重力加速度之比是R 2(R ＋h )2，B 正确；T ＝2πr 3GM，该卫星周期与近地卫星周期之比为(R ＋h )3R 3，C 错误；该卫星的动能E k ＝12m v 2＝12·GMm R ＋h ＝mgR 22(R ＋h )，D 正确. 10.(2018·山西晋城质检)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.若某双星的质量分别为M 、m ，间距为L ，双星各自围绕其连线上的某点O 做匀速圆周运动，其角速度分别为ω1、ω2，质量为M 的恒星轨道半径为R ，已知引力常量为G ，则描述双星运动的上述物理量满足( )A.ω1<ω2B.ω1>ω2C.GM ＝ω22(L －R )L 2D.Gm ＝ω12R 3答案 C解析 双星系统中两颗星的角速度相同，ω1＝ω2，则A 、B 项错误.由GMmL 2＝mω22(L －R )，得GM ＝ω22(L －R )L 2，C 项正确.由GMmL2＝Mω12R ，得Gm ＝ω12RL 2，D 项错误.11.如图5所示，A 是地球的同步卫星.另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h .已知地球半径为R ，地球自转的角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地心.图5(1)求卫星B 的运行周期.(2)若卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 答案 见解析解析 (1)根据万有引力定律和牛顿第二定律， 对卫星B 有：G Mm (R ＋h )2＝m 4π2T B 2(R ＋h )对地球表面上的物体：G Mm ′R 2＝m ′g联立解得T B ＝2π(R ＋h )3gR 2(2)由题意得(ωB －ω0)t ＝2π 又ωB ＝2πT B，解得t ＝2πgR 2(R ＋h )3－ω0.12.(2018·安徽安庆模拟)发射宇宙飞船的过程要克服引力做功，已知将质量为m 的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为r 处的过程中，引力做功为W ＝GMmr，飞船在距地球中心为r 处的引力势能公式为E p ＝－GMmr ，式中G 为引力常量，M 为地球质量.若在地球的表面发射一颗人造地球卫星，发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称逃逸速度). (1)试推导第二宇宙速度的表达式.(2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M ＝1.98×1030 kg ，求它可能的最大半径？ 答案 (1)v ＝2GMR(2)2.93×103 m 解析 (1)设距地心无穷远处的引力势能为零，地球的半径为R ，第二宇宙速度为v ，所谓第二宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最小发射速度.则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程，根据机械能守恒定律得E k ＋E p ＝0 即12m v 2－G Mm R ＝0 解得v ＝2GMR(2)由题意知v >c ，即2GMR>c 得R <2GM c 2＝2×6.67×10－11×1.98×10309×1016 m ≈2.93×103 m 则该黑洞可能的最大半径为2.93×103 m.。