追及与相遇问题(详解)

追及与相遇问题玉平课时安排：3课时三维目标：1、掌握匀变速直线运动的速度、位移公式以及速度－位移公式；2、能灵活选用合适的公式解决实际问题；3、通过解决实际问题，培养学生运用物理规律对实际生活中进行合理分析、解决问题的能力；4、通过教学活动使学生获得成功的愉悦，培养学生参与物理学习活动的兴趣，提高学习自信心。

教学重点：灵活选用合适的公式解决实际问题；教学难点：灵活选用合适的公式解决实际问题。

教学方法：启发式、讨论式。

教学过程两物体在同一直线上追及、相遇或避免碰撞问题中的条件是：两物体能否同时到达空间某位置。

因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、速度关系、位移关系求解。

一、追及问题1、追及问题的特征及处理方法：“追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：⑴初速度比较小（包括为零）的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙，一定能追上。

a、追上前，当两者速度相等时有最大距离；b、当两者位移相等时，即后者追上前者。

⑵匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，存在一个能否追上的问题。

判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。

解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。

a、当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者，则永远追不上，此时两者间有最小距离；b、若两者速度相等时，两者的位移也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件；c、若两者速度相等时，追者位移大于被追者，说明在两者速度相等前就已经追上；在计算追上的时间时，设其位移相等来计算，计算的结果为两个值，这两个值都有意义。

即两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个较大值。

⑶匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，情形跟⑵类似。

匀速运动的物体甲追赶同向匀减速运动的物体乙，情形跟⑴类似；被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

2、分析追及问题的注意点：⑴要抓住一个条件，两个关系：一个条件是两物体的速度满足的临界条件，如两物体距离最大、最小，恰好追上或恰好追不上等。

两个关系是时间关系和位移关系，通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口。

⑵若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。

⑶仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意v t 图象的应用。

二、相遇⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题，分析同上。

⑵ 相向运动的物体，当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇。

【典型例题】【例1】 在十字路口，汽车以0.5m/s 2的加速度从停车线启动做匀加速运动，恰好有一辆自行车以5m/s 的速度匀速驶过停车线与汽车同方向行驶，求：（1） 汽车追上自行车之前，什么时候它们相距最远？最远距离是多少？（2） 在什么地方汽车追上自行车？追到时汽车的速度是多大？解：①汽车追上自行车之前，两车速度相等时相距最远，设所用时间为tv 汽＝at ＝v 自 t ＝10s 最远距离x ＝x 自－x 汽＝v 自t －21at 2＝25m ②设汽车追上自行车所用时间为t ／ 此时x 自＝x 汽 v 自t ／＝21a t ／2 t ／＝20s 此时距停车线距离 x ＝v 自t ／＝100m 此时汽车速度 v 汽＝a t ／＝10m/s【例2】 客车以30m/s 的速度行驶,突然发现前方72 m 处有一自行车正以6m/s 的速度同向匀速行驶,于是客车紧急刹车,若以3m/s 2的加速度匀减速前进,问：（1） 客车是否会撞上自行车?若会撞上自行车，将会在匀减速前进多久时撞上？（2） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时距离自行车至少多远？（3） 若要保证客车不会撞上自行车，客车刹车时的加速度至少多大？ 1） 速度相等时用时t ，则30-3t=6m/s 解得t=8s ，此时自行车行驶6*8=48m ，客车行驶30*8-1/2*3*8*8=144,72+48=120m<144m,所以会撞上。

假设t 时刻撞上，则有30*t-1/2*3t2=72+6*t 解得t1=4s ，t2=12s （舍去）2）不会撞上则速度相同时刚好不会撞上。

由（1）中得144=48+S ，所以至少相差96m【例3】 在一条平直的公路上，乙车以10m/s 的速度匀速行驶，甲车在乙车的后面作初速度为15m/s ，加速度大小为0.5m/s 2的匀减速运动，则两车初始距离L 满足什么条件时可以使：（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）。

a=-0.5 v1=10 v2=15当甲车减速为v=10时，两车速度相同。

即之后甲车速度小于乙车。

设甲车v=10时，辆车正好相遇。

t=(v1-v2)/a=10.s 甲=v2*t+at^2/2=15*10-0.5*10*10/2=125s 乙=v1*t=100L=s 甲-s 乙=25（m ）即当L<25时为①两车相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）当L=25时为②两车只相遇一次当L>25时为③两车不相遇 【例4】 如图,A 、B 两物体相距S=7米,A 正以V 1=4米/秒的速度向右做匀速直线运动,而物体B 此时速度V 2=10米/秒,方向向右,做匀减速直线运动(不能返回),加速度大小a=2米/秒2,从图示位置开始计时,经多少时间A 追上B. 解: 物体B 的运动时间为 5210===a V t A B 秒 在此时间B 前进了 255210=⨯=⋅=B B t V S 米 这时A 前进了 2054 =⨯==B A A t V S 米可见在此时间A 没有追上B,必须在B 停止后,A 才能追上B.故A 追上B 的时间为: 84257=+=+=A B V S S t 秒 【例5】 一辆摩托车行驶的最大速度为30m/s 。

现让该摩托车从静止出发，要在4分钟追上它前方相距1千米、正以25m/s 的速度在平直公路上行驶的汽车，则该摩托车行驶时，至少应具有多大的加速度？解：假设摩托车一直匀加速追赶汽车。

则：=221at V 0t+S 0 ……（1） a =24.024010002240252222200=⨯+⨯⨯=+t S t V （m/s 2） ……（2） 摩托车追上汽车时的速度： V = at = 0.24⨯240 = 58 (m/s) （3）因为摩托车的最大速度为30m/s ，所以摩托车不能一直匀加速追赶汽车。

应先匀加速到最大速度再匀速追赶。

()t V S t t V at m 0012121+=-+ ......（4） V m ≥at 1 (5)由（4）（5）得：t 1=40/3（秒） a===40903/4030 2.25 (m/s) 【例6】汽车以1m/s 2的加速度起动，同时车后60m 远处有一人以一定速度V 0匀速追赶要车停下．已知人在离车小于20m ，且持续时间为2s 喊停车，方能把停车信息传达给司机，问V 0至少要多大？如果以V 0=10m/s 的速度追车，人车距离最小值应为多少？解：方法一、 设经过时间T 人和车相距20m ，则根据位移关系可得 60 m ＋1/2aT ²－V 0T ＝20m将a ＝1m/ s 2代入上式并整理得 T 2－2V 0T ＋80＝0设为该方程的两个根，由韦达定理有 T 1＋T 2＝2V 0 ① T 1·T 2＝80 ② 又因为人车相距20 m 以的时间至少持续2s ，所以有 T 1－T 2＝2 ③解①②③可得的最小速度为9m/s 。

当V0＝10m/s 时经过一段时间t 后人车之间距离为d ＝1/2aT 2＋60－V 0T ＝1/2T 2－10T ＋60＝1/2(T －10) 2＋10∴当T ＝10s 时,d 取得最小，即人与车的最小距离为10m 。

点评本题可以有多种解法，相比较而言用韦达定理和配方法求解更为简便一些，这种简便不仅体现在求解运算上，更体现在解题思路上。

方法二、已知人在离车小于20m，且保持时间为2s喊停车方能把停车信息转达到司机，那么题意就是当距离为20m后，再经过2s，距离仍然不超过这个围。

相当于人追赶了车40m.所以有，vt-1/2a t2=40 ①同时v(t+2）-1/2a (t+2)2=40 ②②-①得t=v/a+1③将③代入①得最小速度v = 9m/s.如果10m/s，当然是车的速度也是10m/s的时候，距离最小。

所以最小距离=60-10*10-1/2*102=10m方法三、因为人在离车距离小于20m.持续时间为2s喊停车.才能把信息传给司机.经过时间t后人与车相距为20m 即1/2at2+60-v o t=20此时车速为at ，接下来2s保持20m距离即2＊v o=at＊2+1/2a＊22.解得t=8s. v o=9m/s方法四、根据题意，要在汽车的速度达到V之前，人与车的距离小于20m，因为如果在汽车速度达到V的时候人车的距离还大于20m，那汽车在加速，速度变得比人快，人车的距离就在变大了，永远超都追不上了，同时也不能等于，因为人在叫的时候要2秒，那会儿，汽车还在行进，我们的目标是要使人在叫的过程中人车的距离都要小于20m,既然这样那就分析当人叫完两秒的时候的情况。

人距车的距离关于t=v/a对称，也就是说t=v/a+1也就是t=v+1（因为a=1）时，人距车必须小于20米，有60+1/2*(v+1)^2-v*(v+1)<=20,解出v就o了方法五、根据判别式等于零来求解。

作业：1．一辆值勤的警车停在公路边。

当警员发现从他旁边以v=8m／s的速度匀速行驶的货车有违章行为时，决定前去追赶。

经2.5s，警车发动起来，以加速度a=2m／s2做匀加速运动，试问：（1）警车要多长时间才能追上违章的货车?（2）在警车追上货车之前，两车间的最大距离是多大?解析：方法1、利用速度相等这一临界条件求解，警车和货车速度相等时相距最远。

v警=at，v货=v0，由v警=v货得at1=v0即相距最远时警车所用的时间为t1===4s此时货车和警车前进的距离分别为x货=v0（t0+t1）=8m／s×（2.5s+4s）=52ms警==×2m／s2×（4s）2=16m两车的最大距离为Δx max=x货－x警=52m－16m=36m两车的位移分别为x警=，x货=v0（t+t0）追上时两车位移相等x警=x货，即= v0（t+t0）解得追上时所用时间t2=10s。

方法2、利用二次函数的知识求解。

货车和警车的位移分别为x 警= ，x 货=v 0（t+t 0），两车的位移之差为Δx=x 货－x 警=v 0（t+t 0）－=－t 2+8t+20=－（t －4）2+36当t=4s 时，Δx 有最大值36m ，即追上之前相距最大为36m 。