结构力学3.1静定杆件的内力分析方法
结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
结构力学 静定结构的受力分析
第1节 静定平面桁架一、桁架的内力计算方法1、结点法取结点为隔离体，建立平衡方程求解的方法，每个结点最多只能含有两个未知力。
该法最适用于计算简单桁架。
根据结点法，可以得出一些结点平衡的特殊情况，能使计算简化：（1）两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零（图2-2-1a ）。
（2）三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而共线的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）(图2-2-1b)。
（3）四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（图2-2-1c ）。
推论，若将其中一杆换成力F P ，则与F P 在同一直线上的杆的内力大小为F P ，性质与F P 相同（图2-2-1d ）。
F N3F N3=0F N1=F N2=0F N3=F N4(a)(b)(c)F N4(d)F N3=F PF PN1F F N2F N1F N2F N1F N2F N1F N2F N3F N3F N1=F N2，F N1=F N2，F N1=F N2，图2-2-1（4）对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处的“K ”型结点若无外荷载作用，则斜杆为零杆。
例如图2-2-2所示对称轴处与A 点相连的斜杆1、2都是零杆。
1A2F PF PAF PF PBF PF PBA(b)(a)X =0图2-2-2 图2-2-3（5）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处正对称的未知力为零。
如图2-2-3a 中AB 杆为零杆，因为若将结构从对称轴处截断，则AB 杆的力是一组正对称的未知力，根据上述结论可得。
（6）对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处的竖杆为零杆。
如图2-2-4a 中AB 杆和B 支座的反力均为零。
其中的道理可以这样理解：将图a 结构取左右两个半结构分析，对中间的杆AB 和支座B 的力，若左半部分为正，则根据反对称，右半部分必定为相同大小的负值，将半结构叠加还原回原结构后正负号叠加，结果即为零。
结构力学第3章静定梁的内力计算
弯矩（M）
横截面上应力（或横截面上正 应力）对截面中性轴的力矩代 数和称为弯矩。规定弯矩的竖 标画在受拉侧。
精品课件
杆件截面上的内力定义图
MA
MB
精品课件
MA
MB
精品课件
静定结构内力计算基本方 法和步骤：
基本方法：内力计算基本方法为截 面法。静定结构的内力计算可归纳 为：选隔离体、建立隔离体的静力 平衡方程，和求解方程三部分主要 工作。
F A y3 a M q 3 a 3 2 a F P 5 4a 0 F A y 3 1 a M q3 a3 2 aF P5 4a
精品课件
MA 0
3 a 4 F B y3 a M q 3 a 2 F P 5 4 a 0 F B y3 1 a M q3 a3 2 aF P5 44 a
0542333????????afaaqmafpay?????????????afaaqmafpay5423331??0bm??0am?????????????afaaqmafpby4542333104542333?????????afaaqmafpby??0xf053???paxffpaxff53???0yf由可校核所得支座反力
精品课件
AD段中点：
30kN/m 53kN/m 71kN/m
33kN/m
(b) M图
M E523 7 423k0N m
DC段中点：
M D1C 5 2 33 31 8 4427k1N m
精品课件
剪力图：见图(c) ，按图(a)外力 从梁的任意一端开始逐段绘制。 注意剪力正负号的确定。
30kN
33kN/m (c) FQ图
➢ 上一步所作的直线为新的基线， 叠加梁中部荷载作用下的弯矩 图。
结构力学二3-静定结构的内力计算
以例说明如下
例 绘制刚架的弯矩图。 解：
E 5kN
由刚架整体平衡条件 ∑X=0 得 HB=5kN← 此时不需再求竖向反力便可 绘出弯矩图。 有：
30
20 20 75 45
40
0
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN· m（外） MCD=20kN· m（外） MB=0 MDB=30kN· m（外） MDC=40kN· m（外）
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制 截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均 布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值， 按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各 控制点。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
例 作图示刚架的内力图
RB↑
←HA
VA→
CB杆：
由∑ X=0 可得： M = CD RB=42kN↑ HA=48kN←， H （左） A=6×8=48kN← 由∑M144 VA=22kN↓ 48 A=0 可得： MEB=MEC=42×3 ↑ （2）逐杆绘M图 R=126kN = 126 · m （下） B 192 MDC=0 CD杆： M =42 × 6-20 × 3 由 ∑Y=0 可得： CB MCD=48kN·m（左） =192kN· m（下） VA=42-20=22kN↓
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA
《结构力学》静定结构内力计算
只承受竖向荷载和弯矩
FP1 A
FP2
B
C
基本部分：能独立承受外载。 附属部分：不能独立承受外载。
FP
A
B
C
■作用在两部分交接处的集 中力，由基本部分来承担。
FP1
FP2
A B
■基本部分上的荷载不影响附 属部分受力。
■附属部分上的荷载影响基本 部分受力。
先算附属部分， 后算基本部分。
例 确定x值，使支座B处弯矩与AB跨中弯矩相等，画弯矩图
ql ql/2
FQ图 ql
7ql/4 ql
5ql/4 ql/2
3ql/4
ql/2
练习
10kNm 20kN 10kN
10kN/m
1m 1m 1m 1m
1m 1m 10kN/m
10kNm
20kN 10kN 0
0
30kN
10kNm
20kN 10kNm
10kNm
10kNm
20kN 10kN 0
0
30kN
2m 2m
解 （1）求支反力
q=20kN/m FP=40kN
70kN
50kN
（2）取隔离体，求截面内力
MC C FQC
FP=40kN
B 50kN
（2）叠加法作弯矩图
120kNm
+
40kNm
40kNm
=
120kNm
40kNm
40kNm M图
例 试绘制梁的弯矩图。
40kNm
FP=40kN q=20kN/m
26
26
8 FQ图(kN)
6
12
M图(kNm)
24 12
例
解 （1）求支反力
静定结构的内力分析
40
第 三 章80 静定结构的内力计算
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
练习：
第三章
静定结构的内力计算
解： (1) 求支座反力。
F=qa
C
D
由 X 0
E
FxA q 2a 0
q
a B
得 FAx 2qa
a
由 M A 0
FxA
A
FyB
2qa a F a FyB 2a 0
首先进行定性分析。
由内力图的外观校核。杆上无分布荷载FS图为水 平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直 线；M图为二次抛物线。 FS图为零的截面M为极值。 杆上集中荷载作用的截面, FS图上有突变；M图上有折 弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。
第 三 章 静定结构的内力计算
6
FA=58 kN 26
10
18 FB=12 kN
q ME
FQE
MF
FS 图 ( kN )
FQF
第 三 章 静定结构的内力计算
二、 多跨静定梁 (multi-span statically determinate beam)
附属部分--依赖基本
基本部分--不依赖其它
部分的存在才维持几
部分而能独立地维持其
据
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
第 三 章 静定结构的内力计算
结点平衡条件的应用：
一、铰结点： （集中力偶只能作用于杆端处）
M
第三章静定结构的内力计算(精)
第三章静定结构的内力计算学习目的和要求不少静定结构直接用于工程实际，另外，它还是静定结构位移计算及超静定结构的计算基础。
所以静定结构的内力计算是十分重要的，是结构力学的重点内容之一。
通过本章学习要求达到：1、练掌握截面内力计算和内力图的形状特征。
2、练掌握截绘制弯矩图的叠加法。
3、熟练掌握截面法求解静定梁、刚架及其内力图的绘制和多跨静定梁及刚架的几何组成特点和受力特点。
4、了解桁架的受力特点及按几何组成分类。
熟练运用结点法和截面法及其联合应用，会计算简单桁架、联合桁架既复杂桁架。
5、掌握对称条件的利用；掌握组合结构的计算。
6、熟练掌握截三铰拱的反力和内力计算。
了解三铰拱的内力图绘制的步骤。
掌握三铰拱合理拱轴的形状及其特征学习内容梁的反力计算和截面内力计算的截面法和直接内力算式法；内力图的形状特征；叠加法绘制内力图；多跨静定梁的几何组成特点和受力特点。
静定梁的弯矩图和剪力图绘制。
桁架的特点及分类，结点法、截面法及其联合应用，对称性的利用，几种梁式桁架的受力特点，组合结构的计算。
三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和内力计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。
§3.1梁的内力计算回顾一、截面法1、平面杆件的截面内力分量及正负规定：轴力N (normal force) 截面上应力沿轴线切向的合力以拉力为正。
剪力Q (shearing force)截面上应力沿轴线法向的合力以绕隔离体顺时针转为正。
弯矩M (bending moment) 截面上应力对截面中性轴的力矩。
不规定正负，但弯矩图画在拉侧。
2、截面内力计算的基本方法：截面法：截开、代替、平衡。
内力的直接算式：直接由截面一边的外力求出内力。
1、轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。
2、剪力=截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针转动，投影取正否则取负。
3、弯矩=截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。
弯矩及外力矩产生相同的受拉边。
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Fx Fy
M M0
3 2
FQ
M+ ΔM
FN
M0 Fx
FN FN
M
Fy FQ FQ
2020/3/2
02:17:37
8
第 3 章 静定结构的内力分析
结构力学教程
③积分关系
qy
由微分关系可得到积分关系：
dFN dx
qx
dFQ dx
qy
dM dx
【结构力学教程】 Nanjing University of Technology
第三章 静定结构的内力分析
第 3 章 静定结构的内力分析
结构力学教程
3.0 本章主要知识点
➢ 内力的方向规定
➢ 绘制结构内力图的基本方法
方法一：隔离体＋函数表达式法； 方法二：基于微积分的剪力、弯矩图互推法； 方法三：基于经典图、叠加法、控制截面＋悬臂梁的速绘法.
弯矩方向的尾巴判断法 弯矩方向：
静力学中以逆时针为正、顺时针为负； 结构力学中以下侧受拉为正； 位移法中的固端弯矩以顺时针为正。
结构力学教程
尾巴判断法主要把握两点： ① 弯矩符号在凹向待求截面时的尾巴所在侧受拉； ② 也可基于弯矩图利用尾巴来判断正负号。
2020/3/2
02:17:37
4
第 3 章 静定结构的内力分析
FQ
FQ
M →→→q→x →→ M+dM x
FN
FN+dFN
dx
FQ+dFQ
FQB M B
FQA MA
xxxxAABBqFyQddxx
y 右端剪力=左端剪力减去该段qy的合力； 右端弯矩 = 左端弯矩加上该段剪力图的面积。
10kN 10kN / m
A
C
B
D
2m
2m
17kN
2m
1m 1m
7kN
17
9
H
16
FQ图（kN） x
7 7
26
MC M17图（2 4kN8.m）26(kN m)
28 36.1 30
7 23
8
MEΒιβλιοθήκη 72 16
8
30(kN m)
均布荷载4区段的中点弯↓↓↓矩↓↓↓与↓↓↓该↓↓↓段↓↓↓内↓ 的最大弯矩8,一般相差 不大,故常用中点弯矩作为最大弯8 矩。
2m
y
20
+
y
－
10
FQ 图 x
20
x M图
2020/3/2
02:17:37
10
第 3 章 静定结构的内力分析
10kN 10kN / m
A
C
2m
2m
B
D
2m
结构力学教程
20
x
y
M图
dFN dx
qx
dFQ dx
qy
dM dx
FQ
y
20
+
－
x
10 FQ 图
本方法技巧性较高，但容 易搞错，不建议用于解题， 适合查题。
MA MA MA
MA
q
M' q
M° M M'
M°
结构力学教程
MB MB
MB
＋
MB
2020/3/2
02:17:37
14
第 3 章 静定结构的内力分析
例1： 用叠加法作图示梁的弯矩图。
4kN·m
4kN
8kN·m
结构力学教程
2kN/m
3m
3m
（1）集中荷载作用下
4kN
3m
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
2. 截面内力计算方法 截开、代替、平衡。
10kN 10kN / m
A
C
2m
2m
B
D
2m
FQB 20 M B 20(上拉)
FAx 0
10kN
FAy 0
FQB 10kN / m
MB
B
结构力学教程
10kN / m RB 30
M A qa 2.5a qa 2a qa2
剪力FQ ：截面上应力沿轴线法向的合力，以绕隔离体顺 时针转为正（左上右下为正）。
弯矩M：截面上应力对截面中性轴的力矩。不规定正 负，但弯矩图画在拉侧，故一般以下拉为正。
FQ
FN
M
M
FN
FQ
图示均为正的轴力和剪力
2020/3/2
02:17:37
3
第 3 章 静定结构的内力分析
3.1 内力的方向规定
2m
2m
55 30
30 5 M/2 M
2m 30
M 图 (kN·m)
M/2
2020/3/2
02:17:37
18
第 3 章 静定结构的内力分析
结构力学教程
例3：作图示梁的内力图。
88kkNN 4kN/m
4kN/m
16kN16.mkN.m
A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
G
B
C
D
E
F
1m 1m
2m
结构力学教程
荷载与内力之间的关系
①微分关系 微分关系给出了内力图的形状 特 征
dFN dx
qx
dFQ dx
q
y
dM dx
FQ
3 1
qy
FQ
M
qx
→→→→→→
M+dM x
FN
FN+dFN
dx
FQ+dFQ
y
②增量关系 增量关系说明了内力图的突变 特 征
FN FQ
结构力学教程
B FNB
FQB MB
MB
FRB
MB
16
第 3 章 静定结构的内力分析
ql 2 8
结构力学教程
ql 2 8
ql 2 8
2020/3/2
02:17:37
17
第 3 章 静定结构的内力分析
例2：用叠加法作图示梁的弯矩图。
10kN/m ↓↓↓↓↓↓↓
60kN·m
结构力学教程
15kN
2m 20
0.5qa2
A
a 动画播放
q qa2
a qa a
2020/3/2
02:17:37
13
第 3 章 静定结构的内力分析
3. 叠加法作弯矩图
①简支梁情况
几点注意： ➢ 弯矩图叠加，是竖标相
加，不是图形的拼合。 ➢ 叠加法绘制弯矩图可以
少求一些控制截面的弯 矩值，少求甚至不求支 座反力。而且对以后利 用图乘法求位移，也提 供了把复杂图形分解为 简单图形的方法。
Fy 0 FAy 10 30 102 0 FAy 0
2020/3/2
02:17:37
结构力学教程
5
第 3 章 静定结构的内力分析
2. 分段计算内力表达式
结构力学教程
10kN 10kN / m
AC段：x 0，2
x
M A 0 FQ
FQ 0 M 0
A
C
0
B
D
30
CB段：x 2，4
BD段：x 4，6
x
x
10kN M
10kN 10kN / m M
A
C
0
FQ
A
C
0
B 30
FQ
FQ －10 M 10 (x 2)
20 10x
FQ －10 10(x 4) 30 60 10x M 10 (x 2) 10(x 4)2 / 2
BD段：x 4，6
x
10kN 10kN / m M
A
C
0
B 30
FQ
FQ 60 10x
M 5x2 60x 180
y
20
20
+
－
x
x
10 FQ 图
y M图
此为基本方法，但过程烦琐，不适合解题。
2020/3/2
02:17:37
7
第 3 章 静定结构的内力分析
二、基于微积分的剪力、弯矩图互推法
2020/3/2
02:17:39
19
4kN·m
2kN·m
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m
2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
2020/3/2
4kN·m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图
6kN·m
4kN·m
2kN·m
02:17:39
15
第 3 章 静定结构的内力分析
②直杆情况
➢ 首先求出两杆端弯 矩，连一虚线；
3.2 绘制内力图的基本方法
计算并绘制图示结构的内力图
10kN 10kN / m
A
C
2m
2m
B
D
2m
一、函数表达式法
1. 计算支反力
FAx 0
10kN 10kN / m
FAy 0
RB 30
Fx 0 FAx 0
M A 0 102 1025 4RB 0 RB 30kN
30(x 4) 5x2 60x 180
2020/3/2
02:17:37
6
第 3 章 静定结构的内力分析
结构力学教程
3. 点绘内力图