广东省惠州市综合高级中学数学人教版必修二2.3直线与平面垂直的判定教案
高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》教学设计 (1)
《直线与平面垂直的判定》教学设计一．教材分析直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况．它既是线线垂直的拓展，也是学习面面垂直的基础，同时它也为研究线面角、二面角、点到平面的距离、直线到平面的距离、两个平行平面间的距离等内容进行了必要的知识准备．因此它不仅是连接线线垂直和面面垂直的纽带，也是空间中点、线、面位置关系的核心内容．本节课主要研究了直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们初步应用，在此过程中蕴含着丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想．判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务．二．学情分析从学生已有的认知基础来看，学生已经学习了空间中的平行关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.从学生能力来看，学生学习的困难主要有以下两个：1．理解直线与平面垂直的定义，让学生认识到线面垂直是用线线垂直来刻画的，逐步形成概念体系，体会其中的转化思想，这对于高一的学生来讲是比较困难的．所以在设计教学时，首先通过一组图片让学生直观感知直线与平面垂直的具体形象，然后将其抽象为几何图形，再用数学语言对几何图形进行精确的描述，让学生在此过程中体会直线与平面垂直定义的合理性．2．用定义去判定直线与平面垂直是不方便的，如何在较短的时间内，让多数学生找到判定直线与平面垂直的简便方法，这需要一个较好的载体，去引导学生探究直线与平面垂直的判定定理，同时完成对定理条件的确认．所以，在教学过程中，通过折纸试验，精心设置问题，引导学生归纳出直线与平面垂直的判定定理．并且引导学生通过操作、摆出反例模型，对定理的两个关键条件“双垂直”和“相交”进行理解和确认．三．目标分析教学目标：1．通过直观感知、操作确认，理解线面垂直的定义，归纳线面垂直的判定定理；并能对它们进行简单的应用.2．通过线面垂直定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用.3．让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.并渗透事物间相互转化和理论联系实际的辨证唯物主义观点.教学重难点：教学重点是直线与平面垂直的定义、判定定理以及它们的初步应用．教学难点是对直线与平面垂直的定义的理解和对判定定理的探究．四．教学策略本课在设计上采用了由感性到理性、从具体到抽象的教学策略.同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点.教法:问题引导、启发探究和归纳总结相结合学法:教学手段:教学流程：五．教学过程Ⅰ．创设情境生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出几个吗？①如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等.②将书打开直立于桌面，观察书脊与桌面的位置关系.活动设计：学生举例,教师通过PPT，展示生活中一些线面垂直的例子，引导学生观察直线与平面垂直的情况.【设计意图】从实例到图片，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备.数学源于现实，从日常生活中碰到的的问题，引导学生对实际问题进行数学抽象，激发学生学习兴趣和求知欲，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力.Ⅱ．观察归纳自主探究Array（1）直线与平面垂直的定义请同学们回忆一下圆锥的形成过程.我们经常说“立竿见影”．在阳光下观察直立于地面的竿及它在地面的影子．如果某一时刻，你发现竿与影所成的角不是直角，是否可以断定竿发生了倾斜？问题1：①竿所在直线和地面影子所在直线是什么位置关系?②竿所在直线和地面内任意一条直线是什么位置关系?问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？由此你能得到什么启发，你觉得怎样能用你学过的知识给出线面垂直的定义.定义:如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直,记作：lα⊥,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面,直线l与平面α垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.活动设计：多媒体演示：①圆锥的形成过程；②旗杆与它在地面上影子的位置变化.【设计意图】结合几何直观感知，学生就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义并让学生体会到线面垂直的本质是直线与平面内任意一条直线垂直.问题3：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？②如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线是否与这个平面内的任何直线都不垂直? ③如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？ 【设计意图】在问题3中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：通过对概念的辨析,深化理解,同时得到线面垂直的一个性质. （2）直线与平面垂直的判定定理探究:准备一个三角形纸片，三个顶点分别记作A ，B ，C ．如图，过△ABC 的顶点A 折叠纸片，得到折痕AD ，将折叠后的纸片打开竖起放置在桌面上．（使BD 、DC 边与桌面接触）问题4：①如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面α垂直？②由折痕AD BC ⊥，翻折之后垂直关系，即AD CD ⊥，AD BD ⊥发生变化吗？由此你能得到什么结论？定理：与此平面垂直.用符号语言表示为：【设计意图】引导学生从文字语言、符号语言、图形语言三个方面归纳直线和平面垂直的判定定理．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性.由于《课程标准》中不要求严格证明线面垂直的判定定理，只要求直观感知、操作确认，注重合情推理.因而在探索直线与平面垂直判定定理过程中，安排学生动手实验，讨论交流、为便于b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα图1D CA B图2DBAααα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥=⋂⊂⊂l n l m l P n m n m ,,,Cab\αmnAB C D αAA 'BB 'C 'DD '学生对实验现象进行观察和分析，自己发现结论，并通过问题让学生真正体会到知识产生的过程，有利于发展学生的合情推理能力和空间想象能力.思考：如图，有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有两条长10m 的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆脚不在同一条直线上),C D .如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 练一练:1.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两条边； ②梯形的两条边； ③圆的两条直径； ④正六边形的两条边．试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由. 2.判断正误:如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面． ( )Ⅲ．数学运用 深化认识例题: 已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b ．证明：在平面α内作两条相交直线m ，n ． 因为直线a α⊥，根据直线与平面垂直的定义知,a m a n ⊥⊥．又因为b ∥a 所以m b ⊥，n b ⊥．又因为α⊂m ，α⊂n ，m ，n 是两条相交直线， 所以α⊥b ．如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直．练一练：1.如图，空间中直线l 和三角形的两边AC ,BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是（ ）A .平行B .垂直C .相交D .不确定2.探究：如图，直四棱柱////ABCD A B C D -（侧棱与底 面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么 条件时,///A CB D ⊥？AVBC K【设计意图】通过对例题和习题的探究，培养学生的正、逆向思维能力，强化学生灵活运用线面垂直的定义和判定定理进行线线垂直和线面垂直之间转化的能力. 同时，例题为我们提供了判定线面垂直的又一种方法. Ⅳ．回顾反思 拓展延伸课堂小结:线面垂直的定义线 线面垂直的判定定理作业布置：1.判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）正方体''''ABCD A B C D -中，棱'BB 和底面ABCD 垂直．（2）正三棱锥P ABC -中，M 为棱BC 的中点，则棱BC 和平面PAM 垂直．2.如图，圆O 所在一平面为α，AB 是圆O 的直径，C 是 圆周上一点,且PA AC ⊥, PA AB ⊥,求证： （1）PA BC ⊥； （2）BC ⊥平面PAC ；（3）图中哪些三角形是直角三角形.3.如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =．求证：VB AC ⊥．D'B'DBAM PABA C EF K V 线线垂直线面垂直如果两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，那么另外一条直线也与此平面垂直．变式引申 如图，在三棱锥V ABC -中，VA VC =，AB BC =，K 是AC 的中点．若E 、F 分别是AB 、BC 的中点，试判断直线EF 与平面VKB 的位置关系．【设计意图】小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在，另一 方面，更是对探索过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验和教训.六．板书设计。
新人教A版高中数学(必修2)2.3《直线、平面垂直的判定及其性质》word教案
2.3直线与平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、教学目标1、知识与技能（1）掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；（2）掌握判定直线和平面垂直的方法；2、过程与方法（1）通过实例，使学生感知直线和平面垂直的概念，操作确认的基础上学会归纳、概括结论.（2）经历判定直线与平面垂直的判定过程.3、情感、态度与价值观培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.二、教学重点、难点重点：直线与平面垂直的定义和判定定理的应用.难点：直线与平面垂直的定义和判定定理的探究.三、教学设计（一）创设情景，导入新课思考1：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价.思考2：将一本书打开直立在桌面上，观察书脊（想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？思考3：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容.（二）师生互动，探究新知1、借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系.教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义.如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面.如图1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足.并对画示表示进行说明.Lpα图12、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施.有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2试验：过△ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案精选
课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（第一课时）教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2一、教学目标1、知识与技能：通过直观感知、操作确认，理解直线与平面垂直的定义，归纳直线与平面垂直的判定定理；并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。
2、过程与方法：通过直线与平面垂直的定义及定理的探究过程，感知几何直观能力和抽象概括能力，体会转化思想在解决问题中的运用。
3、情态与价值：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
通过小组合作方式操作活动，培养学生的协作精神和实践意识。
二、教学重点与难点（1）教学重点：直线与平面垂直的定义及其判定定理。
（2）教学难点：直线与平面垂直判定定理的理解。
三、教学方法与教学手段（1）教学方法：探究式教学法。
（2）教学手段：多媒体课件以及实物（三角板、三角形纸片）等辅助教学。
四、教学过程1、复习提问—导入课题问题思考：直线与平面有什么样的位置关系？答案：1.直线在平面内——有无数个公共点；2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；3.直线与平面平行——没有公共点。
今天我们就来学习直线与平面相交的最特殊的一种情形——直线与平面垂直。
2、直线与平面垂直定义的建构（1）走进生活—感知概念①（多媒体展示生活中线面垂直的实例图片）提出思考：请同学们观察图片,说出旗杆与地面、大桥桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？l α（引导学生观察图片，寻找出其中线面垂直的位置关系。
（旗杆与地面、桥墩与地面）引导学生举出身边更多类似的例子。
如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等。
）②问题思考：如何定义一条直线与一个平面垂直?(2）观察归纳—形成概念思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？ 多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
观察演示并思考：①如图，在阳光下观察直立于地面旗杆AB 及它在地面的影子BC ，旗杆所在的直线与影子所在直线位置关系是什么？②旗杆AB 与地面上任意一条不过旗杆底部B 的直线g 的位置关系又是什么？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB 所在直线与过点B 的直线都垂直。
人教版数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》教学教案设计
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
人教版必修二：2.3直线与平面垂直的判定 教案
④媒体来源：自制，购入，库存，XX资源库，网上下载等
关于教学
策略选择
的阐述
1.本节课利用多媒体辅助教学，采用“引导-探究”式教学方法，内容的处理遵循“直观感知——操作确认——思辨论证——度量计算”的认识过程展开。注重学生合情推理的能力，降低几何证明的难度。
通过生活观察实例，举出例子
学习新知
一：抽象概括直线与平面垂直的定义
师：这些生活实例都给我们直线与平面垂直的形象，但一条直线与平面垂直的意义到底是什么呢？
展示课件
1、阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB与影子BC所成的角度会发生改变吗?
2、旗杆AB与地面上任意一条不过旗杆底部B的直线B′C′的位置关系又是什么？依据是什么？由此得到什么结论？
展示例题和练习
D、F、J
E
学生会应用定理解决简单的线面垂直问题
约20分钟
自制
提示：
①媒体类型：图表、照片、投影、电影、录音、录像、课件、网络、演示、实验等。
②媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维；G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其它。
思考、小组交流讨论
PPT展示习题
通过问题辨析，加深概念的理解。由（1）使学生明确定义中的“任意一条直线”是“所有直线”的意思。而（2）给出了直线与直线垂直的一种判定方法
人教版数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定(第一课时)》 教学设计
高中数学必修2“§2.3.1直线与平面垂直的判定(第一课时)”教学设计一、教学背景1、学情分析学生空间想象能力薄弱，在空间图形中提取线面关系的目标较易混淆。
2、教学重点直线与平面垂直的定义和判定定理。
3、教学难点直线与平面垂直的判定定理的探究。
二、教学目标1、学生结合实例感受直线和平面垂直的定义的形成过程，明确定义；2、学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位；在“感性认识”到“理性认识”的学习过程中获取新知；3、从直线和平面垂直的定义得到直线和平面垂直的性质；4、学生在动手探究活动中找出判定直线与平面垂直的方法；5、通过文字语言、符号语言、图形语言的转换，理解直线与平面垂直的判定定理；6、培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
7、直线与平面垂直的判定定理的运用中找齐条件证明直线与平面垂直。
三、教学设计（一）新课导入[创设情境]①请同学们把一本书竖直的放在桌面上，说出书脊与桌面的位置关系？②请同学们观察图片，说出广州塔与它在地面的影子有什么位置关系？（二）新课感知1、如何定义一条直线与一个平面垂直呢？如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。
如图2-3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
并对图示表示进行说明。
lpα图2-3-12、性质：若l⊥α， b α则l⊥b.练习1：判断题：直线l与平面α垂直是指直线l与平面α内无数条直线都垂直。
（）分析：通过直线l与平面α内一组平行直线都垂直的动画效果加强直观性。
3、老师提出问题，让学生思考：（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？找平面内一条直线可否？（2）小组活动：请同学们准备一张三角形的纸片（课前以小组分工准备等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形各1个），我们一起来做如图2.3-2试验：沿过△ABC 的顶点A（最大角所在顶点）的直线折叠纸片，得到折痕AD，将折叠后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何折叠才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？AB D C图2.3-2（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
2高中数学必修2精品教案：2.3 平面与平面垂直的判定 教案2
《2.3.2平面与平面垂直的判定》教学设计教学内容人教版新教材高二数学第二册第二章第三节第2课教材分析直线与平面垂直问题是直线与平面的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。
通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点，提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。
学情分析1.学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，故采用启发、探究式教学。
2.学生的抽象概括能力和空间想象力有待提高，故采用多媒体辅助教学。
教学目标1.知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
（4）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（5）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
2.情感态度与价值观（1）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳.（2）发展学生的合情推理能力和空间想象力，培养学生的质疑思辨、创新的精神.（3）让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣.教学重、难点1.重点：平面与平面垂直的判定。
2.难点：找出二面角的平面角。
教学理念学生是学习和发展的主体，教师是教学活动的组织者和引导者.设计思路：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念认识；利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
人教课标版高中数学必修二《直线和平面垂直的判定和性质(第1课时)》教案-新版
2.3 直线、平面垂直的判定和性质2.3.1直线和平面垂直的判定和性质（第1课时）一、教学目标（一）核心素养引导学生认识到，定理的证明过程实质是应用转化思想的过程：立体几何的问题最终要转化为平面几何的问题来解决，线、面垂直问题转化为线、线垂直问题来解决．转化思想是重要的数学思想方法，在立体几何的证明和解题中，是一种常用的思想方法．（二）学习目标（1）直线和平面垂直的定义及相关概念．（2）直线和平面垂直的判定定理．（3）线线平行的性质定理．（三）学习重点（1）掌握直线和平面垂直的定义．（2）掌握直线和平面垂直的判定定理．（3）掌握线线平行的性质定理．（四）学习难点（1）线、面垂直定义的理解和判定定理的证明．（2）如何要解决好定理证明过程中，辅助线添加的方法和原因，及为何可用经过某点的两条直线说明“任意”直线的问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第64页到第67页，填空：直线和平面垂直的定义：如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．判定定理：预习自测（1）下面说法正确的个数是（ ） ①直线l 与平面α内无数条直线都垂直，则l ⊥α．②若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．③若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B（2）已知直线a 、b 和平面α，,a b αα⊥⊆ ，则a b ．答案：⊥（3）在三棱锥P －ABC 中，点P 在平面ABC 中的射影为点O ．①若P A ＝PB ＝PC ，则点O 是△ABC 的________心．②若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的________心．答案：外；垂．解析：①如图1，连接OA 、OB 、OC 、OP ，在Rt △POA 、Rt △POB 和Rt △POC 中，P A ＝PC ＝PB ，所以OA ＝OB ＝OC ，即O 为△ABC 的外心．②如图2，∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可求BD、AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间两条直线有哪几种位置关系？（三种：相交直线、平行直线、异面直线）（2）空间中经过一点和一条直线垂直的直线有几条？（从两条直线互相垂直的定义可知：经过一点有无数多条直线和已知直线垂直）（3）空间一条直线与一个平面有哪几种位置关系？（直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行．）2．问题探究探究一实例引领，认识直线和平面垂直的概念★●活动①归纳提炼概念（1）同学们，我们现在拿起我们的课本，把书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们以直线和平面垂直的形象．所以我们说：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．（2）指出：过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足．（类比初中：在平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直）（3）说明直线和平面垂直的画法及表示．要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的．让我们先看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法：用曲尺检查两次（只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上），如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直．从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？（引导学生进行猜想推测）【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动② 逐步引导，证明定理引导学生写出已知条件和结论，并画出图形如下：已知：,,,,l m l n m n m n B αβ⊥⊥⊆⊆⋂=求证：l α⊥我们知道如何证明直线和平面垂直呢？需要根据直线和平面垂直的定义，即需证明该直线和平面内的任何一条直线都垂直即可．如图：设g 是平面α内的任意一条直线，现在只要证明l ⊥g 就可以了．对于平面α内不经过点B 的直线，可以过点B 作它的平行直线，所以，我们先证明，l 、g 都经过点B 的情况．（学生思考证明方法，教师在原有图形上适时添加辅助线，并对下列问题根据需要作提示）（1）l 、g 是相交直线，要证它们垂直，实际上已经转化为平面几何中的垂直证明问题，可以考虑等腰三角形的性质．在直线l 上点B 的两侧分别取点A 、A ′，使AB ＝A ′B ．（2）直线m 、n 和线段AA ′是什么关系？（m 、n 垂直平分AA ′）（3）从结论看，直线g 与线段AA ′应当有什么关系？（g 垂直平分AA ′）（4）怎样证明直线g垂直平分线段AA′？（只要g上一点E，有EA＝EA′）（5）过E作直线分别与m、n交于C、D，连结AC、A′C、AD、A′D，则有：AC ＝A′C、AD＝A′D，由此能证明EA＝EA′吗？（利用全等三角形性质）（学生叙述证明过程，教师板书主要步骤．）参看右图并作如下说明：（1）当直线g与m（或n）重合时，结论是显然的．（2）如果直线l、g有一条或两条不经过点B，那么可过点B引它们的平行直线，由过点B的这样两条直线所成的角，就是直线l与g所成的角，同理可证这两条直线垂直，因而l⊥g．（3）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的．这样我们有了直线和平面垂直的判定定理．（板书）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．（4）强调定理中“两条”和“相交直线”这两个条件的重要性，可举下面两个反例，加深学生的理解．（Ⅰ）将一块木制的大三角板的一条直角边AC放在讲台上演示，这时另一条直角边BC就和讲台上的一条直线（三角板与桌面的交线AC）垂直，但它不一定和讲台桌面垂直．（Ⅱ）在讲台上放一根平行于大三角板直角边AC的木条EF，那么三角板的直角边BC也垂直于EF，但它不一定和讲台桌面垂直．【设计意图】通过定理的证明，加深对定理内涵与外延的理解，突破重点． 探究二 变例探究，灵活使用直线和平面垂直的判定定理．●活动① 互动交流，初步实践例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．分析：首先写出已知条件和结论，并画图形．已知：b a //，α⊥a ．求证：α⊥b （如下图）【知识点】直线和平面垂直的判定定理【解题过程】证明：如图所示，在平面α内作两条相交直线m 、n ．∵α⊥a ，∴m a ⊥，n a ⊥．又∵a b //，从而有m b ⊥，n b ⊥．由作图知m 、n 为α内两条相交直线．∴α⊥b ．【思路点拨】本例可以作为直线和平面垂直的又一个判定定理．这样，判定一条直线与已知平面垂直，可以用这条直线垂直于平面内两条相交直线来证明，也可以用这条直线的平行直线垂直于平面来证明．课本书写的证明过程比较简洁，最好要求学生按照本教案示例书写．【答案】见解题过程．●活动② 巩固基础，检查反馈例2 判断题：正确的在括号内打“√”，不正确的打“×”．(1)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行．（ ）(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．（ ）(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．（ ）(4)过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．（ ）(5)如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．（ ）【知识点】直线和平面垂直的概念辨析【解题过程】(1)直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种：①平行；②异面．因此应打“×”．(2)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”；若为相交，则该命题应打“√”，正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内无这数条线的位置关系，则该命题应打“×”．(3)垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以该命题应打“√”．(4)前面介绍了两个命题，①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A 垂直于直线a 的平面惟一，因此，过点A 且与直线a 垂直的直线都在过点A 且与直线a 垂直的平面内，所以该命题应打“√”．(5)三条共点直线两两垂直，设为a 、b 、c 且a 、b 、c 共点于O ，∵a ⊥b ，a ⊥c ，b c O =I ，且b 、c 确定一平面，设为α，则a ⊥α，同理可知b 垂直于由a 、c 确定的平面，c 垂直于由a 、b 确定的平面， ∴该命题应打“√”．【思路点拨】本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题．解答此类问题必须做到：概念清楚、问题理解透彻、相关知识能灵活运用．【答案】（1）×（2）×（3）√（4）√（5）√例3 如图，在直三棱柱111C B A －ABC 中，2BC ＝2AC ＝AA 1，D 是棱1AA 的中点， D.B CD 1⊥（1）证明：11C B CD ⊥；（2）平面1CDB 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【知识点】直线和平面垂直的性质的应用．【数学思想】化归思想【解题过程】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D 为AA 1的中点，故DC =DC 1，又AA 1=2A 1C 1，可得,DC 21221CC DC =+ 所以CD ⊥DC 1，而CD ⊥B 1D ，D ＝D C ∩D B 11，所以CD ⊥平面B 1C 1D ，因为⊂11C B 平面B 1C 1D ，所以CD ⊥B 1C 1．（2）由（1）知B 1C 1⊥CD ，且B 1C 1⊥C 1C ，则B 1C 1⊥平面ACC 1A 1， 设V 1是平面CDB 1上方部分的体积，V 2是平面CDB 1下方部分的体积， 则，梯形3113111112123313111111C B C B C B S V V C CDA C CDA B =⨯⨯=⨯⨯==-，总311121111C B CC BC AC V V C B A ABC =⨯⨯⨯==- ，总13111221-V C B V V V ===.1:121=V V 故【思路点拨】异面直线间垂直的证明可通过证明直线和平面垂直得证．【答案】（1）见解题过程；（2）1:1．活动③ 强化提升，灵活应用例4 如图所示，直角△ABC 所在平面外一点S ，且SA =SB =SC ．(1)求证：点S 与斜边AC 中点D 的连线SD ⊥面ABC ；(2)若直角边BA =BC ，求证：BD ⊥面SAC ．【知识点】等腰三角形三线合一【解题过程】证明：(1)在等腰△SAC 中，D 为AC 中点，∴SD ⊥AC ．取AB 中点E ，连DE 、SE ．∵ED ∥BC ，BC ⊥AB ，∴DE ⊥AB ．又SE ⊥AB ，∴AB ⊥面SED ，∴AB ⊥SD ．∴SD ⊥面ABC （AB 、AC 是面ABC 内两相交直线）．(2)∵BA =BC ，∴SD ⊥AC ．又∵SD ⊥面ABC ，∴SD ⊥BD ．∵SD AC D I ，∴BD ⊥面SAC ．【思路点拨】证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直．寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直等．【答案】见解题过程．例5 平面α内有一半圆，直径AB ，过A 作SA ⊥平面α，在半圆上任取一点M ，连SM 、SB ，且N 、H 分别是A 在SM 、SB 上的射影．(1)求证：NH ⊥SB ．(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？(4)这个图形中有多少对相互垂直的直线？【知识点】线线垂直，线面垂直．【数学思想】化归思想【解题过程】(1)证明：连AM 、BM ．如上图所示，∵AB 为已知圆的直径，∴AM ⊥BM ．∵SA ⊥平面α，α⊂BM ，∴SA ⊥MB ．∵AM SA A =I ，∴BM ⊥平面SAM ．∵AN ⊂平面SAM ，∴BM ⊥AN ．∵AN ⊥SM 于N ，BM SM M =I ，∴AN ⊥平面SMB ．∵AH ⊥SB 于H ，且NH 是AH 在平面SMB 的射影，∴NH ⊥SB ．(2)由(1)知，SA ⊥平面AMB ，BM ⊥平面SAM ，AN ⊥平面SMB ． ∵SB ⊥AH 且SB ⊥HN ，∴SB ⊥平面ANH ，∴图中共有4个线面垂直关系．(3)∵SA ⊥平面AMB ，∴△SAB 、△SAM 均为直角三角形．∵BM ⊥平面SAM ，∴△BAM 、△BMS 均为直角三角形．∵AN ⊥平面SMB ，∴△ANS 、△ANM 、△ANH 均为直角三角形．∵SB ⊥平面ANH ，∴△SHA 、△BHA 、△SHN 、△BHN 均为直角三角形． 综上，图中共有11个直角三角形．(4)由SA ⊥平面AMB 知，SA ⊥AM ，SA ⊥AB ，SA ⊥BM ．由BM ⊥平面SAM 知，BM ⊥AM ，BM ⊥SM ，BM ⊥AN ．由AN ⊥平面SMB 知，AN ⊥SM ，AN ⊥SB ，AN ⊥NH ．由SB ⊥平面ANH 知，SB ⊥AH ，SB ⊥HN ．综上，图中共有11对互相垂直的直线．【思路点拨】为了保证(2)(3)(4)答案不出错，首先应找准(2)的答案，由“线⊥面”可得到“线⊥面内线”，当“线⊥面内线”且相交时，可得到直角三角形；当“线⊥面内线”且不相交时，可得到异面且垂直的一对直线．【答案】（1）见解题过程；（2）4；（3）11；（4）11．同类训练 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ，求证：SB AE ⊥，SD AG ⊥．【知识点】线线垂直，线面垂直。
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直线与平面垂直的判定
黄秋燕
教学目标：
⒈知识与技能：掌握直线与平面，并能进行简单应用。
⒉过程与方法：在合作探究中，逐步构建知识结构；通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象
能力、几何直观能力，欣赏事物的能力，培养学生动手实践的能力。
⒊情感、态度与价值观：垂直关系在日常生活中有广泛的实例，通过本节的教学，可以让学生感受数
学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生团队合作的精神。
教学的重点和难点：
重点：线面垂直的定义，线面垂直的判定的定理
难点：线线垂直于线面垂直的相互转化，应用
教学过程：
环节教学过程和师生活动意图，理念与备注
课题引入观看视频，旗杆所在直线与影子的位置关系从实际背景出发，直观感
知直线和平面垂直的位
置关系，使学生在头脑中
产生直线与地面垂直的
初步印象，为下一步的数
学抽象做准备
新课传授1.提出问题：
问题1：如何定义旗杆与地面垂直？
问题2：你怎么检验旗杆竖直了呢？
2.探究问题1“问题1：如何定义旗杆与地面垂直？”转化为数学
问题：“一条直线与一个平面垂直是如何定义的？”
3.概括出线面垂直的定义
师生活动：可让学生来表述，
强调“任意一条”“所有”
并告诉其画法
强调：从线与线的垂直来定义线面垂直实际是把高维的问题转化为
低维的问题．
4.探究定义中，任意一条，能否改为所有直线和无数条直线？
让学生积极思考所提出
的实际问题，转化成数学
问题。
注意：正确引导，注意不
要偏离问题。
引导学生用“平面化”的
思想来思考问题，通过观
察，感知直线与平面垂直
的本质属性．
教师引导学生体悟：线线
垂直线面垂
直线线垂直的
转化思想
b A l a l b αα⎫⎪⎪⎪⇒=⎬⎪
⊥⎪⊥⎪⎭）和直线与平面垂直的定义相比理的优越性体现在哪里? （2）你觉得定义与判定定理的共同点是（师生共同揭示本节课蕴涵的丰富的数学思想方法）
例题2 线线垂直。
第二问：识辨判定定理的“两相交直线”
勾股逆定理的应用
归纳总结回顾本节课，归纳总结，加深理解，巩固学习成果，再次突破重难点。
培养学生的学习能力，让他们学会归纳，学会学习。