高三第一次合模拟考试

高三第一次合模拟考试理科数学答案ABDACB BBACDC （注：11题4,e >∴D 选项也不对，此题无答案。

建议：任意选项均可给分） 13. 2; 14.14; 15.8; 16.[]1,3 17.解：（Ⅰ）证明：113133()222+-=-=-n n n a a a …….3分 12111=-=a b 31=∴+n n b b ，所以数列{}n b 是以1为首项，以3为公比的等比数列；….6分（Ⅱ）解：由（1）知，13-=n n b ，由111n n b m b ++≤-得13131n n m -+≤-，即()143331nm +≤-，…9分 设()143331=+-n n c ，所以数列{}n c 为减数列，()1max 1==n c c ， 1∴≥m …….12分18解：（Ⅰ）平均数为 ………….4分（Ⅱ）X 的所有取值为0,1,2,3,4． ……….5分由题意，购买一个灯管，且这个灯管是优等品的概率为0.200.050.25+=，且1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以044181(0)C (1)4256P X ==⨯-=， 1341110827(1)C (1)4425664P X ==⨯⨯-==， 2224115427(2)C ()(1)44256128P X ==⨯-==， 331411123(3)C ()(1)4425664P X ==⨯-==， 4404111(4)C ()(1)44256P X ==⨯-=． 以随机变量X 的分布列为：P81256 2764 27128 3641256……………………….10分所以X 的数学期望1()414E X =⨯=．…….12分 19.（Ⅰ）证明：四边形ABCD 是菱形，BD AC ∴⊥.⊥AE 平面ABCD ,BD ⊂平面ABCDBD AE ∴⊥. ⋂=AC AE A ,BD ∴⊥平面ACFE .………….4分（Ⅱ）解：如图以O 为原点，,OA OB 为,x y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系.则(0,3,0),(0,3,0),(1,0,2),(1,0,)(0)B D E F a a -->，(1,0,)=-OF a .…………6分设平面EDB 的法向量为(,,)=n x y z ， 则有00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n OB n OE ，即3020y x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩令1z =，(2,0,1)=-n .…………8分由题意o2||2sin 45|cos ,|2||||15⋅=<>===+OF n OF n OF n a 解得3a =或13-.由0>a ，得3=a .…….12分 20. 解：（Ⅰ）由题意得22222,3,122 1.a b c ca a b⎧⎪⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪⎪+=⎪⎩解得 2.1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以C 的方程为2214x y +=. …….4分（Ⅱ）存在0x .当04x =时符合题意. 当直线l 斜率不存在时，0x 可以为任意值.设直线l 的方程为(1)y k x =-,点A ,B 满足：22(1),1.4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩所以A x ,B x 满足2224(1)4x k x +-=,即2222(41)8440k x k x k +-+-=.所以22222222(8)4(41)(44)0,8,4144.41A B A B k k k k x x k k x x k ⎧⎪∆=-++>⎪⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩………8分 不妨设1A x >>B x ，因为||||A B d PB d PA ⋅-⋅=00||1||||1|]A B B A x x x x x x -⋅---⋅-从而2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++.整理得0280x -=，即04x =. 综上，04=x 时符合题意.…….12分21.解：（Ⅰ）'()2xf x e ax =-，由题设得，'(1)2f e a b =-=，(1)1f e a b =-=+， 解得，1,2a b e ==-．…….4分 （Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知，[]2(),'()21210,0,1x x f x e x f x e x x x x x =-∴=-≥+-=-≥∈，故()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．法2：由（Ⅰ）知，2(),'()2,''()2xxxf x e x f x e x f x e =-∴=-=-，'()f x ∴在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，所以，'()'(ln 2)22ln 20f x f ≥=->，所以，()f x 在[]0,1上单调递增，所以，max ()(1)1f x f e ==-．…….7分（Ⅲ）因为(0)1f =，又由（Ⅱ）知，()f x 过点(1,1)e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为(2)1y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线(2)1y e x =-+的上方．下证：当0x >时，()(2)1f x e x ≥-+．设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则'()2(2),''()2x xg x e x e g x e =---=-， 由（Ⅱ）知，'()g x 在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增，又'(0)30,'(1)0,0ln 21,'(ln 2)0g e g g =->=<<∴<， 所以，存在()00,1x ∈，使得'()0g x =， 所以，当()()00,1,x x ∈+∞时，'()0g x >；当0(,1)x x ∈，'()0g x <，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 又2(0)(1)0,()(2)10xg g g x e x e x ==∴=----≥，当且仅当1x =时取等号．故(2)1,0x e e x x x x+--≥>． 由（Ⅱ）知，1xe x ≥+，故ln(1),1ln x x x x ≥+∴-≥，当且仅当1x =时取等号．所以，(2)1ln 1x e e x x x x+--≥≥+． 即(2)1ln 1x e e x x x+--≥+．所以，(2)1ln x e e x x x x +--≥+， 即(1)ln 10x e e x x x +---≥成立，当1x =时等号成立．…….12分 22. 解：（Ⅰ）作'AA EF ⊥交EF 于点'A ，作'BB EF ⊥交EF 于点'B .因为''A M OA OM =-，''B M OB OM =+， 所以2222''2'2A M B M OA OM +=+.从而222222''''AM BM AA A M BB B M +=+++2222('')AA OA OM =++.故22222()AM BM r m +=+……5分（Ⅱ）因为EM r m =-，FM r m =+，所以22AM CM BM DM EM FM r m ⋅=⋅=⋅=-.因为2222AM BM AM BM AM BM CM DM AM CM BM DM EM FM ++=+=⋅⋅⋅ 所以22222()AM BM r m CM DM r m ++=-. 又因为3=r m ，所以52+=AM BM CM DM ．…………….10分 23.解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ.圆C 的普通方程分别是22(2)4x y +-=，所以圆C 的极坐标方程分别是θρsin 4=. …….5分（Ⅱ）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨⎧==,,sin 4αθαρ和⎩⎨⎧==.,8sin αθαρ 所以αsin 4||=OP ，高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的 离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32B ．155C ．105D ．3312. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。