初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案
人教版九年级上册数学 22.1.1二次函数 教案
例1．判断下列函数是否为二次函数，并指出 二次项系数，一次项系数和常数项。
例2、当m 取什么值时， 函数是二次函数？ 当m 取什么值时，函数 是二次函数（请自编一个函数并解决）一般地，二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）中自变量x 的取值范围可以是任意实数，但如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量，那么的它取值要受到实际意义的限制。
上述问题中自变量的取值范围分别是什么？四、实际应用如图，我校想开垦一个生物实验基地，用50m 长的护栏围成一块靠墙的矩形菜地，墙长16m 。
试写出矩形菜地的面积y （m2）与垂直于墙一边的长x （m ）之间的函数表达式与自变量的取值范围。
五、课堂小结与反思函数思想方法是一种重要的数学思想方法，二次函数是初中函数学习的重要内容，与二次函数与一元二次方程有着密切的联系。
本节课的公开课的设计意图：一是在学生已有的函数经验的基础上，从身边的生活情景出发，感受二次函数来源于生活，并类比一次函数与反比例函数，引导学生主动归纳二次函数的特点，给出二次函数的定义；二是结合实际问题讨论二次函数的自变量的取值范围，为后面研究二次函数的性质作铺垫；最后用二次函数的知识解决简单的实际问题，体现数学来源与生活，应用于生活。
考察知识点：整式，化简后最高次为2次，二次项系数不为0引导学生确定简单实际问题中函数自变量的取值范围学以致用，感受数学来源于生活，并应用于生活，体现数学的应用价值52)1(2-=x y 21(2)1y x =+),,()3(2是常数c b a cbx ax y ++=22)1()4(x x y --=12321)5(2+-=x x y 12)6(24-+=x x y 3222-+=-x x y m。
九年级数学上册22.1.1二次函数教案(新版)新人教版
22.1.1 二次函数一、教学目标1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.二、课时安排1课时三、教学重点体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.四、教学难点能够表示简单变量之间的二次函数关系.五、教学过程（一）导入新课情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2. （1）（二）讲授新课问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是1(1)2n n-（2）问题2：某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量2220(1)204020y x x x=+=++（3）活动2：探究归纳函数（1）（2）（3）有什么共同点？明确：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数.（三）重难点精讲例1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？ 2(602)30.2a S a a a -=∙=-+ 例2（1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？（2） m 取什么值时，此函数是二次函数？解：由（1）可知, 271,30,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得：=m ±由（2）可知，272,30,m m ⎧-=⎨+≠⎩解得m=3归纳：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0.例3 下列函数中，（x 是自变量），哪些是二次函数？为什么？① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t ² ③y=x 2 ④21y x= ⑤y=x ²+x ³+25 ⑥ y=(x +3)²-x ² 明确：②③①不一定是，缺少a ≠0的条件；④不是，右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥可以化成y=6x+9。
22.1.1二次函数 教案
二次函数22.1.1教学目标：(1)能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯教学重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点：求出函数的自变量的取值范围。
教学过程：一、情境引入●如果改变正方体的棱长，那么正方体的表面积Y会随之改变，Y与X之间的有什么函数关系？●Y=●n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n有什么关系？●要给边长为xm的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8m，那么总费用y为多少元？●（1）地板费用为_________；●（2）踢脚线费用为________ _；●（3）其他费用为_________；（4）总费用y为________________.●请找一找我们的共同点●观察上面函数关系式，并思考：●这些函数有哪些共同特征？二、二次函数定义：●指出下列格式哪些是二次函数，哪些不是？● 1、函数（m为常数）●当时，这个函数为二次函数？●当时，这个函数为一次函数？2、函数中，m为何值时，该函数为二次函数？三、能力提升：●问题1：●问题2：●已知在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度，P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到达终点时，运动停止，用S表示图形的面积,x表示移动的时间（x＞0）.●（1）几秒后S△PQB=8cm2；●（2）求S△PQD与x之间的函数关系式，●并写出x的取值范围.四、课堂练习(1) (口答)下列函数中，哪些是二次函数?(1)y=5x+1 (2)y=4x2-1(3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1(2).P3练习第1，2题。
最新人教版九年级数学上册《二次函数》教学设计(精品教案)
22.1.1二次函数教案一教学目标(一)教学知识点1．探索并归纳二次函数的定义．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．(二)能力训练要求1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系．2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系．3．能够利用尝试求值的方法解决实际问题．(三)情感与价值观要求1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程，培养大家的合作意识．教学重点1．经历探索和表示二次函数关系的过程．获得用二次函数表示变量之间关系的体验．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学难点经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验．教学方法讨论探索法．教具准备投影片两张第一张：(记作22.1.1A)第二张：(记作22.1.1B)教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗？[生]学过正比例函数，一次函数，反比例函数．[师]那函数的定义是什么，大家还记得吗？[生]记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．[师]能把学过的函数回忆一下吗？[生]可以．一次函数y＝kx＋b (其中k、b是常数，且k≠0) ．正比例函数y＝kx(k是不为0的常数)．k(k是不为0的常数)．反比例函数y＝x[师]很好．从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱．Ⅱ．新课讲解一、由实际问题探索二次函数关系投影片：(22.1.1A)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．[师]请大家互相交流后回答．[生](1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x＋100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600－5x)个橙子．(3)如果果园橙子的总产量为y个，则y＝(x＋100)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000．[师]大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数？若是函数，与原来学过的函数相同吗？[生]因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数．但是从函数形式上看，它不同于正比例函数、一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数．二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？[师]请大家发表自己的看法．[生甲]在函数y＝－5x2＋100x＋60000中，因为一次项系数100大于二次项系数－5，因此当x越大时，y的值越大．[生乙]我不同意他的观点．因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此－5x2的绝对值要大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大．[师]大家说的都有道理，究竟是如何呢？我们不妨取一些特殊的数字验证一下．我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗？自己试一试．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14x(棵)y(个)请大家先填表，再猜测．[生]从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y 取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多．[师]大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究．三、做一做投影片：(22.1.1B)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)与年利率之间的表达式(不考虑利息税)．[师]首先我们要回顾一下有关名词：本金、利息、本息和，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗？[生]记得．本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和．利息＝本金×利率×期数(时间)．[师]根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和．[生]一年后的本息和为100＋100x·1＝100(1＋x)．[师]再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金．[生]y＝100(1＋x)＋100(1＋x)x×1＝100(1＋x)＋100(1＋x)x＝100(1＋x)(1＋x)＝100(1＋x)2＝100x2＋200x＋100．[师]在这个关系式中，y是x的函数吗？是x的什么函数？请猜想．[生]因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x 的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数，再从函数的形式来看，y是x的二次函数．四、二次函数的定义[师]从我们刚才推导出的式子y＝－5x2＋100x＋60000和y ＝100x2＋200x＋100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢？[生]一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)．[师]很好．上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此．有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A与边长a的关系A＝a2，圆面积S和半径r的关系S＝πr2也都是二次函数的例子．Ⅲ．课堂练习随堂练习Ⅳ．课时小结本节课我们学习了如下内容：1．经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式．2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多．Ⅴ．课后作业教材P29练习1、2Ⅵ．活动与探究若y＝(m2＋m)mmx 2是二次函数，求m的值．分析：根据二次函数的定义，只要满足m 2＋m ≠0，且m 2－m ＝2，y ＝(m 2＋m)m mx -2就是二次函数．解：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+．，2022m m m m 解得⎩⎨⎧-==-≠≠，或，或1210m m m m∴m ＝2．故若y ＝(m 2＋m)m mx -2是二次函数，则m 的值等于2．板书设计22.1.1 二次函数一、1．由实际问题探索二次函数关系2．想一想3．做一做4．二次函数的定义二、课堂练习随堂练习三、课时小结四、课后作业。
人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》
人教版数学九年级上册教案22.1.1《二次函数》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习。
二次函数是中学数学中的重要内容，也是高考中的热点之一。
本章内容主要包括二次函数的定义、图象与性质，以及二次函数的应用。
在学习本章之前，学生已经掌握了函数、方程等基础知识，为本章的学习打下了基础。
二. 学情分析九年级的学生已具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，但对于二次函数这一复杂的概念，仍需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
在学习过程中，学生可能对二次函数的图象与性质产生困惑，需要教师进行引导和解释。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义和一般形式；2.掌握二次函数的图象与性质，并能运用其解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和一般形式；2.二次函数的图象与性质；3.二次函数的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的知识；2.使用多媒体辅助教学，展示二次函数的图象与性质；3.学生进行小组讨论和合作交流，提高学生的动手能力和团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备；2.教学PPT；3.练习题和测试题；4.教学课件。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入二次函数的概念，如：一个物体从地面抛出，其高度与时间的关系可以表示为一个二次函数。
引导学生思考：这个二次函数是什么样子？它的图象是什么样的？呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次函数的一般形式和图象，解释二次函数的定义和性质。
同时，教师可以通过举例来说明二次函数的应用，如：抛物线、顶点坐标的计算等。
操练（10分钟）教师布置一些练习题，让学生动手计算和绘制二次函数的图象。
教师可以学生进行小组讨论，共同解决问题。
巩固（10分钟）教师通过一些实际问题，让学生运用二次函数的知识来解决问题。
教师可以引导学生进行思考和讨论，帮助学生巩固所学知识。
拓展（10分钟）教师可以引导学生思考：二次函数的图象和性质与其他函数有什么不同？如何判断一个函数是否为二次函数？教师可以学生进行小组讨论，引导学生进行拓展思考。
人教版九年级上册数学22.1.1二次函数教案1
22．1.1 二次函数（一）教学目标：1.知识目标理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
2.能力目标会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
3.情感目标从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
（二）教学重难点重点：二次函数的概念和解析式难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
（三） 学情分析：（四）方法应用：预习铺垫、自主先行、合作提高、导师点拨、检测升华（五）教具准备：尺子（ 六） 教学过程1、展示目标，以标导航1. 了解二次函数的有关概念．2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。
3. 确定实际问题中二次函数的关系式。
2、预习检测，以测促学；1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。
2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是函数。
3.归纳：一般地，形如，（,,a b c a 是常数，且）的函数为二次函数。
其中x 是自变量，a 是_____，b 是_______，c 是_____．3、合作解疑，以疑促探引请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：1.面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm )2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。
分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y =，整理为y =.3.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．4.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是。
人教版九年级数学上册(教案)22.1.1 二次函数
22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数教学目标1．理解二次函数及有关概念．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．教学重点二次函数的概念．教学难点由生活中的实际问题建立二次函数模型．教学设计一师一优课一课一名师(设计者：)教学过程设计一、创设情景明确目标学生观察图片，教师引出课题：河上架起的拱桥，花园的喷水池喷出的水，投篮球或掷铅球时球在空中经过的路线都会形成一条曲线，这些曲线是否能用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？这些都将在新的一章——二次函数中学习．二、自主学习指向目标自学教材第28至29页，完成下列填空：1．教材引言中正方体的表面积问题，问题1及问题2中的函数关系式分别表示为：①__y ＝6x2__、②__m＝1,2n2－1,2n__、③__y＝20x2＋40x＋20__.2．我们把形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的__二次__函数．其中__x__是自变量，__a__叫做二次项系数，__b__叫做一次项系数，__c__叫做常数项．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当a__≠0__时，是二次函数，当a__＝0__且b__≠0__时，是一次函数；当a__＝0__，b__≠0__，c__＝0__时，是正比例函数．三、合作探究达成目标探究点一二次函数的概念活动一：上面第1题中的函数①②③有什么共同点？什么样的函数是二次函数？其一般形式是什么样的？【展示点评】二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)．【小组讨论】能否抛开“a≠0”理解二次函数的概念？为什么？对于b，c，它们可否等于0?【反思小结】判断一个函数是否为二次函数，关键是看它是否符合二次函数的特征，若形式比较复杂，则要先化简，再作出判断．具体可从如下几点进行：(1)自变量的最高次数是2；(2)二次项系数不为0；(3)右边是整式；(4)判断时首先将右边化成一般式，不要看表面形式．在a≠0的条件下b，c可以等于0.【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点一探究点二列出实际问题中的二次函数解析式活动二：[教学建模]某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的边长为x m，宽为y m，面积为S m2，(x＞y)．(1)如果用18 m的建筑材料来修建绿地的边框(即周长)，求S与x的函数关系，并求出x的取值范围．(2)根据小区的规划要求，所修建的绿地面积必须是18 m2，在满足(1)的条件下，矩形的长和宽各为多少米？思考：题目中蕴涵的公式是什么？第(2)问就是已知__S(函数值)__，求__x(自变量)__的问题．【展示点评】(1)S＝－x2＋9x(4.5<x<9)(2)－x2＋9x＝18，解得x1＝3(不合题意，舍去)，x2＝6【小组讨论】根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤有哪些？求自变量的值或二次函数值与以前学过的哪些知识类似？【反思小结】一般地，列实际问题中的二次函数关系式可以按如下步骤进行：(1)审清题意，找出实际问题中的已知量，并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转化成数学符号语言；(2)根据实际问题中存在的等量关系或客观存在的某种数量关系(如学过的公式等)，建立二次函数关系式，并将之整理成一般形式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(3)联系实际，写出需要标明的自变量的取值范围．已知二次函数值求自变量的值可以转化为解一元二次方程，而已知自变量的值求二次函数值实际上就是求代数式的值．【针对训练】见学生用书“当堂练习”知识点二四、总结梳理内化目标1．我们学过的函数有__一次__函数和__二次__函数．2．一次函数的关系式是y＝__kx＋b__(k≠0)；当__b＝0__时，一次函数就是正比例函数y＝__kx__．3．二次函数的一般形式是：__y＝ax2＋bx＋c__(__a≠0__)，其中__ax2__是二次项，__bx__是一次项，__c__是常数项，__b__是一次项系数，__a__是二次项系数．五、达标检测反思目标1．圆面积公式s＝πr2，s与r之间的关系是( C )A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上答案都不对2．二次函数y＝3x2＋2x＋1中，二次项系数是__3__，一次项系数是__2__，常数项是__1__．3．某农机厂第一个月水泵的产量为50台，若每个月的平均增长率为x，则第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数解析式为__y＝50(1＋x)2__．4．若y＋2与x2成正比例，当x＝－3时，y＝1，则y与x的函数关系式为__y＝1,3x2－2__．5．若y＝(m2＋m)xm2－2m－1是二次函数，求m的值．解：m的值为3.六、布置作业巩固目标1．上交作业教材第41页1、2、8题．2．课后作业见学生用书的“课后作业”部分．教学反思__。
人教版九年级数学上册教学设计《22.1.1二次函数》
二次函数（人教版第二十二章第一节）一、教学目标：1.知识与技能(1)掌握二次函数的定义.(2)运用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.(3)归纳二次函数特征识别二次函数.2.过程与方法（1）通过对实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义.（2）通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.（3）利用小组合作，共同探究，增强了学生学习数学的兴趣.3.情感态度价值观(1)通过图片欣赏，动手实验，讨论交流，合作探究的过程，感受数学知识的形成与应用价值.(2)增强学习兴趣，获得发现问题，分析问题，解决问题的能力.二、教学重点、难点：重点：(1)认识二次函数，经历探索函数关系.(2)归纳二次函数概念的过程．难点：(1)根据函数解析式的结构特征.(2)归纳出二次函数的概念并能识别二次函数.三、教学过程：教学步骤教学内容设计意图温故知新师：同学们，上学期我们学习了一次函数与正比例函数，大家还记得它们的解析式吗？生：记得！一次函数的解析式：y=kx+b（k≠0）正比例函数的解析式：y=kx（k≠0）师：那么，它们的图像是？生：一条直线.师：真棒！接下来大家欣赏两张图片.师：现实生活中，除了有直线，还有许多的曲线，那么在这些曲线中又蕴含了怎样的函数奥秘呢？我们一起来学习本节课的知识——《二次函数》.一、创设情景，引出课题.通过两张美丽图片，吸引学生眼球.并通过简单介绍，激发学生学习兴趣,同时也让孩子们感受到数学源于生活，用于生活，在视觉上体验数学之美！活动一：知识小热身师：首先我们进行“活动一：知识小热身”.(ppt展示三个问题)问题 1 正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x，表面积为y，则y关于x的关系式为y=6x2 .生：6x2师：对吗？师生共答:y=6x2问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行两场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？师：本题的关键句是？生：每两队之间进行两场比赛.师：它是双循环类型.由此我们可得：)1(-=nnm化简：nnm-=2问题3 某种产品现在的年产量为20t,计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y将随计划所定的x值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？师：本题的关键句是？生：每年都比上一年的产量增加x倍.师：它是增长率类型. 已知产品原产量是20t，依题意：一年后为20(1+x)两年后为20(1+x)2化简：y=20x2+40x+20师：刚才我们得到的三个关系式是函数吗？生：是.师：为什么呢？生：对于任意一个自变量x，都有唯一的y与之相对应，所以它们都是函数.师：掌声！二、实例探究，承上启下.通过问题1：几何问题--正方体的表面积，问题2：双循环问题，问题3：增长率问题这三个实例的分析，让学生通过已学知识列出解析式，并思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础.同时也培养了分析问题，解决问题的能力，体验实际问题“数学化”的过程.通过学生观察发现所列关系式的共同特征，发现三个关系式都为函数，充分肯定学生的探究结果，使其树立“我也能发现数学”的信心.活动二：探索出新知师：认真观察以下三个函数解析式并填空.师：三个函数的共同点是什么？生：它们都是自变量的二次式表示.师：由此我们得到二次函数的定义，大家齐读！定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.师：大家一起观察二次函数一般式：y=ax²+bx+c（a≠0)，它有什么特点？生1：自变量最高次为二次.师：很好，那么为什么一般式要求a≠0？生2：如果a=0，那么二次项就不存在，就不是二次函数了.师：掌声在哪里！回答得真不错！那么大家接下来想想：一次项系数b和常数项c可以为0吗？生3：可以，因为当b=0或c=0，不存在的是一次项和常数项，但二次项仍存在，所以它还是二次函数.师：掌声！大家继续观察等号右边是整式还是分式？生4：整式，因为自变量x不在分母.师：很好，由此得到一般式的三个注意点.注意：（1）自变量最高次为二次（2）二次项系数a≠0（3）等号右边代数式是整式三．归纳总结，获取新知.通过学生自己独立解决运用函数知识表述变量间关系，合作探究环节师生互动，来自主探究新知，从而通过观察，归纳得到二次函数的解析式，获取新知.对已知的二次函数定义，深入挖掘，引导学生归纳总结二次函数的三要素，为接下来的解题提供了方法.活动三：大显身手出题角度1：根据二次函数三要素识别二次函数练习1.下列哪个是二次函数（ D ）出题角度2：应用二次函数的概念求相关字母的取值的值是二次函数，求常数）（：练习ax1-ay21a+=解：依题意，得四．变式训练，巩固新知.练习1考察学生能否应用二次函数的三要素对二次函数的进行识别.练习2通过对二次项的系数与指数的限定，求出相关字母的取值.1a≠-⎩⎨⎧1-a=解得：21a=+xxyDcbxxyCxxxyBxxyA2.a.)123(3.2.22222+-=++=-+-=-=.1-a的值为答：常数活动四：课堂小结通过小结让学生简单回顾一节课的内容，体验知识的产生，发展以及应用的过程.教学反思本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，在以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.上课时应注重探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学习经历过程和探究体验，领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.板书设计22.1.1二次函数复习：正比例函数、一次函数的一般形式定义：二次函数：练习1：练习2：(草稿区)。
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初中数学人教版九年级上册实用资料
第二十二章二次函数
22．1二次函数的图象和性质
22．1.1二次函数
1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
阅读教材第28至29页，理解二次函数的概念及意义．
自学反馈
学生独立完成后集体订正：
1．一般地，形如________________(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为________．
2．现在我们已学过的函数有________、________，它们的表达式分别是____________________、____________________．
3．下列函数中，不是二次函数的是()
A．y＝1－2x2B．y＝(x－1)2－1
C．y＝1
2(x＋1)(x－1) D．y＝(x－2)
2－x2
4．二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是____．
5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式．
6．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．
判断二次函数关系要紧扣定义．
活动1小组讨论
例1若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1．
二次项系数不为0.
例2一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余
部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函数．
(2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104.
几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1．如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，那么k的值为多少？
不要忽视k＋2≠0.
2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与x成正比例，则y与x的函数关系是()
A．正比例函数B．一次函数
C．二次函数D．不确定
3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数解析式为________________．
4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB 边长为x m，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为______________________(不要求写出自变量x的取值范围)．
5．已知，函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)．
(1)m为何值时，它是二次函数？
(2)m为何值时，它是一次函数？
注意(2)要分情况讨论．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，
y 与x 之间的函数解析式．
注意按自变量的取值范围写函数解析式．
活动3 课堂小结
学生试述：这节课你学到了些什么？
【预习导学】
自学反馈
1．y ＝ax 2＋bx ＋c a 、b 、c 2.一次函数 二次函数 y ＝ax ＋b(a 、b 为常数，且a ≠0) y ＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，且a ≠0) 3.D 4.1 4 0 5.S 表＝4πr 2. 6.m ＝12n 2－1
2n.
【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．k ＝2. 2.C 3.y ＝x 2＋2x ＋1 4.y ＝－1
2x 2＋15x
5．(1)m ＝4.(2)m ＝－1或m ＝3±17
2或m ＝3±21
2.
6．y ＝x 2(0≤x ≤2)；y ＝－2x ＋8(2≤x ≤4).。