常州市2015届九年级5月教学情况调研测试数学试题含答案

九年级教学情况调研测试 2015.5数 学 试 题注意事项：1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．2．学生在答题过程中不能使用任何型号的计算器和其它计算工具；若试题计算没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号与π）．3．请将答案按对应的题号全部填写在答题纸上，在本试卷上答题无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．在下列实数中，无理数是A ．3.14B ．1C ．31D ．62．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为A ．4-1021.0⨯B ． 4-101.2⨯C ．5-1021.0⨯D ．5-101.2⨯ 3．下列运算正确的是A=B=C ．326a a a =÷D ．2)2(2-=-4．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的 A ．主视图的面积为5 B ．左视图的面积为3C ．俯视图的面积为3D ．三种视图的面积都是45．若13--x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 A ．3≥x B ．13≠≤x x 且 C ．31≤<xD ．31≠≥x x 且 6．已知一元二次方程062=--c x x 有一个根为2，则另一个根为A ．2B ．3C ．4D ．－87．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，B 为锐角且B sin ＝53，则∠C 的正弦值等于 A ．56B ．23CD8．如图，在正方形ABCD 中，AD =5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE =FC =3，BE =DF =4，则EF 的长为 A ．23B ．232C ．57D ．2ABCDE F二．填空题（本大题共9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上） 9．)3(--＝ ▲ ，21-＝ ▲ ，0)2015(-＝ ▲ ，21-2）（＝ ▲ . 10．已知一组数据为1，2，1，2，4，2，则这组数据的众数是 ▲ ，方差是 ▲ . 11．∠A 的余角为60°，则∠A 的补角为 ▲ °，=A tan ▲ .12．点A 关于x 轴对称的点的坐标为（2，-1），则点A 的坐标为 ▲ ，点A 到原点的距离是 ▲ . 13．若扇形的半径为3cm ，扇形的面积为2π2cm ，则该扇形的圆心角为 ▲ °，弧长为 ▲ cm ． 14．分解因式：=+-22344xy y x x ▲ . 15．已知点P ),(b a 在直线121-=x y 上，点Q )2,(b a -在直线1+=x y 上，则代数式=--1422b a ▲ .16．如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF 、DF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点B ′ 处，点C 恰好落在边B ′ F 上.若AE ＝3，BE ＝5，则FC ＝ ▲ .17．如图，圆心都在x 轴正半轴上的半圆1O ，半圆2O ，…，半圆n O 与直线x y 33=相切，设半圆1O ，半圆2O ，…，半圆n O 的半径分别是1r ，2r ，…，n r ，则当11=r 时，2015r ＝ ▲ .三、解答题（本大题共11小题，共84分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18．化简：（本题满分8分）⑴ ︒︒+︒-45tan 60tan 30cos 427⑵111112--+÷-+a a a aA BCDB'EFC'第16题图19．（本题满分10分）⑴ 解方程：xx -=--11113 ⑵ 解不等式组：⎩⎨⎧+-≤+<-)173252x x x （20．（本题满分7分）某校举行“汉字听写”比赛，每位学生听写汉字39个，比赛结束后随机抽查部分学生的听写结果，以下是根据抽查结果绘制的统计图的一部分.根据以上信息解决下列问题：⑴ 在统计表中，m ＝ ▲ ，n ＝ ▲ ，并补全条形统计图. ⑵ 扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数是 ▲ .⑶ 若该校共有900名学生，如果听写正确的个数少于24个定为不合格，请你估计这所学校本次比赛听写不合格的学生人数.21．（本题满分8分）小明在学习反比例函数的图像时，他的老师要求同学们根据“探索一次函数11+=x y 的图像”的基本步骤，在纸上逐步探索函数xy 22=的图像，并且在黑板上写出4个点的坐标：)3423(，A ，)21(，B ，)211(，C ，)1-2-(，D ． ⑴ 在A 、B 、C 、D 四个点中，任取一个点，这个点既在直线11+=x y 又在双曲线xy 22=上的概率是多少？⑵ 小明从A 、B 、C 、D 四个点中任取两个点进行描点，求两点都落在双曲线xy 22=上的概率.22．（本题满分6分）如图，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 边上，连接CE 、AF ，∠DCE ＝∠BAF ．试判断四边形AECF 的形状并加以证明.23．（本小题6分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB段与高速公路1l 成30°夹角，长为20km ，BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离.（结果保留根号）24．（本题满分6分）如图，每个网格都是边长为1个单位的小正方形，△ABC 的每个顶点都在网格的格点上，且∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．⑴ 试在图中作出ABC △以点A 为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后得到的图形11C AB △； ⑵ 试在图中建立直角坐标系，使x 轴∥AC ，且点B 的坐标为（﹣3，5）；⑶ 在⑴与⑵的基础上，若点P 、Q 是x 轴上两点（点P 在点Q 左侧），PQ 长为2个单位，则当点P 的坐标为 ▲ 时，AP+PQ+QB 1最小，最小值是 ▲ 个单位．30°ABCD1l 2l A B CDEF25．（本题满分7分）一种产品的进价为40元，某公司在销售这种产品时，每年总开支为100万元（不含进价）．经过若干年销售得知，年销售量y （万件）是销售单价x （元）的一次函数，并得到如下部分数据：⑴ 求y 关于x 的函数关系式；⑵ 写出该公司销售这种产品的年利润w （万元）关于销售单价x （元）的函数关系式；当销售单价x 为何值时，年利润最大？⑶ 试通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助该公司确定产品的销售单价范围，使年利润不低于60万元．26．（本题满分6分）△ABC 中，∠C 是最小内角．若过顶点B 的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝20°，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，且∠DBC ＝20°，则直线BD 是△ABC 的关于点B 的伴侣分割线．⑴ 如图2，△ABC中，∠C ＝20°，∠ABC ＝110°．请在图中画出△ABC 关于点B 的伴侣分割线，并注明角度；⑵ △ABC 中，设∠B 的度数为y ，最小内角∠C 的度数为x ．试探索y 与x 应满足什么要求时，△ABC存在关于点B 的伴侣分割线．ABC DAB C图2图127．（本题满分10分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，动点E 在边BC 上，与点B 、C 不重合，过点A 作DE 的垂线，交直线CD 于点F ．设DF ＝x ，EC ＝y ． ⑴ 求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． ⑵ 当CF ＝1时，求EC 的长．⑶ 若直线AF 与线段BC 延长线交于点G ，当△DBE 与△DFG 相似时，求DF 的长．FD28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝a 2x ＋bx ＋1（a ≠0）的图像与x 的正半轴交于点A ，与x 的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ．△PAC 中，P （1，－1），∠P ＝90°，PA＝PC ．⑴ 求点A 的坐标．⑵ 将△PAC 沿AC 翻折，若点P 的对应点Q 恰好落在函数y ＝a 2x ＋bx ＋1（a ≠0）的图像上，求a与b 的值．⑶ 将△ACO 绕点A 逆时针旋转90°得到△ADE ，在x 轴上取一点M ，将∠PMD 沿PM 翻折，若点D的对应点F 恰好落在x 轴上，求点M 的坐标．九年级教学情况调研测试数学参考答案及评分意见一．选择题（（本题有8小题，每小题2分，共16分）二.填空题 （第9小题4分，其余8小题每小题2分）9．3，21，1，41 10．2，1 11．150，33 12．（2，1），5 13．80，34π 14．2)2(y x x - 15．1 16．4 17．20143三、解答题18．化简：⑴ 原式= 33－4×23+3 ---------------------------------------------------- 3′ = 32 ------------------------------------------------------------------- 4′⑵ 原式=11)1)(1(11-+-+⋅-+a a a a a ---------------------------------------------------- 2′=11-+a ----------------------------------------------------------------- 3′= a -------------------------------------------------------------------------- 4′19．⑴ 解分式方程：xx -=--11113 解： 1)1(3-=--x ------------------------------------------------------------- 2′5=x ---------------------------------------------------------------------------- 4′经经验5=x 是原方程的解. ------------------------------------------------- 5′⑵ 解不等式组：解： 解不等式①得： 25->x ---------------------------------------------------- 2′ 解不等式②得：910-≤x -------------------------------------------------- 4′∴ 原不等式组的解集是91025-≤<-x . ---------------------------------- 5′252371)x x x -<⎧⎨+≤-+⎩（① ②20．⑴ m ＝30 ------------------------------------------------------ 1′ n ＝20 ----------------------------------------------------- 2′ ，画图正确 ------------------------------------------------ 3′.⑵ 扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的 度数是 90 . -------------------------------------- 4′ ⑶ 解：“听写正确的个数少于24个”的人数 有：10+15+25=50 人比赛学生总人数有：15÷15%=100人 ------------ 5′900×10050= 450 人 -------- 6′答：这所学校本次比赛听写不合格的学生人数约为450人. ------------------------- 7′21．解：⑴点B 与点D 既在直线y ＝x ＋1上，又在双曲线y ＝x 2上 --------------------------- 2′ 因此任取一个点，既在直线又在双曲线上的概率是21------------------------ 4′⑵ 由（1）可得，“从A 、B 、C 、D 四个点中任意挑选两个点进行描点”有6种等可能的情况，分别是：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD -------------- 6′ 其中，“两点都落在双曲线x y 22=上”有AB 、AD 、BD 三种情况. ------ 7′∴ P （两点都落在双曲线x y 22=上）=2163=. ----------------------------------- 8′22．四边形AECF 是平行四边形. ---------------------------------------------------------------------- 1′证明：∵ 矩形ABCD 中，AB ∥DC ∴ ∠DCE ＝∠CEB ------------------------------ 2′∵ ∠DCE ＝∠BAF ∴ ∠CEB ＝∠BAF ∴ FA ∥CE ------------------- 4′又矩形ABCD 中，FC ∥AE ∴ 四边形AECF 是平行四边形. -------------- 6′23．解：过点A ，C 作1l 的垂线，过点B 作1l 的平行线，交于点E ，F ，F ，H ------------ 1′l 2l 1∵ △AEB 中，∠AEB ＝90°，∠ABE ＝30°，AB ＝20 ∴ AE ＝10 ------------- 2′ ∵ △BHC 中，∠BHC ＝90°，∠HBC ＝60°，BC ＝10 ∴ CH ＝53 ------- 3′ ∵ △CGD 中，∠CGD ＝90°，∠CDG ＝30°，CD ＝20 ∴ CG ＝15 --------- 4′ ∴ AF ＝AE ＋EF ＝AE ＋CH ＋CG ＝25＋53 ------------------------------------------------ 5′ 即两高速公路间的距离为（25＋53）km ． -------------------------------------------------- 6′ 24．⑴ 画图正确 ---------------------------------------------------- 1′ ⑵ 画图正确（),,O y x 以及原点包括标注 ----------- 2′⑶ 点P 坐标：（52，0） ----------------------------------- 4′ 最小值：2＋29 ---------------------------------------- 6′25．⑴ 解：函数关系式为8201+-=x y . --------------------------------- 2′ ⑵ 80)100(201100)40)(8201(2+--=--+-=x x x w ---------- 4′当.80100有最大值，最大值为时，利润w x = ------- 5′ ⑶ 在（2）中，当w =60时， 有：6080)100(2012=+--x 解得： 120,8021==x x ---------------------------------------- 6′根据函数图像可得：当时，12080≤≤x该公司产品的利润不低于60万元. ------------------------------ 7′26．解：⑴ 画图正确，角度标注正确 ----------------------------------------------------------- 1′⑵ 考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图，此时y ＝90－x ． 当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC ＝90°，如图，此时y ＝90＋21（90－x ）＝135－21x ．C若∠ABD ＝90°，如图，此时y ＝90＋x ．当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图，此时y ＝45＋（90－x ）＝135－x ．若△DBC 是等腰三角形，如图，此时x ＝45，45＜y ＜90．注：共5种情况，每种情况各1分．27．⑴ 如图1，x y 21=（80<<x ） ------------------------------------------------------------------ 2′ ⑵ DF ＝1或DF ＝3，相应地，21=EC 或23=EC ------------------------------------------- 4′⑶ 由∠DEC ＝∠AFD 得，∠BED ＝∠DFG ． DF ＝x ，FG ＝1622+-x x x ，DE ＝16212+x ，BE ＝4－21x -------------------- 6′ 当∠DBE ＝∠GDF 时，x ·16212+x ＝1622+-x x x ·（4－21x ）， ------- 7′解得x ＝58．当∠BDE ＝∠GDF 时，x （4－21x ）＝1622+-x x x ·16212+x ， ----------- 8′ 解得x ＝34（x ＝－4舍去）即DF 的长为58或34． ---------------------------------------------------------------------------- 10′28．解：⑴点A 的坐标为（3，0） --------------------------------------------------------------------- 2′⑵ Q （2，2） ------------------------------------------------------------------------------------------- 3′ a ＝65-，b ＝613---------------------------------------------------------------------------------- 4′ ⑶ 解：D （2，－3） ----------------------------------------------------------------------------------- 5′ 设点M （m ，0），由PD ＝PF 得，F （－1，0）或F （3，0） ------------------------------------------------- 7′ 当点F （－1，0）时，由MD ＝MF 得，222)1(3)2(+=+-m m ，解得m ＝2 ------------------------------------------------------- 8′当点F （3，0）时，由MD ＝MF 得，222)3(3)2(-=+-m m ，解得m ＝－2 ---------------------------------------------------- 9′因此点M 的坐标为（2，0）或（－2，0）． --------------------------------------------- 10′。