2021人教A版数学选修4-5课件：第二讲
人教A版数必修课件一般形式的柯西不等式
＝94(64＋36＋4×144)＝392，
又(－8x＋6y－24y)2＝392，
∴(x2＋y2＋z2)[(－8)2＋62＋(－24)2]
＝(－8x＋6y－24z)2，
即不等式①中只有等号成立时满足条件． 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得 －x8＝6y＝－z24. 它与－8x＋6y－24z＝39 联立，可得 x＝－163，y＝296，z＝－1183.
探究三 柯西不等式其他形式的应用 [例 3] 已知实数 a，b，c，d 满足 a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求 a 的范围． [解析] 由柯西不等式得，有 (2b2＋3c2＋6d2)12＋13＋16≥(b＋c＋d)2， 即 2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2. 由条件可得，5－a2≥(3－a)2， 解得 1≤a≤2.
3．设 a、b、c 是正实数，且 a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值是________． 解析：∵(a＋b＋c)2a＋2b＋2c
＝[( a)2＋( b)2＋( c)2]
2a2＋
2b2＋
22 c
≥ a· 2a＋ b· 2b＋ c· 2c2＝18.
∴2a＋2b＋2c≥2.
答案：2
4．边长为 a，b，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为 1，若 s＝ a＋ b＋ c， t＝1a＋1b＋1c，则 s 与 t 的大小关系是________． 解析：S△＝a4bRc＝a4bc＝14，即 abc＝1， ∴t＝ab＋bc＋ca， t2＝(ab＋bc＋ca)1a＋1b＋1c ≥( a＋ b＋ c)2＝s2， 又 a，b，c>0，∴s≤t. 答案：s≤t
二 一般形式的柯西不等式
考纲定位
重难突破
1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上， 重点：一般形式的柯西不等式的几何意
2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5
2021年高中数学 3.1柯西不等式练习新人教版选修4-5【霸王餐】 一、填空题1、柯西不等式二维公式：2、利用柯西可知：3、已知4、已知5、已知 二、解答题：1、已知、、，，求证2、已知的取值范围。
求、b a b a b a +>=+,0,44三、选择题：1．若3x 2＋2y 2≤1，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－5，5]D ．[－5,5]2．若x 、y 、m 、n ∈(0，＋∞)，且m x ＋n y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．m ＋nB ．4mnC ．(m ＋n )2D.m 2＋n 223．若2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值时的x ，y ，z 的值为( )A.53，109，56B.2029，3029，4029 C ．1，12，13 D ．1，14，194．已知a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数，若y 1＝ax 1＋bx 2a ＋b ，y 2＝bx 1＋ax 2a ＋b，则y 1y 2与x 1x 2的关系为( )A ．y 1y 2＜x 1x 2B ．y 1y 2＝x 1x 2C ．y 1y 2＞x 1x 2D ．不能确定 5．若x 、y 、z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．96．若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值是( ) A ．1 B. 3 C ．3 D ．97．若x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2的最小值为( )A. 2B.22C. 3D.338．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117，对所有这样的m 与n,3m ＋2n 的最大值是( )A ．35B ．37C ．38D ．419．已知x 、y 、z 是非负实数，若9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15 【自助餐】1．设x ，y ∈R ＋，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 的最小值是__________．2．若x ＋y ＋z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为__________．3．已知x 、y 、z 为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1，则(x ＋y )(y ＋z )的最小值为__________．4．若x 1、x 2、x 3大于0，且x 1＋x 2＋x 3＝1，则x 1x 22x 3＋x 1x 2x 23的最大值为________．5．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.6．已知a ＋b ＋c ＝1，且a 、b 、c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a≥9.30346768A 皊29175 71F7 燷365978EF5軵^(21585 5451 呑l6+C37936 9430 鐰lCc。
同构思想在指对型函数中的应用 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版选修2-2
a b ln b
同左： e a a e ln b ln b f ( x ) e x x
同右： e a ln e a b ln b f ( x) x ln x
（四）例题讲解，吃透本质
例 5.（2021 湖北八市 3 调 T8）设实数 t 0 ，若对任意的
（3）不等式右边能否凑成左边的结构(同左)？
axe ax e
ax
ln x 2
ln x 2 ln x 2
eax ln eax ln eax x 2 ln x 2 ln x 2
例题
方法提炼： （3）和差型： e a
ea a b ln b 两种同构方式
x
解： f ( x ) ( x 1)e
1
( x 1)e x 1
e
1 1
1
( ) 2
e e
e
（三）小试牛刀，初尝成果
（三）小试牛刀，初尝成果
ex
（3）函数 f ( x) 2 ( x 0) 的最小值为______；
x
x
2
x
e 2
e
解： f ( x) 2 (
同构思想在指对型函数中的应用
（一）经典再现引出课题
1.（2021 湖北八市 3 调 T8）设实数 t 0 ，若对任意的 x 0 ，
不等式 e2tx ln 2 ln x 0 恒成立，则 t 的取值范围为______.
t
2.（2021 八省联考 8）已知 a 5 且 ae5 5ea ， b 4 且 be
函数，用 h( x) 表示，这个母函数需要满
足：①指对跨阶；②单调性和最值易
人教B版高中数学选修4-5课件：第二章柯西不等式与排序不等式及其应用
2������
2
24
=
3������
+
1
=
3
+
1 ������
≥
3
+
1 2
=
7,
5
专题一
专题二
专题三
专题四
知识建构
综合应用
真题放送
又由柯西不等式,得������+1 1
+
1 ������+2
+
⋯
+
1 2������
1
1
1
<
( 12 + 12 + … + 12 )
������ 个
(n + 1)2 + (n + 2)2 + … + (2n)2
≤
n
1 n
-
1 2n
= 22.
4
111
112
故 7 < 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ + 2n-1 − 2n < 2 .
6
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二 排序不等式的应用
应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找
出两组有序数组,通常可以根据函数的单调性去寻找.
·1
������1
+
������22
·1
������2
+
⋯
+
���������2���
·1
������������
=x1+x2+…+xn=P(定值),
最新-2021学年高中数学人教A版选修41课件创新应用：第一讲 四 直角三角形的射影定理 精品
三、解答题 8．如图：在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，DE 是 Rt△
BCD 斜边 BC 上的高，若 BE＝6，CE＝2. 求 AD 的长是多少．
解：因为在 Rt△BCD 中，DE⊥BC，所以由射影定理可得： CD2＝CE·BC， 所以 CD2＝16， 因为 BD2＝BE·BC， 所以 BD＝ 6×8＝4 3. 因为在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB，所以由射影定理可得： CD2＝AD·BD， 所以 AD＝CBDD2＝4163＝433.
7．在△ABC 中，∠A＝90°，AD⊥BC 于点 D，AD＝6，BD＝ 12，则 CD＝__________，AC＝__________，AB2∶AC2＝ __________. 解析：如图，AB2＝AD2＋BD2， 又 AD＝6，BD＝12，∴AB＝6 5. 由射影定理可得，AB2＝BD·BC，∴BC＝ABBD2＝15. ∴CD＝BC－BD＝15－12＝3. 由射影定理可得，AC2＝CD·BC，∴AC＝ 3×15＝3 5. ∴AABC22＝BCDD··BBCC＝BCDD＝132＝4. 答案：3 3 5 4∶1
(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝9＋916×25＝9(cm)， BD＝9＋1616×25＝16(cm)． ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm).
与射影定理有关的证明问题 [例 2] 如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、G 分 别为垂足． 求证：AF·AC＝BG·BE. [思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单 的图形中利用射影定理证明所要的结论．
射影定理的有关计算
[例 1] 如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，若 AD＝2 cm，DB＝6 cm，求 CD， AC，BC 的长．
2021年优指导高中数学人教A版选修1-2课件课件：2.1.1.2类比推理
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第2课时 类比推理
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课前预习案 课堂探究案
-2-
第2课时 类比推理
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课前预习案 课堂探究案
1.类比推理 (1)类 比推理的含义:由两类对 象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为 类 比推理(简 称类比).简 言之,类 比推理是由特殊到特殊的推理. (2)类 比推理的特点:
课前预习案 课堂探究案
分析:这是解题方法上的类比问题,分析已经给出的问题的解题 方法与步骤可知,应首先设出欲求值的式子,然后根据式子的循环 与周期性进行求解.
答案:C
-17-
第2课时 类比推理
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探究一
探究二
探究三思维辨析Leabharlann 当堂检测课前预习案 课堂探究案
-18-
第2课时 类比推理
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探究一
探究二
做一做3 下列说法正确的是( )
A.合情推理的结论 一定正确 B.合情推理的结论 一定不正确 C.归 纳 推理和类比推理都属于合情推理 D.合情推理是由一般到特殊的推理 答案:C
-7-
第2课时 类比推理
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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错 误 的打 “×”.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课前预习案 课堂探究案
解:空间中,类似的结论是:如果一个平行六面体的体对角线相等,
那么这个平行六面体是直平行六面体.
证明如下:如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, 若对角线A1C与AC1相等, 则四边形ACC1A1是矩形, 因此A1A⊥AC. 同理,由BD1=B1D可得四边形BB1D1D是矩形, 因此D1D⊥DB,即A1A⊥DB. 又因为AC与BD相交,
高二数学人教b版选修4-5课件：第二章_2.1_柯西不等式
2．设 a，b，c 为正数，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
证明：∵ab2＋bc2＋ca2(a＋b＋c)
＝
a 2＋ b
b 2＋ c
ca2·[(
b)2＋(
c)2＋(
a)2]
≥
a b·
b＋
b c·
c＋
c a·
a2＝(a＋b＋c)2，
2 ． 1 第柯 二西 章不 等 式
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二 考点三
2．1
柯西不等式
[读教材·填要点]
1．平面上的柯西不等式的代数和向量形式 (1)定理 1(柯西不等式的代数形式) 设 a1，a2，b1，b2 均为实数，则 (a21＋a22)(b21＋b22)≥ (a1b1＋a2b2)2 . 上式等号成立⇔ a1b2＝a2b1 . (2)定理 2(柯西不等式的向量形式) 设 α，β 为平面上的两个向量，则
()
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D．不确定
解析：由柯西不等式知
1
1
(a21＋a22＋…＋an2) 2 ·1＋1＋···＋1 2
n个
≥a1＋a2＋…＋an，
∴ a12＋a22＋…＋a2n· n≥a1＋a2＋…＋an.
即得
a21＋a22＋n …＋a2n≥a1＋a2＋n …＋an，∴P≥Q.
答案：B
7．函数 y＝2cos x＋3 1－cos 2x的最大值为________．
解析：y＝2cos x＋3 1－cos 2x＝2cos x＋3 2sin2x
≤ cos2x＋sin2x[22＋3 22]＝ 22.
【北师大版】选修4-5数学：2.1《柯西不等式》ppt课件
-12-
§1 柯西不等式
探究一
探究二
探究三
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重难探究
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点评
当式子中有根号、平方等形式时,经常应用柯西不等式求解.
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考ꢀ纲ꢀ定ꢀ位重ꢀ难ꢀ突ꢀ破
1.理解和掌握比较法证明不等式的重点：理解和掌握比较法证明不等式
的依据．
理论依据．
2.掌握利用比较法证明不等式的一难点：1.掌握利用比较法证明般步骤．不等式的一般步骤．
3.通过学习比较法证明不等式，培 2.通过学习比较法证明不等式，培养养对转化思想的理解和应用.对转化思想的理解和应用.
01课前自主梳理02课堂合作探究03课后巩固提升课时作业
a>b a＝b
a<b
差的符号
与1的大小关系
课时作业
考ꢀ纲ꢀ定ꢀ位
1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点．
重ꢀ难ꢀ突ꢀ破
重点：对用综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点的理解．
2.掌握综合法、分析法证明简单不难点：1.对用综合法、分析法证明简单等式的方法和步骤．不等式的方法和步骤的掌握．
3.能综合运用综合法、分析法证明 2.能综合运用综合法、分析法证明不等不等式.式.
01课前自主梳理02课堂合作探究03课后巩固提升课时作业
综合法顺推证法由因导果法
结论
已知条件
一个明显成立的事实
执果索因。